瓜豆原理（與相似有關(guān)）編者的話：上一節(jié)課已經(jīng)體驗(yàn)了瓜豆妙用，能解決相應(yīng)的最值問題.本節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)瓜豆相關(guān)知識，但是難度要比上一節(jié)課要增大，本節(jié)不僅需要旋轉(zhuǎn)還需要進(jìn)行放縮，即與相似有聯(lián)系.不過相信在理解前一節(jié)的基礎(chǔ)上，再學(xué)本節(jié)會簡單很多，我們一起來攻克吧！一、典型例題例1.如圖，/AOB=60°,C,D是邊OA上的兩點(diǎn)，且OD=8,CD=2，點(diǎn)P是射線OB上一動點(diǎn)，連接PD，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，連CQ,則CQ的最小值為.O PRO(Pi) Pt豐那B解：第一步：判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn)，P為主動點(diǎn)，Q為從動點(diǎn)，滿足瓜豆原理.1第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)Q是點(diǎn)P以定點(diǎn)D為位似中心，以-為相似比縮小而來.P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動，則整體上變化：Q點(diǎn)的路徑是射線OB以定點(diǎn)D為位似中心,1不為相似比縮小而來，即射線Q1Q為Q的運(yùn)動路徑.（實(shí)際作圖：兩點(diǎn)確定一條直線，只要尋找兩個特殊點(diǎn)即可.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，取OD中點(diǎn)Q1，連Q1Q并延長即可）.由位似1的性質(zhì)，△DQ1Q^ADOP，且相似比為5，Q1Q〃OB.第三步：計(jì)算.即當(dāng)CQ±Q1Q時(shí)，CQ2最小.ZAOB=ZAQQ=60°,CQ1=2,則UCQ2=3.例2.平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B之間的距離為8,P為一動點(diǎn)，且PB=2，連接AP，并且以AP為斜邊在AP的上方作等腰直角△APC,如圖，連接BC,則BC的最大值與最小值的差為.解：第一步，判斷.確定P點(diǎn)的路徑為。B.A為定點(diǎn)，P為主動點(diǎn)，C為從動點(diǎn)，滿足瓜豆原理.第二步，畫路徑.局部變化是點(diǎn)P到點(diǎn)C的變化是先繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以A 再 為位似中心，以—為相似比縮小.點(diǎn)P在。B上運(yùn)動，則整體的變化：將GB先繞點(diǎn)A逆2時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再以A為位似中心，以也為相似比縮小得到。0.（實(shí)際作圖：以AB為斜2邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，頂點(diǎn)即為圓心。，連0C,以0為圓心0C為半徑畫圓即得到。0）第三步：計(jì)算.BC的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系，則BC2—BC1=C1c2，即為。0的直徑2v2.例3.如圖，等腰直角A4BC中，NA=90°,AB=AC=3,D是AB上的點(diǎn)，且AD=..3.點(diǎn)E是BC邊上的一動點(diǎn)，過E作EF±ED,使DE:EF1:<3，連接FD,CF,則CF的最小值是 .解：第一步：判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn)，E為主動點(diǎn)，F(xiàn)為從動點(diǎn)，滿足瓜豆原理.第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)F是點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以定點(diǎn)D為位似中心，以2為位似比放大得到；點(diǎn)E在BC上運(yùn)動，則整體上變化：F的路徑為BC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以定點(diǎn)D為位似中心，以2為位似比放大得到BC（實(shí)際作圖：將BD,DC分別順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再擴(kuò)大2倍得到B',C,連接即可）.第三步：計(jì)算最小值CK.AD:AC=1:V3,可得/ADC=60°=NBDB，，則B,D,C共線且BC=6；又4BDC^ABDC,所以/B'=/B=45。，則CK=3<2.例4.如圖，△AB0為等腰直角三角形，A（-4,0），直角頂點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)C在y軸上移動，以BC為斜邊作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨著點(diǎn)C的運(yùn)動也在一條直線上運(yùn)動，這條直線的函數(shù)解析式是 .圖1 圖2解：第一步：判斷.點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)C為主動點(diǎn)，點(diǎn)D為從動點(diǎn)，滿足瓜豆原理.由于D點(diǎn)的位置沒有明確，故分兩種情況進(jìn)行討論.第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)D是點(diǎn)C先繞B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以匚為2位似比縮小而來.則整體上：D點(diǎn)的路徑為y軸繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以漢2為位似比縮小.(實(shí)際作圖：直線型的我們可以尋找兩個特殊點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線.如圖1，點(diǎn)C在y軸上，當(dāng)BC1±y軸時(shí)，D1(-1,3)；當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí)，D2(0,2)；如圖2，當(dāng)BC1±y軸時(shí)，D1(-1,1)；當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí)，D2(-2,0)第三步：計(jì)算.y=—x+2；y=x+2.二、鞏固練習(xí).如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,E為對角線BD上一動點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn)，AE為直角邊作等腰直角RtAAEF,A,E,F按逆時(shí)針排列.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)到到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長為.【答案】：5<2.提示：法1，尋找始末位置，F(xiàn)1為開始的位置，F(xiàn)2為最終的位置，連接即為F的路徑.利用勾股即可求得.法2，□算.E點(diǎn)的路徑長為5,F點(diǎn)是由E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)擴(kuò)大得到，滿足瓜豆，知其路徑也為線段，并且擴(kuò)大"；2倍，即F的路徑為5<2..如圖，AB=2,點(diǎn)D是等腰RtAABC斜邊AC上的一動點(diǎn)，以BD為邊向右下作等腰△BDE,其中頂角/BDE=120°,則點(diǎn)D從A運(yùn)動到C的過程中，則E點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為 .

【答案】：2<6.提示：滿足瓜豆原理.法/：畫出路徑具體求解.法2:口算法，D到E旋轉(zhuǎn)放大、3倍，即E點(diǎn)的路徑為、.與AC=2V6..如圖，在等邊"5。中，BC=6,D,E是BC邊上的兩點(diǎn)，且BD=CE=1,P是DE上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,連接MN,AP交于點(diǎn)G,則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動到點(diǎn)E的過程中，線段BG掃過BG掃過的區(qū)域面積為.TOC\o"1-5"\h\z【答案】：3m提示：滿足瓜豆原理.找始末位置G〃G,，則GG為^ADE的中位線2 12 121 1 3%3. 1 3<3即GG=—DE=2,GV=-AU= ??.s=GG-GV= -12 2 2 2 2 212 2 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCO,A(0,4)，點(diǎn)D為％軸上一動點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,/ADE=90°，連接OE，則OE的最小值為一【答案】：2五.提示：瓜豆直線型，路徑是％軸繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到.實(shí)際操作，找一個特殊點(diǎn)(圖上已經(jīng)有一點(diǎn))，C點(diǎn)為開始點(diǎn)，連接CE即為E點(diǎn)運(yùn)動路徑，則OE1為最小值.即最小值.即OE1=OS=2V2.如圖，在RtAABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3，點(diǎn)D是半徑為2的。A上一點(diǎn)，點(diǎn)E是E是CD的中點(diǎn)，則BE長的最大值是7 1【答案】：不?提示：以C為位似中心，不為位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系..如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=2v2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是 .【答案】：九提示：法/：畫路徑求路徑，以C為位似中心，1為位似比縮小，即為點(diǎn)M2的路徑長.法2:口算.M路徑為P點(diǎn)路徑長的一半..如圖，在矩形ABCD中，AD=2,AB=4,長度為2的動線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接EC,

位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.8.如圖，邊長為4的正方形位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.8.如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，/AED=90°,F為CE的中點(diǎn)，連接BF，則BF的最大值為B CB 3lC【答案】：＜13+1.提示：確定E點(diǎn)的路徑為圓.以C為位似中心，1為位似比縮小，轉(zhuǎn)乙化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.9.如圖，在矩形ABCD化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.9.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E在AD邊上，且AE：ED=1：3.動點(diǎn)P點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止.過點(diǎn)E作EF.1PE交射線BC于點(diǎn)F,設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為.【答案】：9.提示：E為定點(diǎn)，P為主動點(diǎn)，F(xiàn)為從動點(diǎn)（一線三垂直可得PE：EF=1：3）,為線段型瓜豆，找始末兩特殊點(diǎn)F1,F2.F在F1F2上運(yùn)動，則M點(diǎn)的路徑為△EF1F2的中位線．10.如圖，"BC中，/ACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一動點(diǎn)以DC為斜邊向上作等腰直角△DCE，使NCED=90°，連接BE，則BE的最小值為.【答案】：匚.提示：線段型瓜豆，找始末位置，得路徑線段E1E2.△E2CE1s△BAC.得2到NCE,E=NCBA=60。，則NBEE=30°,?'.BE=1BE二包.21 21 32 2 211.如圖，直線m//n,m,n之間的距離為3,A,B為直線n上的兩點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)C是直線m上的動點(diǎn)，四邊形ACDE為矩形，CD=v3AC,則BD的最小值

【答案】：2<3【答案】：2<3+1.提示：定點(diǎn)A，主動點(diǎn)C,從動點(diǎn)為D，點(diǎn)C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,并以A為位似中心放大2倍得到D,滿足直線型瓜豆.找特殊點(diǎn)0即有D點(diǎn)路徑，此時(shí)DD與m，n的夾角為60。，則BD>BD=1BD=2v3+1.1 2 2 312.如圖，BE,AC為四邊形ABCE的對角線，CE=2，/CAE=60°,ZCAB=90°,ZCBA=30°,連接BE，則BE的最大值為.【答案】:提示：第一步：定角定弦隱圓.點(diǎn)A的路徑是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上（部分圓）.O在CE的垂直平分線上，且NCOE=120°.第二步：C為定點(diǎn)，A為主動點(diǎn)，B為從動點(diǎn)，滿足瓜豆.A到B是繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以C為位似中心放大2倍，即B點(diǎn)的路徑為將eO繞點(diǎn)C逆時(shí)