學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3.2。3空間的角的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解空間三種角的概念，能用向量方法求線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）2。二面角的求法．(難點(diǎn)）3?？臻g三種角的范圍．(易錯(cuò)點(diǎn))1。通過(guò)求平面的法向量，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2.借助空間角的求解，提升邏輯推理素養(yǎng).空間角的向量求法（1)兩條異面直線(xiàn)所成角的向量求法若異面直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為a，b，l1，l2所成的角為θ,則cosθ＝|cos〈a，b〉｜.(2)直線(xiàn)和平面所成角的向量求法設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面α的法向量為n，a與n的夾角為θ1，l與α所成的角為θ2,則sinθ2＝｜c(diǎn)os_θ1｜＝eq\f（|a·n｜,｜a||n|）。(1）（2)（3）二面角的向量求法設(shè)二面角α。l.β的大小為θ，α，β的法向量分別為n1，n2,則|cosθ|＝|cos<n1，n2〉|＝eq\f（|n1·n2｜,｜n1|｜n2|)，θ取銳角還是鈍角由圖形確定．思考：(1）直線(xiàn)與平面所成的角和直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所成的角有怎樣的關(guān)系？(2）二面角與二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角有怎樣的關(guān)系？[提示](1)設(shè)n為平面α的一個(gè)法向量，a為直線(xiàn)a的方向向量，直線(xiàn)a與平面α所成的角為θ，則θ＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－〈a，n〉,〈a，n〉∈\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2）))，,〈a，n〉－\f（π,2)，〈a,n>∈\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π））.）)（2)條件平面α,β的法向量分別為eq\a\vs4\al(u)，eq\a\vs4\al(υ)，eq\a\vs4\al（α)，eq\a\vs4\al(β)所構(gòu)成的二面角的大小為eq\a\vs4\al(θ），<u,υ〉＝φ，圖形關(guān)系θ＝φθ＝π－φ計(jì)算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ1．已知向量m，n分別是直線(xiàn)l與平面α的方向向量、法向量,若cos〈m，n〉＝－eq\f（\r(3),2),則l與α所成的角為（）A．30° B．60°C．150° D．120°B［設(shè)l與α所成的角為θ，則sinθ＝｜c(diǎn)os<m,n〉|＝eq\f（\r（3），2），∴θ＝60°，應(yīng)選B.］2．若直線(xiàn)l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線(xiàn)l與平面α所成的角為_(kāi)_______．30°[由題意得，直線(xiàn)l與平面α的法向量所在直線(xiàn)的夾角為60°,∴直線(xiàn)l與平面α所成的角為90°－60°＝30°.]3．長(zhǎng)方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3,則異面直線(xiàn)AC與BC1eq\f(\r（5）,10）[如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0,0），B(1,0，0)，C(1，1，0），C1（1，1，3)．∴eq\o（AC,\s\up8（→)）＝(1，1,0），eq\o（BC1，\s\up8（→)）＝（0,1，3)，cos<eq\o(AC，\s\up8(→)），eq\o（BC1，\s\up8（→）)〉＝eq\f(\o（AC,\s\up8（→))·\o(BC1,\s\up8（→)),|\o(AC，\s\up8（→）)｜|\o（BC1,\s\up8(→)）｜)＝eq\f（1，1，0·0，1，3，\r(2)×\r（10）)＝eq\f(1,\r（20）)＝eq\f(\r(5），10）。綜上,異面直線(xiàn)AC與BC1所成角的余弦值為eq\f（\r(5）,10）.]4．已知二面角α.l。β，α的法向量為n＝（1,2，－1），β的法向量為m＝（1，－3，1），若二面角α.l-β為銳角,則其余弦值為_(kāi)_______．eq\f（\r(66)，11）［cos〈n，m〉＝eq\f（n·m，|n|｜m｜)＝eq\f（1－6－1，\r(6)·\r(11）)＝－eq\f（\r（66），11)。又因二面角為銳角，所以余弦值為eq\f（\r（66),11)。］求兩條異面直線(xiàn)所成的角【例1】如圖，在三棱柱OAB.O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r（3），求異面直線(xiàn)A1B與AO1所成角的余弦值的大小．[解]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0，0)，O1（0,1，eq\r(3）),A（eq\r（3），0，0),A1（eq\r(3)，1,eq\r（3)），B(0,2,0）,∴eq\o(A1B，\s\up8（→))＝（－eq\r（3),1，－eq\r（3）)，eq\o（O1A,\s\up8(→)）＝（eq\r（3),－1，－eq\r(3））．∴｜c(diǎn)os〈eq\o(A1B，\s\up8(→))，eq\o(O1A,\s\up8（→））〉|＝eq\f(｜\o(A1B,\s\up8(→))·\o（O1A,\s\up8(→）)|，｜\o（A1B,\s\up8(→）)｜·｜\o(O1A,\s\up8（→)）|）＝eq\f(|－3－1＋3｜，\r（7）·\r(7)）＝eq\f（1，7).∴異面直線(xiàn)A1B與AO1所成角的余弦值為eq\f（1，7)。1．幾何法求異面直線(xiàn)的夾角時(shí)，需要通過(guò)作平行線(xiàn)將異面直線(xiàn)的夾角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形來(lái)求解，過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜；用向量法求異面直線(xiàn)的夾角,可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過(guò)程,只需對(duì)相應(yīng)向量進(jìn)行運(yùn)算即可．2．由于兩異面直線(xiàn)夾角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2））)，而兩向量夾角α的范圍是[0，π]，故應(yīng)有cosθ＝|cosα|,求解時(shí)要特別注意．1．已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn),則AE，SD所成的角的余弦值為()A。eq\f（1,3） B。eq\f(\r(2）,3)C。eq\f（\r（3)，3) D.eq\f(2，3)C［依題意，建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)四棱錐S。ABCD的棱長(zhǎng)為eq\r(2），則A(0，－1，0），B(1，0,0）,S(0，0,1），D（－1,0，0)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，0，\f(1,2））)，eq\o(AE，\s\up8(→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2),1，\f（1,2)）),eq\o（SD,\s\up8(→）)＝(－1,0,－1），∴cos〈eq\o(AE，\s\up8（→)），eq\o（SD,\s\up8(→))〉＝eq\f（－1，\f（\r（6），2)·\r（2))＝－eq\f(\r（3），3），故異面直線(xiàn)所成角的余弦值為eq\f（\r(3）,3）.故選C.］求直線(xiàn)與平面所成的角【例2】如圖，四棱錐P。ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．(1）證明MN∥平面PAB；(2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值．［思路探究］(1）線(xiàn)面平行的判定定理?MN∥平面PAB。(2）利用空間向量計(jì)算平面PMN與AN方向向量的夾角?直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值．[解］(1）證明：由已知得AM＝eq\f（2,3）AD＝2。如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2）BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB。(2）如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE。由AB＝AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD，且AE＝eq\r（AB2－BE2)＝eq\r(AB2－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（BC,2）)）2)＝eq\r(5）。以A為坐標(biāo)原點(diǎn),eq\o（AE，\s\up8（→)）的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)。xyz.由題意知P(0，0,4),M(0,2，0）,C(eq\r（5),2,0），Neq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（5),2)，1，2))，eq\o(PM，\s\up8(→）)＝(0，2，－4），eq\o(PN，\s\up8(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(5),2），1，－2)），eq\o(AN，\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(5）,2），1，2)).設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o（PM,\s\up8(→))＝0，,n·\o（PN，\s\up8(→)）＝0,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2y－4z＝0，，\f(\r(5)，2）x＋y－2z＝0，))可取n＝(0,2，1）．于是｜c(diǎn)os〈n，eq\o（AN，\s\up8(→）)〉|＝eq\f（｜n·\o（AN，\s\up8(→))|，｜n｜｜\o（AN,\s\up8(→）)｜)＝eq\f（8\r（5)，25)。所以直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為eq\f（8\r（5),25).若直線(xiàn)l與平面α的夾角為θ，利用法向量計(jì)算θ的步驟如下：2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD,PA＝PD，AB⊥AD,AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5）。(1)求證：PD⊥平面PAB.（2)求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值．(3）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD?若存在,求eq\f（AM，AP)的值；若不存在,說(shuō)明理由．［解](1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，所以PD⊥平面PAB.(2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO。因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O.xyz。由題意得，A(0，1，0),B(1,1,0)，C（2，0，0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x，y，z)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o（PD，\s\up8(→））＝0，，n·\o(PC,\s\up8（→）)＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－y－z＝0，,2x－z＝0.))令z＝2，則x＝1，y＝－2。所以n＝（1，－2,2)．又eq\o（PB,\s\up8(→））＝(1,1，－1)，所以cos〈n,eq\o(PB,\s\up8(→））>＝eq\f(n·\o（PB，\s\up8(→））,｜n｜|\o（PB,\s\up8(→)）|）＝－eq\f（\r（3），3).所以直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值為eq\f(\r（3)，3）。(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1］使得eq\o（AM,\s\up8(→）)＝λeq\o（AP,\s\up8(→)）.因此點(diǎn)M(0，1－λ，λ),eq\o(BM,\s\up8(→））＝（－1，－λ,λ)．因?yàn)锽M?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(BM，\s\up8（→））·n＝0，即（－1，－λ，λ)·(1,－2，2）＝0。解得λ＝eq\f（1，4)。所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD，此時(shí)eq\f(AM,AP)＝eq\f(1,4)。求二面角［探究問(wèn)題］1．建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),如何尋找共點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線(xiàn)?提示：應(yīng)充分利用題目給出的條件，如線(xiàn)面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)然后證明它們兩兩垂直,再建系．2．如何確定二面角與兩個(gè)平面的法向量所成角的大小關(guān)系?提示:法一：觀察法，通過(guò)觀察圖形，觀察二面角是大于eq\f(π，2），還是小于eq\f（π,2)。法二：在二面角所含的區(qū)域內(nèi)取一點(diǎn)P，平移兩個(gè)平面的法向量，使它們的起點(diǎn)為P，然后觀察法向量的方向，若兩個(gè)法向量同時(shí)指向平面內(nèi)側(cè)或同時(shí)指向外側(cè)，則二面角與法向量的夾角互補(bǔ),若兩個(gè)法向量方向相反，則二面角與法向量的夾角相等．【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A。PB-C的余弦值．[思路探究]（1）先證線(xiàn)面垂直，再證面面垂直；（2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．[解]（1）證明:由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因?yàn)锳B∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD，垂足為點(diǎn)F.由（1）可知,AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD。以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o（FA，\s\up8（→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o（AB，\s\up8（→））｜為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz。由(1)及已知可得Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2)，0，0）),Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，0，\f（\r(2),2）)），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2）,2)，1,0))，Ceq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2），2），1,0)），所以eq\o(PC,\s\up8（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)，2），1，－\f(\r（2)，2）))，eq\o（CB，\s\up8（→）)＝（eq\r（2），0,0)，eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2）,2)，0，－\f（\r(2），2)）)，eq\o(AB，\s\up8（→))＝(0,1,0）．設(shè)n＝（x1，y1，z1)是平面PCB的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o（PC,\s\up8(→））＝0，，n·\o(CB，\s\up8(→))＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f（\r（2），2）x1＋y1－\f(\r（2）,2)z1＝0,,\r（2)x1＝0。))所以可取n＝（0，－1,－eq\r（2)）．設(shè)m＝（x2，y2，z2)是平面PAB的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o（PA，\s\up8（→))＝0,,m·\o(AB，\s\up8（→）)＝0,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2）x2－\f(\r（2)，2)z2＝0,，y2＝0。））所以可取m＝（1，0，1），則cos〈n，m〉＝eq\f（n·m，|n||m|）＝eq\f(－\r(2）,\r(3）×\r（2）)＝－eq\f(\r(3）,3）。所以二面角A。PB。C的余弦值為－eq\f(\r（3)，3）.利用向量法求二面角的步驟1．建立空間直角坐標(biāo)系；2．分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；3．求兩個(gè)法向量的夾角；4．判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；5．確定二面角的大?。?。如圖，幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部）以AB邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是eq\o\ac（DF,\s\up12（︵)）的中點(diǎn)．(1）設(shè)P是eq\o\ac（CE,\s\up12(︵))上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大小;（2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E-AG。C的大?。甗解](1）因?yàn)锳P⊥BE，AB⊥BE，AB,AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP。又BP?平面ABP,所以BE⊥BP。又∠EBC＝120°,所以∠CBP＝30°.（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BE，BP，BA所在的直線(xiàn)為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意得A（0,0,3），E(2,0,0)，G(1,eq\r（3），3），C（－1，eq\r(3)，0)，故eq\o(AE,\s\up8(→)）＝（2，0，－3)，eq\o(AG，\s\up8(→)）＝(1，eq\r（3），0）,eq\o（CG，\s\up8（→)）＝（2，0，3)．設(shè)m＝(x1，y1，z1）是平面AEG的一個(gè)法向量，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m·\o（AE，\s\up8(→)）＝0，，m·\o(AG,\s\up8（→)）＝0，））可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x1－3z1＝0,,x1＋\r（3）y1＝0。)）取z1＝2，可得平面AEG的一個(gè)法向量m＝（3,－eq\r（3)，2)．設(shè)n＝(x2，y2,z2)是平面ACG的一個(gè)法向量，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o（AG,\s\up8(→))＝0，,n·\o(CG,\s\up8(→））＝0,）)可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋\r(3）y2＝0，，2x2＋3z2＝0。））取z2＝－2，可得平面ACG的一個(gè)法向量n＝(3，－eq\r(3)，－2）．所以cos〈m,n〉＝eq\f(m·n,｜m｜·｜n|）＝eq\f（1，2）.故所求的角為60°。向量法求角(1)兩條異面直線(xiàn)所成的角θ可以借助這兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.（2）直線(xiàn)與平面所成的角θ可以通過(guò)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角φ求得，即sinθ＝｜c(diǎn)osφ|或cosθ＝sinφ.(3）二面角的大小可以通過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角．1．判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×"）(1)兩異面直線(xiàn)所成的角與兩直線(xiàn)的方向向量所成的角相等．（）（2)若向量n1，n2分別為二面角的兩半平面的法向量，則二面角的平面角的余弦值為cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,｜n1|｜n2｜）.（)（3）直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所成的角就是直線(xiàn)與平面所成的角．（)(4）二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ)．（)[答案](1)×（2)×（3）×(4）√2．正方體ABCD。A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1A。eq\f(\r（2)，3） B.eq\f(\r(3）,3)C。eq\f(2，3） D。eq\f(\r(6)，3）B[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B（1,1,0），C（0，1,0)，D1(0,0,1),B1(1，1，1)，∴eq\o(AD1，\s\up8(→))＝(－1,0，1),eq\o(AC，\s\up8(→)）＝(－1，1，0)，設(shè)平面ACD的法向量為n＝（x,y，z)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－x＋z＝0,－x＋y＝0）)，令x＝1，∴n＝(1，1，1），又∵eq\o(BB1，\s\up8（→）)＝（0，0，1)，∴BB1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(n·\o（BB1，\s\up8（→）),|n|｜\o(BB1,\s\up8(→)）|))）＝eq\f(\r（3)，3)。］3．已知點(diǎn)A(1,0,0），B（0，2，0），C(0，0，3），則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_(kāi)_______．eq\f（2，7)［eq\o(AB,\s\up8（→)）＝(－1，2，0），eq\o（AC,\s\up8(→））＝(－1,0，3），設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，由n·eq\o（AB，\s\up8(→））＝0，n·eq\o(AC,\s\u