試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北師大版（2019）選修第二冊(cè)第二章全章綜合檢測(cè)一、單選題1．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．2．對(duì)于函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，的圖象在處的切線方程為；③當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且極小值屬于區(qū)間；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．43．函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A． B．C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿足，則下列式子成立的是（）A． B．C． D．5．若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則A． B． C． D．以上都不對(duì)6．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．7．意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地猜測(cè)鏈條自然下垂時(shí)的形狀是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為雙曲余弦型函數(shù)：（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．當(dāng)a=2時(shí)，記，，，則p，m，n的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．8．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A．-1 B．1 C．2 D．3二、多選題9．某果園引入數(shù)字化管理系統(tǒng)，對(duì)果園規(guī)劃，果樹種植?環(huán)境監(jiān)測(cè)?生產(chǎn)銷售等進(jìn)行統(tǒng)一管理.經(jīng)數(shù)據(jù)分析師建模.測(cè)算﹐果園內(nèi)某種熱帶水果的年產(chǎn)量為萬斤，年成本為萬元，單價(jià)(萬元/萬斤)是與產(chǎn)量相關(guān)的隨機(jī)變量，其分布列為：利用該模型進(jìn)行分析﹐下列說法正確的是（）A．期望隨著年產(chǎn)量的增大而減小，最高為萬元/萬斤B．年成本隨著年產(chǎn)量的增大而減小C．方差為定值D．利用該模型估計(jì)，當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，該果園年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)約為萬元10．下列曲線中，與直線相切的是（）．A．曲線 B．曲線C．曲線 D．曲線11．函數(shù)、，下列命題中正確的是（）A．不等式的解集為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若時(shí)，總有恒成立，則12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)(一個(gè)數(shù)學(xué)分支)里一個(gè)非常重要的定理，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的圖象為連續(xù)不斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A． B．，C． D．三、雙空題13．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為，則實(shí)數(shù)的值為______，切點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．四、填空題14．如果對(duì)定義在R上的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)都有①②③④以上函數(shù)是“”的所有序號(hào)為_______________.15．若對(duì)，函數(shù)在內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______16．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則__________．五、解答題17．設(shè)函數(shù).（1）設(shè)，，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）設(shè)，若對(duì)任意，都有，求b的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）記，是的導(dǎo)函數(shù)，如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，證明：.19．1.已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).20．已知函數(shù)處的切線l與直線垂直，函數(shù)（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求的最小值．21．曲線C：在點(diǎn)處的切線為：，在點(diǎn)處的切線為：，求曲線C的方程．22．已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)）．（1）當(dāng)曲線與直線切于點(diǎn)時(shí)，求，的值；（2）設(shè)，如果在上恒成立，求的取值范圍．答案第=page2323頁，共=sectionpages2323頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除A，由定義域可排除C，然后當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出在上的單調(diào)性，在區(qū)間內(nèi)有極小值，由此排除D，得出答案.【詳解】易知為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由此排除A;由定義域知，由此排除C；又當(dāng)時(shí)，由，令，解得，令，解得所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在區(qū)間內(nèi)有極小值，由此排除D故選：B2．C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值以及零點(diǎn)問題的處理辦法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】對(duì)于①：，，其定義域?yàn)?，且，故是奇函?shù)；且，因?yàn)?，，所以，①正確；對(duì)于②：，，，在處的切線為，②不正確；對(duì)于③：，，解，由，的圖象數(shù)形結(jié)合可得僅有一個(gè)極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，，其極小值，③正確；對(duì)于④：，，且時(shí)，，可得在上沒有零點(diǎn)；，在上，，，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；，由題意得，且，所以和上各有一個(gè)零點(diǎn)，④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，判斷命題的真假，考查了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．3．A【解析】【分析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，故，因?yàn)?，因此，函?shù)的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.4．A【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：依題意，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以即故選：A.【點(diǎn)睛】四種常用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法：（1）對(duì)于不等式(或)，構(gòu)造函數(shù)．（2）對(duì)于不等式(或)，構(gòu)造函數(shù)．（3）對(duì)于不等式(或)，構(gòu)造函數(shù)．（4）對(duì)于不等式(或)，構(gòu)造函數(shù)．5．B【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求出f′（1）的值，得到函數(shù)的二次函數(shù)解析式，判斷即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），即f′（1）=-2，故f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，則f（0）=f（4），故選B．【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出f′（1）的值是解決本題的關(guān)鍵，題中2f′（1）作為二次函數(shù)中的一次項(xiàng)的系數(shù)存在，在求導(dǎo)時(shí)若g（x）=ax，則g′（x）=a．6．B【解析】【詳解】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，所以，總有，即恒成立，整理得到.令，則.因?yàn)樵谑菃握{(diào)減函數(shù)且，所以在上恒成立，故在上是恒成立的，在上為增函數(shù)，所以，故，選B.點(diǎn)睛：此題為與對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可知導(dǎo)數(shù)在給定的范圍上是非負(fù)的，從而原不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問題，故只要考慮函數(shù)在的最大值，通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以得到的單調(diào)性從而得到最大值為，也就是.7．B【解析】【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分析即得解【詳解】由題意知，，當(dāng)a=2時(shí)，定義域?yàn)?，且故為偶函?shù)又，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增因?yàn)?，又，所以，即故選：B8．B【解析】直接利用平均變化率公式進(jìn)行求值.【詳解】因?yàn)?，所以在區(qū)間上的平均變化率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的平均變化率，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．AC【解析】【分析】故隨著年產(chǎn)量的增大而減小，最高為(萬元/萬斤)，故A正確；年成本隨著年產(chǎn)量的增大而增大，故B錯(cuò)誤﹔，故C正確﹔當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減﹐則當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，約為萬元﹐故D錯(cuò)誤；【詳解】故隨著年產(chǎn)量的增大而減小，最高為(萬元/萬斤)，故A正確；，易知故年成本隨著年產(chǎn)量的增大而增大，故B錯(cuò)誤﹔，故C正確﹔年利潤(rùn)則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減﹐則當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，約為萬元﹐故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．ABD【解析】對(duì)A，聯(lián)立直線與曲線方程，利用判別式可判斷；對(duì)B，求出曲線導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于2，求出切點(diǎn)，再驗(yàn)證切點(diǎn)是否滿足；對(duì)C，根據(jù)直線與漸近線平行可判斷；對(duì)D，求出曲線導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于2，求出切點(diǎn)，再驗(yàn)證切點(diǎn)是否滿足.【詳解】對(duì)A，將直線代入曲線可得，則，則直線與曲線相切，故A正確；對(duì)B，直線的斜率為2，對(duì)，可得，令，解得，代入直線可得切點(diǎn)為，滿足在上，故直線與曲線相切，故B正確；對(duì)C，的一條漸近線為，和直線平行，故直線與曲線相交于一點(diǎn)，故不相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，又可得，令，解得或1，當(dāng)時(shí)，代入直線可得切點(diǎn)，不滿足在曲線上；當(dāng)時(shí)，代入直線可得切點(diǎn)為，滿足在曲線上，故直線與曲線相切，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查判定直線與曲線是否相切，一般采用的方法為，若曲線是橢圓、雙曲線或拋物線，可聯(lián)立直線與曲線方程，利用判別式判斷；若曲線是函數(shù)曲線，則可通過求導(dǎo)進(jìn)行判斷.11．AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，結(jié)合恒成立問題求參，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】因?yàn)椤?，則，令，可得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞增；令，可得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，，且，故的圖象如下所示：對(duì)A，數(shù)形結(jié)合可知，的解集為，故A正確；對(duì)B，由上面分析可知，B錯(cuò)誤；對(duì)C，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)，又，要滿足題意，則需在有兩根，也即在有兩根，也即直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).數(shù)形結(jié)合則，解得.故要滿足題意，則，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)D，若時(shí)，總有恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，故在單調(diào)遞增，則在恒成立，也即在區(qū)間恒成立，則，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，恒成立問題求參數(shù)范圍，屬較難題.12．BD【解析】對(duì)于ABC：通過解方程可得答案；對(duì)于D，通過作出兩個(gè)函數(shù)的圖象可得答案.【詳解】四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象顯然都是連續(xù)不斷的，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，該方程無解，故A不滿足；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，解得，故B滿足；對(duì)于C：當(dāng)，即時(shí)，無實(shí)數(shù)根，故C不滿足；對(duì)于D；畫出與的圖象顯然有交點(diǎn)，即存在一個(gè)點(diǎn)，使得，故D滿足；綜上，BD均滿足.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的定義求解是解題關(guān)鍵.13．【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和兩點(diǎn)連線斜率公式可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得：，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，又直線恒過點(diǎn)，，，解得：，，切點(diǎn)故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查“在”與“過”某一點(diǎn)的曲線切線方程的求解，方法如下：（1）“在”：該點(diǎn)必為切點(diǎn)，則切線方程為；（2）“過”：分為該點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況，若是切點(diǎn)，則與“在”某一點(diǎn)的切線方程的求法相同；若不是切點(diǎn)，求法如下：①假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)；②利用切線斜率，構(gòu)造方程，可求得切線斜率；③根據(jù)直線點(diǎn)斜式求得切線方程：.14．①②【解析】【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等價(jià)為（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等價(jià)為（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．y=ex+1為增函數(shù)，滿足條件；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件；y=﹣x3+x+1；y′=﹣3x2+1，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，不滿足條件；④．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為①②，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．15．【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，解得或，依題意可得位于內(nèi)，得到不等式組，解得的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)?，所以令，解得或要使函?shù)，對(duì)在內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù)，所以解得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16．【解析】【詳解】由題可得：，所以對(duì)稱中心為（，），設(shè)g(x)上任意一點(diǎn)，因?yàn)殛P(guān)于（，）對(duì)稱，所以P關(guān)于其對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為在g(x)上，且所以，故201717．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）判斷的符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)判斷定理，即可得證；（2）由題意可得在，的最大值與最小值的差，討論對(duì)稱軸與區(qū)間，的關(guān)系，求得最值，可得，解不等式可得的范圍．【詳解】解：（1）證明：因?yàn)椋?，，所以，所以，所以在，存在零點(diǎn)，又當(dāng)，時(shí)，，即在，遞增，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，都有等價(jià)為在，的最大值與最小值的差．①當(dāng)或，即或時(shí)，，解得或；②當(dāng)，即時(shí)，恒成立；③當(dāng)，即時(shí)，恒成立．綜上，的取值范圍為．18．（1）見解析（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）取出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可；（2）求出，令，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．詳解：（1）的定義域?yàn)椋?設(shè)，為二次函數(shù)，對(duì)稱軸，且恒過點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí),，所以，在上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，令，可得，.若時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意，，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2），.將兩式相減，整理得，即，所以令，，則，所以在上單調(diào)遞減，故又，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．(1)當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明過程見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后通過對(duì)分情況討論，研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問的結(jié)果，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值的符合證明(1)，當(dāng)時(shí)，，由得：，由，得：，故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，令得：或由得：，此時(shí)由得：或，此時(shí)故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由（1）可知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，由零點(diǎn)存在性定理可得：：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)20．（Ⅰ）；（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍為；（Ⅲ）所求最小值為.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用求導(dǎo)，將處的切線的斜率求出，與直線的斜率乘積為，進(jìn)而求得的值；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得到的解析式，若函數(shù)存在單調(diào)遞