…_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____…○…………裝………: …校學(xué)○…………內(nèi)…………○…2017年小學(xué)奧數(shù)數(shù)論專題——整除…………線 學(xué)校: 姓名班級考號 …… 注意事項．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息…請將答案正確填寫在答題卡上…○…評卷人得分評卷人得分… 一、計算題（題型注釋）…訂… 1、一個六位數(shù) ，如果滿足 ，則稱 為迎春”(如…… ，則 就是迎春”).請你求出所“迎春的總.…○…………2、已知： ．則 ？裝…………○評卷人得分評卷人得分…二、解答題（題型注釋）……外3我在其中的方框內(nèi)中先后填入3個數(shù)字，…… 33個數(shù)字的… ?…○……… 114頁……4、如果六位數(shù)1992□□能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少?……○○……51993□□□整除，那么它的最后三位線線數(shù)字依次是多少?……60，1，2，3，4，5，6，7，8，9105個不同的數(shù)字組成一個五3，5，7，13?7、修改31743的某一個數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)．問修改后的這個數(shù)是多少?811□□11中的兩個方框內(nèi)各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被1719?○…………訂…………○…………裝…………○※※題※※答※※內(nèi)※※線※※訂※※裝※※在※※要※※不※※請※※○…………訂…………○…………裝…………○…………955…5□99…9(5920個)7整除，那么中間方格內(nèi)……的數(shù)字是多少?…內(nèi)…外……○○…………試卷第2頁，共14頁……………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____校…○…………裝……………… 10168?○…………線 11、將自然數(shù)1，2，3，…依次寫下去組成一個數(shù)：12345678910111213…．如果寫到…某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個自然數(shù)是多少？………○……… 12、1～9九個數(shù)字按下圖所示的次序排成一個圓圈，請在某兩個數(shù)之間剪開，分別按… 訂396整除，那么應(yīng)在何處剪開？…………○…………裝………_…_…○學(xué)○……外內(nèi)……○○……13、199(l7之間剪開，得到兩個數(shù)是193426857758624391)．如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被396整除，那?試卷第3頁，共14頁…1415115號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，……2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被3整除”，……，依次下去，每位○○同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除．1號作了一一驗證：只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)…………說得不對，其余同學(xué)都對．問：……(1)說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)?……(2)如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)．線…線…1520120號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被3整除”，……，依次下去，每位○………※※題※※○………同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除．1號作了一一驗證：只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)…答※…說得不對，其余同學(xué)都對．問：訂…※內(nèi)※訂…(1)說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)?…※線…(2)如果告訴你，1號寫的數(shù)是七位數(shù)，請求出這個數(shù)．16、找出4個不同的自然數(shù)，使得對于其中任何兩個數(shù)，它們的和總可以被它們的差整……○…………裝…※※訂※※裝※※在※※要※※不……○…………裝…除．如果要求這4個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小，那么這4個數(shù)里中間兩個數(shù)的和是多少?………○※※請※※………○………………17、試求6個不同的正整數(shù)，使得它們中任意兩數(shù)之積可被這兩個數(shù)之和整除．…內(nèi)…外……○○…………試卷第4頁，共14頁……………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班__…○……_…：名姓____…裝………: …校學(xué)○…………內(nèi)…………○… 18…………線……… 1、975×935×9724個數(shù)字都是，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填… 什么數(shù)？○…………訂 20、如圖，依次排列的5個數(shù)是13，12，15，25，20．它們每相鄰的兩個數(shù)相乘得4…4332…… 21…○…………裝…………○21、已知道六位數(shù)20□279是13的倍數(shù)，求□中的數(shù)字是幾？…………外…… 22、六位數(shù) 能被99整除， 是多少？……○……… 514…○…………線…………○…………訂…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………※※題※※答※※內(nèi)※※線※※訂※※裝※※在※※要※※不※※請※※………23、六位數(shù)20□□08能被49整除中的數(shù)是多少？ ○…………線…24、在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍數(shù).⑴請隨便填…出一種，并檢查自己填的是否正確；⑵一共有多少種滿足條件的填法？ ……○…………25已知九位數(shù) 既是9的倍數(shù)又是11的倍數(shù)那么這個九位數(shù)是多少？訂…………○26、一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這…筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)帳本是這樣的72本筆記本共□ 元(為被燒掉的數(shù)， ……請把處數(shù)字補(bǔ)上，并求筆記本的單. …裝…………○…27、由1，3，4，5，7，8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多…少？ ……外…28、各位數(shù)碼是01或2，且能被225整除的最小自然數(shù)是多少？ ………○……試卷第6頁，共14頁 ………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____?！稹b……………… 29312棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了…幾棵樹？………線… 30、某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每…… 1073棵，那么平均每人種了棵樹？…○………… 31865后面補(bǔ)上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被345訂個數(shù)值盡可能的小?！稹?32523后面寫出三個數(shù)字，使所得的六位數(shù)被89整除．那么這三個數(shù)字的和… ?…裝………_…_…○學(xué)○……外內(nèi)……○○……33、要使 能被36整除，而且所得的商最小，那么 分別是多少？34、請求出最大的七位數(shù)，使得它能被、、711、13這個七位數(shù)是多少？試卷第7頁，共14頁…35910個連續(xù)自然數(shù)的和，…○…○也能寫成11個連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？……線線……36、是一個三位它的百位數(shù)字是4， 能被7整除， 能被9整除，問是…………多少？……37、有些數(shù)既能表示成3個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個連續(xù)自然數(shù)的和；還能表○…………訂…※※題※※答※※內(nèi)※○…………訂…57001000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡…※線…述理由.384，5，6，7，8，966766667的結(jié)果是多少？39“……○…………裝…………○※※訂※※裝※※在※※要※※不※※請※※……○…………裝…………○就是一個十全數(shù)．現(xiàn)已知一個十全數(shù)能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位數(shù)是……4876，那么這個十全數(shù)是多少？………………內(nèi)外………………40、從50到100的這51個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的0？……○○…………試卷第8頁，共14頁……………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____…○…………裝………: …校學(xué)○…………內(nèi)…………○… 41、113434011個數(shù)的平均數(shù)是多少？…………線 42、把若干個自然數(shù)1、3……連乘到一起，如果已知這個乘積的最末53位恰好…都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？………○……… 43119911991111報數(shù)，報… 11111訂數(shù)為11的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至1l報數(shù)，報到…… 11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列．那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編… 號是多少？…○…………裝 44、在12、、4……2007這2007個數(shù)中有多少個自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a… 整除?！稹?4514285711整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位… 11.……外……… 46、以多位數(shù) 為例，說明被71113整除的規(guī).…○……… 914頁…47、已知兩個三位數(shù)能被37整除．

………與 的和 能被37整除，試說明：六位數(shù) 也 …○………48、如果能被48、如果能被6整除，那么 也能被6整49、若，試問能否被8整除?請說明理由．． …………○…………訂……○…………線………………○…………線…………○…………訂…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………※※題※※答※※內(nèi)※※線※※訂※※裝※※在※※要※※不※※請※※○…………51、若四位數(shù) 能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？ 裝…………○52、為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼7個數(shù)字組成，它們不是2就是3．在 ……密碼中1的數(shù)目比2多，2的數(shù)目比3多，而且密碼能被3和16所整除．試問密碼是 多少？ 外…………○……試卷第10頁，共14頁 ………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____?！稹b……………… 53、為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由723．在密2334所整除．試求出這個密碼．…………線… 54、一個19位數(shù) 能被13整除，求О內(nèi)的數(shù)字．………○…… 55的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)…… 7整除？訂…………○… 56、多位數(shù) ，能被11整除，最小值為多少？………裝……57、 能被11整除，那么，的最小值為多少？…_…_…學(xué) ○……外內(nèi)58和2008次成為：………….如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù) 是多少？…………○○………………試卷第11頁，共14頁……………59、試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那…○…○么它對應(yīng)的反序數(shù)為6321，它們的和7557是11的倍數(shù)．)……線線60、試說明一個兩位數(shù)，如果將個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，則新……數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除.………………61、試說明一個5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)(如：12367為原序數(shù)，○…………※※題※※答※○…………那么它對應(yīng)的反序數(shù)為76321，它們的差 是99的倍數(shù)．)62、199個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數(shù)字之間剪開，(17之間剪開，得到兩個數(shù)是訂…………○……※內(nèi)※※線※※訂※※裝※※訂…………○……和 )．如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被 整除，么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多?……裝…………○…………在※※要※※不※※請※※……裝…………○…………內(nèi)外……63、一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的4位數(shù).已知這兩個4位數(shù)的……和是以下5個數(shù)的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數(shù)的……和到底是多少?…○…○…………試卷第12頁，共14頁……………_…____：號考____………○…………線…………○…………訂……_ …：級班___：名姓____…○…………裝……………… 644位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的44位數(shù)的千44位數(shù)的和是以… 5個數(shù)的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.4位數(shù)的和到底…… ?…線………… 6550001113.○…………訂 66、用1，9，8，8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位?…………○6712008200857中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個？…………裝… 6815115號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，……?！饘W(xué)…?！饘W(xué)○……外內(nèi)……○○……自然數(shù)？⑵如果告訴你1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請找出這個數(shù)．試卷第13頁，共14頁………………○…………線…………○…………訂…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………※※題※※答※※內(nèi)※※線※※訂※※裝※※在※※要※※不※※請※※……69、某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是他們的電話號碼依次 是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些 ○…電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，…問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？ ……線………70、有一個九位數(shù) 的各位數(shù)字都不相同且全都不為0，并且二位數(shù) 可被2 ○整除三位數(shù) 可被3整除四位數(shù) 可被4整除…依此類推九位數(shù) ……可被9整除．請問這個九位數(shù) 是多少？ ……訂…………○…………裝…………○…………外…………○……試卷第14頁，共14頁 ……參考答案1、9999992、2040、19、905、3206、941857、38、539、610、76876811、3612、5,713、27,8,12,48,35,9.14、(1)8、9 (2)6006015、（1）16、17（2）684684016、717、27720，55440，83160，110880，138600及166320．、55、20、1021、1、71、05、1225、20073121226、5.1127、87541328、122220029、630、2931、86502032、17或833、a=0,b=1,c=534、7402395、495、43937、750,810,870,930,96038、143439、4876391520、14、4542、22443、133144、7、略、略、略、略、能、4、5、1112112、222223254、655、2或9、3、5、46、略、略、略62、27,8,12,48,35,963、986764、969665、1866、1988,1889,8918,881967、22868、6006069、38808970、381654729【解析】1、方法一：顯然，不小于4，原等式變形為化簡得 當(dāng) 時，，于是為同理． ，6，7，8，9，可以得到 為 ，，，，.所有的和是 ．方法二：顯然，

不小于4，若

，為 末尾數(shù)字，所以 ；為 的末2位，所以 ；為 的末3位，所以 為 的末4位，所以 ；為于是

的末5位，所以 ；．同理．.

，6，7，8，9，可以得到 為 ， ， ， ，所有的和是 ．2、由于1～23中有4個5的倍數(shù)，所以 的末尾有4個0，所以 ．由于 ( 去掉末尾的4個0后得到的數(shù)是8的倍數(shù)，那么 是8的倍數(shù)，所以 易知

是9和11的倍數(shù)，所以是9的倍數(shù)；是11的倍數(shù)，那么 或15， 或 ．若 由于 與不合題意所以 ，

(或 )奇偶性相同所以此時得 ， 所以

得 ，．3、方法一：利用整除特征9，11，6整除的數(shù)的特征：99能被1111前隔開，將新組成的兩個數(shù)作差，將是11的倍數(shù)；630，2，4，6，8的其中之一．1+7+3＝11，當(dāng)7時，1735189□79的倍數(shù)；173□7+□1+3＝411+4－7＝8奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為1111的倍數(shù)；1+7+3＝11，當(dāng)1，4，7346的倍數(shù)．所以，這三種情況下填入□內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4＝19．方法二：采用試除法用1730試除，1730÷9＝192……2，1730÷11＝157……3，1730÷6＝288……2．所以依次添上(9－2＝)7、(11－3＝)8、(6－2＝)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，這三種情況下填入□內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4＝19．4、因為105＝3×7×5，所以當(dāng)這個六位數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可．而能被7整數(shù)的數(shù)，將其后三位與前隔開，將新組成的兩個數(shù)作差，將是7的倍數(shù)；能被5整數(shù)的數(shù)，其末位只能是0或5．方法一：利用整除特征①．如果末位填入0，那么數(shù)字和為1+9+9+2+□+0＝21+□，要求數(shù)字和是3□可以為－199＝91917199290790．②．如果末位填入5，同上解法，驗證沒有數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的特征．所以，題中數(shù)的末兩位只能是90．方法二：采用試除法用199200試除，199200÷105＝1897……15，余15可以看成不足(105－15＝)90，所以補(bǔ)上90，即在末兩位的方格內(nèi)填入90即可．5、方法一：利用整除特征50520．在滿足以上條件的情況下，還能被4整除，那么末兩位只能是20、40、60或80．又因為還能同時被9整除，所以這個數(shù)的數(shù)字和也應(yīng)該是9的倍數(shù)，有 ，， ， 24+A，26+B，28+C，30+D，對應(yīng)的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．8的倍數(shù)，再驗證只有19933207數(shù)．因為有同時能被2，4，5，7，8，9整除的數(shù)，一定能同時被2，3，4，5，6，7，8，9這幾個數(shù)整除，所以1993320為所求的這個數(shù)．顯然，其末三位依次為3，2，0．方法二：采用試除法一個數(shù)能同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而將這些數(shù)一一分解質(zhì)因數(shù)：，所以這個數(shù)一定能被23×32×5×7＝8×9×5×7＝2520整除．用1993000試除，1993000÷2520＝790……2200，余2200可以看成不足2520－2200＝320，所以在末三位的方格內(nèi)填入320即可．6、因為100000136599645(100000÷1365＝73……351000035996459964－136＝98289828136969196915－1365＝95550，95550－1365＝94185．所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185．7、方法一：采用試除法823是質(zhì)數(shù)，所以我們掌握的較小整數(shù)的特征不適用，31743÷823＝38……469，于是31743823469354354+823n也是滿足題意的改動．有n＝1時，354+823＝1177，n＝2時，354+823×2＝2000，所以當(dāng)千位增加2，即改為3時，有修改后的五位數(shù)33743為823的倍數(shù)．方法二：視作數(shù)字謎假設(shè)改動數(shù)位不是首位與末位，那么我們考慮3□□□3除以823的商：30003÷823＝36……375；39993÷823＝48……489．37～48823313137～4841．有823×41＝33743．所以改動31743的千位為3即可．8、方法一：采用試除法如果一個數(shù)能同時被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323＝340……191，余191也可以看成不足(323－191＝)132．132+323n100110011323的倍數(shù)．所以有323n的末位只能是10－2＝8，所以n只能是6，16，26，…驗證有n＝1653115311意．方法二：視為數(shù)字謎因為[17，19]＝323，所以有：注意，第3行的個位數(shù)字為1，于是乘數(shù)的個位數(shù)字只能為7，所以第3行為323×7＝2261；于是有 ，所以第4行的末位(10+)1－6＝5，所以乘數(shù)的十位數(shù)只能為5，于是第4行為323×5＝1615；于是有 ，所以第5行(110011－16150－2261＝)91600～(119911－16150－2261＝)101500之間，又是323×100的倍數(shù)，所以只能為32300×3＝96900；于是最終有 ．所以題中的方框內(nèi)應(yīng)填入5，3這兩個數(shù)字．9、我們知道 這樣的六位數(shù)一定能整除、11、下面就可用這個性質(zhì)來試著求解：由上知有 ＝

的末6位數(shù) 必定整除7；×1000000+999999；于是只用考察：×1000000，又因為1000000，7互質(zhì)，所以1000000對整除7沒有影響，所以要求 一定是7的倍數(shù)注意到，實際上我們已經(jīng)將末尾的6個9除去；56我們只用計算55□99當(dāng)“□”取何值時能被7整除，有□為6時滿足．

55□99．評注：對于含有類似 的多位數(shù)，考察其整除7、11、13情況時，可以將 一組一組的除去，直接考察剩下的數(shù)．10、因為168＝23×3×7，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除．能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)．在題中條件下，驗證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由上題知 形式的數(shù)一定是71113的倍數(shù)，所以768768定是7的倍數(shù)，□□□688□不管怎么填都得不到7的倍數(shù)．333定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值，必須滿足，不然本題無解．當(dāng)然驗證的確滿足．所以768768能被168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數(shù)了．11、884)9的倍數(shù)．有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍數(shù)，但是只有456，920，728，536是8的倍數(shù)．驗證這些數(shù)對應(yīng)的自然數(shù)的數(shù)字和：456對應(yīng)123456，數(shù)字和為21，920對應(yīng)123…91011…1920，數(shù)字和為102，728對應(yīng)123…91011…192021…28，數(shù)字和為154，536對應(yīng)123…91011…192021…293031…36，數(shù)字和為207，536123…91011…192021…293031…3689的倍數(shù)．所以，滿足題意的自然數(shù)為36．12、在解這道題之前我們先看一個規(guī)律：(4395699那么互為反序的兩個九位數(shù)的差，一定能被99整除．396＝99×4，所以我們只用考察它能否能被44數(shù)的奇偶性相同時才有可能．(3，8)(8，1)(1，6)處、(9，4)(2，9)(2，5)(7，3(4處剪開的末兩位數(shù)字之差為4的倍數(shù)，不滿足．(5，7)37-25=124的倍數(shù)，處剪開則有末兩位數(shù)字之差為83-57=264的倍數(shù)，不滿足．所以只、7處剪開，所得的兩個互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．13、在解這道題之前我們先看一個規(guī)律：(4395699那么互為反序的兩個九位數(shù)的差，一定能被99整除．396＝99×4，所以我們只用考察它能否能被44數(shù)的奇偶性相同時才有可能．滿足．而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足．處剪開的末兩位數(shù)字之差為85－17＝68，91－57＝34，71－39＝32．所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(8，6)，(5，7)，(1，9)處剪開，所得的兩個互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．處左右兩個數(shù)的乘積為35，9．14、(1)列出這14個除數(shù)：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果這個數(shù)不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，顯然超過兩個自然數(shù)；類似這種情況的還有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；而不能被7整除，那么一定不能被14整除，而這兩個自然數(shù)不連續(xù)；12431123410(25)；14(27)；15(35)；89、11、89．所以說的不對的兩位同學(xué)的編號為8、9這兩個連續(xù)的自然數(shù)．(2)由(1)知，這個五位數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=22×3×5×7×11×13＝60060．所以1號寫出的五位數(shù)為60060．15、(1)列出這19個除數(shù)：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．2→→→4、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；3→→→6、9、12、15、18，所以一定能被3整除；4→→→8、12、16、20，所以一定能被4整除；5→→→10、15、20，所以一定能被5整除；6→→→12、18，所以一定能被6整除；7→→→14，但是7、14不連續(xù)，所以一定能被7整除；8→→→168整除；9→→→189整除；10→→→20，但是不連續(xù)，所以一定能被20整除；11，保留；12→→→不能被3或4整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被12整除；13，保留；14→→→27整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被14整除；15→→→35整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被15整除；18→→→不能被2或9整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被18整除；19，保留；20→→→不能被4或5整除，它們又不連續(xù)，所以一定能被20整除．其中，保留的數(shù)有11，13，16，17，19，但是只有16、17兩個數(shù)連續(xù)，所以說得不對的兩個同學(xué)的編號為16、17．(2)由(1)知，這個七位數(shù)能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：所以[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20]=23×32×5×7×11×13×19＝6846840．所以1號寫出的七位數(shù)為6846840．16、我們設(shè)這四個數(shù)中最小的一個數(shù)為4則先盡量讓a最?。?dāng)＝1設(shè)4個數(shù)中另外三個數(shù)中某個數(shù)為有 必須為整數(shù)而 ＝1+ 則2能(b－1)整除，顯(b－1)只能為2或1，對應(yīng)b只能是3或2，但是題中要求a至少能與三個數(shù)存在差能被和整除的關(guān)系，所以不滿足．當(dāng)2設(shè)4個數(shù)中另外三個數(shù)中某個數(shù)為有 必須為整數(shù)而 ＝1+ 則4能(c－2)整除，(c－2)可以為、、1，對應(yīng)c可以為64或3．32是滿足條件的數(shù)組，它們的中間兩個數(shù)的和為4+3＝7的和．17、取六個數(shù)1，2，3，4，5，6，并把它們兩兩相加得到15個和：1+2，1+3，…，5+6．這15個和的最小公倍數(shù)是：23×32×5×7×11＝27720．把它依次乘所取的六個數(shù)得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．這六個數(shù)就滿足題目得要求．18、0132，135．連續(xù)的自然數(shù)中2的倍數(shù)的個數(shù)遠(yuǎn)大于55有：13×5＝651～65中，25、5025．(13－2)×5＝551×2×3×…055．519515；在10至19中，有10、15，出現(xiàn)2次因數(shù)5；202920、25=5×5，5235；3039、4049251+2+3+2+2=105因子．505950、55、50=2×5×5535因子．551352130．19、975含有2個質(zhì)因數(shù)5935含有1個質(zhì)因數(shù)972含有2個質(zhì)因數(shù)2975×935×972×□的乘積最后4個數(shù)都是0．那么，至少需要4個質(zhì)因數(shù)5，4個質(zhì)因數(shù)2．所以，□至少含有1個質(zhì)因數(shù)5，2個質(zhì)因數(shù)2，即最小為5×2×2＝20．20、如下圖，我們在圖中標(biāo)出每個數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5的個數(shù)，除第一行外，每個數(shù)都是上一行左、右上方兩數(shù)的乘積，所以每個數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5的個數(shù)也都是上一行左、右上方兩數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2、5個數(shù)的和．所以，最后一行的一個數(shù)含有10個質(zhì)因數(shù)2，15個質(zhì)因數(shù)5．而一個數(shù)末尾含有連續(xù)0的個數(shù)決定于質(zhì)因數(shù)2、5個數(shù)的最小值，所以最后一行的一個數(shù)末尾含有10個連續(xù)的0．21、本題為基礎(chǔ)題型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。22、方法一200008被99除商2020余28所以 能被99整除商72時， ，末兩位是28，所以方法二： ，

能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或可得 是71.23、詳解類似上題，從略。填入0524、一個數(shù)是9的倍數(shù)那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)即4 □ 3 2 □是9的倍數(shù)，而4 3 2 9,所以只需要兩個方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)．⑴依次填入36，因為4 3 3 2 6 189433269的倍數(shù)；⑵經(jīng)過分析容易得到兩個方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,和（9,9），12種不同的填法．25、設(shè)原數(shù) ，∵ 或者 ，∵( ) 或者( )或者 根據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得： 或者不成.所以， .26、把□ □元作為整□ □分既然是72本筆記本的總線數(shù)，那就一定能被72整除，又因為

.所以□ □，

□ □. □ □，根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征8通過計算個位□ 又□ 根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，(□顯然前面應(yīng)是3所以這筆帳筆記本的單價是： 元).27、根據(jù)11的整除判定特征我們知道六位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位三個數(shù)字的和的差要為11的倍數(shù)，我們不妨設(shè)奇數(shù)位上的數(shù)和為a，偶數(shù)位上的數(shù)和為b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同時有a-b=0a-b=11a-b=22…ab的和為偶數(shù)，那么差也必須為偶數(shù)，但是a-b22，所以a-b=0，解得a=b=14875413.28、被合數(shù)整除把225分解，分別考慮能被25和9整除特征。 ，所以要求分別25925009整除，所以所有數(shù)字的和是94個2和1個122220。29、因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個人種的棵數(shù)又不超過10所以通過枚舉法來解注意人數(shù)是減去1后是3的倍)： ， 不是3的倍數(shù)； ，不是3的倍數(shù)； ， 不是3的倍數(shù)； ， 不是3的倍數(shù)； ，51個學(xué)生，每個人種了6棵樹.

是3的倍數(shù)；

， 3的倍數(shù)；共有30、因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073數(shù)相乘，一個數(shù)為人數(shù)一個數(shù)為每人種的棵數(shù)，數(shù)是37均每人種了29棵。

，注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù)，所以人31、方法一：設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是所以它應(yīng)滿足以下三個條件：

，因為這個六位數(shù)能分別被3、4、5整除，第一：數(shù)字和第二：末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)第三：末位數(shù)字是0或5。

3的倍數(shù)；4由以上條件，且只能取0或5，又能被45，∴c0，因而b0，2，4，6，8中之一。又3| ，且（8+6+5）除以3余1，∴ 除以3余2。為滿足題“數(shù)值盡可能”，只需取 ， ?！嘁蟮牧粩?shù)是865020。方法二：利用試除法，由于要求最小數(shù)，用是被 整除， ，所以∴要求的六位數(shù)是865020。32、

進(jìn)行試除分別被3、4、5整除，就能被 整除7、89的最小公倍數(shù)是504，所得六位數(shù)應(yīng)被504整除 ，所以所得六位數(shù)是 ，或是17或8．

．因此三個數(shù)字的和33、分解為互質(zhì)的幾個數(shù)的乘積， 分別考慮所以 能被4整,從而只可能是1，要使商最小， 應(yīng)盡可能小先取 又 ，所以 是9的倍數(shù)所以 ， 時，取得最小.34、解法一：7×11×13＝1001，999×1001＝9999991001×abcd＝abcd000＋abcd，如果c9，那么b就會重復(fù)，所以c＝95的倍數(shù)，所以d＝5，要使最大，先假設(shè)a＝8時，b8，5，2都不符合要求，當(dāng)a＝7時，b9，6，374023957×11×13＝10011001解法二:假設(shè)這個七位數(shù)是abcdefg，滿足abcd－efg＝n00n，很容易得出c＝0，f＝9，be相1，如果g＝0，那么a＝d，所以g＝5。假設(shè)a＝8，那么e7，6，經(jīng)檢驗都不符合要求。假設(shè)a＝7，那么d＝2，b和e4，3，經(jīng)檢驗剛好可7402395.35、9個奇數(shù)為例子：我們可以令連續(xù)9個奇數(shù)為：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4則他們的和為9a，即為9的倍數(shù)。對于連續(xù)10個自然數(shù)，可以為a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5則它們的和為10a+5=5（2a+1），即是5的倍數(shù)且除以5后商是奇數(shù)。所以本題中要求的數(shù)是5，9，11的最小公倍數(shù)的倍數(shù)即495的倍數(shù)，最小值即495.36、能被7整除，說明

能被7整除；

能被9整除，說明能被9整除； 則 符合上述兩個條.(因 ，則可以寫成這樣的形式：.

).又是一個百位數(shù)字是4的三位數(shù)，估算知，37、33整除；42整除，2所得的商是奇數(shù)，也就是說它不能被442；5個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被5253030．3、5606030就可以滿足條件．

，所以第一個符合題意的數(shù)是

，最大的一個數(shù)是 ，共計

個數(shù)，分別為750、810、870、930、960．38、本題考察對數(shù)字667的特殊認(rèn)識，即667×3=2001。667組合320012001900400956478956478÷667=1434。39、這個十全數(shù)能被10整除，個位數(shù)字必為0；能被4整除，十位數(shù)字必為偶數(shù)，末兩位只能是設(shè)這個十全數(shù)為 由于它能被11整除所以奇位數(shù)上的數(shù)字和與偶位數(shù)上的數(shù)字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、 、 ．由于、、、四個數(shù)9

即 所以、是9和5；、是3和1，這個十全數(shù)只能是4876391520，4876351920，4876193520，48761539201317整除，經(jīng)檢驗，只有4876391520件．、6070809010070658595和任意偶數(shù)相07520，505乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生1個0，所以一共有 個0．41、因為 由于在11個連續(xù)的兩位數(shù)中至多只能有2個數(shù)是7的倍數(shù)所以其中49的倍數(shù)，那就只能是4998．又因為乘積的末40，所以這連11451135的倍數(shù)，至多只能有125的倍數(shù)，所以其中有一個必須是2525501149505的倍數(shù)，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它們的平均數(shù)即為它們的中45．42、1到10的乘積里會出現(xiàn) 和10兩次末尾添零的情況，估算從200開始，是022040220224．43、第一次報數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號都是11的倍數(shù)；第二次報數(shù)后留下的同學(xué)他們最初編號都是 的倍數(shù)；第三次報數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號都是的倍數(shù)．因此，第三次報數(shù)后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是44、本題考察代數(shù)知識的綜合技巧，是一道難度較大的題目。要使得2008+a能被2007-a整除我們可以將條件等價的轉(zhuǎn)化為只要讓 是一個整數(shù)即可下面是一個比較的技巧，我們知道若a可以使得 是一個整數(shù)，那么a也同樣可以使得2007-a4015的約數(shù)即可，將40158個因數(shù)，其中40152007-a4015的a7個均可以有對應(yīng)的a的值，所以滿足條件的a7個。45、因為根據(jù)整除性質(zhì)1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被11整除，再根據(jù)整性質(zhì)1要判斷 能否被11整除只需判斷能否被11整除，因此結(jié)論得到說明.46、因為根據(jù)整除性質(zhì)和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被71113整除，再據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷 能否被、11、13整除，只需判斷能否被7、11、13整除，因此結(jié)論得到說明.47、99937能被37整除，而37整除．

也能被37整除，所以其和也能被37整除，即 能被48、∵∴2|∴2|e∴6|3e∵3|∴3|a+b+c+d+e∴6|2(a+b+c+d+e)∴6|2(a+b+c+d+e)-3e∴6|2（a+b+c+d）-e49、由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即. ，有能被8整除，而 也能被8整除，所以 能被8整.50、考慮到 ，而 是奇數(shù)，所以 必為8的倍數(shù)，因此可得 ；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，其各位數(shù)字之和

不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù)因能被9整除，所以 .

必須是51、因為15是3和5的倍數(shù)，所以 既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是0或5，能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)．當(dāng) 時，不是3的倍數(shù)當(dāng) 時， 是3的倍數(shù)所以，代表的數(shù)字是552、密碼由7位數(shù)字組成，如果有兩個3的話，那么至少是 位數(shù)，與題意不符只有一個3的話，那么至少有兩個2.如果有三個2，那么1至少有四個，總共至少有2有四個，如此，各數(shù)位數(shù)字和為3的倍數(shù)，所以密碼中沒有3，只有1212組成的四位數(shù)中211216整除（從個位向高數(shù)位推得），所以密碼的后四位是2112，所以前31112222222112211112112.53、23要多，所以24567個．當(dāng)24172516261527個時，數(shù)字14．由于一個數(shù)能被3整除時，它的數(shù)字和也能被3整除，所以密碼中2631個．另外，一個數(shù)能被4整除，那么它的末兩位數(shù)也應(yīng)當(dāng)能被4322222232．54、∵13| ，∴13| ，∴13|7777770000000+∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|

，∴13|

444∵ ，∴0

2，∴設(shè)

=777055、由于 可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼，并不改變其對7的整除性于是還?！?從中減去6303并除以10即“ ”7.322392729.56、奇數(shù)位數(shù)字之和為 ，偶數(shù)位數(shù)字之和為11，n3．

，這個多位數(shù)整除11，即57、中奇位數(shù)減偶位數(shù)的差為是11的倍數(shù)，所以的最小值是5.

當(dāng) 時，58、因為 ，所以 也是7和13的倍數(shù)，因為能被7和13整除的點(diǎn)是末三位和前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，即 也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知 末三位和前面數(shù)字的差即為：也是7和13的倍數(shù)，即 也是7和13的倍數(shù)，由此可知數(shù)字是： ，所

也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的.59、設(shè)原序數(shù)為 ，則反序數(shù)為 ，則＋，因為等式的右邊能被除

整除，所以 能被11整60、設(shè)原來的兩位數(shù)為 ，則新的兩位數(shù)為. － .因為 能被9整除，所以他們的差能被9整.61、設(shè)原序數(shù)為－

，則反序數(shù)為 ，則因為等式的右邊能被