偏微分方程理論學(xué)習(xí)總結(jié)任榮珍院系：理學(xué)院班級：19學(xué)號：偏微分方程理論學(xué)習(xí)總結(jié)來我想就我這學(xué)期學(xué)習(xí)了這門課做一個簡單的總結(jié)。下面就來介紹有關(guān)偏微分方程的發(fā)展簡介：展沒有常微分方程的發(fā)展早，所以要談偏微分方程就先來談一下常微分方程。知曉的那些事實，而且得到了新的發(fā)現(xiàn)(例如，海王星的發(fā)現(xiàn)就是在對微分方程分析的基礎(chǔ)上作出的)。紀中葉導(dǎo)致了分析學(xué)的一個新的分支——數(shù)學(xué)物理方程的建立。J.達朗貝爾(Alembert)(1717-1783、L歐拉(Euler)(1707-1783、D伯努利(Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、拉普拉斯(Laplace)(1749-1827)S.泊松(Poisson)(1781-1840)J.傅里葉(Fourier)(1768-1830)發(fā)展的基礎(chǔ)。是一位磨坊工出身、自學(xué)成才的英國數(shù)學(xué)家，位勢方程也稱為拉普拉斯方程：V

2V

2V

2V02x 2y 2z6面我就來介紹一些關(guān)于線性橢圓形方程的一些定理及應(yīng)用巧分單位分解定理、齊次化邊界條件、振動方法等單位分解定理：(設(shè),1 2

,...,k

是開集組，K是緊集，滿足K存在函數(shù)

C(j 0

)，使得j

0，

1，K的領(lǐng)域內(nèi)j

1)j接下來介紹一些重要的不等式：一、基本不等式Cauchy不等式對任意的a,b0，有

jjab

a2b22 2帶的Cauchy不等式對任意的ab0和0，有Jensen 不等式設(shè)RR是下凸的，則

ab

a22

b22( 1 bft)dt) 1 b(ft))dtba a ba a對有限區(qū)間[a,bfabR均成立Young不等式對任意ab0,1pq111，有p qab

apbqk，則jk，則jj帶的Young不等式對任意ab0和0，1pq11

1，有Holder不等式

ab

app

p qqpbqq u v

， 1p,q，111p qHolder不等式 uu

dxu u

...u

， 1...

1 1 12

k 1

2

kp p1 k() Minkowski不等式設(shè)1pqfgLp(，fgLp(，使

fg

Lp()

fLp()

gLp()對任意a,a1 2

,...,ak

0，有(aa

)1k

aa1

k12 kLp空間的內(nèi)插不等式

k1 a 1auLr二、內(nèi)插不等式Green恒等式)

ua

u1a，srtLt

r s tuudxu2dxuuds nn(x)ux記號u(x)n(x)uxn內(nèi)插不等式)

(x)nxi

為ux的外法向?qū)?shù)。設(shè)2pu是光滑函數(shù)，在u0，則(ni1

u pdx)2pC(urdx1r(n uxi i xxi,jxi

sdx)2s其中Cp211p r s三、Sobolev不等式設(shè)uWLp(Rn):RnR，則對1Pn，有0其中Cp及

(uRn

dx1pCni1

(uiRn xi

pdx)1p的知識。弱極值原理:假設(shè)u:R是C2() C0()函數(shù)，滿足微分不等式Luauij xxij

bui xi

cu0 in其中aij

bi

及c有界，且c(x)0 in，則supumax(0,supu) 特別地，若c0，則有supusupu 解的上下界模的估計：假設(shè)u是方程au bu cufixiij xxxiij i u oaij

bi

及c有界，且在內(nèi)c(x0，則存在僅依賴于及系數(shù)abij i

c的常數(shù)C，使得supusupCsupf u一定在的邊界取得它的最大值或最小值，但并不排除u在內(nèi)也能取得最大(小)值，下面所講的強極值原理說明，在一定條件下，若u不恒為常數(shù)，則u強極值原理。若函數(shù)uC2()C0(在Lu0且在一個內(nèi)點處c(x0，則u為常數(shù)。接下來介紹弱解的極值原理，并由此獲得問題(au) bu cuf(f

iniij x x i xixi j i ix u0o弱解的存在性，這里我們采用DeGiorgi迭代法。為了更精確地敘述弱極值原理，我們需要引進上、下解的概念定義1：uH1()稱為方程a(u,v)T,v的弱下解(弱上解、弱)，如果對任意C(，0，有0a(u,)(,)T,(f,)0其中

(fi,D)i 0a(u,) [auu

事實上式

ij x x i xi j ia(u,)(,)T,(f,)0對于任意H1()，max(,0)也成立0

(fi,D)i 0設(shè)L的系數(shù)滿足式aij

()與式 biLni

cLn2

，且在內(nèi)幾乎處處成立，如果uH1(是方程a(uvTv的弱下解，則對于任pn，

esssupusupuC(

npLnp()

fiLp()

11)np)其中C僅依賴于np，以及bi

c，的下界無關(guān)。紹有關(guān)線性橢圓形中有關(guān)解的估計、存在性及連續(xù)性梯度的邊界估計：定理1.1假設(shè)u滿足au bu

cuf(in)ij xx i xij i u0(o)其中系數(shù)abij i

cf也有界，c0且aij

滿足橢圓性假設(shè)條件，滿足外球條件，則存在僅依賴于aij解的梯度在上的估計：定理1.2假設(shè)u是問題

bcf及的常數(shù)C使得isupuCau bu

cuf(in)ij xx i xij i u0(o)的解，其中aij

滿足橢圓假設(shè)條件，a，bij i

與c有有界的導(dǎo)數(shù)，且c0，則存在僅依賴于 (出現(xiàn)在橢圓假設(shè)條件中)及a，bij i

c的W1,模的常數(shù)C，使得supusupuC(supusupfsupf) 解的梯度在上的估計有時是無用的，因為難以估計supu，在這種情況下，我們考慮函數(shù)

W'(x)2(x)u(x)2u2(x)其中(x是一光滑的截割函數(shù)，在附近它恒為0，我們可以選擇，使它在某嚴格內(nèi)域'上恒等于1，并且利用前述估計，得到借助supu，supf及 supf表示的supu的界。 一旦有了u的界，利用同樣的方法可得到高階導(dǎo)數(shù)的界。例如，我們可以利用極值原理于W

u uxx xxi j i

2， 待定以得到u的二階導(dǎo)數(shù)的界，利用以得到局部的二階導(dǎo)數(shù)估計。W1,2估計：

W'''2u uxx xxij i

u2記c(x)max(c(x),0)c(x)min(c(x),0)c(x)c(x)定理2.1：設(shè)u是問題(au ) bu cuf+f

(in)ij x x i x ixi j i i u0(o)aij

abij i

cf,fi

L2()，則存在僅依賴于及系數(shù)的常數(shù)C與C1 2

，使得(u2cu2)dxC

(f2ni1

f2)dxCi 2

u2dx若minc(x充分大，則存在C，使得3u2W1,()

C(f2n3i1

f2)dxi注意，這個估計不要求aij

f的任何光滑性。iW2,2估計：現(xiàn)在對系數(shù)及fi

增加一些光滑性的假設(shè)來推導(dǎo)u的二階導(dǎo)數(shù)的L2估計。關(guān)于的假設(shè)：x,x切于的平面T,x的某個小領(lǐng)域-0 0 0內(nèi),在局部坐標系(y1

,...,yn

)下可表示為y (yn 1

,...,y

)n1我們假設(shè)yn軸指向在x0點的外法向量矢量。2(x)0Rn1R是C2函數(shù),0

k

0, lk.xK,xl1,2,...,n1,有0 02(x)0 KPoisson方程的W2,2估計：

y2l因為下面的證明稍微復(fù)雜點，我們首先論述一個特殊情況定理2.2：設(shè)u是問題uf(in)u0(on)的光滑解，其中滿足上述條件(1)~(3),則存在僅依賴于的常數(shù)C，使得u C f2,()我們接下來將用同樣的方法去推導(dǎo)(au ) bu cuf+f

(in)ij x x i x ixi j i i u0(o)解的W2,2估計2.1A(aij

B(bij

)是兩個實對稱的nn矩陣，假定A正定，且其最小特征值不小于0)，則abab

bb

2bb2.3：設(shè)u

ijik kl

i kik

ikik(au ) bu cuf+f

(in)ij x x i x ixi j i i的光滑解滿足(1)~(3), aij

u0(on)aij

在上有有界的梯度，b及c有界，f(f)i i

f(則存在僅依賴于系數(shù)及的常數(shù)CC使1 2得u C() 1

fL2()f

C 2

L2()如果minc(x)充分大，則存在C ，使得3fu Cf() 3

L2()散度形式方程解的L估計：引理2.2設(shè)G:RR是一致Lipsctz連續(xù)的(即存在K0，使得對任意stRG(sG(t)Kst)，且G(0)0，假定uW1,2(，則0(1)G(u)W1,2()0(2)若G'僅有有限多個間斷點，則在內(nèi)幾乎處處有[G(u)]xi

G'(u)uxi

，i1,...,n定理3.1(全局L估計)設(shè)u是問題(au ) (f

(in)ij x x ixi j i u0(o)的解(弱解或光滑解)，若aij

pnfi

Lp()(i1,...,n，pn與的常數(shù)C，使得u CnLi1

fiLp()

mes()1n1/p下解的局部L估計：定義2 v稱為方程(au )ij x xi j

0 的下解，若(av)ijx xi j

0 引理3.1若u是方程(au )ij x xi j

0 in的解，是凸的，則v(u)是方程

(au )ij x xi j

0 in的下解。定理3.2設(shè)v是方程(au )ij x xi j

0 in的非負下解(或弱下解)，系數(shù)a 滿足ijx0

R0B(x0

,R)，則存在僅依賴于n，及的C，使得maxvC[1

1Rn2v2dx]12C 1Rn2B(x0

,R

Rn B(x0

,R)

L2(B(x0

,R))即v在較小球內(nèi)的L模由它在較大球內(nèi)的L2模來估計引理3.2設(shè)v是方程(au )ij x xi j01p2有

0 in的非負下解，則對任一C()，0(vp2)dx)2

C

2vpdx 其中C不依賴于p。引理3.3設(shè)v是方程(au )ij x xi j

0 的非負下解，則有(B(x0

k, kRkR

vpk

1)k)

C1p4k

pk(B(x,R0 k

vpk)

1p)k)R2pk推論設(shè)u是方程(R2pkij x xi j

0 in的解，則max uC[1

u2dx]12Lp估計

B(x0

,R/2)

Rn B(x0

,R)1n(n1nxn1n(n1nxn2

(x)

x0Laplace方程的基本解.其中nf是有界可積的，則

Rn內(nèi)單位球的面積fNewton位勢

u(x)

(xy)f(y)dyfRn4.1設(shè)uC(Rn)，則對任意1p，存在常數(shù)Cp)，使得對任意01i,jn，有常數(shù)僅依賴于np。

uixxjLpi

(Rn

C(p)u

Lp(Rn)換句話說，若uC(Rn0

uf inRn的解，則(2)整體W2,p估計

n uxxi,ji

jLp

(Rn

C(p)

Lp(Rn)本節(jié)我們將研究

a

bu cuf

xx i xiiu0(onii的解，對系數(shù)作如下的假設(shè)：

，bij

c在內(nèi)有界(不妨設(shè)aiji,j

()

bii

()

c()

)；aij

滿足橢圓性假設(shè)條件；函數(shù)aij

在上連續(xù)。引理4.1假設(shè)系數(shù)abij i

及c滿足假設(shè)(1)~(3)(以中心在原點的某個球代替)1pij

的連續(xù)模，n，p的常數(shù)R 0，C,C0 1

0,使得若0RR0

，且uW2,p(B(R))是方程0au

bu cuf

xx i xiiu0(onii在B(R)內(nèi)的解，在B(R)附近u0，則n uxxi,ji

jLp

(B(R

C 1

Lp(B(R

C 2

W1,p(B(R))4.24.1R0

0，C,C1 2

0，使得如果0R

auW2,p(B(R))是

j

cufi

在B(R)內(nèi)的解，0 0

ij x

i xu0(on)在B(R) n附近u0，在n

上u0，則n uxxi,ji

jLp

(B(R)

C 1

Lp(B(R)

C 2

W1,p(B(R))引理4.3設(shè)1p，對每個0，存在C() (僅依賴于，p，)，使得對任意uW2,p()，有u

W1,p()

W2,p()

C()u

Lp()au

cuf4.2設(shè)u是

ij xxij

i xiui

在具光滑邊界的有界域內(nèi)的光滑解，系數(shù)滿足條件(1),(2),(3)，令1p,則存在僅依賴于系數(shù)的界，a 的ijn，p的常數(shù)CC1 2

，使得uW2,p()

C 1

Lp()

C 2

Lp()若minc(x),充分大，我們可取C 0 2(3)局部W2,p估計引理4.4存在僅依賴于n及p的常數(shù)C使得n uxi1

Lp(B(R

n uxxi,ji

Lp(B(R))

uCLp(B(R))C對所有0及uW2,p(B(R))成立，其中C不依賴于R.引理4.5設(shè)(r)是定義在0rR0有

上的非負有界函數(shù)，若對任意0rR,0(r)1(r)C8 2 r2則(r)r24.3設(shè)u是方程auij xxij

bui xi

cuf的光滑解(或強解的系數(shù)滿足上面的條件(1),(2),(3),則對每個域',存在僅依賴于系數(shù)的界, a 的ijn，p與dist(的常數(shù)CC1 2

，使得Schauder估計：

uW2,p('

C 1

Lp()

C 2

Lp()Newton位勢的估計1:(1)f是內(nèi)有界可積函數(shù)，則(xC1(Rn，且 (x)(xy)f(y)dy i1,...,n；xx xi if(x在Holder連續(xù)的(指數(shù)為1),則(xC2(，且 (x)xxij

(xy)[f(y)f(x)]dyf(x)xx xij 0 0

(xy)nj

)ds ，x其中是任一包含的光滑區(qū)域，在

\內(nèi)作零延拓，nnn是上0 0的單位外法向量。

1 n 0(3)在(2)(x)滿足(x)f(xx5.1B1

B(x0

,R)，B2

B(x0

2R是兩個同心球，假設(shè)對某01，fC(B2

，且fB2

內(nèi)的Newton位勢，則C2,(B)，且1supxx

R[xx

],B

C(supfR[f] ),BB ij1

ij 1 B 225.2x0

xn

0，設(shè)BB(x,R) BB(x,2R)

0，1 0 n 2 0 n假設(shè)對某01，fC(B且fBNewtonC2,(B)且supxx

2R[xx

],B

2 1C(supf R[f] ),BB ij1

ij 1 B 22(2)整體C2,估計5.3fC2(Rn，且uC2(Rn是0 0uf inRn的解，若BB(x0

,R)是任一包含u的支集的球，則uC2,(Rn)，且0 supuCR2supf Rn(B) Rn(B) supuCRsupf Rn(B) Rn(B)supu R[u ] C(sup fR[f]) xxRn(B) ij

xx ij Rn(B)現(xiàn)在考慮一般的橢圓型方程Dir