債券的風(fēng)險(xiǎn)分析一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型二、債券的信用風(fēng)險(xiǎn)三、債券的利率風(fēng)險(xiǎn)債券的風(fēng)險(xiǎn)分析1一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型（一）市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)（marketrisk）或利率風(fēng)險(xiǎn)（interestrisk）由市場(chǎng)利率變動(dòng)造成投資收益變化的風(fēng)險(xiǎn)被稱為利率風(fēng)險(xiǎn)或市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和再投資風(fēng)險(xiǎn)。由市場(chǎng)利率變動(dòng)帶來(lái)的債券價(jià)格波動(dòng)被稱為價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)固定收益證券的價(jià)格與市場(chǎng)利率呈反向變動(dòng)。

利率風(fēng)險(xiǎn)用價(jià)格變動(dòng)百分比（ApproximatePercentagePriceChange）來(lái)表示，是指當(dāng)市場(chǎng)利率變動(dòng)1%時(shí)，債券價(jià)格變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)。對(duì)于計(jì)劃持有固定收益證券到期的投資而言，不必關(guān)心到期之前債券的價(jià)格變化；對(duì)于到期日之前可能不得不出售債券的投資者而言，利率上升意味著債券價(jià)格下跌，帶來(lái)資本利得的損失。2一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型21、債券期限與利率風(fēng)險(xiǎn)

假設(shè)所有其它因素相同，債券價(jià)格對(duì)利率的敏感性將與債券的期限呈正比。

如果息票利率為5%的20年期的平價(jià)債券，如果市場(chǎng)利率上漲為6%，則其價(jià)格將下降為88.4426元，下降11.5574%；

如果息票利率為5%的平價(jià)債券的期限僅為10年，而不是20年時(shí)，其價(jià)格僅下降為92.5613元，下降幅度為7.4387%，31、債券期限與利率風(fēng)險(xiǎn)32、息票利率與利率風(fēng)險(xiǎn)

債券價(jià)格還與債券的息票利率呈反比關(guān)系，即息票利率越高，價(jià)格對(duì)利率的敏感性越??；息票利率越低，價(jià)格對(duì)利率的敏感性越大。

例如一面值為1000元、10年期、息票利率為8%、半年付息一次，到期收益率為8%的平價(jià)債券，其當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為1000元。假如市場(chǎng)要求收益率從8％下降到6％和4％，或者上漲到10％、12％，則其價(jià)格相應(yīng)如下表：42、息票利率與利率風(fēng)險(xiǎn)43、嵌入期權(quán)與利率風(fēng)險(xiǎn)

債券中可能含有各式各樣的期權(quán)，這些期權(quán)本身是對(duì)發(fā)行人或債券持有人有價(jià)值的。期權(quán)的價(jià)值也必須在債券的價(jià)格中得到體現(xiàn)。

不同的期權(quán)對(duì)利率的敏感性不同，比如贖回權(quán)的價(jià)值隨利率下降而升值、隨利率的上漲而貶值。相對(duì)于同條件的無(wú)期權(quán)債券，有贖回權(quán)的債券在利率下跌時(shí)，其漲價(jià)的幅度以及利率上漲時(shí)其跌價(jià)的幅度都要小一些。

其它期權(quán)，如轉(zhuǎn)換權(quán)或交換權(quán)，對(duì)利率的敏感性可能小于贖回權(quán)，但利率仍然會(huì)影響債券的價(jià)格。53、嵌入期權(quán)與利率風(fēng)險(xiǎn)54、收益率曲線與利率風(fēng)險(xiǎn)

有些債券在發(fā)行時(shí)，收益率曲線處于較高的位置，而有的債券在發(fā)行或交易時(shí)，市場(chǎng)收益率曲線處于較低的位置。債券價(jià)格的敏感性是：當(dāng)收益率曲線較高時(shí)，債券的價(jià)格敏感性?。欢找媛是€較低的債券價(jià)格敏感性較大。10年期息票利率為6%的債券，當(dāng)收益率為10%時(shí)，其市場(chǎng)價(jià)格為75.0756元，如果市場(chǎng)收益率下跌為9%，其新的價(jià)格為80.4881元，相對(duì)升幅為7.2094%；如果市場(chǎng)收益率再降為8%，則新的價(jià)格為86.4097元，這次1%的利率下跌，價(jià)格的相對(duì)升幅變?yōu)椋?.3571%。64、收益率曲線與利率風(fēng)險(xiǎn)6（二）再投資風(fēng)險(xiǎn)（reinvestmentrisk）

從債券投資中收到的現(xiàn)金流通常被用來(lái)再投資；

從投資中獲得的收入被稱為利息的利息，其多少依賴于再投資時(shí)的利率水平和再投資策略；

按照既定策略進(jìn)行投資時(shí)，由市場(chǎng)利率變動(dòng)導(dǎo)致收益率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)被稱為再投資風(fēng)險(xiǎn)。零息債券可避免再投資風(fēng)險(xiǎn)。

再投資風(fēng)險(xiǎn)是其中現(xiàn)金流再投資時(shí)利率下降的風(fēng)險(xiǎn)。再投資風(fēng)險(xiǎn)與價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)恰好相反，可以基于此設(shè)計(jì)免疫策略。7（二）再投資風(fēng)險(xiǎn)（reinvestmentrisk）7（三）時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)（timingrisk）或

提前贖回風(fēng)險(xiǎn)（callrisk）

提前贖回風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)在：

1、可贖回債券的現(xiàn)金流模式是不確定的；2、當(dāng)利率下降，發(fā)行人提前贖回債券時(shí)，投資者會(huì)暴露

在再投資風(fēng)險(xiǎn)之下；3、債券的升值潛力將減小，可贖回債券的價(jià)格不可能高

于債券的贖回價(jià)格。

另一種時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)：提前償還風(fēng)險(xiǎn)（prepaymentrisk），原理一致。

8（三）時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)（timingrisk）或8（四）信用風(fēng)險(xiǎn)（creditrisk）或

違約風(fēng)險(xiǎn)（defaultrisk）

固定收益證券發(fā)行人可能違約的風(fēng)險(xiǎn)，即發(fā)行人不能及時(shí)償還本金和利息。

信用風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)專業(yè)評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)，例如穆迪、標(biāo)準(zhǔn)普爾和惠譽(yù)等，對(duì)證券質(zhì)量的評(píng)級(jí)來(lái)衡量。

9（四）信用風(fēng)險(xiǎn)（creditrisk）或9（五）收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)（yield-curverisk）或

到期日風(fēng)險(xiǎn)（maturityrisk）

收益率曲線是指在某一時(shí)點(diǎn)上不同期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券（如美國(guó)政府債券）的收益率。由于其它債券都將以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券收益率為基礎(chǔ)進(jìn)行交易，所以不同時(shí)點(diǎn)上的收益曲線可以用于估計(jì)當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)要求收益。在很多情況下，某個(gè)特定到期日的債券會(huì)被另一種到期日不同的債券所替代，此時(shí)要針對(duì)兩種債券的不同利率風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行某種調(diào)整。

根據(jù)假定的利率期限結(jié)構(gòu)對(duì)不同到期日債券進(jìn)行換算時(shí)，實(shí)際收益率變動(dòng)對(duì)假定情況的偏離會(huì)導(dǎo)致收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)或到期日風(fēng)險(xiǎn)。

10（五）收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)（yield-curverisk）或1（六）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)（inflationrisk）或

購(gòu)買(mǎi)力風(fēng)險(xiǎn)（purchasingrisk）

通貨膨脹是指由通脹引起的證券現(xiàn)金流按購(gòu)買(mǎi)力衡量的價(jià)值變化。

除了通脹調(diào)整證券、可調(diào)整利率或浮動(dòng)利率債券外，其他證券都使得投資者暴露在通脹風(fēng)險(xiǎn)之下，因?yàn)榘l(fā)行人承諾的利率在存續(xù)期內(nèi)是固定的。11（六）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)（inflationrisk）或11（七）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)（liquidityrisk）

流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)：變現(xiàn)能力風(fēng)險(xiǎn)。持有到期，不需要考慮。12（七）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)（liquidityrisk）12

違約風(fēng)險(xiǎn)（DefaultRisk）是債券債務(wù)人無(wú)法按期足額還清本息的可能性，傳統(tǒng)的信用風(fēng)險(xiǎn)指的就是這一含義。

在債券違約時(shí)，根據(jù)清算的結(jié)果，可能還有一部分損失能夠獲得補(bǔ)償，獲得補(bǔ)償?shù)谋壤Q為清償比例（RecoveryRate）

另一方面，違約可能給投資者帶來(lái)的損失占全部投資額的比例則稱為違約比例（DefaultRate）。

13違約風(fēng)險(xiǎn)（DefaultRisk）是債券債務(wù)

三、利率風(fēng)險(xiǎn)分析（一）利率期限結(jié)構(gòu)1、即期利率和遠(yuǎn)期利率即期利率（spotinterestrate）定義為從當(dāng)前開(kāi)始計(jì)算并持續(xù)n年期限的投資的到期收益率。這里所考慮的投資是中間沒(méi)有支付的，所以n年即期利率實(shí)際上就是指n年期零息票收益率（zero-couponyield）。

遠(yuǎn)期利率（forwardinterestrate）是由當(dāng)前即期利率隱含的將來(lái)某一期限的收益率。三、利率風(fēng)險(xiǎn)分析14

15

2、利率期限結(jié)構(gòu)與收益率曲線對(duì)于信用品質(zhì)相同的債券，到期收益率隨到期日的不同而不同，兩者之間的關(guān)系稱為利率期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRate）。

將利率的期限結(jié)構(gòu)用圖形來(lái)描述，就是收益率曲線（yieldcurve）。在實(shí)際當(dāng)中，收益率曲線是通過(guò)對(duì)國(guó)債的市場(chǎng)價(jià)格與收益的觀察來(lái)建立的，這一方面是因?yàn)閲?guó)債通常被認(rèn)為沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)，另一方面也因?yàn)閲?guó)債市場(chǎng)是流動(dòng)性最好的債券市場(chǎng)2、利率期限結(jié)構(gòu)與收益率曲線16

17

4、利率期限結(jié)構(gòu)理論（1）預(yù)期理論遠(yuǎn)期利率等于預(yù)期的未來(lái)短期利率

fn=E(rn)流動(dòng)性溢價(jià)＝0長(zhǎng)期收益率等于當(dāng)前和預(yù)期未來(lái)短期利率的均值按照這一理論，上例中3年期債券和2年期債券的到期收益率分別為10％和9％（對(duì)應(yīng)著3年遠(yuǎn)期利率12％）就意味著市場(chǎng)預(yù)期第3年的短期利率r3為12％，即f3=E(r3)。對(duì)于一條正向的收益率曲線，也就是y3＞y2＞y1，根據(jù)遠(yuǎn)期利率計(jì)算公式，并注意到y(tǒng)1=r1，有

4、利率期限結(jié)構(gòu)理論18

上式展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)，可得f2≈2y2-r1

由y2＞r1可得：f2＞r1

同樣的方法，可以得到f3＞f2根據(jù)預(yù)期理論，f2=E(r2)，f3=E(r3)，所以有：E(r3)＞E(r2)＞r1這就是說(shuō)，根據(jù)預(yù)期理論，一條正向的收益率曲線反映出市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將會(huì)上升。上式展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)，可得19

（2）流動(dòng)性偏好理論

該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等于市場(chǎng)整體對(duì)未來(lái)短期利率的預(yù)期加上一個(gè)流動(dòng)性溢價(jià)（liquiditypremium）。因?yàn)槭袌?chǎng)通常由短期投資者控制，對(duì)于這類投資者而言，除非fn＞E(rn)，即遠(yuǎn)期利率相對(duì)于他們所預(yù)期的未來(lái)短期利率有一個(gè)溢價(jià)，否則他們不愿意持有長(zhǎng)期債券。

因此，按照這一理論，前面例子中的3年遠(yuǎn)期利率為12％并非因?yàn)槭袌?chǎng)預(yù)期第3年的短期利率為12％，而是因?yàn)槭袌?chǎng)預(yù)期第3年的短期利率為低于12％的某個(gè)值，比如11％，同時(shí)要求遠(yuǎn)期利率對(duì)未來(lái)即期利率有1％的流動(dòng)性溢價(jià)。

（2）流動(dòng)性偏好理論20

在上面的3年期投資計(jì)劃中，根據(jù)流動(dòng)性偏好理論，f3=E(r3)+p3，因此總有(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3)+p3)，

即當(dāng)市場(chǎng)達(dá)致均衡時(shí)，長(zhǎng)期投資（第一種方案）需提供

高于短期投資（第二種方案）的預(yù)期總收益。

換句話說(shuō)，當(dāng)(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3))時(shí)，投資者將傾向

于選擇第二種方案，從而導(dǎo)致y2下降，直至(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3)+p3)。在上面的3年期投資計(jì)劃中，根據(jù)流動(dòng)性偏21

因此，更高的遠(yuǎn)期利率卻并不一定表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將上升，因?yàn)?，根?jù)我們前面的分析，有：fn=E(rn)+流動(dòng)性溢價(jià)在任何情況下，有兩個(gè)原因可使遠(yuǎn)期利率升高：一是市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將上升；二是市場(chǎng)對(duì)持有長(zhǎng)期債券所要求的流動(dòng)性溢價(jià)上升。因此，雖然預(yù)期未來(lái)利率上升確實(shí)會(huì)導(dǎo)致一條上斜的收益率曲線，但由于流動(dòng)性溢價(jià)的影響，反過(guò)來(lái)并不成立，即一條上斜的收益率曲線并不意味著市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率上升。

因此，更高的遠(yuǎn)期利率卻并不一定表明市場(chǎng)預(yù)期未22

為了得出未來(lái)預(yù)期利率，一個(gè)粗略的方法是對(duì)流動(dòng)性溢價(jià)進(jìn)行估計(jì)（一般的方法是將遠(yuǎn)期利率與最終實(shí)現(xiàn)的未來(lái)短期利率相比較，并計(jì)算兩者的平均差），并假定其固定不變，從遠(yuǎn)期利率中減去這一溢價(jià)估值就可得到未來(lái)預(yù)期利率。然而這種方法存在兩個(gè)問(wèn)題：一是難以獲得準(zhǔn)確的流動(dòng)性溢價(jià)的估計(jì)值；二是流動(dòng)性溢價(jià)不變的假設(shè)與實(shí)際情況不符。最后指出，由于通常認(rèn)為流動(dòng)性溢價(jià)為正，因此，一條反向的收益率曲線表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將下降。為了得出未來(lái)預(yù)期利率，一個(gè)粗略的方法是對(duì)流動(dòng)23

（3）市場(chǎng)分割和優(yōu)先聚集地理論MarketSegmentationandPreferredHabitatTheories預(yù)期利率和流動(dòng)性偏好理論都認(rèn)為不同期限的債券是可以相互替代的，債券市場(chǎng)是不可分的。市場(chǎng)分割理論認(rèn)為長(zhǎng)短期債券市場(chǎng)是各自獨(dú)立的。利率的期限結(jié)構(gòu)由不同期限市場(chǎng)均衡利率決定。優(yōu)先聚集地理論認(rèn)為投資者優(yōu)先偏好某一期限市場(chǎng)，但是如果有足夠的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，則投資者會(huì)轉(zhuǎn)向另一市場(chǎng)?？梢越忉屓魏涡螤畹氖找媛是€（3）市場(chǎng)分割和優(yōu)先聚集地理論24

（2）債券價(jià)格波動(dòng)特征：6條法則1）債券價(jià)格與收益呈反向變動(dòng)關(guān)系：當(dāng)收益上升時(shí)，債券價(jià)格下降；當(dāng)收益下降時(shí)，債券價(jià)格上升。2）債券收益變化引起的價(jià)格變化具有不對(duì)稱性，即由收益率上升引起的價(jià)格下降幅度低于由收益率同等幅度下降引起的價(jià)格上升的幅度。3）長(zhǎng)期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性，即對(duì)于等幅收益變動(dòng)，長(zhǎng)期債券價(jià)格的變動(dòng)幅度大于短期債券。（2）債券價(jià)格波動(dòng)特征：6條法則25

4）當(dāng)?shù)狡谄谙拊黾訒r(shí)，價(jià)格對(duì)收益變化的敏感性將以下降的比率增加，即債券價(jià)格的利率敏感性的增加低于相應(yīng)的債券期限的增加。5）債券的息票利率越高（低），由收益變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越?。ù螅?。也就是說(shuō)，息票利率較高的債券，其價(jià)格的利率敏感性低于息票利率較低的債券。6）當(dāng)債券的初始到期收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性較高。

26

債券價(jià)格與必要收益率的凸性關(guān)系

債券價(jià)格與必要收益率的凸性關(guān)系

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28對(duì)比債券A和B：

1）長(zhǎng)期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性，即對(duì)于等規(guī)模的收益率變動(dòng)，長(zhǎng)期債券價(jià)格的變動(dòng)幅度大于短期債券。

當(dāng)?shù)狡跁r(shí)間增加時(shí)，價(jià)格對(duì)收益率變化的敏感性以下降的速率增加，即債券價(jià)格的利率敏感性的增加低于相應(yīng)的債券期限的增加。29對(duì)比債券A和B：29比較債券B和C：2）利率風(fēng)險(xiǎn)與債券的息票率反向相關(guān)。息票利率較高的債券，利率風(fēng)險(xiǎn)較小，其價(jià)格的利率敏感性低于息票利率較低的債券。比較債券C和D：3）債券價(jià)格的利率敏感性與債券當(dāng)前的收益率反向相關(guān)。當(dāng)債券的初始到期收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性較高。30比較債券B和C：30

（3）影響債券價(jià)格的利率敏感性的因素

到期期限；

息票利率；到期收益率；

嵌入期權(quán)（嵌入期權(quán)會(huì)減少債券價(jià)格的利率敏感性）（3）影響債券價(jià)格的利率敏感性的因素31

嵌入贖回期權(quán)債券的價(jià)格與市場(chǎng)要求收益的關(guān)系

嵌入贖回期權(quán)債券的價(jià)格與市場(chǎng)要求收益的關(guān)系

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嵌入回售權(quán)債券的價(jià)格－收益曲線

嵌入回售權(quán)債券的價(jià)格－收益曲線

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3、債券的久期（1）久期的含義也稱為麥考利久期（Macaulay’sduration）

久期是衡量債券價(jià)格波動(dòng)性的指標(biāo)。三個(gè)含義：A.債券現(xiàn)金流加權(quán)平均到期期限；B.債券價(jià)格關(guān)于收益率的一階導(dǎo)數(shù)；C.債券價(jià)格對(duì)利率敏感性3、債券的久期34

久期的理解：1）久期是現(xiàn)金流收回時(shí)間的加權(quán)平均2）久期是價(jià)格-收益率曲線的斜率，也是價(jià)格函數(shù)對(duì)收益率的一階導(dǎo)數(shù)3）收益率變動(dòng)1%而導(dǎo)致的債券價(jià)格的百分比變化4）久期為D年的證券具有與期限為D的零息債券等同的利率風(fēng)險(xiǎn)5）零息票債券的久期就等于它的到期期限；

息票債券的久期比它的到期期限短。

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3、債券的久期（1）久期是債券的每次息票利息或本金支付時(shí)間的加權(quán)平均，權(quán)重則是每一時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值在總現(xiàn)值（即債券價(jià)格）中所占的比例。

一張T年期債券，t時(shí)刻的現(xiàn)金支付為Ct（1≤t≤T），與債券的風(fēng)險(xiǎn)程度相適應(yīng)的收益率為y。則債券的價(jià)格為：（3-1）債券久期為：（3-2）3、債券的久期36

（2）利用久期測(cè)度利率敏感性

將式（3-1）看作P與1+y之間的函數(shù)，可以有

對(duì)于P和1+y的微小變化，有

（3-3）這表明，債券價(jià)格的利率敏感性與久期成比例。（2）利用久期測(cè)度利率敏感性37

令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（3-3）可以寫(xiě)為（3-3’）通常定義D*=D/(1+y)為“修正久期”（ModifiedDuration）上式表明，債券價(jià)格變化的百分比恰好等于修正久期與債券到期收益率變化的乘積。因此，修正久期可以用來(lái)測(cè)度債券在利率變化時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度。在上面的例子中，2年期息票債券的久期為1.8853年。如果有期限為1.8853年的一張零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（3-3）38

對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)的債券，需要用所謂的有效久期（effectiveduration）來(lái)測(cè)度其價(jià)格的利率敏感性。：

因?yàn)閮?nèi)嵌期權(quán)債券的預(yù)期現(xiàn)金流可能會(huì)隨著收益率的變動(dòng)而改變，而修正久期只能用于測(cè)度不含期權(quán)的債券（即預(yù)期現(xiàn)金流不隨收益率的變動(dòng)而改變的債券）價(jià)格的利率敏感性。對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)的債券，需要用所謂的有效久期（e39（3）幾類常見(jiàn)債券的久期永久性年金的久期為：

（3）幾類常見(jiàn)債券的久期永久性年金的久期為：40固定年金的久期為：

這里，T為年金支付次數(shù)，y是每個(gè)支付期的收益率

固定年金的久期為：41

息票債券的久期等于

c為每個(gè)支付期的息票利率，T為支付次數(shù)，y是每個(gè)支付期的收益率。

當(dāng)息票債券以面值出售時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為

息票債券的久期等于42

（4）久期的影響因素

影響利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下8個(gè)法則歸納了久期與這三個(gè)因素之間的關(guān)系久期法則1：零息票債券的久期等于它的到期時(shí)間。久期法則2：到期日相同時(shí)，債券的久期隨著息票利率的降低而延長(zhǎng)。久期法則3：當(dāng)息票利率相同時(shí)，債券的久期通常隨著債券

到期期限的增加而增加，但久期的增加速度慢于到期期限的增加速度。

（4）久期的影響因素43

久期法則4：在其他因素都不變，債券的到期收益率較低時(shí)，息票債券的久期較長(zhǎng)。久期法則5：無(wú)限期債券的久期為。

久期法則6：穩(wěn)定年金的久期由下式給出：

這里，T為支付次數(shù)，y是每個(gè)支付期的年金收益率。

久期法則4：在其他因素都不變，債券的到期收益率較44

久期法則7：息票債券的久期等于

這里，c為每個(gè)支付期的息票利率，T為支付次數(shù)，y是每個(gè)支付期的年金收益率。久期法則8：當(dāng)息票債券以面值出售時(shí)，法則7可簡(jiǎn)化為

久期法則7：息票債券的久期等于45

46

4、債券的凸度（1）久期的局限性

1）線性假設(shè)從下圖以及關(guān)于債券價(jià)格的利率敏感性的6條法則可以看到，債券價(jià)格變化的百分比與收益率變化之間的關(guān)系并不是線性的，這使得對(duì)于債券收益的較大變化，利用久期對(duì)利率敏感性的測(cè)度將產(chǎn)生明顯的誤差。4、債券的凸度47

48

（2）債券凸度的計(jì)算價(jià)格-收益曲線的曲率就稱為債券的凸度（convexity）。凸度意味著債券的價(jià)格-收益曲線的斜率隨著收益率而變化：在較高收益率時(shí)變得平緩，即斜率是較小的負(fù)值；在較低收益率時(shí)變得陡峭，即斜率是較大的負(fù)值。

因此，凸度實(shí)際上是價(jià)格-收益曲線斜率的變化率。

凸度定義為C=

（2）債券凸度的計(jì)算49

對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)的債券，同樣可以用有效凸度（effectiveconvexity）來(lái)測(cè)度其價(jià)格的利率敏感性。

對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)的債券，同樣可以用有效凸度（ef50

付息周期數(shù)為n，周期收益率為y的債券的凸度計(jì)算公式如下：

其中，Ct為t時(shí)刻的現(xiàn)金支付。

51

（3）考慮凸度的利率敏感性

考慮凸度后，式（3-3’）可以修正為：

（3-4）

由式（3-4）可知，對(duì)于有一正的凸度的債券（不含期權(quán)的債券都有正的凸度），無(wú)論收益率是上升還是下降，第二項(xiàng)總是正的。這就解釋了久期近似值為什么在收益率下降時(shí)低估債券價(jià)格的增長(zhǎng)程度，而在收益率上升時(shí)高估債券價(jià)格的下跌程度。（3）考慮凸度的利率敏感性52演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！53債券的風(fēng)險(xiǎn)分析一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型二、債券的信用風(fēng)險(xiǎn)三、債券的利率風(fēng)險(xiǎn)債券的風(fēng)險(xiǎn)分析54一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型（一）市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)（marketrisk）或利率風(fēng)險(xiǎn)（interestrisk）由市場(chǎng)利率變動(dòng)造成投資收益變化的風(fēng)險(xiǎn)被稱為利率風(fēng)險(xiǎn)或市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和再投資風(fēng)險(xiǎn)。由市場(chǎng)利率變動(dòng)帶來(lái)的債券價(jià)格波動(dòng)被稱為價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)固定收益證券的價(jià)格與市場(chǎng)利率呈反向變動(dòng)。

利率風(fēng)險(xiǎn)用價(jià)格變動(dòng)百分比（ApproximatePercentagePriceChange）來(lái)表示，是指當(dāng)市場(chǎng)利率變動(dòng)1%時(shí)，債券價(jià)格變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)。對(duì)于計(jì)劃持有固定收益證券到期的投資而言，不必關(guān)心到期之前債券的價(jià)格變化；對(duì)于到期日之前可能不得不出售債券的投資者而言，利率上升意味著債券價(jià)格下跌，帶來(lái)資本利得的損失。55一、債券風(fēng)險(xiǎn)的主要類型21、債券期限與利率風(fēng)險(xiǎn)

假設(shè)所有其它因素相同，債券價(jià)格對(duì)利率的敏感性將與債券的期限呈正比。

如果息票利率為5%的20年期的平價(jià)債券，如果市場(chǎng)利率上漲為6%，則其價(jià)格將下降為88.4426元，下降11.5574%；

如果息票利率為5%的平價(jià)債券的期限僅為10年，而不是20年時(shí)，其價(jià)格僅下降為92.5613元，下降幅度為7.4387%，561、債券期限與利率風(fēng)險(xiǎn)32、息票利率與利率風(fēng)險(xiǎn)

債券價(jià)格還與債券的息票利率呈反比關(guān)系，即息票利率越高，價(jià)格對(duì)利率的敏感性越小；息票利率越低，價(jià)格對(duì)利率的敏感性越大。

例如一面值為1000元、10年期、息票利率為8%、半年付息一次，到期收益率為8%的平價(jià)債券，其當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為1000元。假如市場(chǎng)要求收益率從8％下降到6％和4％，或者上漲到10％、12％，則其價(jià)格相應(yīng)如下表：572、息票利率與利率風(fēng)險(xiǎn)43、嵌入期權(quán)與利率風(fēng)險(xiǎn)

債券中可能含有各式各樣的期權(quán)，這些期權(quán)本身是對(duì)發(fā)行人或債券持有人有價(jià)值的。期權(quán)的價(jià)值也必須在債券的價(jià)格中得到體現(xiàn)。

不同的期權(quán)對(duì)利率的敏感性不同，比如贖回權(quán)的價(jià)值隨利率下降而升值、隨利率的上漲而貶值。相對(duì)于同條件的無(wú)期權(quán)債券，有贖回權(quán)的債券在利率下跌時(shí)，其漲價(jià)的幅度以及利率上漲時(shí)其跌價(jià)的幅度都要小一些。

其它期權(quán)，如轉(zhuǎn)換權(quán)或交換權(quán)，對(duì)利率的敏感性可能小于贖回權(quán)，但利率仍然會(huì)影響債券的價(jià)格。583、嵌入期權(quán)與利率風(fēng)險(xiǎn)54、收益率曲線與利率風(fēng)險(xiǎn)

有些債券在發(fā)行時(shí)，收益率曲線處于較高的位置，而有的債券在發(fā)行或交易時(shí)，市場(chǎng)收益率曲線處于較低的位置。債券價(jià)格的敏感性是：當(dāng)收益率曲線較高時(shí)，債券的價(jià)格敏感性??；而收益率曲線較低的債券價(jià)格敏感性較大。10年期息票利率為6%的債券，當(dāng)收益率為10%時(shí)，其市場(chǎng)價(jià)格為75.0756元，如果市場(chǎng)收益率下跌為9%，其新的價(jià)格為80.4881元，相對(duì)升幅為7.2094%；如果市場(chǎng)收益率再降為8%，則新的價(jià)格為86.4097元，這次1%的利率下跌，價(jià)格的相對(duì)升幅變?yōu)椋?.3571%。594、收益率曲線與利率風(fēng)險(xiǎn)6（二）再投資風(fēng)險(xiǎn)（reinvestmentrisk）

從債券投資中收到的現(xiàn)金流通常被用來(lái)再投資；

從投資中獲得的收入被稱為利息的利息，其多少依賴于再投資時(shí)的利率水平和再投資策略；

按照既定策略進(jìn)行投資時(shí)，由市場(chǎng)利率變動(dòng)導(dǎo)致收益率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)被稱為再投資風(fēng)險(xiǎn)。零息債券可避免再投資風(fēng)險(xiǎn)。

再投資風(fēng)險(xiǎn)是其中現(xiàn)金流再投資時(shí)利率下降的風(fēng)險(xiǎn)。再投資風(fēng)險(xiǎn)與價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)恰好相反，可以基于此設(shè)計(jì)免疫策略。60（二）再投資風(fēng)險(xiǎn)（reinvestmentrisk）7（三）時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)（timingrisk）或

提前贖回風(fēng)險(xiǎn)（callrisk）

提前贖回風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)在：

1、可贖回債券的現(xiàn)金流模式是不確定的；2、當(dāng)利率下降，發(fā)行人提前贖回債券時(shí)，投資者會(huì)暴露

在再投資風(fēng)險(xiǎn)之下；3、債券的升值潛力將減小，可贖回債券的價(jià)格不可能高

于債券的贖回價(jià)格。

另一種時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)：提前償還風(fēng)險(xiǎn)（prepaymentrisk），原理一致。

61（三）時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)（timingrisk）或8（四）信用風(fēng)險(xiǎn)（creditrisk）或

違約風(fēng)險(xiǎn)（defaultrisk）

固定收益證券發(fā)行人可能違約的風(fēng)險(xiǎn)，即發(fā)行人不能及時(shí)償還本金和利息。

信用風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)專業(yè)評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)，例如穆迪、標(biāo)準(zhǔn)普爾和惠譽(yù)等，對(duì)證券質(zhì)量的評(píng)級(jí)來(lái)衡量。

62（四）信用風(fēng)險(xiǎn)（creditrisk）或9（五）收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)（yield-curverisk）或

到期日風(fēng)險(xiǎn)（maturityrisk）

收益率曲線是指在某一時(shí)點(diǎn)上不同期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券（如美國(guó)政府債券）的收益率。由于其它債券都將以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券收益率為基礎(chǔ)進(jìn)行交易，所以不同時(shí)點(diǎn)上的收益曲線可以用于估計(jì)當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)要求收益。在很多情況下，某個(gè)特定到期日的債券會(huì)被另一種到期日不同的債券所替代，此時(shí)要針對(duì)兩種債券的不同利率風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行某種調(diào)整。

根據(jù)假定的利率期限結(jié)構(gòu)對(duì)不同到期日債券進(jìn)行換算時(shí)，實(shí)際收益率變動(dòng)對(duì)假定情況的偏離會(huì)導(dǎo)致收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)或到期日風(fēng)險(xiǎn)。

63（五）收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)（yield-curverisk）或1（六）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)（inflationrisk）或

購(gòu)買(mǎi)力風(fēng)險(xiǎn)（purchasingrisk）

通貨膨脹是指由通脹引起的證券現(xiàn)金流按購(gòu)買(mǎi)力衡量的價(jià)值變化。

除了通脹調(diào)整證券、可調(diào)整利率或浮動(dòng)利率債券外，其他證券都使得投資者暴露在通脹風(fēng)險(xiǎn)之下，因?yàn)榘l(fā)行人承諾的利率在存續(xù)期內(nèi)是固定的。64（六）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)（inflationrisk）或11（七）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)（liquidityrisk）

流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)：變現(xiàn)能力風(fēng)險(xiǎn)。持有到期，不需要考慮。65（七）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)（liquidityrisk）12

違約風(fēng)險(xiǎn)（DefaultRisk）是債券債務(wù)人無(wú)法按期足額還清本息的可能性，傳統(tǒng)的信用風(fēng)險(xiǎn)指的就是這一含義。

在債券違約時(shí)，根據(jù)清算的結(jié)果，可能還有一部分損失能夠獲得補(bǔ)償，獲得補(bǔ)償?shù)谋壤Q為清償比例（RecoveryRate）

另一方面，違約可能給投資者帶來(lái)的損失占全部投資額的比例則稱為違約比例（DefaultRate）。

66違約風(fēng)險(xiǎn)（DefaultRisk）是債券債務(wù)

三、利率風(fēng)險(xiǎn)分析（一）利率期限結(jié)構(gòu)1、即期利率和遠(yuǎn)期利率即期利率（spotinterestrate）定義為從當(dāng)前開(kāi)始計(jì)算并持續(xù)n年期限的投資的到期收益率。這里所考慮的投資是中間沒(méi)有支付的，所以n年即期利率實(shí)際上就是指n年期零息票收益率（zero-couponyield）。

遠(yuǎn)期利率（forwardinterestrate）是由當(dāng)前即期利率隱含的將來(lái)某一期限的收益率。三、利率風(fēng)險(xiǎn)分析67

68

2、利率期限結(jié)構(gòu)與收益率曲線對(duì)于信用品質(zhì)相同的債券，到期收益率隨到期日的不同而不同，兩者之間的關(guān)系稱為利率期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRate）。

將利率的期限結(jié)構(gòu)用圖形來(lái)描述，就是收益率曲線（yieldcurve）。在實(shí)際當(dāng)中，收益率曲線是通過(guò)對(duì)國(guó)債的市場(chǎng)價(jià)格與收益的觀察來(lái)建立的，這一方面是因?yàn)閲?guó)債通常被認(rèn)為沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)，另一方面也因?yàn)閲?guó)債市場(chǎng)是流動(dòng)性最好的債券市場(chǎng)2、利率期限結(jié)構(gòu)與收益率曲線69

70

4、利率期限結(jié)構(gòu)理論（1）預(yù)期理論遠(yuǎn)期利率等于預(yù)期的未來(lái)短期利率

fn=E(rn)流動(dòng)性溢價(jià)＝0長(zhǎng)期收益率等于當(dāng)前和預(yù)期未來(lái)短期利率的均值按照這一理論，上例中3年期債券和2年期債券的到期收益率分別為10％和9％（對(duì)應(yīng)著3年遠(yuǎn)期利率12％）就意味著市場(chǎng)預(yù)期第3年的短期利率r3為12％，即f3=E(r3)。對(duì)于一條正向的收益率曲線，也就是y3＞y2＞y1，根據(jù)遠(yuǎn)期利率計(jì)算公式，并注意到y(tǒng)1=r1，有

4、利率期限結(jié)構(gòu)理論71

上式展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)，可得f2≈2y2-r1

由y2＞r1可得：f2＞r1

同樣的方法，可以得到f3＞f2根據(jù)預(yù)期理論，f2=E(r2)，f3=E(r3)，所以有：E(r3)＞E(r2)＞r1這就是說(shuō)，根據(jù)預(yù)期理論，一條正向的收益率曲線反映出市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將會(huì)上升。上式展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)，可得72

（2）流動(dòng)性偏好理論

該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等于市場(chǎng)整體對(duì)未來(lái)短期利率的預(yù)期加上一個(gè)流動(dòng)性溢價(jià)（liquiditypremium）。因?yàn)槭袌?chǎng)通常由短期投資者控制，對(duì)于這類投資者而言，除非fn＞E(rn)，即遠(yuǎn)期利率相對(duì)于他們所預(yù)期的未來(lái)短期利率有一個(gè)溢價(jià)，否則他們不愿意持有長(zhǎng)期債券。

因此，按照這一理論，前面例子中的3年遠(yuǎn)期利率為12％并非因?yàn)槭袌?chǎng)預(yù)期第3年的短期利率為12％，而是因?yàn)槭袌?chǎng)預(yù)期第3年的短期利率為低于12％的某個(gè)值，比如11％，同時(shí)要求遠(yuǎn)期利率對(duì)未來(lái)即期利率有1％的流動(dòng)性溢價(jià)。

（2）流動(dòng)性偏好理論73

在上面的3年期投資計(jì)劃中，根據(jù)流動(dòng)性偏好理論，f3=E(r3)+p3，因此總有(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3)+p3)，

即當(dāng)市場(chǎng)達(dá)致均衡時(shí)，長(zhǎng)期投資（第一種方案）需提供

高于短期投資（第二種方案）的預(yù)期總收益。

換句話說(shuō)，當(dāng)(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3))時(shí)，投資者將傾向

于選擇第二種方案，從而導(dǎo)致y2下降，直至(1+y3)3=(1+y2)2(1+E(r3)+p3)。在上面的3年期投資計(jì)劃中，根據(jù)流動(dòng)性偏74

因此，更高的遠(yuǎn)期利率卻并不一定表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將上升，因?yàn)?，根?jù)我們前面的分析，有：fn=E(rn)+流動(dòng)性溢價(jià)在任何情況下，有兩個(gè)原因可使遠(yuǎn)期利率升高：一是市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將上升；二是市場(chǎng)對(duì)持有長(zhǎng)期債券所要求的流動(dòng)性溢價(jià)上升。因此，雖然預(yù)期未來(lái)利率上升確實(shí)會(huì)導(dǎo)致一條上斜的收益率曲線，但由于流動(dòng)性溢價(jià)的影響，反過(guò)來(lái)并不成立，即一條上斜的收益率曲線并不意味著市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率上升。

因此，更高的遠(yuǎn)期利率卻并不一定表明市場(chǎng)預(yù)期未75

為了得出未來(lái)預(yù)期利率，一個(gè)粗略的方法是對(duì)流動(dòng)性溢價(jià)進(jìn)行估計(jì)（一般的方法是將遠(yuǎn)期利率與最終實(shí)現(xiàn)的未來(lái)短期利率相比較，并計(jì)算兩者的平均差），并假定其固定不變，從遠(yuǎn)期利率中減去這一溢價(jià)估值就可得到未來(lái)預(yù)期利率。然而這種方法存在兩個(gè)問(wèn)題：一是難以獲得準(zhǔn)確的流動(dòng)性溢價(jià)的估計(jì)值；二是流動(dòng)性溢價(jià)不變的假設(shè)與實(shí)際情況不符。最后指出，由于通常認(rèn)為流動(dòng)性溢價(jià)為正，因此，一條反向的收益率曲線表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)利率將下降。為了得出未來(lái)預(yù)期利率，一個(gè)粗略的方法是對(duì)流動(dòng)76

（3）市場(chǎng)分割和優(yōu)先聚集地理論MarketSegmentationandPreferredHabitatTheories預(yù)期利率和流動(dòng)性偏好理論都認(rèn)為不同期限的債券是可以相互替代的，債券市場(chǎng)是不可分的。市場(chǎng)分割理論認(rèn)為長(zhǎng)短期債券市場(chǎng)是各自獨(dú)立的。利率的期限結(jié)構(gòu)由不同期限市場(chǎng)均衡利率決定。優(yōu)先聚集地理論認(rèn)為投資者優(yōu)先偏好某一期限市場(chǎng)，但是如果有足夠的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，則投資者會(huì)轉(zhuǎn)向另一市場(chǎng)?？梢越忉屓魏涡螤畹氖找媛是€（3）市場(chǎng)分割和優(yōu)先聚集地理論77

（2）債券價(jià)格波動(dòng)特征：6條法則1）債券價(jià)格與收益呈反向變動(dòng)關(guān)系：當(dāng)收益上升時(shí)，債券價(jià)格下降；當(dāng)收益下降時(shí)，債券價(jià)格上升。2）債券收益變化引起的價(jià)格變化具有不對(duì)稱性，即由收益率上升引起的價(jià)格下降幅度低于由收益率同等幅度下降引起的價(jià)格上升的幅度。3）長(zhǎng)期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性，即對(duì)于等幅收益變動(dòng)，長(zhǎng)期債券價(jià)格的變動(dòng)幅度大于短期債券。（2）債券價(jià)格波動(dòng)特征：6條法則78

4）當(dāng)?shù)狡谄谙拊黾訒r(shí)，價(jià)格對(duì)收益變化的敏感性將以下降的比率增加，即債券價(jià)格的利率敏感性的增加低于相應(yīng)的債券期限的增加。5）債券的息票利率越高（低），由收益變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越?。ù螅?。也就是說(shuō)，息票利率較高的債券，其價(jià)格的利率敏感性低于息票利率較低的債券。6）當(dāng)債券的初始到期收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性較高。

79

債券價(jià)格與必要收益率的凸性關(guān)系

債券價(jià)格與必要收益率的凸性關(guān)系

80

81對(duì)比債券A和B：

1）長(zhǎng)期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性，即對(duì)于等規(guī)模的收益率變動(dòng)，長(zhǎng)期債券價(jià)格的變動(dòng)幅度大于短期債券。

當(dāng)?shù)狡跁r(shí)間增加時(shí)，價(jià)格對(duì)收益率變化的敏感性以下降的速率增加，即債券價(jià)格的利率敏感性的增加低于相應(yīng)的債券期限的增加。82對(duì)比債券A和B：29比較債券B和C：2）利率風(fēng)險(xiǎn)與債券的息票率反向相關(guān)。息票利率較高的債券，利率風(fēng)險(xiǎn)較小，其價(jià)格的利率敏感性低于息票利率較低的債券。比較債券C和D：3）債券價(jià)格的利率敏感性與債券當(dāng)前的收益率反向相關(guān)。當(dāng)債券的初始到期收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性較高。83比較債券B和C：30

（3）影響債券價(jià)格的利率敏感性的因素

到期期限；

息票利率；到期收益率；

嵌入期權(quán)（嵌入期權(quán)會(huì)減少債券價(jià)格的利率敏感性）（3）影響債券價(jià)格的利率敏感性的因素84

嵌入贖回期權(quán)債券的價(jià)格與市場(chǎng)要求收益的關(guān)系

嵌入贖回期權(quán)債券的價(jià)格與市場(chǎng)要求收益的關(guān)系

85

嵌入回售權(quán)債券的價(jià)格－收益曲線

嵌入回售權(quán)債券的價(jià)格－收益曲線

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3、債券的久期（1）久期的含義也稱為麥考利久期（Macaulay’sduration）

久期是衡量債券價(jià)格波動(dòng)性的指標(biāo)。三個(gè)含義：A.債券現(xiàn)金流加權(quán)平均到期期限；B.債券價(jià)格關(guān)于收益率的一階導(dǎo)數(shù)；C.債券價(jià)格對(duì)利率敏感性3、債券的久期87

久期的理解：1）久期是現(xiàn)金流收回時(shí)間的加權(quán)平均2）久期是價(jià)格-收益率曲線的斜率，也是價(jià)格函數(shù)對(duì)收益率的一階導(dǎo)數(shù)3）收益率變動(dòng)1%而導(dǎo)致的債券價(jià)格的百分比變化4）久期為D年的證券具有與期限為D的零息債券等同的利率風(fēng)險(xiǎn)5）零息票債券的久期就等于它的到期期限；

息票債券的久期比它的到期期限短。

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3、債券的久期（1）久期是債券的每次息票利息或本金支付時(shí)間的加權(quán)平均，權(quán)重則是每一時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值在總現(xiàn)值（即債券價(jià)格）中所占的比例。

一張T年期債券，t時(shí)刻的現(xiàn)金支付為Ct（1≤t≤T），與債券的風(fēng)險(xiǎn)程度相適應(yīng)的收益率為y。則債券的價(jià)格為：（3-1）債券久期為：（3-2）3、債券的久期89

（2）利用久期測(cè)度利率敏感性

將式（3-1）看作P與1+y之間的函數(shù)，可以有

對(duì)于P和1+y的微小變化，有

（3-3）這表明，債券價(jià)格的利率敏感性與久期成比例。（2）利用久期測(cè)度利率敏感性90

令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（3-3）可以寫(xiě)為（3-3’）通常定義D*=D/(1+y)為“修正久期”（ModifiedDuration）上式表明，債券價(jià)格變化的百分比恰好等于修正久期與債券到期收益率變化的乘積。因此，修正久期可以用來(lái)測(cè)度債券在利率變化時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度。在上面的例子中，2年期息票債券的久期為1.8853年。如果有期限為1.8853年的一張零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（3-3）91

對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)的債券，需要用所謂的有效久期（effectiveduration）來(lái)測(cè)度其價(jià)格的利率敏感性。：

因?yàn)閮?nèi)嵌期權(quán)債券的預(yù)期現(xiàn)金流可能會(huì)隨著收益率的變動(dòng)而改變，而修正久期只能用于測(cè)度不含期權(quán)的債券（即預(yù)期現(xiàn)金流不隨收益率的變