FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010期權(quán)定價(jià)1FundamentalsofFuturesandOp主要內(nèi)容期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）期權(quán)價(jià)格的上限與下限看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系二叉樹(shù)模型B-S期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)價(jià)格敏感性指標(biāo)（影響程度）作業(yè)主要內(nèi)容期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值假設(shè)與符號(hào)假設(shè)不存在交易成本。所有交易盈利都適用同一稅率。投資者進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸或者投資的利率是一樣的。符號(hào)St:當(dāng)期t股票價(jià)格K：施權(quán)價(jià)格T：期權(quán)到期的時(shí)點(diǎn)t：當(dāng)期時(shí)點(diǎn)ST：時(shí)點(diǎn)T的股票價(jià)格r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率σ：股票收益率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差c,C：歐式及美式看漲期權(quán)價(jià)格p,P：歐式及美式看跌期權(quán)價(jià)格D:期權(quán)期限內(nèi)股息在t時(shí)的貼現(xiàn)值假設(shè)與符號(hào)假設(shè)期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)值PVt取決于以下兩個(gè)方面PV=內(nèi)在價(jià)值IV+時(shí)間價(jià)值TV內(nèi)在價(jià)值IV(只有實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值大于零)在履行期權(quán)合約時(shí)可獲得的總利潤(rùn)，當(dāng)處于虛值為0對(duì)于看漲期權(quán)，IV=Max(0,St-K)對(duì)于看跌期權(quán)，IV=Max(0,K-St)嚴(yán)格地講，應(yīng)該把收益折現(xiàn)到目前時(shí)刻t時(shí)間價(jià)值TV為期權(quán)合約剩余有效期可能帶來(lái)的期權(quán)增值而付的期權(quán)費(fèi)，其與剩余有效期成正比，與未來(lái)價(jià)格波動(dòng)成正比期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)值PVt取決于以下兩期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）

哪些因素會(huì)影響期權(quán)價(jià)格呢？除期權(quán)的供求關(guān)系外，影響期權(quán)內(nèi)在價(jià)值及時(shí)間價(jià)值的因素影響期權(quán)價(jià)格的因素影響持有者現(xiàn)在的收益及未來(lái)可能增值水平的所有因素標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格St、執(zhí)行價(jià)格K、資產(chǎn)收益（分派股息）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率、剩余有效期（T-t）、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）

哪些因素會(huì)影響期權(quán)價(jià)格呢？現(xiàn)貨價(jià)格St與執(zhí)行價(jià)格K期權(quán)內(nèi)在價(jià)值：對(duì)于看漲期權(quán)，IV=Max(0,St-K)對(duì)于看跌期權(quán)，IV=Max(0,K-St)現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，現(xiàn)貨價(jià)格越高，到期時(shí)盈利的可能數(shù)額也就越高，因而期權(quán)價(jià)格就越高。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，現(xiàn)貨價(jià)格越高，到期時(shí)盈利的可能數(shù)額也就越低，因而期權(quán)價(jià)格越低。執(zhí)行價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，施權(quán)價(jià)越高，到期時(shí)的盈利空間越低，從而期權(quán)價(jià)格越低。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，施權(quán)價(jià)越高，到期時(shí)的盈利空間越高，從而期權(quán)價(jià)格越高?，F(xiàn)貨價(jià)格St與執(zhí)行價(jià)格K期權(quán)內(nèi)在價(jià)值：標(biāo)的資產(chǎn)收益（如派發(fā)股息）標(biāo)的資產(chǎn)將支付股息將使資產(chǎn)價(jià)格如何變化？資產(chǎn)價(jià)格將下降資產(chǎn)價(jià)格下降怎樣影響期權(quán)的價(jià)格呢?對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，期權(quán)獲利能力變?nèi)?，期?quán)價(jià)格降低。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，期權(quán)獲利能力變強(qiáng)，期權(quán)價(jià)格提升。標(biāo)的資產(chǎn)收益（如派發(fā)股息）標(biāo)的資產(chǎn)將支付股息將使資產(chǎn)價(jià)格如標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率與剩余有效期（T-t）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率期權(quán)的特點(diǎn)在于以較低的價(jià)格規(guī)避了不利風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)保留了有利風(fēng)險(xiǎn)。不管是對(duì)于哪一種期權(quán)來(lái)說(shuō)，價(jià)格波動(dòng)性越劇烈，盈利的可能性就越高，期權(quán)價(jià)格也越高。剩余有效期（T-t）對(duì)于歐式期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于施行期權(quán)的時(shí)點(diǎn)是唯一，因此期限越長(zhǎng)對(duì)期權(quán)的擁有者來(lái)說(shuō)不一定越好。比如在T1之后（<T2)看漲期權(quán)標(biāo)的物資產(chǎn)價(jià)格明顯下降）對(duì)于美式期權(quán)來(lái)說(shuō)，在到期之間隨時(shí)可以執(zhí)行期權(quán)，因此期限越長(zhǎng)意味著選擇越多，對(duì)期權(quán)的擁有者越有利。標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率與剩余有效期（T-t）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率1無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率提升時(shí)，投資者要求的投資收益更高，現(xiàn)貨價(jià)格如何變化？現(xiàn)貨價(jià)格變小，這使看漲期權(quán)價(jià)值下降，使看跌期權(quán)價(jià)值上升2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，收到的將來(lái)現(xiàn)金流貼現(xiàn)值也越低協(xié)議價(jià)的折現(xiàn)值變小，這使看漲期權(quán)價(jià)值上升，使看跌期權(quán)價(jià)值下降3兩種因素綜合，得出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系一般情況下，貼現(xiàn)效應(yīng)大于預(yù)期收益效應(yīng)當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格上升，而看跌期權(quán)價(jià)格下降無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率影響期權(quán)價(jià)格的因素因素歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美式看跌期權(quán)現(xiàn)貨價(jià)格＋－＋－施權(quán)價(jià)－＋－＋期限？？＋＋價(jià)格波動(dòng)性+＋＋＋無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率+－＋－預(yù)期派發(fā)股息－＋－＋影響期權(quán)價(jià)格的因素因素歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美期權(quán)價(jià)格的上限與下限

歐式與美式看漲期權(quán)上限歐式與美式看跌期權(quán)上限套利原則（成本與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益成正比）歐式與美式看漲期權(quán)下限歐式與美式看跌期權(quán)下限期權(quán)價(jià)格的上限與下限

歐式與美式看漲期權(quán)上限期權(quán)價(jià)格的上限與下限的理解

商品價(jià)格的上限是多少？消費(fèi)者愿意接受的最高價(jià)為其帶來(lái)的最大效用，或購(gòu)買其它商品的成本商品價(jià)格的下限是多少？生產(chǎn)者愿意接受的最低價(jià)生產(chǎn)商品的所有成本期權(quán)價(jià)格的上限與下限的理解

商品價(jià)格的上限是多少？期權(quán)上下限的總結(jié)（以歐式為主）看漲期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期權(quán)空頭的最大損失MAX(ST-Ke-r(T-t),0)看漲期權(quán)的上下限上限：S（S）下限：S-Ke-r(T-t)（MAX(S-Ke-r(T-t),S-K)）看跌期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期權(quán)空頭的最大損失MAX(Ke-r(T-t)-ST,0)看跌期權(quán)的上下限上限：Ke-r(T-t)（K）下限：Ke-r(T-t)-S（MAX(Ke-r(T-t)-S,K-S）期權(quán)上下限的總結(jié)（以歐式為主）看漲期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期看漲期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權(quán)多頭可以花S持有股票到期，也可以用c（C）購(gòu)買看漲期權(quán)，如果期權(quán)費(fèi)高于S，直接持有股票到期最經(jīng)濟(jì)，因此只有c≤S,(C≤S)才能吸引期權(quán)購(gòu)買者如何理解上限S近似理解為多頭（需求方）的最大效用當(dāng)c>S，(C>S)如何套利呢賣出一個(gè)看漲期權(quán)，收入c（C），買入一個(gè)現(xiàn)貨，支出S到時(shí)至少還收獲K看漲期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權(quán)多頭可以花S看跌期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權(quán)的價(jià)值＝PV（施權(quán)價(jià)）－PV（股票價(jià)格）p≤Ke-r(T-t),(P≤K)如何理解上限Ke-r(T-t)（K）近似理解為多頭（需求方）的最大效用當(dāng)p>Ke-r(T-t)，(P>K)如何套利呢賣出一個(gè)看跌期權(quán)，收入p（P）到時(shí)最多支出K看跌期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權(quán)的價(jià)值分析思路在無(wú)套利情況下，兩個(gè)投資組合的收益與成本應(yīng)該保持一致。收益高的組合，理應(yīng)成本高成本高的組合，理應(yīng)收益高成本相等，理應(yīng)收益相等收益相等，理應(yīng)成本相等否則，以上均存在套利空間套利策略：借入效率低的組合后賣掉，買入效率高的組合獲得收益后，還借入的低效率組合或直接賣掉已擁有的效率低的組合，買入效率高的組合分析思路在無(wú)套利情況下，兩個(gè)投資組合的收益與成本應(yīng)該保持一致歐式（美式）看漲期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)?yè)碛幸粋€(gè)股票的價(jià)格）組合A:一個(gè)歐式看漲期權(quán)多頭+期權(quán)到期時(shí)K收入的零息債券多頭組合B:買入歐式看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票

到期時(shí)組合A的價(jià)值Max(StK)>=組合B的價(jià)值St,無(wú)套利情況下，組合A的成本>組合B的成本

c+Ke-r(T-t)>=S，從而，c>=S-Ke-r(T-t)怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t),0)近似看成看漲期權(quán)空頭的提供期權(quán)產(chǎn)品的凈成本美式看漲期權(quán)的下限max(S-Ke-r(T-t),0)C>c>S-Ke-r(T-t),C>S-K,S-Ke-r(T-t)>S-K歐式（美式）看漲期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)?yè)碛幸粋€(gè)股票歐式美式看漲期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看漲期權(quán)施權(quán)價(jià)為18元，離到期還有一年時(shí)間（期間無(wú)股息），無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)該看漲期權(quán)的最低價(jià)格是多少？假如該期權(quán)目前報(bào)價(jià)3.00元，你將如何操作進(jìn)行套利？該看漲期權(quán)的價(jià)值下限為S－Ke-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71報(bào)價(jià)低于價(jià)值下限，即c<S-Ke-r(T-t)c+Ke-r(T-t)<S,

(S-c)er(T-t)>K思路借入股票后賣掉，獲得S(20)元，買入看漲期權(quán)，支出c(3)元，并將S-c（17）元按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借貸出去，收益大于到期時(shí)股票最高購(gòu)買價(jià)K.若對(duì)于美式看漲期權(quán)，當(dāng)c+K<S，如何套利呢？借入股票賣掉，同時(shí)買入美式看漲期權(quán)，馬上以最多K購(gòu)入股票歐式美式看漲期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看歐式美式看跌期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)賣出一個(gè)股票的價(jià)格）組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)多頭+買入期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票組合D:期權(quán)到期時(shí)有K收入的零息債券

到期時(shí)組合C的價(jià)值Max(StK)>=組合D的價(jià)值K無(wú)套利情況下，組合A的成本>組合B的成本p+S>=Ke-r(T-t),p>=Ke-r(T-t)-S如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0)近似看成看跌期權(quán)空頭的提供期權(quán)產(chǎn)品的凈成本美式看跌期權(quán)的下限max(K-S,0)P>p>Ke-r(T-t)-S,P>K-S,K-S>Ke-r(T-t)-S歐式美式看跌期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)賣出一個(gè)股票的價(jià)歐式美式看跌期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看跌期權(quán)施權(quán)價(jià)為24元，離到期還有一年時(shí)間，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)該看跌期權(quán)的最低價(jià)格是多少？假如該期權(quán)目前報(bào)價(jià)1.00元，你將如何操作進(jìn)行套利？？該看漲期權(quán)的價(jià)值下限為Ke-r(T-t)－S＝24e-0.1－20＝1.71

報(bào)價(jià)低于價(jià)值下限，即p<Ke-r(T-t)-Sp+S<Ke-r(T-t)，

(p+S)er(T-t)<K

思路借入p+S（21），購(gòu)買股票和看跌期權(quán)，期權(quán)到期時(shí)賣出股票收益至少為K（24），只需還(p+S)er(T-t)。若美式看跌期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)p<其下限K-S時(shí)，如何套利？

思路借入p+S（21），購(gòu)買股票和看跌期權(quán)，馬上賣出至少獲利K24歐式美式看跌期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)兩個(gè)資產(chǎn)組合組合A:一個(gè)歐式看漲期權(quán)多頭+期權(quán)到期時(shí)K收入的零息債券多頭組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)多頭+買入期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票到期時(shí)如果ST>K，則組合A和組合B的價(jià)值均為ST

如果ST≤K，則組合A和組合B的價(jià)值均為K無(wú)套利情況下，組合A的成本=組合c的成本c+Ke-r(T-t)=p+S如果股票在持有期有股息現(xiàn)值I組合A中的零息債券變?yōu)榈狡跁r(shí)有（K+Ier(T-t)）收入c+Ke-r(T-t)+I=p+S看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

復(fù)合證券（持有期間無(wú)股息時(shí)）無(wú)套利時(shí)的平價(jià)關(guān)系c+Ke-r(T-t)=p+S平價(jià)關(guān)系的變形c=p+S-Ke-r(T-t)p=c+Ke-r(T-t)-SS=c+Ke-r(T-t)-pKe-r(T-t)=p+S-cS-c=Ke-r(T-t)-p......平價(jià)關(guān)系應(yīng)用一（如c=p+S-Ke-r(T-t)）間接計(jì)算期權(quán)、標(biāo)現(xiàn)貨及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的合理價(jià)格（成本）平價(jià)關(guān)系應(yīng)用二：分解組合從而復(fù)制（如S-c=Ke-r(T-t)-p）等式右邊表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期權(quán)）組合的成本等式左邊表示（做多現(xiàn)貨，做空看漲期權(quán)）組合的成本可以證明二者的到期時(shí)損益一樣（移項(xiàng)相當(dāng)于在基礎(chǔ)公式兩邊加減同樣的成本，也相當(dāng)于在策略A與B的基礎(chǔ)上增加同一個(gè)投資品，最終的收益當(dāng)然一樣）復(fù)合證券（持有期間無(wú)股息時(shí)）無(wú)套利時(shí)的平價(jià)關(guān)系看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)(套利例子一)

某股票現(xiàn)價(jià)為20元，施權(quán)價(jià)為21元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格分別為3.00元和1.00元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)以上數(shù)據(jù)是否符合期權(quán)平價(jià)公式，如果不是，你將如何進(jìn)行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）=3.00＋20e-0.1＝21.10組合B成本p+S=1+20＝21，組合A成本大于組合B套利策略c+Ke-r(T-t）>p+S，(p+S-c)er(T-t）<K,大收小支法1賣出看漲期權(quán)收獲c，再借入Ke-r(T-t），用p+S買入看跌期權(quán)和股票，到期時(shí)支出與收益相同。法2賣掉股票和看跌期權(quán)，購(gòu)買看漲期權(quán)，余下的錢購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，到期最多花K買入股票歸還看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)(套利例子二)

某股票現(xiàn)價(jià)為20元，施權(quán)價(jià)為20元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格分別為2.00元和1.00元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)以上數(shù)據(jù)是否符合期權(quán)平價(jià)公式，如果不是，你將如何進(jìn)行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）+D=2.00＋20e-0.1＝20.10組合B成本p+S=20＋1.00＝21.00，組合A成本小于組合B套利策略：c+Ke-r(T-t）<p+S，(p+S-c)er(T-t）>K

同前例子一看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

——美式期權(quán)(沒(méi)有股息時(shí))

可以證明S-K<C－P<S－Ke-r(T-t)

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

期權(quán)定價(jià)思路利用期權(quán)與現(xiàn)貨構(gòu)造一個(gè)未來(lái)收益為常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合，在無(wú)套利的情況下，該投資組合的收益率為市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。如何說(shuō)明投資組合未來(lái)收益函數(shù)（sT，T）為常數(shù)（二叉樹(shù)）未來(lái)收益為離散函數(shù)：各情況下收益相等（B-S）未來(lái)收益為連續(xù)函數(shù)：收益關(guān)于sT的偏導(dǎo)為0歐式與美式期權(quán)定價(jià)先講且主要講歐式期權(quán)現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)定價(jià)先講且主要講現(xiàn)貨期權(quán)期權(quán)定價(jià)思路二叉樹(shù)定價(jià)（主要以股票期權(quán)為例）未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益率歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（N=2）對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性世界相關(guān)概念的理解和應(yīng)用多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（N>2）相關(guān)參數(shù)的求解其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)定價(jià)二叉樹(shù)定價(jià)（主要以股票期權(quán)為例）未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益現(xiàn)在用S購(gòu)買一個(gè)證券組合，未來(lái)T時(shí)刻的證券組合收益在任何情況下均為常數(shù)Sc。請(qǐng)問(wèn)該證券組合的合理收益率應(yīng)該是多少應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，否則存在套利空間1在同樣收益下，用低效率策略借錢，用部分錢做多高效率的組合，未來(lái)以高效率組合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借錢，用在高效率上，未來(lái)以高效率部分收益歸還低效率借錢成本如何構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益證券組合？在未來(lái)每一種情況下證券組合的收益均相等例子：D為多少時(shí)，組合（D股股票多頭+1看漲期權(quán)空頭）才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益證券組合呢？假設(shè)各證券收益均服從兩點(diǎn)分布，此時(shí)一份期權(quán)只包括一股股票。未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益現(xiàn)在用S購(gòu)買一個(gè)證券組合，未來(lái)T金融衍生工具--期權(quán)定價(jià)課件美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，2年后股價(jià)要么23美元，要么18美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為2年后的美式式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？（到期日的內(nèi)在價(jià)值等于期權(quán)價(jià)格）美式期權(quán)可以到期前在任意時(shí)刻行權(quán)，在二叉樹(shù)假設(shè)下，美式期權(quán)除了和歐式一樣在到期時(shí)行權(quán)（價(jià)值同歐式期權(quán)），也可以在簽定合約時(shí)馬上行權(quán)（MAX(0,S0-K)）。美式期權(quán)的價(jià)值就是這兩類選擇價(jià)值的最大值。本題中到期行權(quán)價(jià)值為前面中的歐式期權(quán)價(jià)格f0,馬上行權(quán)的價(jià)值為0，所以該美式期權(quán)價(jià)格為f0美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前價(jià)格為S(21)美元。T時(shí)后（2年后）股價(jià)要么Su(23)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?u，要么Sd(18)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?d。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r(8%)。請(qǐng)期限為T的歐式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？方法1構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合：D股股票多頭+1期權(quán)空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性世界相關(guān)概念的理解和應(yīng)用

對(duì)于二叉樹(shù)定價(jià)公式的理解風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，任何證券或組合價(jià)格要么以概率p上升為S0u，要么以概率1-p下降到S0d,可證其預(yù)期收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率應(yīng)用先用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合中的標(biāo)的價(jià)格求p，再求f例子：用期權(quán)標(biāo)的物（股票）

32FundamentalsofFuturesandOpFundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

增加二叉樹(shù)的時(shí)間步數(shù)

一步二叉樹(shù)的不足只利用了現(xiàn)在與到期時(shí)（對(duì)沖時(shí)）的數(shù)據(jù)，精確度不高，尤其是離到期或?qū)_較遠(yuǎn)時(shí)；到期時(shí)只有兩個(gè)情境，與現(xiàn)實(shí)差異大。多步二叉樹(shù)（到期時(shí)3個(gè)以上的情境）把期權(quán)的期限分割成N段（N>1）,從前往后，第i段有至多2i個(gè)二叉樹(shù)，從后往前依次計(jì)算各段的期權(quán)價(jià)格。二步二叉樹(shù)例子股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，1年后股價(jià)要么23美元，要么18美元。如果1年后股價(jià)為23（18）美元，2年后股價(jià)要么25（23）美元，要么17（15）美元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為2年的歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？

33FundamentalsofFuturesandOp多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)

（一般）：三步為例（其它類似）SfSufuSdfdSuufuuSddfddSudfud從最后的節(jié)點(diǎn)往前按單步二叉樹(shù)計(jì)算34多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)

（一般）：三步為例（其它類似）SSu看跌期權(quán)的定價(jià)與套利股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，3個(gè)月后股價(jià)要么23美元（fu），要么18美元(fd)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為3個(gè)月后的歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？（到期日的內(nèi)在價(jià)值等于期權(quán)價(jià)格）法一：構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合計(jì)算D股股票多頭+1份看跌期權(quán)空頭（D為負(fù)）法二：看漲看跌平價(jià)公式c+Ke-r(T-t)=p+S法三：期權(quán)期望值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)方法若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f>f0,如何套利呢？組合的收益率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時(shí)一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f<f0,如何套利呢？組合的收益率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時(shí)一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f<f0,如何套利呢？組合的收益率小于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，做空組合收益21D-f，全部存在銀行，到期存款的本息大于做多組合的成本看跌期權(quán)的定價(jià)與套利股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，3個(gè)月后股價(jià)要么Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算Delta的本質(zhì)1期權(quán)的短頭寸方為了實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合而買入股票的數(shù)量2股票期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的股票價(jià)格變化之比。采用期權(quán)與股票進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)，應(yīng)該從左到右順時(shí)計(jì)算并調(diào)整組合中所持股票數(shù)量

Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算Delta的本質(zhì)Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算（動(dòng)態(tài)Delta對(duì)沖）股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，1年后股價(jià)要么23美元，要么18美元。如果1年后股價(jià)為23（18）美元，2年后股價(jià)要么25（23）美元，要么17（15）美元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。如何實(shí)現(xiàn)組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益呢？現(xiàn)在的DeltaD0=(fu-fd)/(23-18)1年后的Delta1年后股價(jià)為23美元時(shí)，D1=(fuu-fud)/(25-17)1年后股價(jià)為18美元時(shí)，D1=(fdu-fdd)/(23-15)若D1>(<)D0,則增加D1-D0份股票（減少D0-D1）Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算（動(dòng)態(tài)Delta對(duì)沖）u、d，p的計(jì)算

u、d，p的計(jì)算其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)有股息的股票期權(quán)定價(jià)股指期權(quán)定價(jià)外匯期權(quán)定價(jià)期貨期權(quán)定價(jià)思路先利用標(biāo)的物求p，再利用p及r對(duì)未來(lái)期權(quán)期望折現(xiàn)1與無(wú)股息股票相比，有股息股息、股指、外匯的購(gòu)買成本為S-I或Se-qDt2與無(wú)股息股票相比，期貨期權(quán)相對(duì)現(xiàn)貨期權(quán)在期初，購(gòu)買標(biāo)的物的購(gòu)買成本為0，在期貨的“購(gòu)買成本”為Fe-rDt，Dt為期權(quán)的期限，而非期貨的期限其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)有股息的股票期權(quán)定價(jià)期貨式期權(quán)（期權(quán)期貨）定價(jià)思路本質(zhì)上是期貨，定價(jià)與期貨一致不過(guò)此時(shí)S為期貨到期時(shí)交割的期權(quán)在此時(shí)的價(jià)格這個(gè)期權(quán)價(jià)格用一般的期權(quán)定價(jià)公式可得期貨式期權(quán)（期權(quán)期貨）定價(jià)思路美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)：以兩步，每個(gè)步長(zhǎng)1年，K=52的美式看跌期權(quán)為例（同時(shí)與歐式比較）從樹(shù)圖的最后末端向開(kāi)始的起點(diǎn)倒推計(jì)算，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳（決定行使時(shí)間從左到右）。在樹(shù)的底部期（到期日）權(quán)價(jià)格為歐式期權(quán)價(jià)格，在較早節(jié)點(diǎn)，期權(quán)價(jià)格為以下數(shù)量的最大值（此時(shí)假設(shè)只能在開(kāi)始、中間及到期時(shí)行權(quán)）：由方程式求出的值(買賣期權(quán)市場(chǎng)價(jià))提前執(zhí)行所得的收益（行權(quán)收益）從上到下：現(xiàn)貨市價(jià)、（期權(quán)市場(chǎng)價(jià)）、（提前行權(quán)收益）505.0892601.414(-8)409.46312720322048441美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)：以兩步，每個(gè)步長(zhǎng)1年，K=52的美式看跌B(niǎo)-S定價(jià)（未來(lái)價(jià)格連續(xù)的無(wú)限步二叉樹(shù)方法，即IN(sT）為正態(tài)分布二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系B-S的假設(shè)幾種不同情況下的B-S期權(quán)定價(jià)公式對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式的理解B-S定價(jià)（未來(lái)價(jià)格連續(xù)的無(wú)限步二叉樹(shù)方法，即IN(sT）為二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系

二叉樹(shù)定價(jià)的不足其假設(shè)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格分布為有限離散，不符合事實(shí)，利用的信息較少，定價(jià)不夠準(zhǔn)確（尤其對(duì)于美式期權(quán)定價(jià)）。美式期權(quán)只能在離散點(diǎn)行權(quán)。B-S定價(jià)與二叉樹(shù)定價(jià)的關(guān)系1B-S假設(shè)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，B-S定價(jià)是二叉樹(shù)定價(jià)中未來(lái)情境數(shù)及步數(shù)取無(wú)窮大的極限值2B-S定價(jià)與二叉數(shù)定價(jià)類似采取構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，再利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行求解二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系

二叉樹(shù)定價(jià)的不足B-S的假設(shè)（除加粗部分外，其它都是二叉樹(shù)定價(jià)的假設(shè)）⒈期權(quán)的標(biāo)的股票為一有風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，其現(xiàn)行價(jià)格為S。這種資產(chǎn)可以賣空。⒉期權(quán)是歐式期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為K，期權(quán)期限為T（以年表示）。⒊在期權(quán)到期日之前，標(biāo)的股票無(wú)任何收益（如股息、利息等）的支付，于是，標(biāo)的股票價(jià)格的變動(dòng)是連續(xù)的，且是均勻的，既無(wú)跳空上漲，也無(wú)跳空下跌。B-S的假設(shè)（除加粗部分外，其它都是二叉樹(shù)定價(jià)的假設(shè)）⒈期權(quán)B-S的假設(shè)⒋存在一個(gè)固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者可以以此利率無(wú)限制的借入或貸出資金。⒌不存在影響收益的任何外部因素，如稅負(fù)、交易成本及保證金等。于是，標(biāo)的股票持有者的收益僅來(lái)源于價(jià)格的變動(dòng)。⒍標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率為一已知常數(shù)。⒎標(biāo)的股票價(jià)格的變動(dòng)符合μ和σ為常數(shù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。8.期權(quán)（衍生品）價(jià)格只受現(xiàn)貨價(jià)格st和t決定。（隱含假設(shè)）B-S的假設(shè)⒋存在一個(gè)固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者可以以此利率無(wú)2022/12/18幾何布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的隨機(jī)變量Wt服從維納過(guò)程，也稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）。性質(zhì)1在短時(shí)間Δt內(nèi)，變量ΔW為其中性質(zhì)2在任意不同短時(shí)間內(nèi)，變量ΔW相互獨(dú)立。46/442022/12/14幾何布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）滿足下列兩個(gè)性質(zhì)2022/12/18性質(zhì)1表明變量ΔW

本身也服從正態(tài)分布，即性質(zhì)2說(shuō)明Wt服從馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程。不難證明，在一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，變量W也服從正態(tài)分布。其中47/442022/12/14性質(zhì)1表明變量ΔW本身也服從正態(tài)分布，廣義的幾何布朗運(yùn)動(dòng)

、伊藤過(guò)程、及股價(jià)變動(dòng)分布廣義幾何布朗運(yùn)動(dòng)伊藤過(guò)程假設(shè)未來(lái)股價(jià)滿足以下伊藤過(guò)程（μ、?表示收益率的期望的標(biāo)準(zhǔn)差）8.期權(quán)（衍生品）價(jià)格只受現(xiàn)貨價(jià)格st和t決定。（隱含假設(shè)）廣義的幾何布朗運(yùn)動(dòng)

、伊藤過(guò)程、及股價(jià)變動(dòng)分布廣義幾何布朗運(yùn)二叉樹(shù)定價(jià)與B-S定價(jià)思路對(duì)比股票當(dāng)前價(jià)格為S(21)美元。T時(shí)后（2年后）股價(jià)要么Su(23)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?u，要么Sd(18)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?d。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r(8%)。請(qǐng)期限為T的歐式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？方法1構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合：D股股票多頭+1期權(quán)空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=二叉樹(shù)定價(jià)與B-S定價(jià)思路對(duì)比股票當(dāng)前價(jià)格為S(21)美元。B-S定價(jià)思路（衍生品價(jià)值V=V(S,t)，構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合F=V-θS,收益率應(yīng)該為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r下面求解dF把dF，F(xiàn)代入，得B-S-M微分方程關(guān)于t,S求定積分可得B-S定價(jià)公式B-S定價(jià)思路（衍生品價(jià)值V=V(S,t)，構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型㈠現(xiàn)貨歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型其中：幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型㈡期貨歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型其中,T為期權(quán)到期日距今剩余時(shí)間，而非期貨到期日：幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型㈢歐式看跌期權(quán)的定價(jià)模型現(xiàn)貨歐式看跌期權(quán)價(jià)格的布萊克—斯科爾斯模型：期貨歐式看跌期權(quán)價(jià)格的布萊克—斯科爾斯模型：幾種不同情況下的期權(quán)定價(jià)模型如何獲得B-S期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)知道所有參數(shù)可以求期權(quán)價(jià)格標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率除資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率外，其它數(shù)值容易獲得資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率1歷史波動(dòng)率（歷史收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）In(si/si-1)近似收益率，計(jì)算出方差年方差=方差×365/數(shù)據(jù)周期2隱含波動(dòng)率（利用相同標(biāo)的期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)和定價(jià)公式反求示的波動(dòng)率）如何獲得B-S期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)知道所有參數(shù)可以求期權(quán)價(jià)格對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式的理解期權(quán)價(jià)格及投資組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)價(jià)格未來(lái)可能會(huì)發(fā)生變化哪些因素會(huì)導(dǎo)致未來(lái)期權(quán)價(jià)格變化？標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響方向這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度金融期權(quán)價(jià)格敏感性指標(biāo)對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式的理解期權(quán)價(jià)格及投資組合價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)價(jià)格敏感性指標(biāo)（影響程度）Delta(δ或Δ)Gamma（γ或Γ）Theta（θ）Vega（ν或Λ）Rho（ρ）Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性期權(quán)價(jià)格敏感性指標(biāo)（影響程度）Delta(δ或Δ)Delta(δ或Δ)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度看漲期權(quán)的δ值在0與1之間，而看跌期權(quán)的δ值在－1和0之間平值看漲期權(quán)的δ值為0.5；平值看跌期權(quán)的δ值為－0.5實(shí)值期權(quán)的δ值，其絕對(duì)值將大于0.5而小于1；虛值期權(quán)的δ值，其絕對(duì)值將小于0.5而大于0。當(dāng)期權(quán)處于極度實(shí)值（虛值）時(shí)，其δ值的絕對(duì)值將趨近于1（0）。Delta(δ或Δ)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響Gamma（γ或Γ）期權(quán)之標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)該期權(quán)之Delta的影響程度無(wú)論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，其δ值都與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格呈同方向的變化當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遠(yuǎn)離執(zhí)行價(jià)格時(shí)，它的變動(dòng)幾乎對(duì)δ值沒(méi)有任何影響當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格等于或接近于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，它的變動(dòng)對(duì)δ值具有最大的影響Gamma（γ或Γ）期權(quán)之標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)該期權(quán)之DelTheta（θ）期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間變化敏感性的指標(biāo)期權(quán)價(jià)格與權(quán)利期間呈現(xiàn)同方向的變化Theta一般表示負(fù)值。這是因?yàn)門heta代表期權(quán)價(jià)格隨時(shí)間推移而逐漸衰減的程度。當(dāng)期權(quán)處于平價(jià)時(shí)，其Theta的絕對(duì)值最大隨著到期日的臨近，其Theta的絕對(duì)值越來(lái)越大當(dāng)標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)率越小時(shí)，Theta絕對(duì)值隨到期日臨近，上升幅度越不明顯對(duì)看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，極度實(shí)值時(shí)的Theta的絕對(duì)值將大于極度虛值時(shí)的Theta的絕對(duì)值對(duì)看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，實(shí)值期權(quán)的Theta的絕對(duì)值通常小于虛值期權(quán)的Theta的絕對(duì)值Theta（θ）期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間變化敏感性的指標(biāo)Vega（ν或Λ）期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的敏感性指標(biāo)無(wú)論是現(xiàn)貨期權(quán)還是期貨期權(quán)，均為正值無(wú)論是現(xiàn)貨期權(quán)還是期貨期權(quán)，其看漲期權(quán)的ν值都等于看跌期權(quán)的ν值Vega（ν或Λ）期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的敏感性指標(biāo)Rho（ρ）期權(quán)價(jià)格對(duì)利率變化的敏感性指標(biāo)利率的變動(dòng)對(duì)看漲期權(quán)的價(jià)格有正的影響；利率變動(dòng)對(duì)看跌期權(quán)的價(jià)格有負(fù)的影響越是實(shí)值的期權(quán)，其ρ值的絕對(duì)值；越是虛值期權(quán)，其ρ值的絕對(duì)值越小。權(quán)利期間越長(zhǎng)，ρ值的絕對(duì)值就越大；權(quán)利期間越短，ρ值的絕對(duì)值就越小。Rho（ρ）期權(quán)價(jià)格對(duì)利率變化的敏感性指標(biāo)如何計(jì)算期權(quán)價(jià)格敏感度（希臘字母）對(duì)于相B-S期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行一階及二階求導(dǎo)然后帶入目前相關(guān)參數(shù)即可如何計(jì)算期權(quán)價(jià)格敏感度（希臘字母）對(duì)于相B-S期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性Delta中性等希臘字母中性的含義組合Delta中性等希臘字母等于0組合收益不受現(xiàn)貨價(jià)格等因素影響通過(guò)中性組合構(gòu)造減少了組合的收益風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)的物的Delta、Gamma、Vega1、0、0期權(quán)的希臘字母用B-S求導(dǎo)組合的希臘字母基礎(chǔ)證券的希臘字母的線性組合Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性Delta中性等作業(yè)影響期權(quán)價(jià)格的因素10.1（歐式）看漲看跌平價(jià)關(guān)系10.24二叉樹(shù)定價(jià)12.21美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)作業(yè)影響期權(quán)價(jià)格的因素10.1FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010期權(quán)定價(jià)65FundamentalsofFuturesandOp主要內(nèi)容期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）期權(quán)價(jià)格的上限與下限看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系二叉樹(shù)模型B-S期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)價(jià)格敏感性指標(biāo)（影響程度）作業(yè)主要內(nèi)容期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值假設(shè)與符號(hào)假設(shè)不存在交易成本。所有交易盈利都適用同一稅率。投資者進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸或者投資的利率是一樣的。符號(hào)St:當(dāng)期t股票價(jià)格K：施權(quán)價(jià)格T：期權(quán)到期的時(shí)點(diǎn)t：當(dāng)期時(shí)點(diǎn)ST：時(shí)點(diǎn)T的股票價(jià)格r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率σ：股票收益率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差c,C：歐式及美式看漲期權(quán)價(jià)格p,P：歐式及美式看跌期權(quán)價(jià)格D:期權(quán)期限內(nèi)股息在t時(shí)的貼現(xiàn)值假設(shè)與符號(hào)假設(shè)期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)值PVt取決于以下兩個(gè)方面PV=內(nèi)在價(jià)值IV+時(shí)間價(jià)值TV內(nèi)在價(jià)值IV(只有實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值大于零)在履行期權(quán)合約時(shí)可獲得的總利潤(rùn)，當(dāng)處于虛值為0對(duì)于看漲期權(quán)，IV=Max(0,St-K)對(duì)于看跌期權(quán)，IV=Max(0,K-St)嚴(yán)格地講，應(yīng)該把收益折現(xiàn)到目前時(shí)刻t時(shí)間價(jià)值TV為期權(quán)合約剩余有效期可能帶來(lái)的期權(quán)增值而付的期權(quán)費(fèi)，其與剩余有效期成正比，與未來(lái)價(jià)格波動(dòng)成正比期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)值PVt取決于以下兩期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）

哪些因素會(huì)影響期權(quán)價(jià)格呢？除期權(quán)的供求關(guān)系外，影響期權(quán)內(nèi)在價(jià)值及時(shí)間價(jià)值的因素影響期權(quán)價(jià)格的因素影響持有者現(xiàn)在的收益及未來(lái)可能增值水平的所有因素標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格St、執(zhí)行價(jià)格K、資產(chǎn)收益（分派股息）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率、剩余有效期（T-t）、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r期權(quán)價(jià)格的影響因素（影響方向）

哪些因素會(huì)影響期權(quán)價(jià)格呢？現(xiàn)貨價(jià)格St與執(zhí)行價(jià)格K期權(quán)內(nèi)在價(jià)值：對(duì)于看漲期權(quán)，IV=Max(0,St-K)對(duì)于看跌期權(quán)，IV=Max(0,K-St)現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，現(xiàn)貨價(jià)格越高，到期時(shí)盈利的可能數(shù)額也就越高，因而期權(quán)價(jià)格就越高。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，現(xiàn)貨價(jià)格越高，到期時(shí)盈利的可能數(shù)額也就越低，因而期權(quán)價(jià)格越低。執(zhí)行價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，施權(quán)價(jià)越高，到期時(shí)的盈利空間越低，從而期權(quán)價(jià)格越低。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，施權(quán)價(jià)越高，到期時(shí)的盈利空間越高，從而期權(quán)價(jià)格越高。現(xiàn)貨價(jià)格St與執(zhí)行價(jià)格K期權(quán)內(nèi)在價(jià)值：標(biāo)的資產(chǎn)收益（如派發(fā)股息）標(biāo)的資產(chǎn)將支付股息將使資產(chǎn)價(jià)格如何變化？資產(chǎn)價(jià)格將下降資產(chǎn)價(jià)格下降怎樣影響期權(quán)的價(jià)格呢?對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，期權(quán)獲利能力變?nèi)酰跈?quán)價(jià)格降低。對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，期權(quán)獲利能力變強(qiáng)，期權(quán)價(jià)格提升。標(biāo)的資產(chǎn)收益（如派發(fā)股息）標(biāo)的資產(chǎn)將支付股息將使資產(chǎn)價(jià)格如標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率與剩余有效期（T-t）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率期權(quán)的特點(diǎn)在于以較低的價(jià)格規(guī)避了不利風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)保留了有利風(fēng)險(xiǎn)。不管是對(duì)于哪一種期權(quán)來(lái)說(shuō)，價(jià)格波動(dòng)性越劇烈，盈利的可能性就越高，期權(quán)價(jià)格也越高。剩余有效期（T-t）對(duì)于歐式期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于施行期權(quán)的時(shí)點(diǎn)是唯一，因此期限越長(zhǎng)對(duì)期權(quán)的擁有者來(lái)說(shuō)不一定越好。比如在T1之后（<T2)看漲期權(quán)標(biāo)的物資產(chǎn)價(jià)格明顯下降）對(duì)于美式期權(quán)來(lái)說(shuō)，在到期之間隨時(shí)可以執(zhí)行期權(quán)，因此期限越長(zhǎng)意味著選擇越多，對(duì)期權(quán)的擁有者越有利。標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格波動(dòng)率與剩余有效期（T-t）標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率1無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率提升時(shí)，投資者要求的投資收益更高，現(xiàn)貨價(jià)格如何變化？現(xiàn)貨價(jià)格變小，這使看漲期權(quán)價(jià)值下降，使看跌期權(quán)價(jià)值上升2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，收到的將來(lái)現(xiàn)金流貼現(xiàn)值也越低協(xié)議價(jià)的折現(xiàn)值變小，這使看漲期權(quán)價(jià)值上升，使看跌期權(quán)價(jià)值下降3兩種因素綜合，得出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系一般情況下，貼現(xiàn)效應(yīng)大于預(yù)期收益效應(yīng)當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格上升，而看跌期權(quán)價(jià)格下降無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率影響期權(quán)價(jià)格的因素因素歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美式看跌期權(quán)現(xiàn)貨價(jià)格＋－＋－施權(quán)價(jià)－＋－＋期限？？＋＋價(jià)格波動(dòng)性+＋＋＋無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率+－＋－預(yù)期派發(fā)股息－＋－＋影響期權(quán)價(jià)格的因素因素歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美期權(quán)價(jià)格的上限與下限

歐式與美式看漲期權(quán)上限歐式與美式看跌期權(quán)上限套利原則（成本與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益成正比）歐式與美式看漲期權(quán)下限歐式與美式看跌期權(quán)下限期權(quán)價(jià)格的上限與下限

歐式與美式看漲期權(quán)上限期權(quán)價(jià)格的上限與下限的理解

商品價(jià)格的上限是多少？消費(fèi)者愿意接受的最高價(jià)為其帶來(lái)的最大效用，或購(gòu)買其它商品的成本商品價(jià)格的下限是多少？生產(chǎn)者愿意接受的最低價(jià)生產(chǎn)商品的所有成本期權(quán)價(jià)格的上限與下限的理解

商品價(jià)格的上限是多少？期權(quán)上下限的總結(jié)（以歐式為主）看漲期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期權(quán)空頭的最大損失MAX(ST-Ke-r(T-t),0)看漲期權(quán)的上下限上限：S（S）下限：S-Ke-r(T-t)（MAX(S-Ke-r(T-t),S-K)）看跌期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期權(quán)空頭的最大損失MAX(Ke-r(T-t)-ST,0)看跌期權(quán)的上下限上限：Ke-r(T-t)（K）下限：Ke-r(T-t)-S（MAX(Ke-r(T-t)-S,K-S）期權(quán)上下限的總結(jié)（以歐式為主）看漲期權(quán)多頭的最大利潤(rùn)/看漲期看漲期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權(quán)多頭可以花S持有股票到期，也可以用c（C）購(gòu)買看漲期權(quán)，如果期權(quán)費(fèi)高于S，直接持有股票到期最經(jīng)濟(jì)，因此只有c≤S,(C≤S)才能吸引期權(quán)購(gòu)買者如何理解上限S近似理解為多頭（需求方）的最大效用當(dāng)c>S，(C>S)如何套利呢賣出一個(gè)看漲期權(quán)，收入c（C），買入一個(gè)現(xiàn)貨，支出S到時(shí)至少還收獲K看漲期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權(quán)多頭可以花S看跌期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權(quán)的價(jià)值＝PV（施權(quán)價(jià)）－PV（股票價(jià)格）p≤Ke-r(T-t),(P≤K)如何理解上限Ke-r(T-t)（K）近似理解為多頭（需求方）的最大效用當(dāng)p>Ke-r(T-t)，(P>K)如何套利呢賣出一個(gè)看跌期權(quán)，收入p（P）到時(shí)最多支出K看跌期權(quán)價(jià)格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權(quán)的價(jià)值分析思路在無(wú)套利情況下，兩個(gè)投資組合的收益與成本應(yīng)該保持一致。收益高的組合，理應(yīng)成本高成本高的組合，理應(yīng)收益高成本相等，理應(yīng)收益相等收益相等，理應(yīng)成本相等否則，以上均存在套利空間套利策略：借入效率低的組合后賣掉，買入效率高的組合獲得收益后，還借入的低效率組合或直接賣掉已擁有的效率低的組合，買入效率高的組合分析思路在無(wú)套利情況下，兩個(gè)投資組合的收益與成本應(yīng)該保持一致歐式（美式）看漲期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)?yè)碛幸粋€(gè)股票的價(jià)格）組合A:一個(gè)歐式看漲期權(quán)多頭+期權(quán)到期時(shí)K收入的零息債券多頭組合B:買入歐式看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票

到期時(shí)組合A的價(jià)值Max(StK)>=組合B的價(jià)值St,無(wú)套利情況下，組合A的成本>組合B的成本

c+Ke-r(T-t)>=S，從而，c>=S-Ke-r(T-t)怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t),0)近似看成看漲期權(quán)空頭的提供期權(quán)產(chǎn)品的凈成本美式看漲期權(quán)的下限max(S-Ke-r(T-t),0)C>c>S-Ke-r(T-t),C>S-K,S-Ke-r(T-t)>S-K歐式（美式）看漲期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)?yè)碛幸粋€(gè)股票歐式美式看漲期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看漲期權(quán)施權(quán)價(jià)為18元，離到期還有一年時(shí)間（期間無(wú)股息），無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)該看漲期權(quán)的最低價(jià)格是多少？假如該期權(quán)目前報(bào)價(jià)3.00元，你將如何操作進(jìn)行套利？該看漲期權(quán)的價(jià)值下限為S－Ke-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71報(bào)價(jià)低于價(jià)值下限，即c<S-Ke-r(T-t)c+Ke-r(T-t)<S,

(S-c)er(T-t)>K思路借入股票后賣掉，獲得S(20)元，買入看漲期權(quán)，支出c(3)元，并將S-c（17）元按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借貸出去，收益大于到期時(shí)股票最高購(gòu)買價(jià)K.若對(duì)于美式看漲期權(quán)，當(dāng)c+K<S，如何套利呢？借入股票賣掉，同時(shí)買入美式看漲期權(quán)，馬上以最多K購(gòu)入股票歐式美式看漲期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看歐式美式看跌期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)賣出一個(gè)股票的價(jià)格）組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)多頭+買入期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票組合D:期權(quán)到期時(shí)有K收入的零息債券

到期時(shí)組合C的價(jià)值Max(StK)>=組合D的價(jià)值K無(wú)套利情況下，組合A的成本>組合B的成本p+S>=Ke-r(T-t),p>=Ke-r(T-t)-S如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0)近似看成看跌期權(quán)空頭的提供期權(quán)產(chǎn)品的凈成本美式看跌期權(quán)的下限max(K-S,0)P>p>Ke-r(T-t)-S,P>K-S,K-S>Ke-r(T-t)-S歐式美式看跌期權(quán)的下限兩個(gè)資產(chǎn)組合（鎖定未來(lái)賣出一個(gè)股票的價(jià)歐式美式看跌期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看跌期權(quán)施權(quán)價(jià)為24元，離到期還有一年時(shí)間，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)該看跌期權(quán)的最低價(jià)格是多少？假如該期權(quán)目前報(bào)價(jià)1.00元，你將如何操作進(jìn)行套利？？該看漲期權(quán)的價(jià)值下限為Ke-r(T-t)－S＝24e-0.1－20＝1.71

報(bào)價(jià)低于價(jià)值下限，即p<Ke-r(T-t)-Sp+S<Ke-r(T-t)，

(p+S)er(T-t)<K

思路借入p+S（21），購(gòu)買股票和看跌期權(quán)，期權(quán)到期時(shí)賣出股票收益至少為K（24），只需還(p+S)er(T-t)。若美式看跌期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)p<其下限K-S時(shí)，如何套利？

思路借入p+S（21），購(gòu)買股票和看跌期權(quán)，馬上賣出至少獲利K24歐式美式看跌期權(quán)下限：套利例子假設(shè)股票A現(xiàn)價(jià)20元，某歐式看看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)兩個(gè)資產(chǎn)組合組合A:一個(gè)歐式看漲期權(quán)多頭+期權(quán)到期時(shí)K收入的零息債券多頭組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)多頭+買入期權(quán)對(duì)應(yīng)的股票到期時(shí)如果ST>K，則組合A和組合B的價(jià)值均為ST

如果ST≤K，則組合A和組合B的價(jià)值均為K無(wú)套利情況下，組合A的成本=組合c的成本c+Ke-r(T-t)=p+S如果股票在持有期有股息現(xiàn)值I組合A中的零息債券變?yōu)榈狡跁r(shí)有（K+Ier(T-t)）收入c+Ke-r(T-t)+I=p+S看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

復(fù)合證券（持有期間無(wú)股息時(shí)）無(wú)套利時(shí)的平價(jià)關(guān)系c+Ke-r(T-t)=p+S平價(jià)關(guān)系的變形c=p+S-Ke-r(T-t)p=c+Ke-r(T-t)-SS=c+Ke-r(T-t)-pKe-r(T-t)=p+S-cS-c=Ke-r(T-t)-p......平價(jià)關(guān)系應(yīng)用一（如c=p+S-Ke-r(T-t)）間接計(jì)算期權(quán)、標(biāo)現(xiàn)貨及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的合理價(jià)格（成本）平價(jià)關(guān)系應(yīng)用二：分解組合從而復(fù)制（如S-c=Ke-r(T-t)-p）等式右邊表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期權(quán)）組合的成本等式左邊表示（做多現(xiàn)貨，做空看漲期權(quán)）組合的成本可以證明二者的到期時(shí)損益一樣（移項(xiàng)相當(dāng)于在基礎(chǔ)公式兩邊加減同樣的成本，也相當(dāng)于在策略A與B的基礎(chǔ)上增加同一個(gè)投資品，最終的收益當(dāng)然一樣）復(fù)合證券（持有期間無(wú)股息時(shí)）無(wú)套利時(shí)的平價(jià)關(guān)系看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)(套利例子一)

某股票現(xiàn)價(jià)為20元，施權(quán)價(jià)為21元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格分別為3.00元和1.00元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)以上數(shù)據(jù)是否符合期權(quán)平價(jià)公式，如果不是，你將如何進(jìn)行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）=3.00＋20e-0.1＝21.10組合B成本p+S=1+20＝21，組合A成本大于組合B套利策略c+Ke-r(T-t）>p+S，(p+S-c)er(T-t）<K,大收小支法1賣出看漲期權(quán)收獲c，再借入Ke-r(T-t），用p+S買入看跌期權(quán)和股票，到期時(shí)支出與收益相同。法2賣掉股票和看跌期權(quán)，購(gòu)買看漲期權(quán)，余下的錢購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，到期最多花K買入股票歸還看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-——?dú)W式期權(quán)(套利例子二)

某股票現(xiàn)價(jià)為20元，施權(quán)價(jià)為20元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格分別為2.00元和1.00元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，問(wèn)以上數(shù)據(jù)是否符合期權(quán)平價(jià)公式，如果不是，你將如何進(jìn)行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）+D=2.00＋20e-0.1＝20.10組合B成本p+S=20＋1.00＝21.00，組合A成本小于組合B套利策略：c+Ke-r(T-t）<p+S，(p+S-c)er(T-t）>K

同前例子一看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

-

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

——美式期權(quán)(沒(méi)有股息時(shí))

可以證明S-K<C－P<S－Ke-r(T-t)

看跌—看漲平價(jià)關(guān)系式

期權(quán)定價(jià)思路利用期權(quán)與現(xiàn)貨構(gòu)造一個(gè)未來(lái)收益為常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合，在無(wú)套利的情況下，該投資組合的收益率為市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。如何說(shuō)明投資組合未來(lái)收益函數(shù)（sT，T）為常數(shù)（二叉樹(shù)）未來(lái)收益為離散函數(shù)：各情況下收益相等（B-S）未來(lái)收益為連續(xù)函數(shù)：收益關(guān)于sT的偏導(dǎo)為0歐式與美式期權(quán)定價(jià)先講且主要講歐式期權(quán)現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)定價(jià)先講且主要講現(xiàn)貨期權(quán)期權(quán)定價(jià)思路二叉樹(shù)定價(jià)（主要以股票期權(quán)為例）未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益率歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（N=2）對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性世界相關(guān)概念的理解和應(yīng)用多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（N>2）相關(guān)參數(shù)的求解其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)定價(jià)二叉樹(shù)定價(jià)（主要以股票期權(quán)為例）未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益現(xiàn)在用S購(gòu)買一個(gè)證券組合，未來(lái)T時(shí)刻的證券組合收益在任何情況下均為常數(shù)Sc。請(qǐng)問(wèn)該證券組合的合理收益率應(yīng)該是多少應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，否則存在套利空間1在同樣收益下，用低效率策略借錢，用部分錢做多高效率的組合，未來(lái)以高效率組合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借錢，用在高效率上，未來(lái)以高效率部分收益歸還低效率借錢成本如何構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益證券組合？在未來(lái)每一種情況下證券組合的收益均相等例子：D為多少時(shí)，組合（D股股票多頭+1看漲期權(quán)空頭）才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益證券組合呢？假設(shè)各證券收益均服從兩點(diǎn)分布，此時(shí)一份期權(quán)只包括一股股票。未來(lái)收益為常數(shù)的證券組合收益現(xiàn)在用S購(gòu)買一個(gè)證券組合，未來(lái)T金融衍生工具--期權(quán)定價(jià)課件美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，2年后股價(jià)要么23美元，要么18美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為2年后的美式式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？（到期日的內(nèi)在價(jià)值等于期權(quán)價(jià)格）美式期權(quán)可以到期前在任意時(shí)刻行權(quán)，在二叉樹(shù)假設(shè)下，美式期權(quán)除了和歐式一樣在到期時(shí)行權(quán)（價(jià)值同歐式期權(quán)），也可以在簽定合約時(shí)馬上行權(quán)（MAX(0,S0-K)）。美式期權(quán)的價(jià)值就是這兩類選擇價(jià)值的最大值。本題中到期行權(quán)價(jià)值為前面中的歐式期權(quán)價(jià)格f0,馬上行權(quán)的價(jià)值為0，所以該美式期權(quán)價(jià)格為f0美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前價(jià)格為S(21)美元。T時(shí)后（2年后）股價(jià)要么Su(23)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?u，要么Sd(18)美元，此時(shí)期權(quán)價(jià)格為?d。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r(8%)。請(qǐng)期限為T的歐式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？方法1構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合：D股股票多頭+1期權(quán)空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)（對(duì)于看漲看跌均成立，D可正可負(fù)）股票當(dāng)前FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性世界相關(guān)概念的理解和應(yīng)用

對(duì)于二叉樹(shù)定價(jià)公式的理解風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，任何證券或組合價(jià)格要么以概率p上升為S0u，要么以概率1-p下降到S0d,可證其預(yù)期收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率應(yīng)用先用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益組合中的標(biāo)的價(jià)格求p，再求f例子：用期權(quán)標(biāo)的物（股票）

96FundamentalsofFuturesandOpFundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

增加二叉樹(shù)的時(shí)間步數(shù)

一步二叉樹(shù)的不足只利用了現(xiàn)在與到期時(shí)（對(duì)沖時(shí)）的數(shù)據(jù)，精確度不高，尤其是離到期或?qū)_較遠(yuǎn)時(shí)；到期時(shí)只有兩個(gè)情境，與現(xiàn)實(shí)差異大。多步二叉樹(shù)（到期時(shí)3個(gè)以上的情境）把期權(quán)的期限分割成N段（N>1）,從前往后，第i段有至多2i個(gè)二叉樹(shù)，從后往前依次計(jì)算各段的期權(quán)價(jià)格。二步二叉樹(shù)例子股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，1年后股價(jià)要么23美元，要么18美元。如果1年后股價(jià)為23（18）美元，2年后股價(jià)要么25（23）美元，要么17（15）美元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為2年的歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？

97FundamentalsofFuturesandOp多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)

（一般）：三步為例（其它類似）SfSufuSdfdSuufuuSddfddSudfud從最后的節(jié)點(diǎn)往前按單步二叉樹(shù)計(jì)算98多步歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)

（一般）：三步為例（其它類似）SSu看跌期權(quán)的定價(jià)與套利股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，3個(gè)月后股價(jià)要么23美元（fu），要么18美元(fd)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)問(wèn)行使價(jià)格為22美元的期限為3個(gè)月后的歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格f是多少？（到期日的內(nèi)在價(jià)值等于期權(quán)價(jià)格）法一：構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合計(jì)算D股股票多頭+1份看跌期權(quán)空頭（D為負(fù)）法二：看漲看跌平價(jià)公式c+Ke-r(T-t)=p+S法三：期權(quán)期望值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)方法若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f>f0,如何套利呢？組合的收益率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時(shí)一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f<f0,如何套利呢？組合的收益率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時(shí)一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權(quán)市場(chǎng)價(jià)f<f0,如何套利呢？組合的收益率小于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，做空組合收益21D-f，全部存在銀行，到期存款的本息大于做多組合的成本看跌期權(quán)的定價(jià)與套利股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，3個(gè)月后股價(jià)要么Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算Delta的本質(zhì)1期權(quán)的短頭寸方為了實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合而買入股票的數(shù)量2股票期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的股票價(jià)格變化之比。采用期權(quán)與股票進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)，應(yīng)該從左到右順時(shí)計(jì)算并調(diào)整組合中所持股票數(shù)量

Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算Delta的本質(zhì)Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算（動(dòng)態(tài)Delta對(duì)沖）股票當(dāng)前價(jià)格為21美元，1年后股價(jià)要么23美元，要么18美元。如果1年后股價(jià)為23（18）美元，2年后股價(jià)要么25（23）美元，要么17（15）美元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。如何實(shí)現(xiàn)組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益呢？現(xiàn)在的DeltaD0=(fu-fd)/(23-18)1年后的Delta1年后股價(jià)為23美元時(shí)，D1=(fuu-fud)/(25-17)1年后股價(jià)為18美元時(shí)，D1=(fdu-fdd)/(23-15)若D1>(<)D0,則增加D1-D0份股票（減少D0-D1）Delta的本質(zhì)及各步Delta

計(jì)算（動(dòng)態(tài)Delta對(duì)沖）u、d，p的計(jì)算

u、d，p的計(jì)算其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)有股息的股票期權(quán)定價(jià)股指期權(quán)定價(jià)外匯期權(quán)定價(jià)期貨期權(quán)定價(jià)思路先利用標(biāo)的物求p，再利用p及r對(duì)未來(lái)期權(quán)期望折現(xiàn)1與無(wú)股息股票相比，有股息股息、股指、外匯的購(gòu)買成本為S-I或Se-qDt2與無(wú)股息股票相比，期貨期權(quán)相對(duì)現(xiàn)貨期權(quán)在期初，購(gòu)買標(biāo)的物的購(gòu)買成本為0，在期貨的“購(gòu)買成本”為Fe-rDt，Dt為期權(quán)的期限，而非期貨的期限其它標(biāo)的物期權(quán)定價(jià)有股息的股票期權(quán)定價(jià)期貨式期權(quán)（期權(quán)期貨）定價(jià)思路本質(zhì)上是期貨，定價(jià)與期貨一致不過(guò)此時(shí)S為期貨到期時(shí)交割的期權(quán)在此時(shí)的價(jià)格這個(gè)期權(quán)價(jià)格用一般的期權(quán)定價(jià)公式可得期貨式期權(quán)（期權(quán)期貨）定價(jià)思路美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)：以兩步，每個(gè)步長(zhǎng)1年，K=52的美式看跌期權(quán)為例（同時(shí)與歐式比較）從樹(shù)圖的最后末端向開(kāi)始的起點(diǎn)倒推計(jì)算，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳（決定行使時(shí)間從左到右）。在樹(shù)的底部期（到期日）權(quán)價(jià)格為歐式期權(quán)價(jià)格，在較早節(jié)點(diǎn)，期權(quán)價(jià)格為以下數(shù)量的最大值（此時(shí)假設(shè)只能在開(kāi)始、中間及到期時(shí)行權(quán)）：由方程式求出的值(買賣期權(quán)市場(chǎng)價(jià))提前執(zhí)行所得的收益（行權(quán)收益）從上到下：現(xiàn)貨市價(jià)、（期權(quán)市場(chǎng)價(jià)）、（提前行權(quán)收益）505.0892601.414(-8)409.463127203220484105美式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)：以兩步，每個(gè)步長(zhǎng)1年，K=52的美式看跌B(niǎo)-S定價(jià)（未來(lái)價(jià)格連續(xù)的無(wú)限步二叉樹(shù)方法，即IN(sT）為正態(tài)分布二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系B-S的假設(shè)幾種不同情況下的B-S期權(quán)定價(jià)公式對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式的理解B-S定價(jià)（未來(lái)價(jià)格連續(xù)的無(wú)限步二叉樹(shù)方法，即IN(sT）為二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系

二叉樹(shù)定價(jià)的不足其假設(shè)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格分布為有限離散，不符合事實(shí)，利用的信息較少，定價(jià)不夠準(zhǔn)確（尤其對(duì)于美式期權(quán)定價(jià)）。美式期權(quán)只能在離散點(diǎn)行權(quán)。B-S定價(jià)與二叉樹(shù)定價(jià)的關(guān)系1B-S假設(shè)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，B-S定價(jià)是二叉樹(shù)定價(jià)中未來(lái)情境數(shù)及步數(shù)取無(wú)窮大的極限值2B-S定價(jià)與二叉數(shù)定價(jià)類似采取構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，再利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行求解二叉樹(shù)的不足及與B-S定價(jià)的關(guān)系

二叉樹(shù)定價(jià)的不足B-S的假設(shè)（除加粗部分外，其它都是二叉樹(shù)定價(jià)的假設(shè)）⒈期權(quán)的標(biāo)的股票為一有風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，其現(xiàn)行價(jià)格為S。這種資產(chǎn)可以賣空。⒉期權(quán)是歐式期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為K，期權(quán)期限為T（以年表示）。⒊在期權(quán)到期日之前，標(biāo)的股票無(wú)任何收益（如股息、利息等）的支付，于是，標(biāo)的股票價(jià)格的變動(dòng)是連續(xù)的，且是均勻的，既無(wú)跳空上漲，也無(wú)跳空下跌。B-S的假設(shè)（除加粗部分外，其它都是二叉樹(shù)定價(jià)的假設(shè)）⒈期權(quán)B-S的假設(shè)⒋存在一個(gè)固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者可以以此利率無(wú)限制的借入或貸出資金。⒌不存在影響收益的任何外部因素，如稅負(fù)、交易成本及保證金等。于是，標(biāo)的股票持有者的收益僅來(lái)源于價(jià)格的變動(dòng)。⒍標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率為一已知常數(shù)。⒎標(biāo)的股票價(jià)格的變動(dòng)符合μ和σ為常數(shù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。8.期權(quán)（衍生品）價(jià)格只受現(xiàn)貨價(jià)格st和t決定。（隱含假設(shè)）B-S的假設(shè)⒋存在一個(gè)固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者可以以此利率無(wú)2022/12/18幾何布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的隨機(jī)變量Wt服從維納過(guò)程，也稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）。性質(zhì)1在短時(shí)間Δt內(nèi)，變量ΔW為其中性質(zhì)2在任意不同短時(shí)間內(nèi)，變量ΔW相互獨(dú)立。110/442022/12/14幾何布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）