關(guān)于函數(shù)展開成冪級數(shù)第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日1定理若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù)；且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同，即收斂域1.冪級數(shù)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):復(fù)習(xí)第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日2?求部分和式的極限二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和?逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難（在收斂區(qū)間內(nèi)）第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日3第五節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第九章展開方法直接展開法間接展開法第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日4則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如:第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日5則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日6則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如:無窮級數(shù)有限形式表示函數(shù)第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日7一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(在x與x0之間)稱為拉格朗日余項(xiàng).則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n階泰勒公式

,該鄰域內(nèi)有:1.回憶泰勒公式第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日8為f(x)

的泰勒級數(shù).

則稱待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),2.泰勒級數(shù)定義:當(dāng)x0=0時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).？第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日9定理1.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有3.泰勒級數(shù)的收斂定理:泰勒級數(shù)收斂于f(x)第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日10定理2.若f(x)能展成x的冪級數(shù),則這種展開式是惟一的,且證:

設(shè)f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.4.系數(shù)的惟一性定理:第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日11說明：2)冪級數(shù)的展開式是唯一的.？問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日12二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開0.求第二步寫出泰勒級數(shù),并求出其收斂半徑R;則第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日13例1.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足故(在0與x之間)故得級數(shù)第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日14例2.

將展開成x的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日15常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式（要求牢記?。┑谑?，共二十六頁，2022年，8月28日162.間接展開法根據(jù)唯一性,利用已知的函數(shù)展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,函數(shù)已知展開式的新函數(shù)轉(zhuǎn)化將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).例1.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:把x換成,得第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日17解思考：例2將展開成x的冪級數(shù).將-2x代入上式中x的位置，即得將展開成x的冪級數(shù).將展開成x的冪級數(shù).第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日18解例3將展開成x的冪級數(shù).第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日19例4.

將展成解:

的冪級數(shù).第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日20例5解第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日21例6.

將在x=0處展為冪級數(shù).解:因此第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日22例7.將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解:x＝±1時,此級數(shù)條件收斂,因此第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日23注意：把函數(shù)展開為冪級數(shù)的間接展開法實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化函數(shù)展開式已知的新函數(shù)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)：1)有理函數(shù)轉(zhuǎn)化2)指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化3)對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化4)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化5)反三角函數(shù)：先求導(dǎo)化為有理函數(shù)，再積分第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日