關于函數(shù)值域的求法精品第一頁，共八頁，2022年，8月28日一、配方法形如

y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)

的函數(shù)常用配方法求函數(shù)的值域,要注意

f(x)

的取值范圍.例1(1)求函數(shù)

y=x2+2x+3

在下面給定閉區(qū)間上的值域:二、換元法通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法,把無理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉化為代數(shù)函數(shù)來求函數(shù)值域的方法(關注新元范圍).例2求下列函數(shù)的值域:(1)

y=x-

x-1;(2)

y=x+

2-x2;(3)

y=sinx+cosx+sinxcosx+1

.①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].34[

,

+∞)(2)求函數(shù)

y=sin2x+4cosx+1

的值域.[-3,5].[0,

+2]32[-2

,2]第二頁，共八頁，2022年，8月28日三、方程法四、分離常數(shù)法利用已知函數(shù)的值域求給定函數(shù)的值域.例3求下列函數(shù)的值域:2x+12x

(1)y=;sinx-3(2)y=;sinx+2(3)y=3+2+x+2-x;主要適用于具有分式形式的函數(shù)解析式,通過變形,將函數(shù)化成

y=a+的形式.b

g(x)例4求下列函數(shù)的值域:2x+12x

(1)y=;sinx-3(2)y=.sinx+2(0,1)32[-

,

-]14(0,1)32[-

,

-]14(4)若f(x)的值域為[

,],求

y=f(x)+

1-2f(x)

的值域.49387879[

,

]

[5,

3+2

2

]第三頁，共八頁，2022年，8月28日五、判別式法例5求函數(shù)y

=

的值域.x2+x+1x2-x主要適用于形如

y

=(a,d不同時為零)的函數(shù)(最好是滿足分母恒不為零).ax2+bx+c

dx2+ex+f

六、均值不等式法(1)y=;x2+12x例6求下列函數(shù)的值域:(2)y=(x>1).x-1x2-2x+5[-1,1]

[4,

+∞)

能轉化為

A(y)x2+B(y)x+C(y)=0

的函數(shù)常用判別式法求函數(shù)的值域.利用基本不等式求出函數(shù)的最值進而確定函數(shù)的值域.要注意滿足條件“一正、二定、三等”.[1-,

1+

]233233第四頁，共八頁，2022年，8月28日七、利用函數(shù)的單調性八、數(shù)形結合法主要適用于

(1)

y=ax+b+cx+d(ac>0)形式的函數(shù);(2)利用基本不等式不能求得

y=x+

(k>0)的最值(等號不成立)時.k

x

例7求下列函數(shù)的值域:(1)y=1-2x-

x;(2)y=x+(0<x≤1);4x

12[-,

+∞)[5,

+∞)

當函數(shù)的解析式明顯具備某種幾何意義,像兩點間的距離公式、直線斜率等時可考慮用數(shù)形結合法.例8求下列函數(shù)的值域:(1)y=|x-1|+|x+4|;sinx-3(2)y=;2+cosx(3)y=2x2-6x+9

+

2x2-10x+17;(4)

若

x2+y2=1,求

x+y

的取值范圍;(5)

若

x+y=1,求

x2+y2的取值范圍.[5,

+∞)

12[

,

+∞)(0,3](3)y=x+3-

x

.[-2-,

-2+

]

233233[2

5,

+∞)[-2

,2]第五頁，共八頁，2022年，8月28日九、導數(shù)法對于可導函數(shù),可利用導數(shù)的性質求出函數(shù)的最值,進而求得函數(shù)的值域.例9求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的值域:(2)y=x5-5x4+5x3+2,

x∈[-1,2].(1)y=x+,x∈[1,4];4x

[4,5][-9,3]1.求下列函數(shù)的值域:值域課堂練習題(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+4

1-x;(3)y=x+1-x2;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-∞,4](4)[3,+∞)(4)y=|x+1|+(x-2)2;(3)[-1,2]點此播放講課視頻第六頁，共八頁，2022年，8月28日(5)y=;2-cosx

sinx(6)y=;x2+x+12x2-x-2(7)y=(<x≤);2x-12x2-x+11232(8)y=x+

x+1;(9)y=;2+sinx

2-sinx

(10)y=

x2+4

+(x+1)2+9

.(8)[-1,+∞)(9)[

,3]13(10)[

26

,+∞)(5)[-

,]3