關(guān)于力矩與平面力偶系第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日本章研究力矩和力偶的概念、力偶的性質(zhì)、平面力偶系的合成與平衡。本章與第二章的理論是研究平面一般力系的基礎(chǔ)。第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日§3-1力矩的概念和計算一般情況下，力對物體作用時可以產(chǎn)生移動和轉(zhuǎn)動兩種外效應(yīng)。力的移動效應(yīng)取決于力的大小和方向。為了度量力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，需要引入力矩的概念。第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日一.力對點之矩用扳手?jǐn)Q一螺母，扳手連同螺母繞一定點Ｏ轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗可知，力越大，螺母擰得越緊；力的作用線離螺母中心愈遠，擰緊螺母愈省力。OFd第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日經(jīng)驗表明：力Ｆ使物體繞定點Ｏ的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，不僅與力的大小有關(guān)，而且與Ｏ點到力的作用線的垂直距離d有關(guān)。用乘積Ｆd來度量力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。將力的這種轉(zhuǎn)動效應(yīng)稱為作用于物體上的力F對空間任意一點O的矩。簡稱力矩，用符號Ｍo(F)表示。即：Ｍo(F)=±Ｆd第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日Ｏ點稱為力矩中心，簡稱矩心；Ｏ點到力Ｆ作用線的垂直距離h稱為力臂。力矩的正負號用于區(qū)別力Ｆ使物體繞Ｏ點轉(zhuǎn)動的兩種轉(zhuǎn)向。規(guī)定:力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時為正,反之為負。力對點之矩只取決于力矩的大小和旋轉(zhuǎn)方向（力矩的正負），是一個代數(shù)量。力矩的單位：N·m（牛頓·米) 或 kN·m（千牛頓·米)力矩的三要素是：大小、方向和矩心。第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日對三角形△OAB，F(xiàn)的大小為底邊長，d為高，即三角形的面積為：

S△OAB=Fd/2 Ｍo=Fd=2S△OAB

即力對Ｏ點的矩的大小等于△OAB面積的２倍。

ＯＦＡＢd第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日力對任一已知點的矩，不會因該力沿作用線移動而改變。力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如一個大小不為零的力對一點之矩為零，則此力的作用線必通過該點。互成平衡的二力對同一點的力矩之和為零

雖然力矩概念由力對物體上固定點的作用引出。實際上，作用于物體上的力可以對任意點取矩，即矩心可是空間中的任意點。第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日二．力對軸的矩力對軸的矩用來度量力對所作用的剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。該固定軸稱為矩軸，通常標(biāo)識為Z軸。第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日三．合力矩定理Mo(F)=Fd=Frsin(a-q)=Fr(sinacosq–sinqcosa)Fx=Fcosa,Fy=Fsina;x=rcosq,y=rsinq。即：Mo(F)=xFy-yFxＯＡＦＦyＦxqadxyxyr第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日Mo(F1)=xF1y-yF1xMo(F2)=xF1y-yF1xMo(F3)=xF1y-yF1x∑Mo(Fi)=x∑Fy-y∑FxF1,F2,F3的合力為FＲ。FＲ在x,y軸方向的分力為FＲx,

FＲyMo(FＲ)=xFＲy-yFＲx由于：FＲx＝∑Fx

FＲy＝∑FyＯＡＦ2Ｆ3qdxyxyＦ1ＦRMo(FＲ)=xFＲy-yFＲx=x∑Fy-y∑Fx=∑Mo(Fi)第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日Mo(FＲ)=∑Mo(Fi)即平面匯交力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和——平面匯交力系的合力矩定理。第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日一.力偶與力偶矩1．力偶

實踐中,常見到兩個大小相等,方向相反的平行力作用于物體的情形。 這樣的兩個力不滿足二力平衡條件。 將這種大小相等、方向相反、作用線平行的兩個力叫做力偶。

記作：（F，F(xiàn)‘）

第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日力偶中兩力作用線之間的垂直距離d叫力偶臂。力偶所在平面叫力偶作用面。第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日２．力偶的性質(zhì)⑴力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零。⑵力偶不能合成一個力，即力偶沒有合力，它不能與一個力等效，因而也不能被一個力平衡。⑶力偶對物體不產(chǎn)生移動效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，即它可以改變而且只能改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。Ｏxy第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日２．力偶矩力偶對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動的效應(yīng)怎樣度量？力對物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)用力矩來度量，因此力偶對物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)可用力偶中的兩個力對其作用面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和來度量。第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日設(shè)物體上作用有一力偶臂為d的力偶（Ｆ，Ｆ‘）該力偶對作用面內(nèi)任一點Ｏ之矩為：ＯxdFF’Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd力偶對作用面內(nèi)任一點的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘積，而與矩心的位置無關(guān)。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可用力與力偶臂的乘積Fd及轉(zhuǎn)向來度量，該物理量稱為力偶矩。第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日力偶矩用符號M（F，F(xiàn)’）或M表示；即

M（F，F(xiàn)’）=±Fd規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)動時，力偶矩取正號； 順時針轉(zhuǎn)動時，力偶矩取負號。

力偶矩單位與力矩單位相同。力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面。第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日二.同一平面內(nèi)力偶的等效定理作用在剛體上同一平面的兩個力偶相互等效的條件是兩力偶的力偶矩的代數(shù)值相等。稱為同一平面內(nèi)力偶的等效定理。第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日FF‘F1ABF1‘FRFR‘FR1FR1‘第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日推論1.力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。推論2.在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小,這不會改變力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。等效力偶 注:以上兩個推論只對剛體適用！第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日§3-3平面力偶系的合成與平衡作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶，總稱為平面力偶系。第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日一.平面力偶系的合成設(shè)同一平面內(nèi)作用有兩個力偶（Ｆ１，Ｆ１’）和（Ｆ２，Ｆ２’）。力偶臂為d1,d2力偶矩為：Ｍ１＝＋Ｆ１d1Ｍ2＝-Ｆ2d2取力偶(F11,F11’)和(F22,F22’)且:＋Ｆ１1d＝Ｍ１

-Ｆ22d＝Ｍ2ＦR＝F11-F22ＦR’＝F11’-F22’ＭR=ＦRd=(F11-F22)d

=Ｆ１1d-Ｆ22d=Ｍ１-Ｍ2d1d2F1’F1F2F2’F11F11’F22F22’dFRFR’d第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日ＭR為合力ＦＲ，ＦＲ’組成的力偶（ＦＲ，ＦＲ’）(稱為合力偶)的力偶矩，稱為合力偶矩；也是原來兩個力偶的力偶矩的和。 ＭR=

Ｍ１-Ｍ2同理，當(dāng)平面力偶系由n個力偶組成時，其力偶矩分別為M１,M２,

….Mn它們可合成為一個合力偶，其合力偶矩為： ＭR=

Ｍ１＋Ｍ2＋．．．＋Ｍn=∑

Ｍi即平面力偶系合成的結(jié)果是一個力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日二.平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡，表明力偶系對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)為零。因為平面力偶系合成的結(jié)果既然是一個合力偶，所以，要使力偶系平衡，合力偶矩必須為零；當(dāng)合力偶矩為零，則表示力偶系中個力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)相互抵消，物體處于平衡。 因此平面力偶系平衡的必要且充分條件為力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零，即：∑

Ｍi=０第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日思考題：３－１：約束力ＦＡ，ＦＢ的大小與力偶矩Ｍe作用的位置無關(guān)．思考題：３－２：合力為零，但合力偶矩不為零，物體有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，物體不平衡。思考題：３－３：兩個力偶的力偶矩大小相同，力偶的轉(zhuǎn)向相同，但作用面不同，固此兩個力偶不等效。（力偶三要素：力偶矩的大??；力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面。）因此兩個力偶等效，必須是該兩個力偶的力偶矩大小相同，轉(zhuǎn)向相同，作用面相同。（對剛體，可作用面平行。） 第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題：1.習(xí)題3-2abaF第二十九頁，共三十一