Zhanglizhuo-第一章線Zhanglizhuo-引言在實際問題中，常常需要求一些未知的量，用字母x1x2,…表示它們，根據(jù)問題中的等量關(guān)系，列出方程組。最基本、最常見的一類方程組是未知量為x1,x2,…

a1nxn x x xb

asnxn,x2,…,，，(i=1,…,s,j=1,…,，(s=n,s>n,Zhanglizhuo-對于方程組(1)，如果未知量x1,…,xn分別用數(shù)c1,…,cn數(shù)組(c1,…,cn)是線性方程組(1)的一個解，線性方程組Zhanglizhuo-線性方程組是否一定有解？有解時Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-第一章線Zhanglizhuo-§1.1高斯-§1.3Zhanglizhuo-一、用消元法解線性方 x13x2x32x44 3x14x 2x3 3 5 4

6 11, x17x2x36x45 【解】分別消去第2、3、4方程中的未知量Zhanglizhuo-方程組簡

消去第2、3、4方程中的2個未知量方程所得方(3)所得方Zhanglizhuo-方程組簡 x x 17

消去第4方程中的未知量Zhanglizhuo-方程組簡

③ 17 ③ 由方程④可知，未知量x4=1，代入方程③,②,可相繼x3=2,x2=-1,Zhanglizhuo-從上例求解過程可以看出,對方程組作了以下三種變換10把一個方程的倍數(shù)加到另一個ijij20互換兩個方程的位jiji30用一個非零數(shù)乘某一個方程ii上述三種變換稱為線性方程組的初等變換Zhanglizhuo-不難看出，方程組的初等變換是可逆的jijiiiii

ijik-ijijij(-jij【注】經(jīng)初等變換化成的階梯形方程組與原方程組同Zhanglizhuo-二、利用矩陣求解線性方 436 36 112 52【注】線性方程組可用這張表表Zhanglizhuo-j列交叉位置的元素稱為(i,j)元?？梢杂涀鰽sm，它的(i,j)元記作A(i;j)。Zhanglizhuo- x13x2x32x4413 4 2 3 61 5 4 11, x17x2x36x45【解 線性方程組的增廣矩陣 A

466112 2

5Zhanglizhuo-第一步：(1)方程①(-3)②，(依上至下)方程①(-矩陣

A

46, 0 0

15Zhanglizhuo-矩陣

A

4, 0 0

Zhanglizhuo-第三步：(1)方程③2④，(依上至下)矩陣化 000001000A【注】該矩陣呈階梯

4,11Zhanglizhuo-(3)矩陣的第4行(-2)第1矩陣化 2 A00

6 11Zhanglizhuo-依下至上，(1)矩陣的第3行矩陣 0 A00

, 21 1Zhanglizhuo-依下至上，(1)矩陣的第2行(-3)第1矩陣化

A

3, 2010 010

x1x2最后這個矩陣表示的方程組為 x4從而得到原線性方程組的解為(3,-1,2,1)【注】階梯形方程組的非零行數(shù)目r=4=n(未知量的個數(shù))Zhanglizhuo-上述求解過程,對方程組的增廣矩陣作了以下三種變ijijjijiii上述三種變換稱為矩陣的初等行變換經(jīng)初等行變換所得到的矩陣(*)稱為行階梯形矩陣Zhanglizhuo-行階梯形矩陣的特元素全為0的行(稱為零行)在下 2A00

,6,11【注】主元分布在不同列Zhanglizhuo-在上例的求解過程中，對行階梯形矩陣繼續(xù)施以行變換，最終所得矩陣(見下)，稱為簡化行階梯形矩陣它的特

A

3,每個非零行的主元都是；

201 01每個主元所在列的其他元素都是0【注】可以證明，任何一矩陣都可以經(jīng)一系列初變換化為行階梯形矩陣，進而化為簡化行階梯形矩Zhanglizhuo-Zhanglizhuo- 2x1x2x3x4

4x6x2x 【解 方程組的增廣矩陣A，對其施以初等行變換將其化為行階梯形矩陣

2

4 A

4

3 3

4

Zhanglizhuo- 12 12A

3 3 33 后一矩陣稱為行階梯形矩陣，繼續(xù)對其施以初等行變將其化為簡化行階梯形矩陣0001 0001 A 0 0

400000013300Zhanglizhuo-去掉零行，簡化行階梯形矩陣所對應(yīng)的

可知，x3每取一值c3，可以求得x1x3組有無窮多個解： x

x1x2x4稱為主變量 該表達式稱為方程組的一般解，x3稱為自由未知量【注】階梯形矩陣非零行數(shù)目r=3<4=n(未知量的個數(shù))Zhanglizhuo- 33006A22

688Zhanglizhuo-由最后的階梯形矩陣，可