第6講代數(shù)模型住房貸款問題線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!一、住房貸款問題

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，金融正在越來越多的進入普通人的生活，比如貸款、保險、養(yǎng)老金和信用卡等。個人住房抵押貸款就是其中重要的一項。下表是從2006年8月19日起開始施行的貸款利率。

利率年限公積金(年利率)商業(yè)性(月利率)年限調(diào)整前2006.4.28調(diào)整后2006.8.19調(diào)整前2006.4.28調(diào)整后(下限可以到0.85)

2006.8.191-5年4.14%4.14%6.12%(下限5.51)6.48%(下限5.51)6-30年4.59%4.59%6.39%(下限5.75)6.84%(下限5.81)線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!

商業(yè)銀行的貸款還貸方式為三種形式，一次性還本付息法(只適用于一年期的貸款)；等額本金還款法和等額本息還款法。而等額本息還款法和等額本金還款法兩者相比較，則在貸款期限越長時，等額本息還款法所需要支付的利息較多，但等額本息還款法在計算上比等額本金還款法較為容易，因此商業(yè)銀行通常在客戶未談及時，基本采用的為等額本息還款法。

試根據(jù)最新貸款利率制定一張完整的個人住房商業(yè)貸款(萬元)還款表，貸款期從一年至30年，表中應包括以下各項：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!

建立職工住房公積金的作用：（1）籌集住房資金；（2）提高職工個人購房、建房能力；（3）使房屋福利分配制向房屋貨幣化分配轉(zhuǎn)變。按照規(guī)定，凡是繳存公積金的職工均有享受此種貸款的權(quán)利，均可按公積金貸款的有關規(guī)定，申請公積金貸款。住房公積金是一種義務性住房儲金。它是按照國家政策規(guī)定，通過"個人存儲、單位資助"的辦法建立的一筆屬于個人的住房消費資金，專項用于個人支付住房方面的費用。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!2.

住房商業(yè)貸款

個人住房商業(yè)貸款是我國公民因購買商品房而向銀行申請的一種貸款，依據(jù)有關銀行規(guī)定，凡符合下列兩種情況之一的，即可申請貸款品種：一是參加住房儲蓄的居民；二是住房出售商和貸款銀行有約定，由房地產(chǎn)擔保企業(yè)為居民購房貸款向銀行提供擔保。

商業(yè)貸款合同必須由售房人、購房人、貸款銀行三方共同簽訂合同，方能生效。個人住房商業(yè)貸款金額限制在總房價的70%，在申請商業(yè)貸款之前，個人必須先付出總房價30%的購房款。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!3.等額本息還款法

等額本息還款方式是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)，這樣由于每月的還款額固定，可以有計劃地控制家庭收入的支出，也便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。4.等額本金還款法

等額本金還款法(遞減法)就是借款人每月以相等的額度償還貸款本金,利息隨本金逐月遞減,每月還款額亦逐月遞減。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!(4)還款前后期的壓力不一樣

因為“本息還款法”每月的還款金額數(shù)是一樣的，所以在收支和物價基本不變的情況下，每次的還款壓力是一樣的；“本金還款法”每次還款的本金一樣，但利息是由多到少、依次遞減，同等情況下，后期的壓力要比前期輕得多。

(3)

還款前幾年的利息、本金比例不一樣

“本息還款法”前幾年還款總額中利息占的比例較大(有時高達90%左右)，“本金還款法”的本金平攤到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高時也就各占50%左右。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!三、等額本息貸款還款表的制定

1.問題

一個人購房進行商業(yè)貸款，并按照等額本息還款方式還款，試制定一張完整的個人住房商業(yè)貸款(萬元)還款表，貸款期從一年至30年，表中應包括以下各項：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。

2.變量假設

M：貸款總額n：貸款時間(月)R：貸款年利率r：貸款月利率m：月還款數(shù)Ak：貸款后第k個月時欠款余數(shù)線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

3.模型求解

如果貸款時間為n個月，則逐月還款后，到第n個月的還款余額即為

An=0(2)

在這里我們主要是為了求解每月的還款額m，為此令

Bk=Ak-Ak-1

，

k=1,2,…,n(3)于是由

Ak+1=Ak+rAk-mAk=Ak-1+rAk-1–m二式相減得到：

Bk+1=(1+r)Bkk=1,2,…,n(4)可以遞推出

Bk+1=B1(1+r)kk=1,2,…,n(5)線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!于是由可以解得

(6)

取k=n,并令An=0，解得月還款額：

(7)

也就是每月等額還本付息額=其中：還款期數(shù)=貸款年限×12。

(8)

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!年份月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額本息總額總利息1126.485.40到期一次還本付息10648.0000648.00002246.485.40445.372110688.9310688.93103366.485.40306.399011030.36421030.36424486.485.40237.057311378.75031378.75035606.485.40195.567811734.06901734.06906726.845.70169.722812220.04222220.04227846.845.70150.145912612.25202612.25208966.845.70135.542313012.06183012.061891086.845.70124.253913419.41903419.4190101206.845.70115.285513834.26473834.2647111326.845.70108.004014256.53354256.5335121446.845.70101.987214686.15384686.1538131566.845.7096.942615123.04835123.0483141686.845.7092.661515567.13425567.1342151806.845.7088.990716018.32306018.3230表一：商業(yè)貸款等額本息還款表線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!針對公積金貸款1-5年的年利率為R=4.14%，6-30年的年利率為R=4.59%，按照公式(7)可以制作出同樣的公積金貸款等額本息還款表，留作練習。

(7)

表二：公積金貸款等額本息還款表年份月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額本息總額總利息1124.143.45到期一次還本付息10414.0000

414.0000

2244.143.453364.143.454484.143.455604.143.45184.797711087.86081087.86086724.593.825線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!3.模型的建立根據(jù)等額本金還款方式，每月的還款金額計算公式為每月還款額=

(9)也就是(10)其中(11)

因為每月歸還的本金M/n是等額的，所以到第k個月歸還的本金總額由(11)計算。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!表三：商業(yè)貸款等額本金還款表(2年貸款1萬元)

月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額月還款本金月還款利息累積還款總額16.485.40470.6667416.666754.0000470.666726.485.40468.4167416.666751.7500939.083436.485.40466.1667416.666749.50001405.250146.485.40463.9167416.666747.25001869.166856.485.40461.6667416.666745.00002330.833566.845.70459.4167416.666742.75002790.250276.845.70454.1667416.666737.50003244.416986.845.70454.9167416.666738.25003699.333696.845.70452.6667416.666736.00004152.0003106.845.70450.4167416.666733.75.004602.417116.845.70448.1667416.666731.50005050.5837126.845.70445.9167416.666729.25005496.5004136.845.70443.6667416.666727.00005940.1671線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!五、后記從某種意義上說，購房還貸，等額本金法(遞減法)未必優(yōu)于等額本息法(等額法)，到底選擇什么樣的還貸方法還要因人而異。

“等額本息還款法”就是借款人每月始終以相等的金額償還貸款本金和利息，償還初期利息支出最大，本金就還得少，以后隨著每月利息支出的逐步減少，歸還本金就逐步增大；1.等額本息還款法和等額本金還款法的比較“等額本金還款法”(遞減法)就是借款人每月以相等的額度償還貸款本金，利息隨本金逐月遞減，每月還款額亦逐月遞減。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!

舉例來說，A、B兩人同時申請個人住房公積金貸款10萬元，期限10年，合同生效時間為2005年6月20日。A選擇等額本息還款法，B選擇等額本金還款法。如不考慮國家在利率方面的調(diào)整因素，

A每月的還款額相同，都為1032.05元，期滿后共需償付本息123846元。B個月還款額為1200.83元，以后隨著每月貸款期末余額的減少而逐月減少還款額。最后一個月還款額為836.40元，期滿后共需償付本息122233.90元。

所以，在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“等額本金還款法”的利息總額要少于“等額本息還款法”，以貸10萬10年為例，B比A要少支付利息1612.10元。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!六、本講小結(jié)1.等額本息還款計算公式每月等額還本付息額=2.等額本金還款計算公式每月還款額=

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!

城市住房公積金是政府用于解決行政事業(yè)單位職工及中低收入的居民住房問題的專項基金。城市住房基金從同級財政現(xiàn)在用于住房建設、維修、管理和補貼的資金，當?shù)靥崛∽》抗潭ㄙY產(chǎn)投資方向調(diào)節(jié)稅、房地產(chǎn)稅、土地使用權(quán)出讓金，以及出售屬于國有資產(chǎn)的住房回收資等渠道籌集。二、住房貸款背景知識1.住房公積金貸款建立職工住房公職金是我國推行住房制度改革的一項措施，目的在于由國家、集體、個人三方共同負擔，解決職工住房困難。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

住房公積金貸款的優(yōu)點:

貸款利率低，目前比商業(yè)貸款低1個百分點左右。在相同擔保方式下，貸款中的費用一般也比商業(yè)貸款低，而在住房公積金貸款中采用抵押加保險的較高費用的擔保方式時，貸款費用一般比商業(yè)貸款高，但貸款費用和利息負擔之和仍要比商業(yè)貸款低，而且保險公司要承擔相應的責任和風險。

實際貸款期限要比商業(yè)貸款長，雖然兩種貸款文件規(guī)定最長貸款期限目前都是30年，但一般商業(yè)貸款實際不會放到30年。

抵押率高，住房公積金貸款最高可以貸到房價的90％，而商業(yè)貸款最高只能達到80％。

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!

由于委托律師，手續(xù)相對于公積金貸款一般更簡便一些，但住房公積金貸款目前也可以委托代理公司幫助辦理。由于住房公積金貸款是委托貸款，商業(yè)貸款辦理速度一般相應也更快一些。最高貸款額度比住房公積金貸款要高，住房公積金貸款目前最高只能貸到39萬元。在住房公積金貸款采用抵押加保險的擔保方式時，商業(yè)貸款前期貸款費用一般比住房公積金貸款要少。

商業(yè)貸款的優(yōu)點:由于住房公積金貸款比商業(yè)貸款多了保險的擔保方式，不一定必須開發(fā)商擔保，所以商業(yè)貸款中開發(fā)商提供保證擔保的更多一些。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!(1)計算方法不同等額本息還款法為借款人每月以相等的金額償還貸款本息。等額本金還款法為借款人每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減。5、兩種還貸方式比較(2)

兩種方法支付的利息總額不一樣在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“本金還款法”的利息總額要少于“本息還款法”。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

另外，等額本息還款法操作起來比較簡單，每月金額固定，不用再算來算去。一般來講，等額本息還款法適用于現(xiàn)期收入少，負擔人口少，預期收入將穩(wěn)定增加的借款人，如部分年輕人，而等額本金還款法則適合有一定積蓄，但家庭負擔將日益加重的借款人，如中老年人。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!

3.模型建立

Ak+1=Ak+rAk-m

k=0,1,…,n(1)這是一個差分方程，其中A0=M（貸款總額），n為貸款時間(月)。

由于貸款第k個月時欠款余數(shù)為Ak元，月還款m元，那么到了第k+1個月，Ak變化到Ak+1,除了還款數(shù)m以外,還有利息，根據(jù)月利率r，則到了第k+1個月增加的利率是rAk

,由此可以得到下面的關系式：

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!于是由Bk=Ak-Ak-1可以推出

Ak

=Bk+Ak-1=Bk+Bk-1+Ak-2=...=Bk+Bk-1+...+B1+A0再由(5)得到

Ak

-A0=B1+B2+...+Bk

=B1[1+(1+r)+...+

(1+r)k-1]Bk=B1(1+r)k-1

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!如果向商業(yè)銀行貸款1萬元，即A0=M=10000元，貸款兩年，即n=24，根據(jù)最新商業(yè)貸款年利率R=6.48%，則求得月利率r=R/12=6.48%/12=5.4‰。將這些數(shù)據(jù)代入上式得到月還款額每月還款445.37元，兩年后還清。共計還款445.37х24=10688.93元兩年的利息共計688.93元。由此可以制定出商業(yè)貸款等額本息還款表。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!年份月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額本息總額總利息161926.845.7085.815216476.52146476.5214172046.845.7083.047216941.63106941.6310182166.845.7080.618317413.54907413.5490192286.845.7078.474417892.16847892.1684202406.845.7076.572418377.37818377.3781212526.845.7074.877218869.06358869.0635222646.845.7073.360319367.10649367.1064232766.845.7071.997819871.38609871.3860242886.845.7070.770120381.778310381.7783253006.845.7069.660520898.157410898.1574263126.845.7068.655121420.394811420.3948273246.845.7067.741921948.360611948.3606283366.845.7066.910522481.923212481.9232293486.845.7066.152223020.949813020.9498303606.845.7065.459223565.306813565.3068如果貸款20萬，期限20年，則每月還款76.5724х20=1531.45元，共計還款18377.3781х20=367547.56元，利息共計167547.56元。

線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!四、等額本金貸款還款表

1.問題

一個人購房進行商業(yè)貸款，并按照等額本金還款方式還款，試制定一張完整的個人住房商業(yè)貸款(萬元)還款表，貸款期從一年至30年，表中應包括以下各項：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。2.變量假設

M：貸款總額n：貸款時間(月)R：貸款年利率r：貸款月利率m：月還款數(shù)Ak：貸款后第k個月時欠款余數(shù)線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!4.具體計算

假設某人貸款一萬元，期限兩年，并計劃按照等額本金還款方式進行還款，試建立一張還款計劃表。%zhufangdk02.mM=10000;n=input('請輸入貸款月數(shù)n=')

%貸款時間R=input(‘請輸入貸款利率R=’)

%商業(yè)貸款：1-5年6.48%，6-30年6.84%R=R/100;

%公積金貸款：1-5年4.14%，6-30年4.59%r=R/12;k=1:24;m=M/n+(M-(k-1)*M/n)*r；fprintf('%d個月每月的還款金額',n)m=m解：已知商業(yè)貸款1-5年的利率為R=6.48%,貸款總額M=10000元,貸款時間n=24個月，根據(jù)計算公式編寫出每個月還貸的計算程序。線性代數(shù)模型-住房貸款共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!兩年后該貸款人還款總額為10672元，所還利息為672元。如果兩年貸款10萬元，則兩年后還款總額為10672х10=106720元。所還利息總額為672х10=6720元。月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額月還款本金月還款利息累積還款總額146.845.70441.4167416.666724.75006381.5838156.845.70439.1667416.666722.50006820.7505166.845.70436.9167416.666720.25007257.6672176.845.70434.6667416.666718.0000