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5/5泰勒公式及其妙用學號：某班級：1公式形式泰勒公式可以用(無限或者有限)若干項連加式來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點(或者加上在臨近的一個點的次導數)的導數求得對于正整數n，若函數在閉區(qū)間上階連續(xù)可導，且在上階可導。任取一是一定點，則對任意成立下式：其中表示的n階導數，多項式稱為函數在a處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小。

2公式的余項可以寫成以下幾種不同的形式：1、佩亞諾(Peano）余項：這里n階導數存在2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）余項：其中θ∈（0,1）。3、拉格朗日（Lagrange）余項：其中θ∈（0,1）。4、柯西（Cauchy）余項：其中θ∈（0,1）。5、積分余項：以上諸多余項事實上很多是等價的。3公式推廣1麥克勞林展開函數的麥克勞林展開指上面泰勒公式中a取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若在x=0處n階連續(xù)可導，則下式成立：其中表示的n階導數。

2泰勒中值定理若在包含的某開區(qū)間（a，b）內具有直到n+1階的導數，則當x∈（a，b）時，有：其中是n階泰勒公式的拉格朗日余項：4公式應用實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現在以下三個方面：1冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。2一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，并使得復分析這種手法可行。3泰勒級數可以用來近似計算函數的值。在這里著重介紹泰勒公式在求極限中的應用，以下為常用函數的泰勒展開式。由上面幾個例題可以看出泰勒公式可以在我們求極限的過程中為我們帶來許多方便使許多復雜的極限問題簡單化，當然泰勒公式的妙用還有很多，由于所學有限，就

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