概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題1概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案第一章隨機(jī)事件及概率2概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P23習(xí)題1.3

試證證明：由概率的加法公式得任意的兩個(gè)事件A,B有故有3概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P23習(xí)題1.7

在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率。解：用x,y分別表示從(0,1)中取出的2個(gè)數(shù)，則樣本空間Ω為正方形：如圖所示，K為區(qū)域：K所以由幾何概率得:x+y=6/54概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解：設(shè)A={第一次取得紅球}，B={第二次取得紅球}P23習(xí)題1.9袋中有10個(gè)球，其中8個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下列事件的概率：(1)兩次都取紅球；(2)兩次中一次取得紅球，另一次取得白球；(3)至少一次取得白球；(4)第二次取得白球。5概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解(1)P(AB)=P(A)P(B|A)6概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解：設(shè)A={甲譯出密碼},B={乙譯出密碼},P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4則A,B,C相互獨(dú)立，且C={丙譯出密碼}.則此密碼被譯出的概率為P23習(xí)題1.10

甲、乙、丙三人獨(dú)立地翻譯一個(gè)密碼，他們譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，試求此密碼被譯出的概率。7概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P23習(xí)題1.11玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則購買下該箱玻璃杯,否則退回，求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率。8概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解

(1)設(shè)Ai＝{一箱玻璃杯中含有i個(gè)殘次品},i=0,1,2;B={從一箱玻璃杯中任取4只無殘次品},由題設(shè)可知P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.根據(jù)全概率公式得9概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P23習(xí)題1.12設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)試射校正，5支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8，而用未校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3，現(xiàn)假定從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶，求所用的槍是已校正過的概率。10概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解

設(shè)A＝{經(jīng)過校正的槍},C={射擊中靶},由題設(shè)可知P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.根據(jù)全概率公式得B＝{未經(jīng)校正的槍},11概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P23習(xí)題1.13對(duì)飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊,第1次射擊的命中率為0.4、第2次為0.5、第3次為0.7.飛機(jī)被擊中1次而墜落的概率為0.2,被擊中2次而墜落的概率為0.6,若被擊中3次飛機(jī)必墜落,求射擊3次使飛機(jī)墜落的概率.設(shè)B={飛機(jī)墜落}，Ai={飛機(jī)被擊中i次},i=1,2,3由全概率公式

則

B=A1B+A2B+A3B,解:依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)12概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案可求得:為求P(Ai),

將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:設(shè)

Hi={飛機(jī)被第i次射擊擊中},i=1,2,3P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.13概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案于是=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)墜落的概率為0.458.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)14概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P24習(xí)題1.14某人每次射擊的命中率為0.6，獨(dú)立射擊5次，求：（1）擊中3次的概率；（2）至少有1次未擊中的概率.

解:（1)(2)考慮至少有1次未擊中的對(duì)立事件，即每次都擊中，其概率為：故至少有1次未擊中的概率為15概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P24習(xí)題1.15某車間有12臺(tái)車床，由于工藝上的原因，時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺(tái)車床在任一時(shí)刻出故障的概率為0.3，且各臺(tái)車床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任一指定時(shí)刻有3臺(tái)以上車床發(fā)生故障的概率.解：設(shè)A={任一指定時(shí)刻有3臺(tái)以上車床發(fā)生故障},又因?yàn)閯tA={在任一指定時(shí)刻有少于3臺(tái)車床發(fā)生故障}16概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案有0臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為有1臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為有2臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為故17概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P24習(xí)題1.16若1人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備20臺(tái)，設(shè)各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率都是0.01，維修用不了多長(zhǎng)時(shí)間，求設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若3人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)呢？18概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解:(1)設(shè)A={設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理},則A={在任一時(shí)刻至多有1臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障}故19概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解:(2)設(shè)A={設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理},則A={在任一時(shí)刻至多有3臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障}故20概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案第二章隨機(jī)變量及其分布21概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P43習(xí)題2.3一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的概率為1/2。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，求X的概率分布與E[1/(1+X)]。22概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解:X的取值為0,1,2,3P{X=0}=1/2X的概率分布為X0123P1/21/41/81/8(2)E[1/(X+1)]=1×1/2+1/2×1/4+1/3×1/8+1/4×1/8=67/96P{X=1}=1/2×1/2=1/4P{X=2}=1/2×1/2×1/2=1/8P{X=3}=1/2×1/2×1/2=1/823概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P44習(xí)題2.8設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A;(2)P{0.3<X<0.7};(3)X的概率密度f(x)解:(1)F(x)在x=1點(diǎn)連續(xù),由右連續(xù)性得:即:所以,A=1(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4P{X=1}=F(1)－F(1－0)=1－A=024概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案0，x<02x，0≤x<10，1≤x即:25概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P44習(xí)題2.12設(shè)r.vX~U(2,5).現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率。解:由題意得:記A={X>3},則P(A)=P{X>3}=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)26概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案所求為P{Y=2}+P{Y=3}=20/27設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)P{Y≥2}=27概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.P44習(xí)題2.17

設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1；在事件{-1<X<1}出現(xiàn)的條件下，

X在(-1,1)試求:(2)

X取負(fù)值的概率P

(1)X的分布函數(shù)F(x)

解(1)(2)28概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案F(x)的三性質(zhì)都不滿足單調(diào)減右不連續(xù)未定義①②③29概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案分布函數(shù)F(x)三性質(zhì)①F(x)的單調(diào)不減②③右連續(xù)30概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解由題設(shè)知設(shè)于是(1)當(dāng)當(dāng)當(dāng)上式中令

得還可另法求

k推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.31概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案又于是當(dāng)時(shí)，32概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案(2)33概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案由題設(shè)

得[附]

k的另一求法34概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P45習(xí)題2.18

設(shè)X~B(2,0.3),求下列隨機(jī)變量的分布律1、Y1=X22、Y2=X2-2X3、Y3=3X-X2解：X的概率分布為P{X=k}=0.3k0.72-k

k=0,1,2

列表如下：35概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案則有Y1，Y2，Y3的分布律分別為36概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P45習(xí)題2.19

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度函數(shù)。解：先求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y

y}=P{X2

y}當(dāng)y<0時(shí)，{Yy}為不可能事件，此時(shí)FY(y)=0.當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X2y}=37概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案所以Y的概率密度函數(shù)為當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X2y}=38概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案第三章多維隨機(jī)變量及其分布39概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P72習(xí)題3.2

將一枚均勻的硬幣拋擲4次,X表示正面向上的次數(shù),Y表示反面朝上次數(shù),求(X,Y)的概率分布.解:X的所有可能取值為0,1,2,3,4,Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,因?yàn)閄+Y=4,所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對(duì)為:40概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案XY0413223140P{X=0,Y=4}=P{X=2,Y=2}==1/4=6/16P{X=3,Y=1}==1/4P{X=4,Y=0}=0.54=1/16P{X=1,Y=3}=0.54=1/1641概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案X01234Y01234聯(lián)合概率分布表為:00001/16

0001/40006/1600

01/40001/16000042概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.8

已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布X1-101P

1/41/21/4X2

01P

1/21/2而且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的聯(lián)合分布；(2)問X1和X2是否獨(dú)立？為什么？43概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案Pi.

1/41/21/4P.j

1/21/2解(1)因?yàn)镻{X1X2=0}=1，所以P{X1X2≠0}=0，即P{X1=-1，X2=1}=0，P{X1=1，X2=1}=0，0X1-101X2

010聯(lián)合概率分布表如右圖P{X1=0，X2=1}=1/2，P{X1=0，X2=0}=0，1/2P{X1=-1，X2=0}=1/4，0P{X1=1，X2=0}=1/4，1/41/4144概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案(2)X1和X2不獨(dú)立。因?yàn)樗訮{X1=0}=1/2，P{X1=0，X2=1}=1/2P{X2=1}=1/2，P{X1=0，X2=1}≠P{X1=0}P{X2=1}=1/4Pi.

1/41/21/4P.j

1/21/20X1-101X2

0101/201/41/4145概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.10

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為⑴求隨機(jī)變量X的密度函數(shù)；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)

當(dāng)x≤0時(shí),fX(x)=0;所以,y=x當(dāng)x>0時(shí),46概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.10

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為⑴求隨機(jī)變量X的密度函數(shù)；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(2)y=xx+y=11/247概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.13

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=X2+Y2的概率密度。48概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解49概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.16

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求：(1)P(X<Y);(2)邊緣概率密度；50概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解(1)51概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解(2)同理可得52概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解(3)因?yàn)樗?3概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案注：習(xí)題3.16可以推廣到如下一般形式設(shè)X、Y為相互獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量,證明:證:設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),概率密度為f(x).由題設(shè),可設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y),概率密度為f(y),則則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為:f(x,y)=f(x)f(y).故54概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案55概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P74習(xí)題3.17

設(shè)X和Y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知X的分布律為P{X=i}=1/3,i=1,2,3.又設(shè)試寫出變量的分布律及邊緣分布并求56概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案Pi.

1/91/35/9P.j

5/91/31/9解因?yàn)?聯(lián)合概率分布表如下圖1/92/91/91001/92/92/9ξ123η

123所以i=1,2,3.其他同理可得，具體略57概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P74習(xí)題3.18

設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為求而Y的概率密度為58概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解因?yàn)樗运訶的概率密度為則59概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P73習(xí)題3.20

假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布。解：三個(gè)元件都無故障工作時(shí)間分別為X,Y,Z,則

T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都為60概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案則

故T服從參數(shù)為3λ>0的指數(shù)分布,即概率密度為61概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征62概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案解：P89習(xí)題4.1

甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(場(chǎng))63概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案求解P90習(xí)題4.6

已知X的密度函數(shù)為則64概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P91習(xí)題4.12

設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且解：求65概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案P91習(xí)題4.14

設(shè)在國際市場(chǎng)上每年對(duì)我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(噸)，它在[200