第4講萬有引力理論的成就[目標(biāo)定位]1.了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.2.會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量，了解“稱量地球質(zhì)量”“計(jì)算太陽質(zhì)量”的基本思路.3.掌握運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析天體運(yùn)動(dòng)問題的思路．一、“科學(xué)真是迷人”重力與萬有引力：若不考慮地球的自轉(zhuǎn)，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力______地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝______，所以地球質(zhì)量：M＝______.二、計(jì)算天體的質(zhì)量1．行星繞太陽、衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是它們間的______提供的．測量出環(huán)繞周期T和環(huán)繞半徑r，由公式：Geq\f(Mm,r2)＝_______，可得中心天體的質(zhì)量M＝_______.2．觀測行星的運(yùn)動(dòng)，可以計(jì)算______的質(zhì)量；觀測衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，可以計(jì)算______的質(zhì)量．想一想若已知衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和衛(wèi)星到地心的距離r，可以計(jì)算衛(wèi)星的質(zhì)量嗎？三、發(fā)現(xiàn)未知天體1．海王星的發(fā)現(xiàn)英國劍橋大學(xué)的學(xué)生__________和法國年輕的天文學(xué)家________根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的______在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——__________.2．海王星的發(fā)現(xiàn)和__________的“按時(shí)回歸”確立了萬有引力定律的地位，也成為科學(xué)史上的美談．一、天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算1．天體質(zhì)量的計(jì)算(1)“自力更生法”：若已知天體(如地球)的半徑R和表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于天體對物體的引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，因g、R是天體自身的參量，故稱“自力更生法”．(2)“借助外援法”：借助繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星計(jì)算中心天體的質(zhì)量，常見的情況：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r?M＝eq\f(4π2r3,GT2)，已知繞行天體的r和T可以求M.2．天體密度的計(jì)算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊情況，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r可認(rèn)為等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).注意：(1)計(jì)算天體的質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體．要明確計(jì)算出的是中心天體的質(zhì)量．(2)要注意R、r的區(qū)分．一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑．若繞“近地”軌道運(yùn)行，則有R＝r.若衛(wèi)星離“地面”高度為h，則r＝R＋h.例1在萬有引力常量G已知的情況下，再知道下列哪些數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量()A．地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期及地球離太陽的距離B．人造地球衛(wèi)星在地面附近繞行的角速度和運(yùn)行周期C．月球繞地球運(yùn)行的周期及地球半徑D．若不考慮地球自轉(zhuǎn)，已知地球半徑和地球表面的重力加速度例2地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為()A.eq\f(3g,4πRG) B.eq\f(3g,4πR2G)C.eq\f(g,RG) D.eq\f(g,RG2)二、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算1．基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供．2．常用關(guān)系(1)Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r(2)mg＝Geq\f(Mm,R2)(物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為黃金代換式．3．四個(gè)重要結(jié)論：設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越?。?2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越?。?3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．(4)由Geq\f(Mm,r2)＝ma向得a向＝eq\f(GM,r2)，r越大，a向越小．以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”．例3如圖1所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則()圖1A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度例4地球的兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶2，軌道半徑之比r1∶r2＝1∶2.求：(1)線速度大小之比；(2)角速度之比；(3)運(yùn)行周期之比；(4)向心力大小之比．天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算1．一艘宇宙飛船繞一個(gè)不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要()A．測定飛船的運(yùn)行周期 B．測定飛船的環(huán)繞半徑C．測定行星的體積 D．測定飛船的運(yùn)行速度2．假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行周期為T1，已知引力常量為G，則該天體的密度為_____．若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又可表示為_____．天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算圖23．如圖2所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不考慮質(zhì)量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的()A．線速度大B．向心加速度大C．運(yùn)行周期長D．角速度小4．(2015·福建理綜·14)如圖3，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則()圖3A.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1)) B.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r1,r2))C.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r2,r1))2 D.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r1,r2))2

答案精析第4講萬有引力理論的成就預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)一、等于Geq\f(Mm,R2)eq\f(gR2,G)二、1.萬有引力meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2req\f(4π2r3,GT2)2．太陽行星想一想不可以．因?yàn)閑q\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，等式兩邊衛(wèi)星的質(zhì)量消去了，只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量．三、1.亞當(dāng)斯勒維耶伽勒海王星2．哈雷彗星課堂講義例1D[已知地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的情況只能求太陽的質(zhì)量，A錯(cuò)；已知衛(wèi)星的角速度(或周期)及做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，才能求地球的質(zhì)量，B錯(cuò)；已知月球繞地球運(yùn)行的周期及軌道半徑才能求地球質(zhì)量，C錯(cuò)；由mg＝Geq\f(Mm,R2)得M＝eq\f(gR2,G)，D對．]例2A[忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對處于地球表面的物體，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，又地球質(zhì)量M＝ρV＝eq\f(4,3)πR3ρ.代入上式化簡可得地球的平均密度ρ＝eq\f(3g,4πRG).]例3ABD[因衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們所受的萬有引力提供，而b所受的引力最小，故A對；由eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2).即衛(wèi)星的向心加速度與軌道半徑的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯(cuò)；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM)).即人造地球衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期與其軌道半徑三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r)).即地球衛(wèi)星的線速度與其軌道半徑的平方根成反比，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對．]例4見解析解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，兩顆人造衛(wèi)星的線速度分別為v1、v2，角速度分別為ω1、ω2，運(yùn)行周期分別為T1、T2，向心力分別為F1、F2.(1)根據(jù)萬有引力和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(\f(GM,r1),\f(GM,r2)))＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(2,1))＝eq\f(\r(2),1)故二者線速度之比為eq\r(2)∶1.(2)根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律v＝ωr得ω＝eq\f(v,r)所以eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(v1,v2)·eq\f(r2,r1)＝eq\f(2\r(2),1)，故二者角速度之比為2eq\r(2)∶1.(3)根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律T＝eq\f(2π,ω)，所以eq\f(T1,T2)＝eq\f(ω2,ω1)＝eq\f(1,2\r(2))故二者運(yùn)行周期之比為1∶2eq\r(2).(4)根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，有F＝Geq\f(mM,r2)所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(m1,m2)·eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(2,1)故二者向心力之比為2∶1.對點(diǎn)練習(xí)1．A[取飛船為研究對象，由Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)及M＝eq\f(4,3)πR3ρ，知ρ＝eq\f(3π,GT2).A對．故選A.]2.eq\f(3π,GT\o\al(2,1))eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R得M＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)).根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知星球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，故該星球密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT\o\al(2,1)).衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))(R＋h)得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))，ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3).3．CD[飛船繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，即F引＝F向，所以Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝eq\f(mv2,r)＝meq\f(4π2r,T2)＝mrω2，即a向＝eq\f(GM,r2