汽車振動(dòng)學(xué)第十四講2009年10月23日汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!汽車振動(dòng)學(xué)2009年8月第五章隨機(jī)振動(dòng)概述（2學(xué)時(shí)）汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!一、隨機(jī)過程1、總體平均與平穩(wěn)隨機(jī)過程2、時(shí)間平均與各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程二、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性1、時(shí)域（幅值域）特征－－平均值、均方差和方差2、相關(guān)域特征－－相關(guān)函數(shù)3、頻率域特征－－功率譜密度4、幾種典型的隨機(jī)過程5、隨機(jī)過程的概率描述三、線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)1、激勵(lì)與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系2、單自由度線性系統(tǒng)對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)3、隨機(jī)過程的聯(lián)合性質(zhì)＊4、多自由度系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)＊第五章隨機(jī)振動(dòng)概述汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!一、隨機(jī)過程1、總體平均與平穩(wěn)隨機(jī)過程2、時(shí)間平均與各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!隨機(jī)振動(dòng)：由隨機(jī)激勵(lì)激起的機(jī)械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)。樣本函數(shù)：重復(fù)的試驗(yàn)記錄隨機(jī)過程：所有樣本函數(shù)的集合隨機(jī)變量：在任意時(shí)刻各個(gè)樣本函數(shù)的取值發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)受到的激勵(lì)與其響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性之間的聯(lián)系，正是“統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)”的重大突破，也是分析系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)與行為的基礎(chǔ)。這里所謂的“統(tǒng)計(jì)性規(guī)律”是指激勵(lì)或響應(yīng)的某些“平均數(shù)”，如均值、自相關(guān)函數(shù)等。它是隨機(jī)激勵(lì)與響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型它是隨機(jī)過程在某時(shí)刻的狀態(tài)一、隨機(jī)過程汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!（2）平穩(wěn)隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程的一、二階平均值均與時(shí)刻無關(guān)，則稱為（弱）平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值是常數(shù)，記為，而自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間的函數(shù)，記為。一隨機(jī)過程的總體均值和自相關(guān)函數(shù)一般與時(shí)刻有關(guān)，這表明此過程的統(tǒng)計(jì)特性是隨時(shí)間變化的，這種過程稱為“非平穩(wěn)的”。2、時(shí)間平均與各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程（1）時(shí)間平均是就某一樣本函數(shù)在時(shí)間上的取值的平均值。①時(shí)間均值②時(shí)間自相關(guān)函數(shù)汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性具有十分重要的工程實(shí)際意義。它可以用少量的樣本函數(shù)估計(jì)整個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。研究一個(gè)樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性就可以掌握其全部樣本的統(tǒng)計(jì)特性，而避免采集大量樣本和計(jì)算總體平均的麻煩，從而使得對(duì)隨機(jī)過程的記錄、分析工作大為簡(jiǎn)化。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!1、時(shí)域（幅值域）特性－－平均值、方差和均方值（1）均值（一次矩）對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過程對(duì)于離散隨機(jī)過程（2）方差（二次中心矩）和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過程對(duì)于離散隨機(jī)過程方差的平方根值——標(biāo)準(zhǔn)差。它說明了隨機(jī)過程信號(hào)的平均位置，反映了信號(hào)的靜態(tài)分量。它描述了信號(hào)在均值附近的波動(dòng)的程度，反映了信號(hào)的動(dòng)態(tài)部分。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!2、相關(guān)域特性－－相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過程在一個(gè)時(shí)刻和另一個(gè)時(shí)刻采樣值之間的相互依賴程度，即表征信號(hào)隨機(jī)變化的程度。（2）在時(shí)取最大值，且等于均方值，即（4）當(dāng)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：（1）是以時(shí)間差為變量的實(shí)值偶函數(shù)，即（3）自相關(guān)函數(shù)與均值、方差和均方值的關(guān)系（5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同周期的周期函數(shù)。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!4、幾種典型的隨機(jī)過程（1）單一頻率成分的隨機(jī)過程樣本函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度函數(shù)各樣本函數(shù)是頻率相同而初相（隨機(jī)變量）不同的諧波。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!樣本函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度函數(shù)（4）白噪聲由上可知，從單一頻率過程到窄帶過程，再到寬帶過程，是沿著信號(hào)的不確定性上升、前后相關(guān)性下降、以及頻率分布范圍變寬的趨勢(shì)發(fā)展的。當(dāng)這一趨勢(shì)推向極端時(shí)，就得到一種理想化的隨機(jī)過程——白噪聲。其樣本函數(shù)具有最大的隨機(jī)性、不確定性，前后信號(hào)之間的相關(guān)性為零。這表明信號(hào)中均等地包含各種頻率成分，就像含有各種波長(zhǎng)的白光一樣，故稱白噪聲汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!（2）時(shí)間概率：是對(duì)隨機(jī)過程的某一樣本的時(shí)間定義的。即概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反之有而落在與之間的概率為設(shè)某隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)，如圖所示，其時(shí)間概率分布函數(shù)定義為式中是樣本函數(shù)滿足條件的諸時(shí)間段的累加長(zhǎng)度。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!（3）隨機(jī)過程時(shí)域統(tǒng)計(jì)特性與概率密度函數(shù)的關(guān)系汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!三、線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)1、激勵(lì)與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系2、單自由度系統(tǒng)對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)3、多自由度系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)＊4、隨機(jī)響應(yīng)的模態(tài)分析法*汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!我們知道，線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)可以通過杜哈梅積分給出：即因?yàn)榧?lì)為平穩(wěn)的隨機(jī)過程，所以響應(yīng)也是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算如下：（1）響應(yīng)的均值汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!（3）響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!均方值積分公式汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!（7）激勵(lì)與響應(yīng)的譜相干函數(shù)對(duì)于線性系統(tǒng)即線性系統(tǒng)的譜相干函數(shù)為1，但實(shí)際測(cè)量得到的譜相干函數(shù)小于1，主要是由于非線性因素和測(cè)試信號(hào)中的噪聲引起的。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!如果路面不平度的激勵(lì)譜密度函數(shù)為，求車身振動(dòng)響應(yīng)的譜密度和均方值2、單自由度系統(tǒng)對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)例題5-1（教材例題8.4）汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!確定性激勵(lì)（deterministicexcitation）：諧波激勵(lì)、周期激勵(lì)、非周期激勵(lì)不確定性激勵(lì)（nondeterministicexcitation）或隨機(jī)激勵(lì)(randomexcitation)不再企求描述激勵(lì)隨時(shí)間的變化規(guī)律，而是退而求其次，即只要求掌握激勵(lì)的某些“統(tǒng)計(jì)性規(guī)律”，同時(shí)也不去追求獲得響應(yīng)的時(shí)間歷程，而是滿足于對(duì)響應(yīng)的“統(tǒng)計(jì)性規(guī)律”的掌握與運(yùn)用。變化規(guī)律是不確定的，即無法用一種確定的時(shí)間與空間坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系來完整描述其數(shù)值?？梢酝普?，在確定一個(gè)系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)時(shí)，不可能期望對(duì)響應(yīng)的了解比對(duì)激勵(lì)的描述更加詳盡。由此可見，確定一個(gè)系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)時(shí)，目標(biāo)是建立系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性與激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!1、總體平均與平穩(wěn)隨機(jī)過程（1）總體平均是在各樣本函數(shù)之間進(jìn)行的，即是各樣本函數(shù)在某時(shí)刻的取值的平均值。①總體均值（一階平均）②自相關(guān)函數(shù)（二階平均）隨機(jī)過程的某一個(gè)樣本函數(shù)只是一次偶然的實(shí)現(xiàn)，它并不足以代表這一過程的特性和本質(zhì)。為了揭示其特性和本質(zhì)，必須從所有的樣本函數(shù)的總體出發(fā)，計(jì)算其某些平均量?？傮w均值一般是時(shí)刻的函數(shù)。一般而言，總體自相關(guān)函數(shù)依賴所選定的起始時(shí)刻與時(shí)移它反映了和時(shí)刻兩個(gè)隨機(jī)變量之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!時(shí)間均值與時(shí)間自相關(guān)函數(shù)一般會(huì)隨樣本函數(shù)而異，即是樣本編號(hào)k的函數(shù)。由于某一個(gè)樣本函數(shù)并不足以反映一個(gè)隨機(jī)過程的全貌，故基于某一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均一般也不能代表整個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。但是在所謂的“各態(tài)歷經(jīng)”假設(shè)下，卻可以用一個(gè)樣本函數(shù)來有效地代表整個(gè)隨機(jī)過程的特性。（2）各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程滿足此條件的過程則稱為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。客觀上存在某些隨機(jī)過程，其樣本在空間上分布的統(tǒng)計(jì)特性與其中任一樣本在時(shí)間上發(fā)展的統(tǒng)計(jì)特性之間，有著深刻的相似之處。對(duì)于這類過程來說，可以認(rèn)為其總體平均與時(shí)間平均相等，即也就是說，過程各態(tài)歷經(jīng)，必須有：總體平均與時(shí)間無關(guān)（過程是平穩(wěn)的），且時(shí)間平均與k無關(guān)（各樣本時(shí)間平均相同）。由此可見，各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)的，反之則不然，即平穩(wěn)過程未必是各態(tài)歷經(jīng)的。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!二、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性1、時(shí)域（幅值域）特性－－平均值、方差和均方值2、相關(guān)域特性－－相關(guān)函數(shù)3、頻率域特性－－功率譜密度4、幾種典型的隨機(jī)過程5、隨機(jī)過程的概率描述＊汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!均方根值：均方值的平方根值，又稱有效值。（3）均方值和均方根值（二次矩和有效值）對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過程對(duì)于離散隨機(jī)過程（4）均值、方差和均方值的關(guān)系它反映了隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的總的平均能量水平，即信號(hào)的強(qiáng)度。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!3、頻率域特性－－功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)（powerspectraldensityfunction）為其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，即其逆變換為當(dāng)時(shí)，則可見，功率譜密度函數(shù)表示隨機(jī)過程的均方值（總能量）在頻率域內(nèi)的分布情況，表示能量在各圓頻率上的分布密度。雙邊功率譜由于實(shí)際工程上，頻率非負(fù)，所以只在非負(fù)頻率內(nèi)定義功率譜，稱為單功率譜。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!樣本函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度函數(shù)樣本函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度函數(shù)（2）窄帶隨機(jī)過程（3）寬帶隨機(jī)過程汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!5、隨機(jī)過程的概率描述＊（1）總體概率：是對(duì)隨機(jī)過程的各個(gè)樣本的總體定義的。設(shè)在全部個(gè)樣本函數(shù)中，在時(shí)刻的取值小于的如有個(gè)，則概率分布函數(shù)定義為其中，概率密度函數(shù)為汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!其概率密度函數(shù)如果過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則總體概率函數(shù)與時(shí)間概率函數(shù)相同，即則對(duì)任意樣本計(jì)算出的概率分布函數(shù)都相等。汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!（4）三種隨機(jī)過程的概率函數(shù)寬帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程正弦隨機(jī)過程汽車振動(dòng)學(xué)—隨機(jī)振動(dòng)共35頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!1、激勵(lì)與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系假定已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)）與激勵(lì)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（主要是激勵(lì)的均值、自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)），求響應(yīng)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（主要是振動(dòng)響應(yīng)的均值、自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)），而不是具體計(jì)算系統(tǒng)對(duì)于各個(gè)激勵(lì)樣本的響應(yīng)。如圖所示，對(duì)于隨機(jī)輸入和輸出，線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系同樣適用。也就是說，仍然可以利用脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)來描述系統(tǒng)的特性。但是，由于通常用統(tǒng)計(jì)性規(guī)律來描述隨機(jī)過程，所以為了求解線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)的隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)特性，首先要建立線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性與輸入的統(tǒng)計(jì)特性以及系統(tǒng)的傳遞特性三者之間的關(guān)系。汽車