學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時達標訓練(十）等比數列［即時達標對點練]題組1等比數列的判定與證明1．數列a，a，a,…，a，…（a∈R)必為（)A．等差數列但不是等比數列B．等比數列但不是等差數列C．既是等差數列，又是等比數列D．等差數列解析：選Da＝0時為等差數列，a≠0時既是等比數列也是等差數列．2．已知數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（an))的前n項和為Sn，Sn＝eq\f(1,3)（an－1)（n∈N*)．（1)求a1,a2；（2)求證：數列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(an））是等比數列．解：(1)由S1＝eq\f（1，3）(a1－1)，得a1＝eq\f（1,3）(a1－1)．∴a1＝－eq\f（1，2)。又S2＝eq\f（1，3)(a2－1），即a1＋a2＝eq\f(1，3)(a2－1)，得a2＝eq\f(1，4)。(2)證明：當n≥2時,an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1，3)(an－1)－eq\f（1,3）（an－1－1），得eq\f(an，an－1)＝－eq\f（1,2），又a1＝－eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(an))是首項為－eq\f（1，2)，公比為－eq\f(1，2)的等比數列．3．數列｛an｝的前n項和記為Sn，已知a1＝1,an＋1＝eq\f(n＋2,n）Sn(n＝1，2,3，…）．證明:(1)數列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(Sn,n）))是等比數列;(2）Sn＋1＝4an。證明:（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2，n）Sn,∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn)．整理，得nSn＋1＝2（n＋1）Sn，∴eq\f(Sn＋1，n＋1）＝2eq\f（Sn,n）.故eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(Sn，n)）)是以2為公比的等比數列．（2）由(1)知eq\f（Sn＋1,n＋1）＝4·eq\f（Sn－1，n－1)(n≥2)．于是Sn＋1＝4(n＋1）·eq\f(Sn－1，n－1)＝4an（n≥2），又∵a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4＝4a1因此對于任意正整數n≥1，都有Sn＋1＝4an.題組2等比數列的通項公式4．設a1＝2，數列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(1＋2an))是公比為2的等比數列，則a6等于（）A．31.5B．160C．79。5D．解析:選C1＋2an＝(1＋2a1）·2n－1∴1＋2a6＝5×25∴a6＝eq\f(5×32－1,2）＝79.5.5．已知等比數列｛an}，a4＝7，a6＝21,則a10等于（)A．35B．63C．21eq\r(3）D．189解析：選D∵a4＝a1q3，a6＝a1q5,∴q2＝eq\f(a6,a4）＝3.∴a10＝a1·q9＝a1·q5·q4＝a6·q4＝189。6．若等比數列{an｝滿足anan＋1＝16n，則公比為（）A．－4B．4C．8D．16解析:選B設等比數列的公比為q，則由anan＋1＝16n得，an－1·an＝16n－1，∴eq\f（an·an＋1，an－1·an）＝q2＝16,得q＝±4.而anan＋1＝16n＞0，∴q＝4。7．等比數列{an}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，則通項是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n－2解析：選A∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，①a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31.②由①－②得a6－a1＝31。而①可化為(a1＋a2＋a3＋a4＋a5）·q＝31·q＝62，∴q＝2。a1q5－a1＝a1(32－1）＝31，∴a1＝1。an＝a1qn－1＝2n－1。8．若數列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an))的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3,則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)）的通項公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2），兩式相減得an－an－1＝2an（n≥2)，∴an＝－an－1（n≥2），eq\f(an,an－1）＝－1(n≥2)．故eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(an))是公比為－1的等比數列,令n＝1得a1＝2a1－3∴a1＝3,故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1）n－1題組3等比中項及其應用9．若互不相等的實數a，b，c成等差數列，a是b，c的等比中項，且a＋3b＋c＝10，則a的值是(）A．1B．－1C．－3D．－4解析：選D由題意，得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc,，a＋3b＋c＝10，))解得a＝－4,b＝2，c＝8。10．如果－1,a，b，c，－9成等比數列,那么（）A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3,ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析：選B∵b2＝(－1）×（－9)＝9，且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a,c必同號．∴ac＝b2＝9.11．若實數1,x,y，4成等差數列，－2，a，b，c，－8成等比數列,則eq\f（y－x,b)＝________.解析:實數1,x，y,4成等差數列，則y－x＝eq\f(4－1，3）＝1；－2，a，b，c,－8成等比數列，則b2＝（－2）(－8）＝16。由－2,a，b成等比數列得a2＝（－2)b>0，∴b〈0，∴b＝－4。則eq\f（y－x，b）＝－eq\f（1，4）。答案：－eq\f(1，4）［能力提升綜合練］1．各項都是正數的等比數列｛an｝中，a2，eq\f(1,2）a3,a1成等差數列，則eq\f（a3＋a4，a4＋a5）的值為(）A.eq\f(\r(5）＋1，2） B.eq\f（\r（5)－1，2)C。eq\f（1－\r(5）,2) D.eq\f(\r(5）＋1，2）或eq\f(1－\r（5),2）解析：選B設｛an}的公比為q（q〉0，q≠1），根據題意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(\r(5）＋1，2）或q＝eq\f(1－\r（5)，2)（舍去)，則eq\f(a3＋a4，a4＋a5)＝eq\f(1,q）＝eq\f（\r(5)－1,2）。故選B.2．各項均為正數的等比數列｛an}中,a2－a1＝1.當a3取最小值時，數列{an｝的通項公式an＝________。解析：設等比數列的公比為q（q〉0)．由a2－a1＝1，得a1（q－1)＝1，q≠1，所以a1＝eq\f（1，q－1）。a3＝a1q2＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(1,－\f（1,q2）＋\f(1，q））（q>0)，而－eq\f（1,q2）＋eq\f（1,q)＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，q）－\f(1,2)))2＋eq\f（1，4)≤eq\f（1,4),當且僅當q＝2時取等號,所以當q＝2時，a3有最小值4.此時a1＝eq\f（1,q－1)＝eq\f(1，2－1)＝1,所以數列{an}的通項公式an＝2n－1。答案：2n－13．已知數列{an｝為等差數列，其前n項和為Sn,S2＝8，S4＝32,數列{bn}為等比數列,且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1,則｛bn｝的通項公式為bn＝________．解析:設公差為d,公比為q，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝8,,4a1＋6d＝32.)）∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1＝2，,d＝4。)）又∵b2（a2－a1）＝b1，∴q＝eq\f(b2,b1）＝eq\f（1，a2－a1）＝eq\f（1，d）＝eq\f(1，4)?！郻n＝2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,4))）eq\s\up12（n－1).答案：2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，4)）)eq\s\up12（n－1)4．在7和56之間插入a,b兩數，使7,a，b，56成等差數列，插入c,d兩數，使7,c，d，56成等比數列，則a＋b＋c＋d＝________．解析：∵7，a，b,56成等差數列，∴a＋b＝7＋56＝63?！?，c,d，56成等比數列,∴公比q3＝eq\f（56，7）＝8.∴q＝2.∴c＝14，d＝28.∴c＋d＝42?！郺＋b＋c＋d＝105.答案：1055．設eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（an)）是各項均為正數的等比數列，bn＝log2an,若b1＋b2＋b3＝3,b1b2b3＝－3,求數列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（an)）的通項公式．解：設等比數列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an)）的公比為q(q＞0),則an＝2bn，∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log2eq\f(an,an－1)＝log2q,∴eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（bn）)為等差數列，且d＝log2q。而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋b2＋b3＝3b2＝3（b1＋d)＝3，，b1·b2·b3＝b1（b1＋d)（b1＋2d）＝－3，))?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（b1＝－1，,d＝2))或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(b1＝3,,d＝－2。）)∴bn＝2n－3或5－2n.∴an＝22n－3或an＝25－2n。6．已知數列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（an）)中，a1＝1，an＋1＝eq\f(5，2)－eq\f（1,an）,bn＝eq\f（1，an－2),求數列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(bn))的通項公式．解:an＋1－2＝eq\f(5，2)－eq\f（1，an)－2＝eq\f(an－2,2an），eq\f(1，an＋1－2）＝eq\f(2an，an－2)＝eq\f(4，an－