小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!教材&參考書教材：小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用，王大凱，彭進(jìn)業(yè)編著，電子工業(yè)出版社1、小波分析導(dǎo)論，程正興譯，【美】崔錦泰著，西安交通大學(xué)出版社出版。2、小波分析與工程應(yīng)用，楊建國，機(jī)械工業(yè)出版社。3、信號(hào)處理的小波導(dǎo)引，StephaneMallat著，楊力華，戴道清，黃文良，湛秋輝譯，機(jī)械工業(yè)出版社。4、Matlab小波分析與工程應(yīng)用，張德豐，國防工業(yè)出版社小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!要求了解小波變換與傅立葉變換的區(qū)別理解掌握基本的小波變換理論。理解多分辨率分析的基本思想，了解正交小波的基本性質(zhì)，掌握構(gòu)造正交小波的基本方法。掌握塔式分解算法；了解雙正交小波的基本性質(zhì)，掌握其構(gòu)造的方法，分解和重構(gòu)的相關(guān)理論和方法；了解小波變換的信號(hào)處理領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用；利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)小波的構(gòu)造和簡(jiǎn)單應(yīng)用仿真等。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!授課形式課本內(nèi)容Matlab小波分析工具論文學(xué)習(xí)與仿真分小組自由討論、實(shí)現(xiàn)、講述小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!第1章引論從數(shù)學(xué)的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間L2(R)（實(shí)數(shù)域平方可積空間）上滿足容許條件（P24式2.1.1）的函數(shù)，這樣認(rèn)識(shí)小波需要函數(shù)空間（泛函分析）的基礎(chǔ)知識(shí)。從信號(hào)處理的角度講，小波(變換)是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，所以從信號(hào)處理的角度認(rèn)識(shí)小波，需要傅立葉變換、傅立葉級(jí)數(shù)等的基礎(chǔ)知識(shí)。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!泛函簡(jiǎn)介泛函就是以函數(shù)為自變量的函數(shù).泛函分析（FunctionalAnalysis）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間。泛函分析是由對(duì)變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對(duì)微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來的。比如曲線的長(zhǎng)度,閉合曲線圍成的面積等都和曲線的函數(shù)是一種泛函關(guān)系.設(shè)對(duì)于任何y(x),有另一個(gè)數(shù)J[y]與之對(duì)應(yīng),則稱J[y]為y(x)的泛函.這里的定義域,即函數(shù)集合,通常包含要求y(x)滿足的一定邊界條件,并且具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù).泛函和復(fù)合函數(shù)不同,泛函必須給出區(qū)間上整個(gè)函數(shù)y(x),才可以得到一個(gè)泛函值.泛函分析的特點(diǎn)是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個(gè)一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對(duì)象，也包括了不同的函數(shù)空間。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!1.1.2線性空間的范數(shù)在一個(gè)線性空間L中的泛函p(x),如果滿足（1）非負(fù)性，零元的函數(shù)值為零的唯一性；（2）正齊次性；（3）三角不等式則稱p(x)為L(zhǎng)的范數(shù)物理意義：元素x到0的距離，泛函就是以函數(shù)為自變量的函數(shù)小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!1.1.4Hilbert空間一個(gè)完備的可分離的無限維Euclidean空間稱為一個(gè)Hilbert空間,記為H.測(cè)度（度量）：設(shè)X是一個(gè)集合，映射稱為X上的一個(gè)度量，如果小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!1.1.5平方可積空間與平方可和空間如果將Euclidean空間中的內(nèi)積定義具體化為

則稱以滿足的f(x)為元素的線性空間為平方可積空間，記為。平方可積空間是Hilbert空間希臘字母：kai小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!1.1.6Schwartz（施瓦茨

）不等式證明：過程見p3.用到的理論：1、內(nèi)積的性質(zhì)2、判別式的性質(zhì)

小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!1.2L2(R)空間的基函數(shù)1.2.1正交基信號(hào)的分解與重構(gòu)

f(x)

cn

分解重構(gòu)信號(hào)分解系數(shù)基函數(shù)的對(duì)偶完全重構(gòu)小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!滿足正交歸一化條件的函數(shù)序列稱為正交歸一化函數(shù)系。一個(gè)完備的正交歸一化函數(shù)系稱為正交歸一化基。正交歸一化基的優(yōu)點(diǎn)是“能量守恒”定理（Parsvel定理）成立：驗(yàn)證L2(0,2)空間中的{en(x)}是否為正交歸一化基小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!設(shè)為框架，其界為A和B。有線性變換框架條件保證了T的可逆性。由定義的對(duì)偶框架滿足框架一般不是線性無關(guān)的，其對(duì)偶也不唯一。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!1.3連續(xù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)若函數(shù)，則稱

為的Fourier變換（FT）。如果，則可以證明的每一連續(xù)點(diǎn)上，下列逆變換定理成立：信號(hào)的頻譜小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!1.4序列Fourier變換與離散Fourier變換對(duì)于一個(gè)序列{},

稱之為的序列Fourier變換（SFT）。對(duì)于SFT,如下逆變換成立：小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!在過去200年里，F(xiàn)ourier分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，但Fourier分析也有不足：用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號(hào)的突變成分。利用DFT作信號(hào)分析，就是通過在頻域上用等間隔劃分的窗口對(duì)信號(hào)進(jìn)行的“觀察”，而這一“觀察”數(shù)據(jù)是時(shí)域上N點(diǎn)數(shù)據(jù)的共同貢獻(xiàn)。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!又例：歌聲信號(hào)歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)，其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜。但遺憾地是，傅立葉變換無法反映信號(hào)在哪一時(shí)刻有高音，在哪一時(shí)刻有低音，因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起，如圖所示。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!目標(biāo)：獲取具有頻域和時(shí)域雙重定域性的信息Doppler雷達(dá)信號(hào)處理——檢測(cè)回波的到達(dá)時(shí)刻可獲得目標(biāo)的位置信息，檢測(cè)回波頻率可獲得目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度信息時(shí)頻會(huì)師——窗口Fourier變換小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!定義頻域窗函數(shù)，其條件是頻域窗函數(shù)的中心頻率

頻域窗函數(shù)的有效頻率半徑考察正頻率小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!如果某一函數(shù)既滿足時(shí)域窗函數(shù)條件，也滿足頻域窗函數(shù)條件，則簡(jiǎn)稱為窗函數(shù)。測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系等號(hào)成立的充要條件是W(x)為Gaussian型窗函數(shù)：

時(shí)域與頻域局部性的矛盾小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!1.5.2窗口Fourier變換的定義用一個(gè)平移的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)加窗，可以在獲取頻域信息的同時(shí)，不完全丟失時(shí)域信息。窗口Fourier變換(WindowedFourierTransform，WFT)的定義為由于常用的窗函數(shù)具有相對(duì)較小的時(shí)間窗寬，故又稱為短時(shí)Fourier變換(ShortTimeFT,STFT)

窗函數(shù)小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!特別的，當(dāng)有

從而達(dá)到測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的下限。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!1.5.3Gabor變換及其數(shù)值計(jì)算如果在WFT中Gaussian函數(shù)作為窗函數(shù)，則這種特定的WFT稱為Gabor變換Gabor變換是最佳的窗口Fourier變換：Gaussian窗的時(shí)寬與頻寬的乘積達(dá)到測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的下限,兼顧時(shí)間分辨率和頻率分辨率。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù)的選擇有些特殊：首先，它時(shí)實(shí)對(duì)稱函數(shù)；其次，它在某個(gè)小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為0。Gabor在最初的處理中采用的時(shí)Gauss窗作為基本窗函數(shù)，通過在時(shí)間軸上平移得到一組窗函數(shù)。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!保留了信號(hào)在附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。是將窗函數(shù)平移到，因此，保留的是附近的信號(hào)信息。故，實(shí)際上分析了附近的頻率特性。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!仍以歌聲信號(hào)為例，信號(hào)變換到小波域后，小波不僅能檢測(cè)到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號(hào)相對(duì)應(yīng)，如圖所示。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!直到1986年，法國數(shù)學(xué)家Meyer成功地構(gòu)造出了具有一定衰減性的光滑函數(shù)，它的二進(jìn)伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基。此前，人們普遍認(rèn)為這是不可能的，如Daubechies,Grossman和Meyer都退而研究函數(shù)系構(gòu)成的框架的條件去了。Lemarie和Battle繼Meyer之后也分別獨(dú)立地給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，統(tǒng)一了這之前的各種具體小波的構(gòu)造，并提出了現(xiàn)今廣泛應(yīng)用的Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法。1988年Daubechies構(gòu)造了具有緊支集的正交小波基。Coifman,Meyer等人在1989年引入了小波包的概念?；跇訔l函數(shù)的單正交小波基由崔錦泰和王建忠在1990年構(gòu)造出來。1992年A.Cohen,I.Daubechhies等人構(gòu)造出了緊支撐雙正交小波基小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!課程安排36學(xué)時(shí)：1、引論2、小波變換3、多分辨率分析與正交小波的構(gòu)造4、塔式算法及二維小波5、雙正交小波6、DWT在圖像編碼中的應(yīng)用小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!考察方式讀書報(bào)告課堂表現(xiàn)課后作業(yè)期中大作業(yè)期末大作業(yè)小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!泛函分析是20世紀(jì)初開始發(fā)展起來的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它是以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段，它用更加抽象的概念來描述熟知的對(duì)象。傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號(hào)處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號(hào)分析從時(shí)間域變換到了頻率域。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!1.1函數(shù)空間1.1.1線性空間一個(gè)線性空間是一個(gè)在標(biāo)量域（實(shí)或復(fù)）F上的非空矢量集合L，并且對(duì)于其元素定義了如下性質(zhì)的加法和標(biāo)量乘法：加法的封閉性；加法的交換律；加法的結(jié)合律；零元；加逆；乘法的封閉性；乘法結(jié)合律；存在單位標(biāo)量1，1·x＝x；乘法的分配律。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!1.1.3Euclidean空間如果對(duì)于線性空間Ｌ的每一對(duì)元素定義了如下性質(zhì)的內(nèi)積：那么稱Ｌ是一個(gè)Euclidean空間(賦范空間)。這時(shí)它的范數(shù)定義為小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!處處稠密：設(shè)A和B為度量空間的子集，如果有，稱A在B中稠密；如果有，稱A在B中處處稠密。例：實(shí)數(shù)集R按照度量是一個(gè)度量空間，是有理數(shù)集。因?yàn)樗訥在R中處處稠密。

A的閉包小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!若內(nèi)積定義為

式中c為一序列，則稱以滿足

的序列為元素的線性空間為平方可和空間，記為。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!1.1.7絕對(duì)可積空間與絕對(duì)可和空間若定義

則稱以滿足<∞的f為元素的線性空間為絕對(duì)可積空間，記為。類似可定義絕對(duì)可和空間。平方可積不一定絕對(duì)可積例：考察函數(shù)小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!如果則重構(gòu)公式為當(dāng)下式成立時(shí)，上面的重構(gòu)公式成立。正交歸一化條件小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!1.2.2框架(frame)如果一個(gè)函數(shù)序列對(duì)于任何有下式成立：式中A、B為滿足的常數(shù)，則稱為一個(gè)框架。A、B分別稱為框架的下界和上界。當(dāng)A＝B時(shí)，則稱此框架為緊框架。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!1.2.3Riesz基如果函數(shù)序列對(duì)于任何數(shù)列有

則稱為一個(gè)Riesz基。式中0<A≤B，A、B分別稱為Riesz下界和上界。

Riesz基是線性無關(guān)的框架，其對(duì)偶是唯一的且線性無關(guān)的。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!如果是以T為周期的周期信號(hào)，則有如下Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)式：式中作變量代換，則離散的頻譜以為周期小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)序列,稱

為它的離散Fourier變換(DiscreteFourierTransform,DFT)。逆變換定理：小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!(a)(b)(c)對(duì)f(x)作FT得如圖(b)所示的振幅譜,從中可以看到處存在譜峰,但無法知道這一頻率成分在時(shí)域信號(hào)中僅僅出現(xiàn)在x＝0附近的一個(gè)短暫的時(shí)段內(nèi).圖(c)所示的信號(hào)看起來與圖(a)毫無共同之處,但它確有與如圖(b)完全相同的振幅譜.

缺乏時(shí)域定域性小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!其他實(shí)際問題：對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!1.5窗口Fourier變換1.5.1窗函數(shù)當(dāng)函數(shù)滿足條件

時(shí)，稱它為一個(gè)時(shí)域窗函數(shù)時(shí)域窗函數(shù)中心時(shí)間時(shí)域窗函數(shù)有效時(shí)間半徑通過適當(dāng)平移，可使中心時(shí)間為零小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!窗函數(shù)的定義實(shí)際上就是對(duì)函數(shù)衰減性的控制，也就是說窗函數(shù)具有在坐標(biāo)軸上具有很好的衰減性，從而達(dá)到對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行局部化的目的。窗函數(shù)所確定的窗口是對(duì)它的局部性的一次刻畫，它是可用來對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻局部化分析的基本函數(shù)，而窗函數(shù)本身則可由窗口的尺度來表征其局部性，若越小，則說明在時(shí)域上的局部化程度越高。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的部分證明：分部積分公式小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!系數(shù)表征著信號(hào)在附近所含有的*+0附近的頻率成分的大小。它的時(shí)間分辨率取決于窗函數(shù)的時(shí)寬，而頻率分辨率取決于窗函數(shù)的頻寬WFT可以形象地看成是以固定尺寸為x的矩形時(shí)—頻窗口在時(shí)－頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行“觀察”。

小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!假設(shè)f(x)的傅立葉變換為F()，W(x)的傅立葉變換為W()，則窗口傅立葉變換頻域上的物理意義：若W()的有效窗口寬度為△，則WFT(b,)給出的是F()在局部頻率范圍[-△/2,+△/2]內(nèi)的頻譜信息。△越小，對(duì)信號(hào)的頻率定位能力越強(qiáng)。小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!Gabor變換的數(shù)值計(jì)算方法（1）信號(hào)和窗函數(shù)的離散化

（2）對(duì)平移量b進(jìn)行離散化（3）對(duì)做DFT

數(shù)據(jù)冗余計(jì)算量大小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用共52頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!Gabor變換的定義如下：設(shè)，即，且為實(shí)對(duì)稱函數(shù)，則信號(hào)的窗