24.4解直角三角形第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生掌握仰角、俯角的意義，并學(xué)會正確地判斷；2．初步掌握將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的能力．教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】仰角、俯角的意義.【教學(xué)難點(diǎn)】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.課前準(zhǔn)備無教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入在實(shí)際生活中，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構(gòu)成了直角三角形．當(dāng)我們測量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．今天我們就學(xué)習(xí)和仰角、俯角有關(guān)的應(yīng)用性問題．二、合作探究探究點(diǎn)：利用仰(俯)角解決實(shí)際問題【類型一】利用仰角求高度星期天，身高均為1.6米的小紅、小濤來到一個(gè)公園，用他們所學(xué)的知識測算一座塔的高度．如圖，小紅站在A處測得她看塔頂C的仰角α為45°，小濤站在B處測得塔頂C的仰角β為30°，他們又測出A、B兩點(diǎn)的距離為41.5m，假設(shè)他們的眼睛離頭頂都是10cm，求塔高(結(jié)果保存根號)．解析：設(shè)塔高為xm，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PM的長，再利用eq\f(CP,PN)＝tan30°，求出x的值即可．解：設(shè)塔底面中心為O，塔高xm，MN∥AB與塔中軸線相交于點(diǎn)P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，那么eq\f(x－〔1.6－0.1〕,PM)＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x△CPN中，eq\f(CP,PN)＝tan30°，即eq\f(x,x－1.5＋41.5)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝eq\f(83\r(3)＋89,4).答：塔高為eq\f(83\r(3)＋89,4)m.方法總結(jié)：解決此類問題要了解角與角之間的關(guān)系，找到與和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形．當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形．【類型二】利用俯角求高度如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EG，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角α為60°，又從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角β為30°.假設(shè)旗桿底部G點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，求矮建筑物的高CD.解析：根據(jù)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，可判斷EG是△ABC的中位線，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF，繼而可求出CD的長度．解：過點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位線，∴AB＝2EG△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)△AFD中，∵AF＝BC＝10eq\r(3)m，∴FD＝AF·tanβ＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高為20m.方法總結(jié)：此題考查了利用俯角求高度，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解相關(guān)線段的長度．【類型三】利用俯角求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離如圖，為了測量河的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45°，測得河對岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上)，那么河的寬度AB約是多少m(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)?解析：在Rt△ACD中，根據(jù)條件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根據(jù)∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根據(jù)AB＝AC－BC，代值計(jì)算即可．解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(21,\f(\r(3),3))＝21eq\r(3)m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21eq\r(3)－21≈15.3(m)．那么河的寬度AB約是15.3m.方法總結(jié)：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，把實(shí)際問題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．【類型四】仰角和俯角的綜合某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，為了測量某建筑物AB的高，他們來到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C處觀察，測得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為45°.求建筑物AB的高(精確到1m，可供選用的數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．解析：過點(diǎn)C作AB的垂線CE，垂足為E，根據(jù)題意可得出四邊形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四邊形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×eq\f(\r(3),3)＝4eq\r(3)(m)，∴AB＝4eq\r(3)＋12≈19(m)．答：建筑物AB的高為19m.方法總結(jié)：此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用中仰角、俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計(jì)1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到達(dá)兩點(diǎn)之間的距離；4．仰角和俯角的綜合．四、教學(xué)反思備課時(shí)盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)過程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)．上課前多揣摩，讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺的主角．使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反響工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率.3．乘、除混合運(yùn)算1．能熟練地運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法那么進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算；(重點(diǎn))2．能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算律簡化運(yùn)算；(難點(diǎn))3．能利用有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除四那么運(yùn)算，其運(yùn)算順序是先算________，再算________，如果有括號，先算__________里面的．2．觀察式子3×(2＋1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,2)))，里面有哪幾種運(yùn)算，應(yīng)該按什么運(yùn)算順序來計(jì)算？二、合作探究探究點(diǎn)一：有理數(shù)乘、除混合運(yùn)算計(jì)算：(1)－2.5÷eq\f(5,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,14)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,2))).解析：(1)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，同時(shí)把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法那么進(jìn)行計(jì)算即可．(2)首先把乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一成乘法，再確定積的符號，然后把絕對值相乘，進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)原式＝－eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×eq\f(1,4)＝1；(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(4,7)×))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)×\f(3,2)))＝－4.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算方法，先統(tǒng)一成乘法，再計(jì)算．探究點(diǎn)二：有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算及乘法的運(yùn)算律【類型一】有理數(shù)加、減、乘、除混合運(yùn)算計(jì)算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))×(－6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,6)－1\f(1,3)＋1\f(1,4)))×(－12)．解析：(1)先計(jì)算括號內(nèi)的，再按“先乘除，后加減〞的順序進(jìn)行；(2)可考慮利用乘法的分配律進(jìn)行簡便計(jì)算．解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))×(－6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＝eq\f(5,3)×(－6)－eq\f(1,2)÷eq\f(4,3)＝(－10)－eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝－10－eq\f(3,8)＝－10eq\f(3,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,6)－1\f(1,3)＋1\f(1,4)))×(－12)＝eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(－3－\f(1,6)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)＋1＋\f(1,4)))×(－12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3－\f(1,4)))×(－12)＝－3×(－12)－eq\f(1,4)×12＝3×12－eq\f(1,4)×12＝36－3＝33.方法總結(jié)：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先觀察算式的特點(diǎn)，假設(shè)能應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡化運(yùn)算，就先簡化運(yùn)算．【類型二】有理數(shù)乘法的運(yùn)算律計(jì)算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋\f(3,8)))×(－24)；(2)(－7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))×eq\f(5,14).解析：第(1)題括號外面的因數(shù)－24是括號內(nèi)每個(gè)分?jǐn)?shù)的倍數(shù)，相乘可以約去分母，使運(yùn)算簡便．利用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算．第(2)題－7可以與eq\f(5,14)的分母約分，因此可利用乘法的交換律把它們先結(jié)合運(yùn)算．解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋\f(3,8)))×(－24)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))×(－24)＋eq\f(3,8)×(－24)＝20＋(－9)＝11；(2)(－7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))×eq\f(5,14)＝(－7)×eq\f(5,14)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\f(10,3).方法總結(jié)：當(dāng)一道題按照常規(guī)運(yùn)算順序去運(yùn)算較復(fù)雜，而利用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序卻能使運(yùn)算變得簡單些，這時(shí)可用運(yùn)算律進(jìn)行簡化運(yùn)算．【類型三】有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用海拔高度每升高1000m，氣溫下降6℃.某人乘熱氣球旅行，在地面時(shí)測得溫度是8℃，當(dāng)熱氣球升空后，測得高空溫度是－1℃，熱氣球的高度為________m.解析：此類問題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題時(shí)要正確理解題意，列出式子求解，由題意可得