學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1。1不等關(guān)系與不等式3。1。2不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。了解不等式的性質(zhì)．(重點(diǎn)）2．能用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系．（難點(diǎn)）1.通過不等關(guān)系與不等式的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．借助不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).1．不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)(1）不等符號(hào)<，≤，〉，≥,≠。（2）所表示的關(guān)系是不等關(guān)系．2．比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)3．常用不等式的重要性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1（對(duì)稱性)a＞b?b＜a性質(zhì)2(傳遞性)a>b，b>c?a〉c性質(zhì)3(可加性）a＞b?a＋c〉b＋c性質(zhì)3推論1a＋b＞c?a＞c－b推論2a＞b,c＞d?a＋c＞b＋d性質(zhì)4（可乘性)a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc性質(zhì)4推論1a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd推論2a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋,n＞1)推論3a＞b＞0?eq\r(n,a）＞eq\r(n,b)（n∈N＋，n>1)1．完成一項(xiàng)裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是()A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200D［據(jù)題意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故選D．]2．設(shè)M＝x2，N＝－x－1,則M與N的大小關(guān)系是(）A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)A［M－N＝x2－(－x－1）＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，2)))2＋eq\f(3，4)〉0，故M>N.]3．用不等號(hào)填空：（1）若a〉b，則ac2________bc2.(2)若a＋b>0，b〈0,則b________a．(3）若a>b，c〈d,則a－c________b－d．(4)已知x<1，則x2＋2________3x.（1)≥(2)〈(3）〉（4）>［（1)因?yàn)楫?dāng)c2〉0時(shí)，有ac2〉bc2。當(dāng)c2＝0時(shí),有ac2＝bc2，故應(yīng)填“≥”．（2)因?yàn)閍＋b〉0，b〈0，所以a>0,故應(yīng)填“<”．（3）因?yàn)閏<d,所以－c〉－d，又因?yàn)閍>b,所以a－c>b－d，故應(yīng)填“〉"．（4)因?yàn)閤2＋2－3x＝（x－2）(x－1)，而x<1，所以x－2〈0，x－1〈0，則(x－2）（x－1）>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x,故應(yīng)填“>”．］用不等式（組)表示不等關(guān)系【例1】某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車,根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．［解］設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（40x＋90y≤1000，,x≥5，，y≥6，，x，y∈N＋，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N＋。))1．此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系．2．當(dāng)問題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系,則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可．3．用不等式(組）表示不等關(guān)系的步驟：（1）審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:至多、至少、大于等．（2）適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量．（3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語,并連接變量得不等式．1．如圖所示，在一個(gè)面積為350平方米的矩形地基上建造一個(gè)倉庫，四周是綠地．倉庫的長L大于寬W的4倍．寫出L與W的關(guān)系．［解]由題意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（L＋10W＋10＝350，,L>4W,，L〉0，,W〉0。))實(shí)數(shù)大小的比較【例2】設(shè)x，y，z∈R,比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。劢鈃∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2）＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1）2＋(x－y）2＋（z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f（1,2)且z＝1時(shí)取等號(hào)．1．作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法：（1）作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分;④對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);⑤分母或分子有理化；⑥分類討論．2．如果兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.2．已知x<y〈0，試比較(x2＋y2）（x－y)與(x2－y2）（x＋y)的大?。甗解］（x2＋y2）(x－y)－（x2－y2）（x＋y)＝(x－y）［（x2＋y2）－（x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x〈y〈0，∴xy>0，x－y〈0.∴－2xy(x－y）>0.∴(x2＋y2）(x－y）〉(x2－y2）（x＋y）．不等式的性質(zhì)應(yīng)用[探究問題］1．小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：∵2〈b〈3,∴eq\f(1,3)<eq\f（1，b)〈eq\f（1,2）,又∵－6<a〈8，∴－2<eq\f(a，b）<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？[提示］不正確．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變,在本題中只知道－6<a〈8,不明確a值的正負(fù)．故不能將eq\f（1，3）〈eq\f(1,b)〈eq\f(1，2）與－6〈a〈8兩邊分別相乘,只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6〈a〈8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b〈6，你認(rèn)為正確嗎？［提示]不正確．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有耘c可乘性．但不能相減或相除，解題時(shí)要充分利用條件,運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形,而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2。又∵－2〈a＋b〈2，∴0<a〈3，－3〈b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b〈2矛盾了呢？［提示］利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意:同向不等式兩邊可以相加（相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形．本題中將2〈a－b〈4與－2<a＋b〈2兩邊相加得0〈a〈3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b〈2兩邊相加得出－3〈b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b〈3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化,導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】（1）已知－eq\f（π，2）≤α〈β≤eq\f（π,2)，試求eq\f（α－β,2)的取值范圍；（2)設(shè)f（x）＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2，2≤f(1）≤4，求f(－2)的取值范圍．［思路探究](1）eq\x(－\f（π，2）≤α〈β≤\f（π，2))→eq\x(α－β的范圍)→eq\x(\f（α－β,2）的范圍）(2)法一：eq\x（用f－1，f1表示f－2)→eq\x(f－2的范圍）法二：eq\x(用f－1，f1表示a，b)→eq\x（用a,b表示f－2)→eq\x（用f－1，f1表示f－2）→eq\x(f－2的范圍)［解］(1)∵－eq\f（π，2）≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4）≤eq\f(α,2)〈eq\f(π，4)，－eq\f(π,4）〈eq\f（β,2）≤eq\f（π，4)，∴－eq\f（π,4）≤－eq\f(β，2）〈eq\f（π，4),∴－eq\f（π，2）≤eq\f（α－β,2)〈eq\f(π，2）。又α<β，∴eq\f（α－β，2）<0，∴－eq\f（π,2)≤eq\f（α－β，2)〈0.∴eq\f（α－β,2)的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2），0)）.(2)法一：設(shè)f(－2)＝mf（－1）＋nf（1)（m,n為待定系數(shù)）,則4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b)＝(m＋n）a＋（n－m)b,于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，，n－m＝－2，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3，,n＝1,)）∴f（－2)＝3f(－1）＋f（1)．又∵1≤f（－1）≤2，2≤f(1）≤4，∴5≤3f（－1)＋f（1）≤10，即f（－2）的取值范圍是[5,10]．法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b,，f1＝a＋b，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1，2)［f－1＋f1]，,b＝\f（1，2）[f1－f－1]，)）∴f(－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1)．又∵1≤f(－1）≤2,2≤f（1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f（－2)的取值范圍是［5,10］．1．利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．（2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．2．利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題（1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì)．（2）運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d,推不出ac〉bd；由a〉b，推不出a2>b2等．（3）準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤．3．（1)已知12〈a<60,15<b<36，求a－b與eq\f(a，b）的取值范圍；（2）若bc－ad≥0，bd〉0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d，d)。[解］(1)∵15〈b<36,∴－36<－b〈－15，∴12－36〈a－b〈60－15，即－24〈a－b<45?！遝q\f（1,36）〈eq\f(1,b）<eq\f（1,15），∴eq\f(12，36)〈eq\f(a,b)〈eq\f(60,15），∴eq\f（1，3)<eq\f(a，b)〈4.∴a－b和eq\f（a,b)的取值范圍分別是(－24,45），eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3），4)）.（2)證明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad,∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d（a＋b)．又bd>0，兩邊同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f（c＋d,d）。1．本節(jié)課的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)及兩個(gè)數(shù)（式）的大小比較問題，難點(diǎn)是利用不等式（組）表示不等關(guān)系．2．要熟練掌握常見的文字語言與數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換．文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)大于〉至多≤小于〈至少≥大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤3．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法（1）比較兩個(gè)代數(shù)式(數(shù)）的大?。?2）利用不等式的性質(zhì)求取值范圍．這也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)．1．判斷（正確的打“√"，錯(cuò)誤的打“×"）（1)某隧道入口豎立著“限高4.5米"的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿足關(guān)系為h≤4。5。(）(2)用不等式表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”為a－b〉0。(）(3）不等式x≥2的含義是指x不小于2.（)(4)若a〈b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．（)［解析](1)√.因?yàn)椤跋薷?。5米”即為“高度不超過4.5米"．不超過用“≤”表示，故此說法正確．(2)×。因?yàn)椤胺秦?fù)數(shù)”即為“不是負(fù)數(shù)”，所以a－b≥0，故此說法錯(cuò)誤．(3）√.因?yàn)椴坏仁絰≥2表示x〉2或x＝2，即x不小于2，故此說法是正確的．(4)√。因?yàn)椴坏仁絘≤b表示a〈b或a＝b．故若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b一定正確．[答案］（1）√（2)×（3）√（4）√2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是（）A．M〉－5 B．M〈－5C．M≥－5 D．M≤－5A[M－（－5）＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝（x＋2)2＋(y－1)2,∵x≠－2,y≠1，∴（x＋2）2〉0,(y－1)2>0,因此(x＋2)2＋（y－1）2>0.故M>－5.]3．已知－1<2x－1<1,則eq\f(2，x)－1的取值范圍是____________．(1，＋∞）[－1〈2x－1<1?0<x<1?eq\f（1，x)>1?eq\f（2,x)〉2?eq\f(2，x）－1〉1。]4．（1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大小；（2）若a〉b>0，c<