學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)25向量的概念知識(shí)點(diǎn)一位移與向量1。下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度;⑧功．其中不是向量的有(）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案D解析一個(gè)量是不是向量，就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒(méi)有方向，所以不是向量．2．下列結(jié)論中正確的是()A．對(duì)任一向量a,｜－a｜〉0總是成立的B．模為0的向量的方向是不確定的C．向量就是有向線段D．任意兩個(gè)單位向量的方向相同答案B解析若向量a為零向量，則|－0|＝0，故A錯(cuò)誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個(gè)圖形,而向量是帶方向的量，不是有向線段,C錯(cuò)誤；任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，D錯(cuò)誤．3．一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了5米到C，又向南走了5米到達(dá)B點(diǎn)，求此人從A到B的位移．解如下圖，位移為向西南方向走了5eq\r（2)米．知識(shí)點(diǎn)二向量的相等與平行4.下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①始點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；②始點(diǎn)相同,相等的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同；④兩個(gè)共線的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線．A．3B．2C．1D．0答案C解析始點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量若長(zhǎng)度不相等，則終點(diǎn)不相同，故①不正確;始點(diǎn)相同，相等的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同，故②正確;兩個(gè)平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正確；兩個(gè)共線的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線，所對(duì)應(yīng)的直線可能平行，故④不正確．5．下列四個(gè)命題：①模為0的向量與任意向量平行;②單位向量與任一向量平行；③兩個(gè)方向相反的向量必是共線向量；④兩個(gè)非零向量平行，則這兩個(gè)向量相等．其中為真命題的是________．答案①③解析模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，與任意向量平行，故①正確;單位向量的方向不確定，故②不正確;兩個(gè)方向相反的向量必是共線向量，③正確；兩個(gè)非零向量平行，方向可能相同也可能相反,因此這兩個(gè)向量不一定相等．故④不正確．6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，O為其中心，分別寫出:（1)向量eq\o（OA,\s\up6（→)）的起點(diǎn)、終點(diǎn)和長(zhǎng)度；（2)與向量eq\o（OA,\s\up6(→）)共線的向量;(3)與向量eq\o（OA,\s\up6(→)）相等的向量．解(1)向量eq\o（OA,\s\up6（→）)的起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為A，長(zhǎng)度為2.(2)與eq\o（OA，\s\up6(→））共線的向量有eq\o(CB,\s\up6（→))，eq\o(FE，\s\up6（→)），eq\o(DO，\s\up6(→））。(3）與Oeq\o（A,\s\up6(→)）相等的向量有eq\o（CB,\s\up6(→）），eq\o(DO，\s\up6（→）).易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)相等向量的概念把握不準(zhǔn)致誤7.在?ABCD中，O是兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn),設(shè)點(diǎn)集S＝｛A，B,C，D，O｝,向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up6（→））｜M，N∈S｝，且M,N不重合，試求集合T中元素的個(gè)數(shù)．易錯(cuò)分析求解本題時(shí),若不能準(zhǔn)確把握“方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一向量”，就會(huì)誤認(rèn)為T中元素的個(gè)數(shù)為20.正解S＝{A,B,C，D,O}，S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段有:eq\o（AB，\s\up6（→))，eq\o（AC,\s\up6(→）)，eq\o（AD，\s\up6(→)），eq\o（AO,\s\up6(→))；eq\o(BA,\s\up6(→)），eq\o（BC，\s\up6（→)),eq\o（BD，\s\up6(→）），eq\o(BO,\s\up6(→））;eq\o(CA,\s\up6(→)）,eq\o（CB，\s\up6（→)），eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o（CO,\s\up6（→)）；eq\o(DA，\s\up6（→)),eq\o（DB,\s\up6（→）），eq\o(DC，\s\up6（→))，eq\o（DO,\s\up6（→)）；eq\o（OA，\s\up6（→))，eq\o（OB,\s\up6（→)），eq\o(OC，\s\up6（→）)，eq\o(OD，\s\up6（→）)。由平行四邊形的性質(zhì)可知（如圖），共有8對(duì)向量相等,即eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\o(CD,\s\up6（→))，eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6（→）)，eq\o（DA，\s\up6(→）)＝eq\o(CB，\s\up6(→)），eq\o（AO，\s\up6（→)）＝eq\o(OC,\s\up6（→）)，eq\o(OA，\s\up6(→)）＝eq\o（CO，\s\up6（→）)，eq\o(DO，\s\up6(→)）＝eq\o（OB，\s\up6(→）），eq\o（OD,\s\up6（→）)＝eq\o（BO,\s\up6（→))，又集合中元素具有互異性,所以集合T中的元素共有12個(gè)．一、選擇題1．在⊙O中，以O(shè)點(diǎn)為始點(diǎn),圓周上任一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，則該向量可以確定的要素是（）A．方向 B．大小C．大小和方向 D．以上均不對(duì)答案B解析由于⊙O半徑的確定性,因此該向量的長(zhǎng)度（大小)是確定的．2．下列各命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為（)①若|a|＝｜b｜，則a＝b；②若eq\o（AB,\s\up6（→））＝Deq\o（C,\s\up6（→)）,則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③若a＝b,b＝c，則a＝c；④若0∥a,0∥b，則a∥b。A．4B．3C．2D．1答案D解析①|(zhì)a|＝｜b|只說(shuō)明兩向量大小相等，不能得出兩向量同向，故此命題不正確；②由Aeq\o(B,\s\up6（→）)＝Deq\o(C，\s\up6(→））可得|Aeq\o(B,\s\up6(→））|＝|eq\o(DC,\s\up6（→)）｜且Aeq\o(B，\s\up6（→)）∥Deq\o（C，\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→)）∥eq\o(DC，\s\up6(→）),A,B，C，D可能在同一條直線上，故此命題不正確；③正確；④0與任意向量平行,命題不正確．3．如圖，已知D，E,F是正三角形ABC三邊的中點(diǎn)，由A，B，C,D，E，F(xiàn)六點(diǎn)中的兩點(diǎn)構(gòu)成的向量中與eq\o（DF,\s\up6(→））（eq\o（DF，\s\up6（→）)除外）共線的向量個(gè)數(shù)為(）A．2 B．4C．5 D．7答案D解析與eq\o(DF,\s\up6（→))共線的向量有：eq\o（AE，\s\up6（→)），eq\o(EA,\s\up6（→))，eq\o（EC，\s\up6(→））,eq\o(CE，\s\up6（→）)，eq\o（AC，\s\up6(→)）,eq\o（CA,\s\up6(→))，eq\o（FD,\s\up6(→））.4．兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為a和b(假定兩列火車始終沿同一直線行駛)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(）A．a(chǎn)與b為平行向量B．a(chǎn)與b為模相等的向量C．a(chǎn)與b為共線向量D．a(chǎn)與b為相等的向量答案D解析根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)可知A，B,C均成立，對(duì)于D,a與b為反向的共線向量,則a和b不相等,D錯(cuò)誤．5．已知D為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則eq\f(｜\o（PD，\s\up6(→)）|,｜\o（AD,\s\up6(→）)|)的值為(）A.eq\f（1,2）B.eq\f(1，3）C．1D．2答案C解析因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形，D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn)，所以D為PA的中點(diǎn)，所以eq\f(|\o（PD,\s\up6（→))｜,｜\o(AD，\s\up6(→)）｜)的值為1.如圖．二、填空題6．把同一平面內(nèi)所有模不小于1,不大于2的向量的始點(diǎn)，移到同一點(diǎn)O，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于________．答案3π解析這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π。7．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個(gè)交點(diǎn),從中選取2個(gè)交點(diǎn)組成向量，則與eq\o（AC,\s\up6(→)）平行且長(zhǎng)度為2eq\r（2）的向量的個(gè)數(shù)是________．答案8解析找出與AC平行的直線,確定長(zhǎng)度為2eq\r（2)的線段，共有eq\o（FH，\s\up6（→))，eq\o（HF,\s\up6（→)),eq\o（MP,\s\up6(→）),eq\o(PM,\s\up6（→))，eq\o(AJ，\s\up6（→）），eq\o（JA,\s\up6（→))，eq\o（KC,\s\up6（→)）,eq\o(CK，\s\up6（→）)，故共有8個(gè)．三、解答題8．如圖，已知平面上點(diǎn)C和向量eq\o(AB,\s\up6(→)），作出同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的向量．（1)以C為始點(diǎn)；(2)與eq\o(AB，\s\up6（→）)的模相等;（3）與eq\o（AB,\s\up6（→））平行．解如圖，向量eq\o（CD,\s\up6(→）），eq\o（CE，\s\up6(→）)即為所求向量．9．如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形,若｜eq\o（AB，\s\up6（→）)｜＝3，求向量eq\o(EC,\s\up6（→）)的模．解在?ABCD和?ABDE中，易知eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o（AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→)），∴eq\o(ED，\s\up6(→））＝eq\o(DC,\s\up6(→)），∴E，D，C三點(diǎn)共線．∴｜eq\o（EC，\s\up6(→）)|＝｜eq\o(ED,\s\up6（→））|＋｜eq\o(DC,\s\up6（→）)｜＝2｜eq\o(AB，\s\up6（→)）|＝6。10．如圖，O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形,在圖中所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up6（→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量;(2）找出與eq\o(AO，\s\up6（→))共線的向量；(3）找出與eq\o(AO，\s\up6（→））的模相等的向量．解(1）eq\o(AO,\s\up6（→）)＝eq\o（BF,\s\up6（→）），eq\o（BO,\s\up6（→))＝eq\o(AE，\s\up6（→))。(2）與eq\o(AO，\s\up6(→））共線的向量有：eq\o（BF,\s\up6（→）)，eq\o(CO，\s\up6(→))，eq\o（DE，\s\up6（→)）。（3)與eq\o(AO,\s\up6（→）)的模相等的向量有：eq\o(CO，\s\up6（→))，eq\o（DO,\s\up6（→))，eq\o（BO,\s\up6（→)），eq\o（BF,\s\up6（→）)，eq\o(CF，\s\up6（→）)，eq\o（AE，\s\up6(→）），eq\o（DE,\s\up6(→)）.11．如圖所示，四邊形ABCD中eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o（DC，\s\up6(→))，N，M分別是AD，BC上的點(diǎn),且eq\o(CN，\s\up6（→））＝eq\o（MA,\s\up6(→))。求證：eq\o（DN，\s\up6(→）)＝eq\o(MB，\s\up6(→)）。證明由eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（DC，\s\up6(→））可知，AB∥CD且|eq\o（AB,\s\up6(→))｜＝|eq\o(CD，\s\up6（→）)｜,故四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(CB，\s\up6(→）)∥eq\o(DA,\s\up6(→))且|eq\o（CB,\s\up6（→）)|＝|eq\o(DA,\s\up6（→))|.又由eq\o（CN,\s\up6（→)）＝eq\o（MA,\s\up6(→）)同理可得，四邊形CNAM是平行四邊形，∴eq\o(CM，\s\up6(→))∥eq\o（NA，\s\up6（→)）且｜eq\o(CM,\s\up6（→））|＝｜eq\o（NA，\s\up6（→)）|?！遼eq\o(CM,\s\up6(→））|＝｜eq\o（CB，\s\up6（→)）|－｜eq\o（MB,\s\up6(→))｜＝｜eq\o（DA,\s\up6（→））｜－｜eq\o（MB,\s\up6(→）)｜，｜eq\o（NA，\s\up