第4章平面一般力系4.1力的平移定理4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化4.3簡化結(jié)果分析4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程4.5物體系統(tǒng)的平衡4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題1第4章平面一般力系4.1力的平移定理4.2平面一般4.1力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力,可以平行地移動到剛體上任一指定點(diǎn)，為使該力對剛體的作用效果不變，必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原力對該指定點(diǎn)的力矩。24.1力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力,可以平行4.1力的平移定理力的平移定理的逆定理一個力平移的結(jié)果可得到同平面的一個力和一個力偶。反之同平面的一個力F和一個力偶矩為M的力偶也一定能合成為一個大小和方向與力F相同的力。其作用點(diǎn)到力作用線的距離為34.1力的平移定理力的平移定理的逆定理一個力平移的結(jié)果可得4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化設(shè)在剛體上作用一平面一般力系F1

,F2

,…Fn各力作用點(diǎn)分別為A1

,

A2,…

An如圖所示。在平面上任選一點(diǎn)O為簡化中心。44.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化設(shè)在剛體上作用原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點(diǎn)的一個平面匯交力系F1,F2，

…

Fn以及相應(yīng)的一個力偶矩分別為M1,M2,…Mn的附

加平面力偶系。根據(jù)力的平移定理,將各力平移到簡化中心O。4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化5原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點(diǎn)的一個平面匯交力系F1,F2F1=F1,

F2'=F2,…Fn'=FnM1=Mo(F1),M2=Mo(F2),…Mn=Mo(Fn)其中：4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化6F1=F1,F2'=F2,…Fn'=FnM1=

一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合成為作用于O點(diǎn)的一個力,其力矢量R’稱為原力系的主矢。FR'=F'i=Fi4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化7一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化一般情況下附加平面力偶系可合成一個力偶,其力偶矩Mo

稱為原力系對于簡化中心O的主矩。Mo=Mi=Mo(Fi)

84.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化一般情況下附加平面力平面一般力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個力和一個力偶，這個力作用線過簡化中心，大小和方向等于該力系的主矢；這個力偶的力偶矩等于該力系對簡化中心的主矩。結(jié)論4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化

力系的主矢FR'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。

力系對于簡化中心的主矩Mo,一般與簡化中心的位置有關(guān)。9平面一般力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個力和一個主矢的計(jì)算:Mo=Mo(Fi)

F/Rx=F/xi=FxiF/Ry=F/yi=Fyi主矩的計(jì)算:4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化10主矢的計(jì)算:Mo=Mo(Fi)F/Rx=F固定端約束:既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束

當(dāng)被固定端約束的物體所受的主動力是平面一般力系時，物體所受的約束反力也一定形成一個與主動力有關(guān)的平面一般力系。4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化11固定端約束:既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束4.3簡化結(jié)果分析(1)FR'

0,Mo

=0：FR'

=FioFR'

MOoFR'原力系簡化為一個作用于簡化中心O的合力FR'124.3簡化結(jié)果分析(1)FR'0,Mo=原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo。Mo

=Mo(Fi)oFR'

MOo

MO(2)FR'=0,Mo

0：4.3簡化結(jié)果分析13原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,Mo=oFRo1力系可以簡化為一個合力FR,其大小和方向均與FR/相同，但是作用在另一點(diǎn)O1。即：

FR=FR'oFR'

MOd(2)FR'

0,Mo

0：根據(jù)力的平移定理的逆定理：4.3簡化結(jié)果分析14oFRo1力系可以簡化為一個合力FR,其大小和方向均與FR其作用線位置與簡化中心點(diǎn)O的距離為:4.3簡化結(jié)果分析Mo(FR)=FRd=Mo而Mo=Mo(Fi)Mo(FR)=Mo(Fi)OFR01d合力對O點(diǎn)的矩：xy(x,0)FRxFRyx15其作用線位置與簡化中心點(diǎn)O的距離為:4.3簡化結(jié)果分析M合力矩定理：

當(dāng)平面一般力系簡化為一個合力時,合力對力系所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩,等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。Mo(FR)=Mo(FRx)+Mo(FRy)=FRyx=Mo

4.3簡化結(jié)果分析(4)FR=0,Mo

=0原力系為平衡力系，其簡化

結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。16合力矩定理：當(dāng)平面一般力系簡化為一個合力四、平行分布的線荷載的簡化均布線荷載非均布線荷載---三角形荷載4.3簡化結(jié)果分析17四、平行分布的線荷載的簡化均布線荷載非均布線荷載---三角形4.3簡化結(jié)果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一個合力。它是分布荷載集度曲線與x軸圍成的曲邊梯形的面積。由合力矩定理，可以得到合力作用線位置合力作用線通過該曲邊梯形的形心，方向同分布力方向。184.3簡化結(jié)果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一個合力AabBql1、均布線荷載的簡化FRCl/2合力大小:FR=ql合力作用線通過中心線AB的中點(diǎn)C4.3簡化結(jié)果分析19AabBql1、均布線荷載的簡化FRCl/2合力大小:FABbqml2、三角形荷載的簡化：C2l/3FR合力大小:合力作用點(diǎn)C的位置：4.3簡化結(jié)果分析20ABbqml2、三角形荷載的簡化：C2l/3FR合力大例題1求圖示力系合成的結(jié)果。xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O4.3簡化結(jié)果分析21例題1求圖示力系合成的結(jié)果。xyF1(2,1)514.3簡化結(jié)果分析解:1、取0點(diǎn)為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系：主矢：FR/=Fi主矩：MA=mA(Fi)xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R224.3簡化結(jié)果分析解:1、取0點(diǎn)為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O2、求力系的主矢θF/RF/Rx=FiX=F1cosβ-F2cos45o+F3

=70NF/Ry=Fiy=F1sinβ

+F2sin45o

=150N4.3簡化結(jié)果分析23xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R3、求力系的主矩MO=MO(Fi)=-F1cosβ×1+F1sinβ×2+F2cos450×2

-F2sin450×3+M+F3

×4=580N·m因?yàn)橹魇?、主矩均不?，所以簡化的最終結(jié)果為一個合力，此合力的大小和方向與主矢相同。F1xF1yF2yF2yMO4.3簡化結(jié)果分析24xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/RF1XF1yF2xF2yMO4、求合力的作用線位置：所以簡化的最終結(jié)果為一個合力FR。θFRXO14.3簡化結(jié)果分析25xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程

一、平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點(diǎn)的主矩都等于零。FR'=0MO

=0二、平面一般力系的平衡方程=0=0主矩：Mo=Mo(Fi)264.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程一、平面一般力(b)二矩式要求：投影軸x不能與矩心A和B的連線垂直。(c)三矩式要求：三個矩心A,B和C不在一直線上。MA(Fi)=0MB(Fi)=0Fx

=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0MC(Fi)=0xABABC4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程(a)一矩式Fx=0Fy=0Mo(Fi)=027(b)二矩式要求：(c)三矩式要求：三個矩心A,B三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2Fx0Fy=0Mo(Fi)=0(a)一矩式AB(b)二矩式MA(Fi)=0MB(Fi)=0xyO4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程28三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2Fx1、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；2、適當(dāng)選取投影軸和矩心或矩軸，列平衡方程；3、解平衡方程，得未知量。最好做到列一個方程，就能解出一個未知量。4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程四、平衡問題求解步驟291、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；2、適當(dāng)選取投影l(fā)/2l/2ABCMP解:取水平梁AB為研究對象畫受力圖。l/2l/2ABCMPFAxFAyRB例在水平梁AB上作用一力偶矩為M

的力偶,在梁的中點(diǎn)C處作用一集中力P它與水平的夾角為,如圖所示。梁長為l

且自重不計(jì)。求支座A和B的反力。4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程30l/2l/2ABCMP解:取水平梁AB為研究對l/2l/2ABCMPFAxFAyRBFAx-Pcos=0FAx=Pcos

MA(Fi)=0FAy-Psin+RA=0Fx=0Fy=0列平衡方程求解:dxy04.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程31l/2l/2ABCMPFAxFAyRBFAx-P例：塔式起重機(jī)如圖所示。設(shè)機(jī)身的重力為G1，載重的重力為G2，距離右軌的最大距離為L，平衡重物的重量為G3，求起重機(jī)滿載和空載均不致翻倒時，平衡重物的重量G3所滿足的條件。

G2G1CeabLG3AB4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程32例：塔式起重機(jī)如圖所示。G2G1CeabLG3AB4.4G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重機(jī)為研究對象，畫出受力圖1、滿載時，當(dāng)重物距離右軌最遠(yuǎn)時，當(dāng)起重機(jī)平衡時mB(F)=0-G1·e-G2·L-FA·b+G3·(a+b)=0FA=[-G1·e-G2·L+G3·（a+b）]/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FA0G3(G1×e+G2×L)/（a+b）

4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程33G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重機(jī)為研究對象，畫2、空載時，G2=0，當(dāng)起重機(jī)平衡時：mA(F)=0

G3·a-G1·(b+e)+FB

·b=0FB=[-G3·a+G1·(b+e)]/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FB0G3G1·(b+e)/a

(G1·e+G2·L)/(a+b)G3G1·(b+e)/a

所以，兩種情況下起重機(jī)均不翻倒的條件為：G2G1CeabLFAFBG3AB4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程342、空載時，G2=0，當(dāng)起重機(jī)平衡時：mA(F)=4.5物體系統(tǒng)的平衡當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時，其中的每一部分也一定處于平衡。因此，在解決物體系統(tǒng)的平衡時，既可選取整體為研究對象，也可選取其中的某部分為研究對象，然后列出相應(yīng)的平衡方程以解出所需的未知量。物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各個物體之間的作用力。外力：系統(tǒng)外其它物體對系統(tǒng)內(nèi)物體的作用力。內(nèi)力不出現(xiàn)在整體的受力圖中。354.5物體系統(tǒng)的平衡當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時，其中例：圖示平面結(jié)構(gòu)，由

懸臂剛架ABC和梁CD

鉸接而成。已知

F=10kN,qB=6kN/m。

求A、C和

D的約束反力。CqBF1m2m2mAB2mD4.5物體系統(tǒng)的平衡36例：圖示平面結(jié)構(gòu)，由

懸臂剛架ABC和梁CD

鉸接而成。已知CDqCFCxFCyFDFq1MC(Fi)=0FD=1KNFx=0Fcx=0Fy=0Fcy+FD-Fq1=0Fcy=2KN

解：（1）取梁CD為研究對象，受力分析：4.5物體系統(tǒng)的平衡37CDqCFCxFCyFDFq1MC(Fi)=0FD=1FAyFqFAxMAMA(Fi)=0MA=-8KN.mFx=0FAx-F=0Fy=0FAy+FD-Fq=0

FAy=11KN

（2）取整體為研究對象，受力分析：FAx=10KNFDADxy0BCqBF4.5物體系統(tǒng)的平衡38FAyFqFAxMAMA(Fi)=0MA=-8KN.m例：組合梁ABC的

支承與受力情況如

圖所示。已知P=

30kN,Q=20kN,

=45o。求支座

A和C的約束力。2m2m2m2mPQABC4.5物體系統(tǒng)的平衡39例：組合梁ABC的

支承與受力情況如

圖所示。已知P=2m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC桿為研究對象畫受力圖。MB(Fi)=0-Q×2sin

+4RC

=0RC=7.07kNd4.5物體系統(tǒng)的平衡402m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC桿為研究對象畫2、取整體為研究對象畫受力圖2m2m2m2mPQABCMARCFAxFAy4.5物體系統(tǒng)的平衡Fx=0FAx-Qcos=0Fy=0FAy-P-Qsin

+RC=0

14.14kNFAx=Qcos=FAy=37.07kNMA(Fi)=0

MA-2×P-Q×6sin

+8RC=0

MA=31.72kN.m412、取整體為研究對象畫受力圖2m2m2m2mPQABCMA4.5物體系統(tǒng)的平衡構(gòu)架尺寸如圖所示。已知C為BD的中點(diǎn)，物重為G，各桿及滑輪的重量不計(jì),鉸鏈均為光滑,繩子不可伸長。試求A、B處的約束力及C處所受的力。424.5物體系統(tǒng)的平衡構(gòu)架尺寸如圖所示。已知C為BD的4.5物體系統(tǒng)的平衡解：（1）以BD為研究對象，受力如右圖。434.5物體系統(tǒng)的平衡解：（1）以BD為研究對象，受力4.5物體系統(tǒng)的平衡（2）再以ACE桿為研究對象，受力如右圖。444.5物體系統(tǒng)的平衡（2）再以ACE桿為研究對象，受解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組成。(b)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或部分為研究對象進(jìn)行受力分析并畫受力圖。(c)列平衡方程并解出未知量。4.5物體系統(tǒng)的平衡45解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組DCAB2m1m1m2m0.5mPqOq例：鋼架ABC和梁CD,支承與荷載如圖所示.已知P=5kN,q=200N/m,qO=300N/m.求支座A和B的反力.4.5物體系統(tǒng)的平衡46DCAB2m1m1m2m0.5mPqOq例：鋼架ABC和梁C解:取整體為研究對象Xi=0XA-Q2=0XA=300NDCAB2m1m1m2m0.5mPqOqRDRBXAYAQ1=500N1.25mQ2=300N1.33m4.5物體系統(tǒng)的平衡47解:取整體為研究對象Xi=0XA-Q2=0XA取CD為研究對象MC(Fi)=0DPRDXCYC1m1mCP-2RD=0RD=2.5kN取整體為研究對象mA(Fi)=0-4.5RD+3.5P–2RB+1.25Q1+0.67Q2=0RB=3538NYi=0RD–P+RB-Q1+YA=0YA=-538N4.5物體系統(tǒng)的平衡48取CD為研究對象MC(Fi)=0DPRDXCYC1m1靜定與靜不定問題

對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。

若未知量的數(shù)目超過獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題。4.5物體系統(tǒng)的平衡49靜定與靜不定問題對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于一、摩擦現(xiàn)象

摩擦是機(jī)械運(yùn)動中一種普遍的現(xiàn)象。摩擦現(xiàn)象廣泛地存在于日常生活中。1、滑動摩擦:兩個物體接觸面作相對滑動或具有相對滑動趨勢時的摩擦。

動滑動摩擦----具有相對滑動靜滑動摩擦----具有相對滑動趨勢2、滾動摩擦:一個物體在另一個物體上滾動時的摩擦4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題50一、摩擦現(xiàn)象摩擦是機(jī)械運(yùn)動中一種普遍的現(xiàn)象。1、滑動A二、滑動摩擦

當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動或有相對滑動趨勢時,在兩個物體的接觸面上就有阻礙它們做相對滑動的機(jī)械作用出現(xiàn),這種機(jī)械作用稱為滑動摩擦力，這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦。APT重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個水平拉力T的作用PTFNFFx

=0T-F=0F=T

F:靜滑動摩擦力（靜摩擦力）1、靜滑動摩擦定律4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題51A二、滑動摩擦當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動或有相對F

max臨界平衡狀態(tài)：FFmax：最大靜摩擦力APTFNF

實(shí)驗(yàn)表明：F

max的大小與接觸面上法向反力FN的

大小成正比，方向與物體相對滑動趨勢的方向相反。靜滑動摩擦定律f-----靜摩擦系數(shù)F

max=f

FN

4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題52Fmax臨界平衡狀態(tài)：FFmax：最大靜摩擦力APTFN2、動滑動摩擦定律F

=fFN

f

-----動摩擦系數(shù)

當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動時,它們所受的摩擦力，稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力。用F

表示。實(shí)驗(yàn)表明：f

<f4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題實(shí)驗(yàn)表明：動摩擦力F的大小與接觸面上法向反力FN

的大小成正比，方向與物體相對滑動的方向相反。動滑動摩擦定律532、動滑動摩擦定律F=fFNf----三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象PTF法向反力FN和靜摩擦力F的合力FR稱為支承面對物體作用的約束全反力。FNFR:摩擦角1、摩擦角4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題54三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象PTF法向反力FN和靜摩擦力F的合力FPTFmaxFNFR摩擦角是靜摩擦力達(dá)到最大值時,全反力與支承面法線的夾角。2、自鎖現(xiàn)象FNTFRFfmaxP(1)FRa與FR不可能共線，此時兩力不符合二力平衡條件,物體將發(fā)生滑動。FRaFRFRa4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題55PTFmaxFNFR摩擦角是靜摩擦力達(dá)到最大值時,2、自鎖現(xiàn)α(2)

FRa與FR可能共線，物體將會處于平衡狀態(tài)。FRaFR只要物體所受的主動力合力FRa的作用線在摩擦角的范圍之內(nèi),即<m時,物體僅依靠摩擦總能靜止而與主動力大小無關(guān)的現(xiàn)象,稱為自鎖。（3）=m,物體處于臨界平衡狀態(tài)GNFmax

FRαα<m4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題56α(2)FRa與FR可能共線，F(xiàn)RaFR只要物體所四、考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮摩擦的平衡問題,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)靜摩擦力的大小由平衡條件確定,同時應(yīng)與最大靜摩擦力比較.若F

Fmax

,則物體平衡;否則物體不平衡。

(2)在臨界狀態(tài)下,靜摩擦力為最大值Fmax

,應(yīng)滿足關(guān)系式Fmax=f

FN。

(3)由于0F

F

max

,問題歸結(jié)為求解平衡范圍。一般設(shè)物體處于臨界狀態(tài),此時F

=

F

max。

(4)當(dāng)物體尚未達(dá)到臨界狀態(tài)時,靜摩擦力的方向可以假定。當(dāng)物體達(dá)到臨界狀態(tài)時,靜摩擦力的方向與相對滑動趨勢的方向相反。4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題57四、考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮摩擦的平衡問題,應(yīng)注意以αGFGFminFNFmaxα例：將重量為G的物塊放在斜面上。已知物塊與斜面的靜摩擦系數(shù)為f,且斜面的傾角α>m。若用一水平力F使物體平衡，求該力所可能有的最大值和最小值。解：1、下滑的臨界狀態(tài)：對物塊進(jìn)行受力分析：4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題58αGFGFminFNFmaxα例：將重量為G的物塊放在斜面上GFminFNFmaxαxyα平面匯交力系建立圖示坐標(biāo)系：列平衡方程：Fx

=0Fmax+Fmin

cosα-Gsinα=0(1)Fmax=fFN

(3)

Fy=

0FN-Fmin

sinα-Gcosα=0(2)

f=tan

m

(4)

聯(lián)立以上四式，可得：Fmin=Gtan(α-m)

4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題59GFminFNFmaxαxyα平面匯交力系建立圖示坐標(biāo)系：列GFmaxFNFmaxαxyα2、上滑的臨界狀態(tài)：對物塊進(jìn)行受力分析：建立圖示坐標(biāo)系,列平衡方程：Fx

=0-Fmax+Fmax

cosα-Gsinα=0(1)Fmax=fFN

(3)

Fy=0FN-Fmax

sinα-Gcosα=0(2)

f=tan

m

(4)

4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題60GFmaxFNFmaxαxyα2、上滑的臨界狀態(tài)：對物塊進(jìn)行GFmaxFNFmaxαxyαFminGFNFmaxαxyαFmax=Gtan(α+m)

綜合以上兩種情況，為使物塊平衡，則力F應(yīng)滿足：Fmin<F<Fmax即：Gtan(α-m)

<F<Gtan(α+m)4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題聯(lián)立以上四式，可得：61GFmaxFNFmaxαxyαFminGFNFmaxαxyαBAGC例：梯子AB長為2a,重為W，梯子的下端A擱在水平地上,上端B靠在鉛直墻上。設(shè)地面和墻與梯子間的摩擦角均為m

。求梯子平衡時，它與地面的夾角。4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題62BAGC例：梯子AB長為2a,重為W，梯子的下端A擱在NABAGCNBBGCAFAFB解一：選梯子為研究對象，受力分析：根據(jù)平面一般力系的平衡列平衡方程，然后結(jié)合靜摩擦定律，可以求解。（略）4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題63NABAGCNBBGCAFAFB解一：選梯子為研究對象，mNABAGCNBBGCAFAmaxFBmaxRARBm+m900-(+m)Dm解二：假設(shè)梯子處于臨界平衡狀態(tài)，根據(jù)摩擦角的定義：4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題64mNABAGCNBBGCAFAmaxFBmaxRARB第4章平面一般力系4.1力的平移定理4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化4.3簡化結(jié)果分析4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程4.5物體系統(tǒng)的平衡4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題65第4章平面一般力系4.1力的平移定理4.2平面一般4.1力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力,可以平行地移動到剛體上任一指定點(diǎn)，為使該力對剛體的作用效果不變，必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原力對該指定點(diǎn)的力矩。664.1力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力,可以平行4.1力的平移定理力的平移定理的逆定理一個力平移的結(jié)果可得到同平面的一個力和一個力偶。反之同平面的一個力F和一個力偶矩為M的力偶也一定能合成為一個大小和方向與力F相同的力。其作用點(diǎn)到力作用線的距離為674.1力的平移定理力的平移定理的逆定理一個力平移的結(jié)果可得4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化設(shè)在剛體上作用一平面一般力系F1

,F2

,…Fn各力作用點(diǎn)分別為A1

,

A2,…

An如圖所示。在平面上任選一點(diǎn)O為簡化中心。684.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化設(shè)在剛體上作用原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點(diǎn)的一個平面匯交力系F1,F2，

…

Fn以及相應(yīng)的一個力偶矩分別為M1,M2,…Mn的附

加平面力偶系。根據(jù)力的平移定理,將各力平移到簡化中心O。4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化69原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點(diǎn)的一個平面匯交力系F1,F2F1=F1,

F2'=F2,…Fn'=FnM1=Mo(F1),M2=Mo(F2),…Mn=Mo(Fn)其中：4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化70F1=F1,F2'=F2,…Fn'=FnM1=

一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合成為作用于O點(diǎn)的一個力,其力矢量R’稱為原力系的主矢。FR'=F'i=Fi4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化71一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化一般情況下附加平面力偶系可合成一個力偶,其力偶矩Mo

稱為原力系對于簡化中心O的主矩。Mo=Mi=Mo(Fi)

724.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化一般情況下附加平面力平面一般力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個力和一個力偶，這個力作用線過簡化中心，大小和方向等于該力系的主矢；這個力偶的力偶矩等于該力系對簡化中心的主矩。結(jié)論4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化

力系的主矢FR'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。

力系對于簡化中心的主矩Mo,一般與簡化中心的位置有關(guān)。73平面一般力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個力和一個主矢的計(jì)算:Mo=Mo(Fi)

F/Rx=F/xi=FxiF/Ry=F/yi=Fyi主矩的計(jì)算:4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化74主矢的計(jì)算:Mo=Mo(Fi)F/Rx=F固定端約束:既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束

當(dāng)被固定端約束的物體所受的主動力是平面一般力系時，物體所受的約束反力也一定形成一個與主動力有關(guān)的平面一般力系。4.2平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化75固定端約束:既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束4.3簡化結(jié)果分析(1)FR'

0,Mo

=0：FR'

=FioFR'

MOoFR'原力系簡化為一個作用于簡化中心O的合力FR'764.3簡化結(jié)果分析(1)FR'0,Mo=原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo。Mo

=Mo(Fi)oFR'

MOo

MO(2)FR'=0,Mo

0：4.3簡化結(jié)果分析77原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,Mo=oFRo1力系可以簡化為一個合力FR,其大小和方向均與FR/相同，但是作用在另一點(diǎn)O1。即：

FR=FR'oFR'

MOd(2)FR'

0,Mo

0：根據(jù)力的平移定理的逆定理：4.3簡化結(jié)果分析78oFRo1力系可以簡化為一個合力FR,其大小和方向均與FR其作用線位置與簡化中心點(diǎn)O的距離為:4.3簡化結(jié)果分析Mo(FR)=FRd=Mo而Mo=Mo(Fi)Mo(FR)=Mo(Fi)OFR01d合力對O點(diǎn)的矩：xy(x,0)FRxFRyx79其作用線位置與簡化中心點(diǎn)O的距離為:4.3簡化結(jié)果分析M合力矩定理：

當(dāng)平面一般力系簡化為一個合力時,合力對力系所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩,等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。Mo(FR)=Mo(FRx)+Mo(FRy)=FRyx=Mo

4.3簡化結(jié)果分析(4)FR=0,Mo

=0原力系為平衡力系，其簡化

結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。80合力矩定理：當(dāng)平面一般力系簡化為一個合力四、平行分布的線荷載的簡化均布線荷載非均布線荷載---三角形荷載4.3簡化結(jié)果分析81四、平行分布的線荷載的簡化均布線荷載非均布線荷載---三角形4.3簡化結(jié)果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一個合力。它是分布荷載集度曲線與x軸圍成的曲邊梯形的面積。由合力矩定理，可以得到合力作用線位置合力作用線通過該曲邊梯形的形心，方向同分布力方向。824.3簡化結(jié)果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一個合力AabBql1、均布線荷載的簡化FRCl/2合力大小:FR=ql合力作用線通過中心線AB的中點(diǎn)C4.3簡化結(jié)果分析83AabBql1、均布線荷載的簡化FRCl/2合力大小:FABbqml2、三角形荷載的簡化：C2l/3FR合力大小:合力作用點(diǎn)C的位置：4.3簡化結(jié)果分析84ABbqml2、三角形荷載的簡化：C2l/3FR合力大例題1求圖示力系合成的結(jié)果。xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O4.3簡化結(jié)果分析85例題1求圖示力系合成的結(jié)果。xyF1(2,1)514.3簡化結(jié)果分析解:1、取0點(diǎn)為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系：主矢：FR/=Fi主矩：MA=mA(Fi)xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R864.3簡化結(jié)果分析解:1、取0點(diǎn)為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O2、求力系的主矢θF/RF/Rx=FiX=F1cosβ-F2cos45o+F3

=70NF/Ry=Fiy=F1sinβ

+F2sin45o

=150N4.3簡化結(jié)果分析87xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R3、求力系的主矩MO=MO(Fi)=-F1cosβ×1+F1sinβ×2+F2cos450×2

-F2sin450×3+M+F3

×4=580N·m因?yàn)橹魇?、主矩均不?，所以簡化的最終結(jié)果為一個合力，此合力的大小和方向與主矢相同。F1xF1yF2yF2yMO4.3簡化結(jié)果分析88xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/RF1XF1yF2xF2yMO4、求合力的作用線位置：所以簡化的最終結(jié)果為一個合力FR。θFRXO14.3簡化結(jié)果分析89xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程

一、平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點(diǎn)的主矩都等于零。FR'=0MO

=0二、平面一般力系的平衡方程=0=0主矩：Mo=Mo(Fi)904.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程一、平面一般力(b)二矩式要求：投影軸x不能與矩心A和B的連線垂直。(c)三矩式要求：三個矩心A,B和C不在一直線上。MA(Fi)=0MB(Fi)=0Fx

=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0MC(Fi)=0xABABC4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程(a)一矩式Fx=0Fy=0Mo(Fi)=091(b)二矩式要求：(c)三矩式要求：三個矩心A,B三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2Fx0Fy=0Mo(Fi)=0(a)一矩式AB(b)二矩式MA(Fi)=0MB(Fi)=0xyO4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程92三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2Fx1、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；2、適當(dāng)選取投影軸和矩心或矩軸，列平衡方程；3、解平衡方程，得未知量。最好做到列一個方程，就能解出一個未知量。4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程四、平衡問題求解步驟931、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；2、適當(dāng)選取投影l(fā)/2l/2ABCMP解:取水平梁AB為研究對象畫受力圖。l/2l/2ABCMPFAxFAyRB例在水平梁AB上作用一力偶矩為M

的力偶,在梁的中點(diǎn)C處作用一集中力P它與水平的夾角為,如圖所示。梁長為l

且自重不計(jì)。求支座A和B的反力。4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程94l/2l/2ABCMP解:取水平梁AB為研究對l/2l/2ABCMPFAxFAyRBFAx-Pcos=0FAx=Pcos

MA(Fi)=0FAy-Psin+RA=0Fx=0Fy=0列平衡方程求解:dxy04.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程95l/2l/2ABCMPFAxFAyRBFAx-P例：塔式起重機(jī)如圖所示。設(shè)機(jī)身的重力為G1，載重的重力為G2，距離右軌的最大距離為L，平衡重物的重量為G3，求起重機(jī)滿載和空載均不致翻倒時，平衡重物的重量G3所滿足的條件。

G2G1CeabLG3AB4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程96例：塔式起重機(jī)如圖所示。G2G1CeabLG3AB4.4G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重機(jī)為研究對象，畫出受力圖1、滿載時，當(dāng)重物距離右軌最遠(yuǎn)時，當(dāng)起重機(jī)平衡時mB(F)=0-G1·e-G2·L-FA·b+G3·(a+b)=0FA=[-G1·e-G2·L+G3·（a+b）]/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FA0G3(G1×e+G2×L)/（a+b）

4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程97G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重機(jī)為研究對象，畫2、空載時，G2=0，當(dāng)起重機(jī)平衡時：mA(F)=0

G3·a-G1·(b+e)+FB

·b=0FB=[-G3·a+G1·(b+e)]/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FB0G3G1·(b+e)/a

(G1·e+G2·L)/(a+b)G3G1·(b+e)/a

所以，兩種情況下起重機(jī)均不翻倒的條件為：G2G1CeabLFAFBG3AB4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程982、空載時，G2=0，當(dāng)起重機(jī)平衡時：mA(F)=4.5物體系統(tǒng)的平衡當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時，其中的每一部分也一定處于平衡。因此，在解決物體系統(tǒng)的平衡時，既可選取整體為研究對象，也可選取其中的某部分為研究對象，然后列出相應(yīng)的平衡方程以解出所需的未知量。物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各個物體之間的作用力。外力：系統(tǒng)外其它物體對系統(tǒng)內(nèi)物體的作用力。內(nèi)力不出現(xiàn)在整體的受力圖中。994.5物體系統(tǒng)的平衡當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時，其中例：圖示平面結(jié)構(gòu)，由

懸臂剛架ABC和梁CD

鉸接而成。已知

F=10kN,qB=6kN/m。

求A、C和

D的約束反力。CqBF1m2m2mAB2mD4.5物體系統(tǒng)的平衡100例：圖示平面結(jié)構(gòu)，由

懸臂剛架ABC和梁CD

鉸接而成。已知CDqCFCxFCyFDFq1MC(Fi)=0FD=1KNFx=0Fcx=0Fy=0Fcy+FD-Fq1=0Fcy=2KN

解：（1）取梁CD為研究對象，受力分析：4.5物體系統(tǒng)的平衡101CDqCFCxFCyFDFq1MC(Fi)=0FD=1FAyFqFAxMAMA(Fi)=0MA=-8KN.mFx=0FAx-F=0Fy=0FAy+FD-Fq=0

FAy=11KN

（2）取整體為研究對象，受力分析：FAx=10KNFDADxy0BCqBF4.5物體系統(tǒng)的平衡102FAyFqFAxMAMA(Fi)=0MA=-8KN.m例：組合梁ABC的

支承與受力情況如

圖所示。已知P=

30kN,Q=20kN,

=45o。求支座

A和C的約束力。2m2m2m2mPQABC4.5物體系統(tǒng)的平衡103例：組合梁ABC的

支承與受力情況如

圖所示。已知P=2m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC桿為研究對象畫受力圖。MB(Fi)=0-Q×2sin

+4RC

=0RC=7.07kNd4.5物體系統(tǒng)的平衡1042m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC桿為研究對象畫2、取整體為研究對象畫受力圖2m2m2m2mPQABCMARCFAxFAy4.5物體系統(tǒng)的平衡Fx=0FAx-Qcos=0Fy=0FAy-P-Qsin

+RC=0

14.14kNFAx=Qcos=FAy=37.07kNMA(Fi)=0

MA-2×P-Q×6sin

+8RC=0

MA=31.72kN.m1052、取整體為研究對象畫受力圖2m2m2m2mPQABCMA4.5物體系統(tǒng)的平衡構(gòu)架尺寸如圖所示。已知C為BD的中點(diǎn)，物重為G，各桿及滑輪的重量不計(jì),鉸鏈均為光滑,繩子不可伸長。試求A、B處的約束力及C處所受的力。1064.5物體系統(tǒng)的平衡構(gòu)架尺寸如圖所示。已知C為BD的4.5物體系統(tǒng)的平衡解：（1）以BD為研究對象，受力如右圖。1074.5物體系統(tǒng)的平衡解：（1）以BD為研究對象，受力4.5物體系統(tǒng)的平衡（2）再以ACE桿為研究對象，受力如右圖。1084.5物體系統(tǒng)的平衡（2）再以ACE桿為研究對象，受解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組成。(b)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或部分為研究對象進(jìn)行受力分析并畫受力圖。(c)列平衡方程并解出未知量。4.5物體系統(tǒng)的平衡109解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組DCAB2m1m1m2m0.5mPqOq例：鋼架ABC和梁CD,支承與荷載如圖所示.已知P=5kN,q=200N/m,qO=300N/m.求支座A和B的反力.4.5物體系統(tǒng)的平衡110DCAB2m1m1m2m0.5mPqOq例：鋼架ABC和梁C解:取整體為研究對象Xi=0XA-Q2=0XA=300NDCAB2m1m1m2m0.5mPqOqRDRBXAYAQ1=500N1.25mQ2=300N1.33m4.5物體系統(tǒng)的平衡111解:取整體為研究對象Xi=0XA-Q2=0XA取CD為研究對象MC(Fi)=0DPRDXCYC1m1mCP-2RD=0RD=2.5kN取整體為研究對象mA(Fi)=0-4.5RD+3.5P–2RB+1.25Q1+0.67Q2=0RB=3538NYi=0RD–P+RB-Q1+YA=0YA=-538N4.5物體系統(tǒng)的平衡112取CD為研究對象MC(Fi)=0DPRDXCYC1m1靜定與靜不定問題

對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。

若未知量的數(shù)目超過獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題。4.5物體系統(tǒng)的平衡113靜定與靜不定問題對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于一、摩擦現(xiàn)象

摩擦是機(jī)械運(yùn)動中一種普遍的現(xiàn)象。摩擦現(xiàn)象廣泛地存在于日常生活中。1、滑動摩擦:兩個物體接觸面作相對滑動或具有相對滑動趨勢時的摩擦。

動滑動摩擦----具有相對滑動靜滑動摩擦----具有相對滑動趨勢2、滾動摩擦:一個物體在另一個物體上滾動時的摩擦4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題114一、摩擦現(xiàn)象摩擦是機(jī)械運(yùn)動中一種普遍的現(xiàn)象。1、滑動A二、滑動摩擦

當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動或有相對滑動趨勢時,在兩個物體的接觸面上就有阻礙它們做相對滑動的機(jī)械作用出現(xiàn),這種機(jī)械作用稱為滑動摩擦力，這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦。APT重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個水平拉力T的作用PTFNFFx

=0T-F=0F=T

F:靜滑動摩擦力（靜摩擦力）1、靜滑動摩擦定律4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題115A二、滑動摩擦當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動或有相對F

max臨界平衡狀態(tài)：FFmax：最大靜摩擦力APTFNF

實(shí)驗(yàn)表明：F

max的大小與接觸面上法向反力FN的

大小成正比，方向與物體相對滑動趨勢的方向相反。靜滑動摩擦定律f-----靜摩擦系數(shù)F

max=f

FN

4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題116Fmax臨界平衡狀態(tài)：FFmax：最大靜摩擦力APTFN2、動滑動摩擦定律F

=fFN

f

-----動摩擦系數(shù)

當(dāng)兩個相互接觸的物體有相對滑動時,它們所受的摩擦力，稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力。用F

表示。實(shí)驗(yàn)表明：f

<f4.6考慮摩擦?xí)r的平衡問題實(shí)驗(yàn)表明：動摩擦力F的大小與接觸面上法向反力FN

的大小成正比，方向與物體相對滑動的方向相反。動滑動摩擦定律1172、動滑動摩擦定律F=f