均勻設計和均勻設計軟件UniformDesignandit’sSoftware王玉方2003年6月16日均勻設計和均勻設計軟件1報告的主要內(nèi)容均勻設計的概念、特點、原理均勻設計的具體應用方法均勻設計軟件報告的主要內(nèi)容均勻設計的概念、特點、原理2關(guān)鍵詞均勻設計UniformDesign試驗法Experimentation均勻設計軟件UniformDesignSoftware關(guān)鍵詞均勻設計UniformDesign31什么是均勻設計均勻設計的概念均勻設計的特點1什么是均勻設計均勻設計的概念41.1均勻設計的概念

均勻設計(UniformDesign)是一種試驗設計方法(ExperimentalDesignMethod),稱為均勻設計(UniformDesign)或均勻設計試驗法(UniformDesignExperimentation)。所有的試驗設計方法本質(zhì)上都是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表性點的方法，均勻設計也不例外，它是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設計方法。它由方開泰教授和數(shù)學家王元在1978年共同提出，是數(shù)論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用。1.1均勻設計的概念均勻設計(UniformDe51.2均勻設計的特點

均勻設計遵從和具有試驗設計方法的共性及本質(zhì)內(nèi)容，它能從全面試驗點中挑選出部分代表性的試驗點，這些試驗點在試驗范圍內(nèi)充分均衡分散，但仍能反映體系的主要特征。例如正交設計(OrthogonalDesign)是根據(jù)正交性來挑選代表點的，它在挑選代表點時有兩個特點:均勻分散，整齊可比?！熬鶆蚍稚ⅰ笔乖囼烖c均衡地布在試驗范圍內(nèi)，讓每個試驗點有充分的代表性,“整齊可比”使試驗結(jié)果的分析十分方便，易于估計各因素的主效應和部分交互效應，從而可分析各因素對指標的影響大小和變化規(guī)律。但是，為了1.2均勻設計的特點均勻設計遵從和具有試驗設計方法61.2均勻設計的特點（續(xù)1）照顧“整齊可比”,它的試驗點并沒有能做到充分“均勻分散”;為了達到“整齊可比”，試驗點的數(shù)目就必須比較多(例如用正交表安排每因素為q個水平數(shù)的多因素試驗,試驗的次數(shù)為rq2,r為自然數(shù))。均勻設計只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)充分“均勻散布”而不考慮“整齊可比”,因此它的試驗布點的均勻性會比正交設計試驗點的均勻性更好，使試驗點具有更好的代表性。由于這種方法不再考慮正交設計中為“整齊可比”而設置的實驗點，因而大大減少了試驗次數(shù)，這是它與正交試驗設計法1.2均勻設計的特點（續(xù)1）照顧“整齊可比”,它的試驗點并71.2均勻設計的特點（續(xù)2）的最大不同之處。采用均勻設計，每個因素的每個水平僅做一次試驗，當水平數(shù)增加時，試驗數(shù)隨水平數(shù)增加而增加，若采用正交設計，試驗數(shù)則隨水平數(shù)的平方數(shù)而增加。例如用正交設計需做961次5因素31水平的試驗，采用均勻設計只需做31次試驗，其效果基本相同。由于均勻設計不再考慮正交試驗的整齊可比性，因此其試驗結(jié)果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項式回歸分析。回歸分析中可對模型中因素進行回歸顯著性檢驗，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對回歸的重要性；在各因素間無相關(guān)關(guān)系1.2均勻設計的特點（續(xù)2）的最大不同之處。采用均勻設計，81.2均勻設計的特點（續(xù)3）時，因素偏回歸平方和的大小也體現(xiàn)了它對試驗指標影響的重要性。這些一般都要借助計算機才能完成。1.2均勻設計的特點（續(xù)3）時，因素偏回歸平方和的大小也體92均勻設計的原理均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計表的構(gòu)造方法均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法2均勻設計的原理均勻設計表和使用表各部分的含義102.1均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計和正交設計相似，也是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的。均勻設計表用Un(qs)或Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均勻設計,ｎ代表要做的試驗次數(shù),ｑ代表每個因素有ｑ個水平，ｓ代表該表有ｓ列，有＊和無＊代表的是用兩種不同類型的均勻設計表,＊類型表是由Un+1類型的表構(gòu)造形成的，后面再具體說明其形成方法。以下用均勻設計表U11(116)、U9*(94)和它們各自的使用表介紹一下表的各部分代表的意義(表中未用列已經(jīng)刪除)：2.1均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計和正交11均勻設計表U11(116)和它的使用表均勻設計表U11(116)U11(116)的使用表1234561234567891011123571024610393694108481967510432661789573102548527139751821098641111111111111S列號D2150.163231450.2649413450.35285123450.428661234560.4942說明：設計表中的列代表的是各因素的水平，但具體代表的是哪個因素的水平，需按使用表確定，使用表s一欄的數(shù)字是試驗的因素數(shù)，它后面的數(shù)字指定了各種因素數(shù)進行試驗時該如何選擇設計表的列；使用表中D欄代表不同因素數(shù)選擇設計表的不同列時均勻設計的偏差，偏差越小，均勻性越好，試驗成功的幾率和結(jié)果的可靠性越大。均勻設計表U11(116)和它的使用表12312均勻設計表U9*(94)和它的使用表均勻設計表U9*(94)U9*(94)的使用表1234123456789137924683917428655556824719384629731s列號D2120.157432340.1980均勻設計表U9*(94)和它的使用表123411132.2均勻設計表的構(gòu)造方法用好格子點法(GoodLatticePoint)構(gòu)造均勻設計表的方法如下：(1)定義試驗次數(shù)n,尋求比ｎ小的整數(shù)h,且使ｎ和ｈ的最大公約數(shù)為1,符合這些條件的正整數(shù)組成一個向量h=(h1,…,hm)；(2)均勻設計表的第ｊ列由uij=ihj[modn](同余運算)產(chǎn)生，若jhi超過n,則用它減去n的一個適當?shù)谋稊?shù)，使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，這里i=1,…,n-1。2.2均勻設計表的構(gòu)造方法用好格子點法(Good142.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)1）用上述方法生成的表記作Un(nm),例如n=11時，可以形成象前面介紹的U11(116)表。向量h稱為該表的生成向量，可以將Un(nm)記成Un(h)。給定n,相應的h可以用上面的方法求得，從而m也就確定了，所以m是n的一個函數(shù)，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n)。這個函數(shù)告訴我們均勻設計表最多可能有多少列。根據(jù)數(shù)論結(jié)果可知：(1)當n為素數(shù)時,E(n-1)=n-1;(2)當n為素數(shù)冪時,即n可表示成n=pl,這里p為素數(shù),l為正整數(shù)，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表為n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不屬于上述兩種情況，2.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)1）用上述方法生成的152.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)2）這時n一定可以表示為不同數(shù)的方冪積，即：n=p1l1p2l2…psls,這里p1,…,ps為不同的素數(shù)，l1,…,ls為正整數(shù)，這時E(n)=n(1-1/p1)…(1-1/ps),例如n=12可表為n=22×3,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三種情形中以n為素數(shù)時最好，最多可以有n-1列，非素數(shù)時表的結(jié)構(gòu)中永遠不可能有n-1列，比如E(6)=2，則最多只能安排兩個試驗因素，為此,王元和方開泰建議，用

Un+1

表劃去最后一行構(gòu)造形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。2.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)2）這時n一定可以表示為不162.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法每個均勻設計表都規(guī)定了它的使用表，用于進行試驗各因素水平組合的具體安排。這樣做的原因是：從均勻設計表Un(nm)中選出

s列,

則可能的選擇有(ms)種，

但不同列組合起來所代表的點集的均勻性是不同的，所設計試驗的效果也是不同的，因而如何選用均勻設計表中的列必須引入一個判別表的均勻性好壞的準則。度量均勻性的準則很多,其中偏差(discrepancy)是使用歷史最久、最為廣泛接受的方法，均勻設計也同樣采用偏差來衡量其設計表的均勻性，偏差越小，則設計表的均勻性越好。2.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法每個均勻設計表都172.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法（續(xù)1）由于這個報告的目的是向大家介紹這種試驗方法，而且關(guān)于偏差計算的內(nèi)容也很多，因而關(guān)于均勻性偏差的計算方法和具體產(chǎn)生使用表的方法在此不做介紹（有特別需要者可以參見參考文獻[1]）使用者只需要按每個均勻設計表所附的使用表進行試驗安排即可。比如，欲進行一個３因素、每因素13水平的試驗，可以選用均勻設計表U13*(134)，使用表中推薦的列為1,3,4,則所有13次試驗時各因素的水平組合為：2.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法（續(xù)1）由于這個182.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法(續(xù)2)

均勻設計表U13*(134)和它的使用表及3因素時各次試驗的因素水平組合方式12341234567891011121315911210483113546825113136212107777812249311110861211131912410613953S列號D2130.096231340.1442412340.2076試驗次數(shù)序號因素1選用水平因素2選用水平因素3選用水平11911224833135448255131366121077778824991111010612111113912121061313532.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法(續(xù)2)

均勻設計表U1192.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法上面介紹的是各試驗因素水平數(shù)相等情況下的均勻設計表，若各因素的水平數(shù)不等，則需要采用混合水平的設計表進行試驗設計。將均水平的設計表轉(zhuǎn)換為混合水平的表的方法可采用常用的擬水平法。一個試驗次數(shù)為n的設計表，試驗因素中某個或幾個因素的水平數(shù)不足n,為m(n必須為m的整數(shù)倍),則將設計表中代表該因素的水平合并，具體的合并方法是：設i為該試驗因素的第i水平(i=1,2,…,n)，將i從小到大分成m組，每組有n/m個i,用i所在的組的數(shù)值m代替設計表中的i,這樣就形成了混合水平設計表混合水平的設計表的例子如下：2.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法上面介紹的是各試202.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)

用U10*(108)產(chǎn)生3因素的U10(10×52)的過程

用U11構(gòu)造U10→計算出U10中的3列→形成擬水平均勻設計表U10(10×52)1234567891012345678910111234567891024681013579369147102584815926103751049382716617283941057310629518485210741963975311086421098765432111111111111111111111359123456789103596107945193431781010282765148621231234567891033565492315242174510142435128312.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)

用U10*(213均勻設計的應用方法試驗設計的共性問題均勻設計的應用方法具體問題的解決方法3均勻設計的應用方法試驗設計的共性問題223.1試驗設計的共性問題試驗設計（如正交試驗設計、回歸正交試驗設計、旋轉(zhuǎn)設計、D-最優(yōu)設計等）過程必然離不開試驗基礎(chǔ)內(nèi)容的構(gòu)思（試驗的評價指標；試驗的因素、水平的選擇和試驗次數(shù)的擬定）、試驗結(jié)果數(shù)據(jù)的分析等共性方面的問題。試驗的因素和水平的選擇關(guān)系到一個試驗能否成功的關(guān)鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設計（當然也包括均勻設計）的人員應該是有益的：3.1試驗設計的共性問題試驗設計（如正交試驗設計、回歸233.1試驗設計的共性問題（續(xù)1）（1）因素的含義：在一個試驗過程中，影響試驗指標的因素通常是很多的，通常固定的試驗因素在試驗方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素；（2）關(guān)于因素數(shù)量：在一項試驗中，因素不宜選得太多(如超過10個)，那樣可能會造成主次不分；相反地，因素也不宜選得太少（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗的結(jié)果達不到預期的目的；3.1試驗設計的共性問題（續(xù)1）（1）因素的含義：在一個243.1試驗設計的共性問題（續(xù)2）（3）關(guān)于各因素的水平范圍：試驗水平范圍應當盡可能大一點。如果試驗在實驗室進行，試驗范圍大比較容易實現(xiàn)；如果試驗直接在生產(chǎn)中進行，則試驗范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。試驗范圍太小的缺點是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果；（4）關(guān)于因素的水平數(shù)：若試驗水平范圍允許大一些，則每一因素的水平個數(shù)最好適當多一些；3.1試驗設計的共性問題（續(xù)2）（3）關(guān)于各因素的水平范253.1試驗設計的共性問題（續(xù)3）（5）關(guān)于因素的水平間隔：水平間隔的大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。如不切實際地降低試驗的水平間隔，在試驗范圍確定了的情況下必然會引起試驗次數(shù)的增加；而因素水平間隔太大，其試驗結(jié)果的中不確定性成分也必然增加；（6）因素和水平的含意可以是廣義的：例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應，這時“棉花品種”可設定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水平。3.1試驗設計的共性問題（續(xù)3）（5）關(guān)于因素的水平間隔263.2均勻設計的應用方法均勻設計的具體應用過程一般分以下六個步驟：(1)確定試驗指標、因素、因素水平范圍和因素水平數(shù)（這是關(guān)系到試驗成功與否的關(guān)鍵）；(2)選擇合適的均勻設計表建立分次試驗的具體因素水平組合；(3)執(zhí)行分次試驗并取得每次試驗的指標值；3.2均勻設計的應用方法均勻設計的具體應用過程一般273.2均勻設計的應用方法（續(xù)1）(4)用分次試驗的指標值和取得該指標值的各因素水平值建立試驗指標—各因素水平關(guān)系的回歸模型（這也是均勻設計中的最重要的環(huán)節(jié)之一)；(5)成功地建立了回歸模型后在各試驗因素的試驗范圍內(nèi)尋找最佳的各因素水平組合并進行該組合的驗證試驗（也可和步驟６一起進行)；(6)驗證試驗成功則進一步縮小各因素的試驗范圍，重新選擇均勻設計表（即從步驟２開始）進行各因素范圍縮小和水平劃分更為細致的新的一輪的試驗，進一步尋找最優(yōu)試驗條件組合。一般情況下，此次最優(yōu)條件即為整個試驗的最優(yōu)條件，試驗結(jié)束。3.2均勻設計的應用方法（續(xù)1）(4)用分次試驗的指標值283.3具體問題的解決方法試驗次數(shù)問題設計表的選擇回歸模型建立回歸模型優(yōu)化試驗參數(shù)優(yōu)化使用均勻設計時需要注意的其它問題3.3具體問題的解決方法試驗次數(shù)問題293.3.1試驗次數(shù)問題均勻設計的最大特點是試驗次數(shù)等于因素的最大水平數(shù)，而不是平方的關(guān)系，試驗次數(shù)與被考察的因素的個數(shù)有關(guān)，建議試驗次數(shù)選為因素數(shù)的３倍左右為宜，這樣選擇的均勻設計表的均勻性好，也有利于以后的建模和優(yōu)化。3.3.1試驗次數(shù)問題均勻設計的最大特點是試驗次數(shù)等于303.3.2設計表的選擇選擇均勻設計表需要注意以下幾點：(1)要滿足試驗次數(shù)的要求：即確定Un表n的問題，關(guān)于這一點，見前面的建議；(2)表的列數(shù)要滿足試驗因素數(shù)的要求：如U6(62)表和U6*(66)表，雖然n值相同，可前者有２列，只能安排２因素試驗，而后者最多卻可以安排４因素試驗。(3)Un*表比Un表有更好的均勻性，在確定了試驗次數(shù)n的情況下,若Un*表也能滿足因素數(shù)的要求，應優(yōu)先采用Un*表：Un*表是由Un+1表劃去最后一行3.3.2設計表的選擇選擇均勻設計表需要注意以下幾313.3.2設計表的選擇（續(xù)）得到的，若n為偶數(shù)，Un*表比Un表有更多的列，若n為奇數(shù),則Un*表的列通常少于Un表。(4)Un*表比Un表更容易安排試驗：

Un表的最后一行全部由ｎ組成，而Un*表則不然。例如在化工反應中，若所有因素的水平都按一個方向排列，則在表的最后一行的所有因素的水平值不是最高就是最低，所有高水平組合很容易出現(xiàn)反應過分劇烈甚至爆炸，所有低水平組合則可能出現(xiàn)反應異常甚至不能進行的現(xiàn)象。3.3.2設計表的選擇（續(xù)）得到的，若n為偶數(shù)，Un*表比323.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關(guān)的程度常用相關(guān)系數(shù)來衡量，在某一顯著性水平α下，當相關(guān)系數(shù)的絕對值大于相關(guān)系數(shù)臨界值時才可以認為x和y有線性相關(guān)關(guān)系。注意：回歸模型不等于回歸方程，回歸方程只是回歸模型中的表達方式的部分，一個完整的模型的表述，包括它的數(shù)學表達部分—回歸方程，還有因素的組成、因素范圍和置信水平、隨機誤差等內(nèi)容，本文論述中為了直觀的原因，可能將“回歸方程”表述為“回歸模型”。3.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和33線性回歸模型（續(xù)）(2)多元線性回歸模型當影響因變量ｙ的自變量不止一個時，比如有ｍ個x1,…,xm這時ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,其回歸顯著性檢驗一般用Ｆ檢驗，方程中各項在回歸中的重要性用該項的偏回歸平方和進行判定。由于其回歸系數(shù)的求解需要解用來確定回歸系數(shù)的的方程組--正規(guī)方程，通常情況下僅此一項工作就導致分析過程中需要進行大量的計算，在方程項數(shù)很少的情況下還可以通過人工方式在可接受的時間內(nèi)完成，否則一般都要借助計算機才能完成。線性回歸模型（續(xù)）(2)多元線性回歸模型34非線性回歸模型一般分為二次型回歸模型、多項式回歸模型等。(1)二次型回歸模型由于因素間常有交互作用，那么前面的回歸模型就不足以反映實際，于是二次型回歸模型常常為人們所采用。若有m個因素則二次型回歸模型為：回歸方程中的項數(shù)為m(m+3)/2，若使回歸系數(shù)的估計成為可能，則需要試驗次數(shù)n>1+m(m+3)/2，因此進入方程的變量必須經(jīng)過篩選，如采用前進非線性回歸模型一般分為二次型回歸模型35非線性回歸模型（續(xù)1）法、后退法、逐步回歸法或最優(yōu)子集法等進行變量的篩選。其回歸系數(shù)求解可經(jīng)過方程項的轉(zhuǎn)換按多元線性回歸的方法完成。(2)多項式回歸模型一般地，包含多變量的任意多項式可表述為：可通過類似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22的變換，將其按多元線性回歸分析。多項式回歸在回歸分析中占特殊地位，因為任何函數(shù)至少在一非線性回歸模型（續(xù)1）法、后退法、逐步回歸法36非線性回歸模型（續(xù)2）個比較小的鄰域內(nèi)可用多項式任意逼近，因此在比較復雜的的實際問題中，可以不問ｙ與各因素的確切關(guān)系如何，而采用多項式進行分析（一次多項式是多項式的特例）。在多項式回歸模型中，常用的子模型結(jié)構(gòu)如下：非線性回歸模型（續(xù)2）個比較小的鄰域內(nèi)可用多37非線性回歸模型（續(xù)3）（1）對數(shù)(Logarithm)：包括自然對數(shù)、常用對數(shù)和以n為底對數(shù)，數(shù)學表達式分別為Ln(x)、Lg(x)、Logn(x)[以下將“數(shù)學表達式”和“函數(shù)”類的語句省略]（2）冪(Power)：整數(shù)次冪、非整數(shù)次冪，xn（3）倒數(shù)(Reciprocal)：1/x（4）三角函數(shù)(Trigonometricfunction)、反三角函數(shù)(Inversetrigonometricfunction)(涉及力學領(lǐng)域等常用，比如工件的切割、彈道軌跡等),包括有：正弦Sin(X)、余弦Cos(X)、正切Tan(X)、余切Cotan(X)、正割Sec(X)、余割Cosec(X)、雙曲正弦HSin(X)、雙曲余弦HCos(X)、雙曲正切HTan(X)、雙曲余切HCotan(X)、雙曲正割HSec(X)、雙曲余割HCosec(X)、反正弦Arcsin(X)、反余弦Arccos(X)、反正切Atn(X)、反余切Arccotan(X)、正割：Arcsec(X)、反余割：Arccosec(X)、反雙曲正弦：HArcsin(X)、反雙曲余弦：HArccos(X)、反雙曲正切：HArctan(X)、反雙曲余切：HArccotan(X)、反雙曲正割：HArcsec(X)、反雙曲余割：HArccosec(X)。（5）冪指數(shù)：anx非線性回歸模型（續(xù)3）（1）對數(shù)(Logar38回歸模型建立回歸模型的建立過程在很大程度上需要結(jié)合專業(yè)知識和經(jīng)驗。雖然試驗者正在用均勻設計研究的某個問題的未知因素很多，也可能有些問題是試驗者全然不知道的（就象試驗者在未建立回歸模型前肯定不知道模型的具體形式一樣),但試驗者在試驗中所采用具體試驗實施操作肯定是和各種專業(yè)緊密相關(guān)的，只要試驗者思考一下，哪個因素在什么時間、什么過程參加了什么反應，以及對試驗的指標有何影響（有些時候可以比較明確地指出這個因素對試驗指標的影響，而有些時候就不能斷言),那么試驗者只要尋著這樣一個回歸模型建立回歸模型的建立過程在很大39回歸模型建立（續(xù)1）思路考慮，肯定可以找出在模型中應該添加或不添加某個模型組成項的依據(jù)。下面用一個例子來說明建模的思路和過程：例子：為研究石墨爐原子吸收分光光度計法測定微量元素鈀的工作條件，確定了灰化溫度x1、灰化時間x2、原子化溫度x3和原子化時間x4四個因素，其試驗評價指標為吸光度。由原子化機理可知，灰化溫度和原子化溫度對吸光度的的影響可擬合為二次函數(shù)，即在模型中應該有x12和x32項,這兩個因素發(fā)生在不同時間，因而不存在交互作回歸模型建立（續(xù)1）思路考慮，肯定可以找出在40回歸模型建立（續(xù)2）用,x1x3項可不列為考察目標。灰化時間和原子化時間對試驗指標的影響比較復雜，也可用二次項逼近，忽略它們的交互作用，方程中應該有x22、x42項。因為還只是根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗進行推斷，具體每個因素對結(jié)果的影響到底如何還屬未知，那么，各因素的一次項理所當然也參加進方程中，這樣就可以擬定出一個y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多項式回歸模型。至于這個模型的表達效果到底如何，暫時可以不用理會，只是試驗者回歸模型建立（續(xù)2）用,x1x3項可不列為考41回歸模型建立（續(xù)3）已經(jīng)按照專業(yè)知識和經(jīng)驗擬定出一個有明確意義的回歸模型了！接下來就是用多元回歸分析的方法，進行模型的計算和按照一定的顯著性水平對模型有效性及模型中各組成項的顯著性進行檢驗的過程了，可以計算出原始模型的各回歸系數(shù)分別為：b0=3.836×10-1；b1=1.001×10-5；b2=-3.324×10-3；b3=-3.529×10-4；b4=1.421×10-2；b5=-3.584×10-8；b6=4.034×10-5；b7=9.852×10-8；b8=-1.076×10-3。對模型進行回歸顯著性檢驗，其Ｆ檢驗值為66.620,臨界值Ｆ0.05(8,3)=8.8452，高度顯著性，復相關(guān)系數(shù)達到0.9972?；貧w模型建立（續(xù)3）已經(jīng)按照專業(yè)知識和經(jīng)驗擬423.3.4回歸模型優(yōu)化若對上面例子中列入回歸方程中的項按某一顯著性水平（本例中取α=0.05)逐個進行顯著性檢驗，就可以發(fā)現(xiàn)，x1、x22、x3、x4及x42對回歸無顯著作用，將它們從模型中剔除，則可以確立如下的回歸模型：y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+b4x32回歸系數(shù)分別為：b0=-5.35×10-2；b1=-3.05×10-3；b2=-3.14×10-8；b3=3.53×10-5；b4=3.42×10-8。對模型進行回歸顯著性檢驗，其Ｆ檢驗值為184.38，臨界值Ｆ0.05(4,7)=4.1203,同樣高度著，3.3.4回歸模型優(yōu)化若對上面例子中列入回歸方程中433.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)1）復相關(guān)系數(shù)為0.9972。這樣就成功地建立了一個去偽存真的精簡的更能真實地表達因素和指標間關(guān)系的回歸模型。觀察上面的回歸模型，我們還可以發(fā)現(xiàn)，原子化時間

x4這個試驗因素在回歸模型中沒有出現(xiàn)，證明它是一個對試驗指標影響不顯著的因素，在后續(xù)的進一步的試驗條件優(yōu)化過程中，我們完全可以放棄對這個因素的觀察，只將它保持在普通狀態(tài)，使之成為一個靜態(tài)的“因素”而將它從真正對試驗起顯著作用的行列中剔除，這樣就減輕了3.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)1）復相關(guān)系數(shù)為0.9972。這443.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)2）試驗的負擔，也進一步降低了試驗的誤差。若在其它試驗中通過回歸模型優(yōu)化后同樣發(fā)現(xiàn)了不顯著因素，而它又是個實際消耗資源的因素，那么模型優(yōu)化的意義則更加顯著了。3.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)2）試驗的負擔，也進一步降低了試453.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化建立了回歸模型后，如何在試驗范圍內(nèi)找到最好的試驗因素組合？這就是所謂的參數(shù)優(yōu)化(或稱為試驗優(yōu)化)需要解決的問題了。需要補充說明的是，之所以是在試驗范圍內(nèi)，是因為回歸分析方法所建立的模型在試驗范圍內(nèi)有效，不能說在擴大了范圍的情況下它還是有效的（有時，根據(jù)具體情況做適當?shù)耐馔剖强梢缘模矁H僅是限定在根據(jù)每個試驗的具體情況，這是個經(jīng)驗，一般正式的學術(shù)方面的書籍或文獻在論述這個問題時或不提倡外推或允許適度外推),否則外推則是在冒險。3.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化建立了回歸模型后，如何在試驗范圍463.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)1）

多元函數(shù)f(x1,x2,x3,,,,xn)描述的是在多維空間中的一個響應面，求響應面極值的方法有很多，如間接的微分法、幾何規(guī)劃法、直接消去法、直接爬山法以及因素輪換法等，限于時間和篇幅，這里僅對微分法求函數(shù)極值進行簡單的介紹，更詳細的內(nèi)容和其它方法見參考文獻[5]或自行參考任何微積分或相關(guān)方面的書籍。若求得了函數(shù)的多個極值(極小值或極大值)，那么將這些極值在函數(shù)的全域范圍內(nèi)進行比較，則可以得到我們想要的最大值或最小值，該極值點處各變量的值則是我們尋找的試驗條件的最優(yōu)值。3.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)1）多元函數(shù)f(x1,473.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)2）間接的微分法將尋求目標函數(shù)最優(yōu)值的問題間接地歸結(jié)為解它的一階導數(shù)為零的方程組，即將函數(shù)按各自變量求一階偏導數(shù)并使其等于零，解由此組成的方程組即可找到函數(shù)的極值點，將極值點的各變量值代入函數(shù)中即可求得函數(shù)極值（極值分極大值和極小值，但不對等于最大值或最小值),下面給出一個此方法的例子：3.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)2）間接的微分法483.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)３）函數(shù)y=1×103x1+4×109x1-1x2-1+2.5×105x2,其中0≤x1≤2200，0≤x2≤8。令函數(shù)關(guān)于x1和x2的兩個一階偏導數(shù)都為零,這樣得到兩個聯(lián)立方程：解此聯(lián)立方程，求得唯一的極值點，即得x1=1000，x2=4，

函數(shù)極值為y=3×106,

是極大值還是極小值呢？函數(shù)的限定條件是0≤x1≤2200，0≤x2≤8，3.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)３）函數(shù)y=1×103x1+4493.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)４）很明顯，這幾個系數(shù)都是正數(shù)，變量取值范圍也都非負，而極值點的變量的值不是取各自的最大值，因此這個極值是極小值，因為函數(shù)在此區(qū)間上僅有一個極值點，所以這個極值點的值也是此函數(shù)區(qū)間上的最小值。這是最簡單且快速的適合用手工方法求解函數(shù)極值的方法。關(guān)于求函數(shù)極值和試驗最優(yōu)條件的求解，許多已知的軟件也可以做這方面的工作，比如MatLab(MatrixLaboratory)等等。上面介紹的是求函數(shù)極值的一種方法，當然，在實際中，任何均勻設計專門軟件都可以將這個過程自動完成而不需要使用者自行通過類似的手工計算的方式求解試驗最優(yōu)條件。3.3.5試驗參數(shù)優(yōu)化（續(xù)４）很明顯，這幾個系數(shù)都是正數(shù)，503.3.6使用均勻中需要注意的問題最優(yōu)條件在試驗范圍邊界上的問題若試驗優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)個別因素的最優(yōu)條件在其試驗范圍的邊界上，那么一般說來這是一個試驗范圍不足的信號，這一點，在初次大范圍的試驗結(jié)束并進行了首次試驗優(yōu)化后就應該發(fā)現(xiàn)，無論如何也不應該在全部試驗都結(jié)束了才察覺到它，否則您找的最優(yōu)試驗條件則是真真正正的“局部最優(yōu)”條件了。出現(xiàn)了這種現(xiàn)象，解決的辦法一般是在進一步的試驗中大力縮小該因素另外一端的范圍而適3.3.6使用均勻中需要注意的問題最優(yōu)條件51最優(yōu)條件在試驗范圍邊界上的問題(續(xù))當加寬不足一邊的試驗范圍。之所以是適當加寬，還是前面提到的模型適用范圍的問題，因為進一步優(yōu)化的基礎(chǔ)是試驗者承認了先前的那個試驗范圍條件下建立的模型，而偏偏個別因素最優(yōu)值在邊界上，實在是有進一步探詢的必要。否定先前的模型是沒有根據(jù)的，放棄模型不用更是不應該的，欲發(fā)現(xiàn)真正的最優(yōu)試驗條件，調(diào)整試驗范圍是必須的。最優(yōu)條件在試驗范圍邊界上的問題(續(xù))當加寬不52Ｆ檢驗給出的顯著性與否是判斷回歸模型是否有效的當然依據(jù)，一般情況下，回歸平方和與剩余平方和的比值越大，則模型的可信度愈高，表現(xiàn)在復相關(guān)系數(shù)或相關(guān)系數(shù)上，R2

數(shù)值就越大（一元線性回歸分析常用相關(guān)系數(shù)表述相關(guān)關(guān)系的大小，且R值可正可負）,但是建模的過程中，我們不能簡單地追求高的回歸平方和與剩余平方和的比值（或大的R2

值),模型的建立一定要根據(jù)專業(yè)的知識進行，數(shù)理統(tǒng)計中一個重要的概念是自由度，若選進方程中的項過多，使誤差自由度為１甚至為０，雖然R2

更加接近于1,模型看上去模型好壞的判斷標準的問題Ｆ檢驗給出的顯著性與否是判斷回歸模型是否有效的當然依53模型好壞的判斷標準的問題（續(xù)）很完美，但這時有關(guān)的結(jié)論的可靠性是很差的。一般應保持誤差自由度（即剩余平方和自由度)≥5，這也就是為什么主張選用ｎ值大一些的設計表進行設計或有前面的“試驗次數(shù)選為因素數(shù)的３倍左右為宜”觀點的原因了。模型好壞的判斷標準的問題（續(xù)）很完美，但這時54以上是對均勻設計原理和應用方法等的簡單介紹，大家只要按著這樣的一條線索記憶就可以了：表的含義→安排試驗→回歸建?！鷧?shù)尋優(yōu)→繼續(xù)試驗→最優(yōu)條件。因為均勻設計方法需要專門的計算機軟件的支持，下面簡要介紹一下均勻設計軟件方面的內(nèi)容。均勻設計和均勻設計軟件講解課件554均勻設計軟件對均勻設計軟件基本功能的要求均勻設計方面軟件的介紹均勻設計軟件功能的介紹4均勻設計軟件對均勻設計軟件基本功能的要求564.1對均勻設計軟件基本功能的要求1、遵循均勻設計基本原理，必須產(chǎn)生可見的能夠用于指導試驗者進行試驗安排的均勻設計表；2、必須能對試驗者的原始設計數(shù)據(jù)根據(jù)均勻設計表進行排列并產(chǎn)生供試驗者進行試驗的試驗方案；3、程序必須具備回歸模型建立和模型優(yōu)化功能的模塊；4、必須具備試驗最優(yōu)條件判定功能的模塊。下面簡單闡述一下這幾個“必須”的理由：4.1對均勻設計軟件基本功能的要求1、遵循均勻設計基本原理574.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)1)(1)之所以要求產(chǎn)生可見的均勻設計表，是便于用戶對試驗設計進行綜合的考慮，對用戶更加深入地理解均勻設計亦有好處；(2)作為均勻設計的軟件，試驗方案的建立必須在用戶輸入了原始設計數(shù)據(jù)后由系統(tǒng)自動生成，試驗方案的輸出可以是多樣的，但在當前階段，必須包括可以由打印機打印的輸出方式；(3)均勻設計對試驗數(shù)據(jù)的分析采用回歸分析方法進行，而且用均勻設計方法設計的多是多因素、多水平的試驗，其數(shù)據(jù)計算量非常巨大，這個工4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)1)(1)之所以要584.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)2)作必須由計算機完成。再者，均勻設計是一種通用的試驗法，它的建模功能必須強勁，為適應多項式回歸分析，其函數(shù)功能必須豐富，保證滿足建立復雜和特殊模型的需求，這樣才能滿足各門類科學研究的需要；模型優(yōu)化功能也是必需的，沒有模型優(yōu)化功能，用戶所建模型的可信度就不好評價(主要是列入模型中的項和因為方程項的過多引入而導致誤差自由度降低進而導致Ｆ檢驗結(jié)論的可靠性下降的問題)。4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)2)作必須由計算機完594.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)３)(4)試驗條件優(yōu)化是給出最優(yōu)試驗條件的過程，在均勻設計專門軟件中應該是必不可少的，軟件應該具備根據(jù)回歸模型自動給出試驗范圍內(nèi)各因素的最優(yōu)條件組合以獲取最優(yōu)試驗指標的功能，不應該要求用戶通過第三方軟件或手工計算的方式來實現(xiàn)。4.1對均勻設計軟件功能的基本要求(續(xù)３)(4)試驗條件604.2均勻設計方面軟件的介紹根據(jù)幾年來我對與均勻設計方面的有關(guān)軟件的跟蹤和調(diào)查，到目前為止，已知的這方面的專業(yè)軟件有“均勻設計軟件包(UST40)”，對于這個軟件的前身，方開泰教授在其專著[1]中也曾經(jīng)提過，該軟件于1990年開始研制，1994年正式推出，作為均勻設計創(chuàng)始人之一的方開泰教授給這個軟件以很高的評價，1994年４月４日的題詞稱其為“構(gòu)思精巧，面向?qū)嶋H，菜單管理，方便使用。分析細膩，國內(nèi)屈指，包裝考究，水平國際”;1998年推出的UST4.0版本的均勻設計軟件包是一個可在Windows95/98的MS-DOS環(huán)境下運行的中文軟件，需要漢字輔助系統(tǒng)(如“成然CCDOS97”)的支持,“軟件的主要功能有：均勻設計、數(shù)據(jù)輸入、建立模型和參數(shù)優(yōu)化四部分”。新增加功能有“在數(shù)據(jù)處理中增加了取對數(shù)和指數(shù)的變換”。4.2均勻設計方面軟件的介紹根據(jù)幾年來我對與均勻設614.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)1）這是我所知道的在均勻設計方面最具權(quán)威性的一個專業(yè)軟件，它首次將均勻設計的原理和方法通過計算機軟件的形式表達了出來，使均勻設計這個國產(chǎn)技術(shù)的優(yōu)秀試驗法的實施變得容易和方便起來，開創(chuàng)了均勻設計專業(yè)軟件的先河！這個軟件采用了硬件自我保護方式，因此也就嚴重地限制了它的傳播。我認為，軟件保護的應該是軟件的合適的生命周期，只要在合理的時間段內(nèi)不被非法使用，就是成功的保護；對軟件進行保護的同時，不應該把軟件自身囚禁起來。均勻設計自1980年正式公諸于世，1994年成立了中國數(shù)學會均勻設計分會，在一些省市也有機構(gòu)，同年有4.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)1）這是我所知道的624.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)2）了專業(yè)的軟件包，可均勻設計被推廣了這么多年，時至今日，全國合計起來用戶也就幾十家，我想和這些類似的專門軟件的不流通有很大的關(guān)系，因為沒有專門的軟件的支持，均勻設計的具體應用是很困難的，因此，我認為均勻設計還遠遠沒有發(fā)揮出它的使用價值，在均勻設計和均勻設計軟件的推廣、應用等諸多方面，還有很多實際工作要做以及進行推廣方式的改進和完善。4.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)2）了專業(yè)的軟件包，可均勻634.3均勻設計軟件功能的介紹自2000年，我利用業(yè)余時間，按照均勻設計的原理，通過查閱各種相關(guān)資料，編譯了運行于微軟Windows操作平臺上的一個叫做“均勻設計”的共享軟件，它可以運行于微軟自1995年以來發(fā)布的任何主流個人計算機中文操作平臺上（不是Windows下的MS-DOS環(huán)境），自今年6月起在http://wangyufang_/這個網(wǎng)址發(fā)布。該軟件具備上述我認為均勻設計軟件應該具備的基本功能，此外還有按回歸模型進行結(jié)果預報的模塊；內(nèi)核集成了可以分別在不同顯著性水平下進行Ｆ檢驗運算的模塊（著性水平可為0.01、0.05、0.10、0.15、0.20、0.25），可以查詢上述顯著性水平下的第一、第二自由度均可高達60的Ｆ檢驗臨界值表以及自由度同樣可達到4.3均勻設計軟件功能的介紹自2000年，我利用業(yè)644.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)3）60的相關(guān)系數(shù)臨界值表；試驗設計輸出有多種形式，既可內(nèi)存?zhèn)魉汀⒋疟P保存，也可直接打印；程序運行過程中的任何數(shù)據(jù)都可以明文或密碼的方式進行保存或讀取；分析結(jié)果除以文本方式顯示外，還有圖形可供觀察，非常直觀；在回歸模型設置方面，通過鼠標點擊操作就可完成，為適應涉及力學等方面建模的需要，內(nèi)置了全部三角函數(shù)，可擬定非常復雜的模型以滿足各種用戶的需要。這是我發(fā)布的第一個均勻設計方面的程序，限于個人水平，缺點、不足在所難免，歡迎大家給予批評指正，使我能把它做得更好。4.2均勻設計方面軟件的介紹（續(xù)3）60的相關(guān)系數(shù)臨界值表65結(jié)束語希望大家通過我的報告能對均勻設計有個了解，希望均勻設計這個先進的試驗設計方法能在中國的大地上乃至全世界廣泛應用起來，服務于科研，造福于人類。讓我們共同努力，把均勻設計做得更好！謝謝大家！結(jié)束語希望大家通過我的報告能對均勻設計有個了解，希望66參考文獻[1]方開泰著,1994,均勻設計與均勻設計表,科學出版社.[2]方開泰,1980,均勻設計—數(shù)論方法在試驗設計的應用,應用數(shù)學學報,Vol.3,No.4.[3]中國科學院數(shù)學研究所數(shù)理統(tǒng)計組編,1974,歸分析方法,科學出版社.[4]秦建侯,鄧勃,王小芹編著,1989,分析測試數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理中計算機的應用，化學工業(yè)出版社.[5]D.J.華爾德,C.S.皮特勒著,尤云程譯,1978,優(yōu)選法基礎(chǔ),科學出版社.[6]馮康等編,1978,數(shù)值計算方法,國防工業(yè)出版社.[7]裴鑫德編著,1991,多元統(tǒng)計分析及應用,北京農(nóng)業(yè)大學出版社.[8]A.拉爾斯登,H.S.維爾夫著,該書翻譯組譯,1976,數(shù)字計算機上用的數(shù)學方法第二卷,上海人民出版社.[9]R.考爾卡特,R.鮑迪著,王克謙,張華山譯,1989,分析化學工作者用統(tǒng)計學,科學出版社.參考文獻[1]方開泰著,1994,均勻設計與均勻設計表,科67均勻設計和均勻設計軟件UniformDesignandit’sSoftware王玉方2003年6月16日均勻設計和均勻設計軟件68報告的主要內(nèi)容均勻設計的概念、特點、原理均勻設計的具體應用方法均勻設計軟件報告的主要內(nèi)容均勻設計的概念、特點、原理69關(guān)鍵詞均勻設計UniformDesign試驗法Experimentation均勻設計軟件UniformDesignSoftware關(guān)鍵詞均勻設計UniformDesign701什么是均勻設計均勻設計的概念均勻設計的特點1什么是均勻設計均勻設計的概念711.1均勻設計的概念

均勻設計(UniformDesign)是一種試驗設計方法(ExperimentalDesignMethod),稱為均勻設計(UniformDesign)或均勻設計試驗法(UniformDesignExperimentation)。所有的試驗設計方法本質(zhì)上都是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表性點的方法，均勻設計也不例外，它是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設計方法。它由方開泰教授和數(shù)學家王元在1978年共同提出，是數(shù)論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用。1.1均勻設計的概念均勻設計(UniformDe721.2均勻設計的特點

均勻設計遵從和具有試驗設計方法的共性及本質(zhì)內(nèi)容，它能從全面試驗點中挑選出部分代表性的試驗點，這些試驗點在試驗范圍內(nèi)充分均衡分散，但仍能反映體系的主要特征。例如正交設計(OrthogonalDesign)是根據(jù)正交性來挑選代表點的，它在挑選代表點時有兩個特點:均勻分散，整齊可比。“均勻分散”使試驗點均衡地布在試驗范圍內(nèi)，讓每個試驗點有充分的代表性,“整齊可比”使試驗結(jié)果的分析十分方便，易于估計各因素的主效應和部分交互效應，從而可分析各因素對指標的影響大小和變化規(guī)律。但是，為了1.2均勻設計的特點均勻設計遵從和具有試驗設計方法731.2均勻設計的特點（續(xù)1）照顧“整齊可比”,它的試驗點并沒有能做到充分“均勻分散”;為了達到“整齊可比”，試驗點的數(shù)目就必須比較多(例如用正交表安排每因素為q個水平數(shù)的多因素試驗,試驗的次數(shù)為rq2,r為自然數(shù))。均勻設計只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)充分“均勻散布”而不考慮“整齊可比”,因此它的試驗布點的均勻性會比正交設計試驗點的均勻性更好，使試驗點具有更好的代表性。由于這種方法不再考慮正交設計中為“整齊可比”而設置的實驗點，因而大大減少了試驗次數(shù)，這是它與正交試驗設計法1.2均勻設計的特點（續(xù)1）照顧“整齊可比”,它的試驗點并741.2均勻設計的特點（續(xù)2）的最大不同之處。采用均勻設計，每個因素的每個水平僅做一次試驗，當水平數(shù)增加時，試驗數(shù)隨水平數(shù)增加而增加，若采用正交設計，試驗數(shù)則隨水平數(shù)的平方數(shù)而增加。例如用正交設計需做961次5因素31水平的試驗，采用均勻設計只需做31次試驗，其效果基本相同。由于均勻設計不再考慮正交試驗的整齊可比性，因此其試驗結(jié)果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項式回歸分析。回歸分析中可對模型中因素進行回歸顯著性檢驗，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對回歸的重要性；在各因素間無相關(guān)關(guān)系1.2均勻設計的特點（續(xù)2）的最大不同之處。采用均勻設計，751.2均勻設計的特點（續(xù)3）時，因素偏回歸平方和的大小也體現(xiàn)了它對試驗指標影響的重要性。這些一般都要借助計算機才能完成。1.2均勻設計的特點（續(xù)3）時，因素偏回歸平方和的大小也體762均勻設計的原理均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計表的構(gòu)造方法均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法2均勻設計的原理均勻設計表和使用表各部分的含義772.1均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計和正交設計相似，也是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的。均勻設計表用Un(qs)或Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均勻設計,ｎ代表要做的試驗次數(shù),ｑ代表每個因素有ｑ個水平，ｓ代表該表有ｓ列，有＊和無＊代表的是用兩種不同類型的均勻設計表,＊類型表是由Un+1類型的表構(gòu)造形成的，后面再具體說明其形成方法。以下用均勻設計表U11(116)、U9*(94)和它們各自的使用表介紹一下表的各部分代表的意義(表中未用列已經(jīng)刪除)：2.1均勻設計表和使用表各部分的含義均勻設計和正交78均勻設計表U11(116)和它的使用表均勻設計表U11(116)U11(116)的使用表1234561234567891011123571024610393694108481967510432661789573102548527139751821098641111111111111S列號D2150.163231450.2649413450.35285123450.428661234560.4942說明：設計表中的列代表的是各因素的水平，但具體代表的是哪個因素的水平，需按使用表確定，使用表s一欄的數(shù)字是試驗的因素數(shù)，它后面的數(shù)字指定了各種因素數(shù)進行試驗時該如何選擇設計表的列；使用表中D欄代表不同因素數(shù)選擇設計表的不同列時均勻設計的偏差，偏差越小，均勻性越好，試驗成功的幾率和結(jié)果的可靠性越大。均勻設計表U11(116)和它的使用表12379均勻設計表U9*(94)和它的使用表均勻設計表U9*(94)U9*(94)的使用表1234123456789137924683917428655556824719384629731s列號D2120.157432340.1980均勻設計表U9*(94)和它的使用表123411802.2均勻設計表的構(gòu)造方法用好格子點法(GoodLatticePoint)構(gòu)造均勻設計表的方法如下：(1)定義試驗次數(shù)n,尋求比ｎ小的整數(shù)h,且使ｎ和ｈ的最大公約數(shù)為1,符合這些條件的正整數(shù)組成一個向量h=(h1,…,hm)；(2)均勻設計表的第ｊ列由uij=ihj[modn](同余運算)產(chǎn)生，若jhi超過n,則用它減去n的一個適當?shù)谋稊?shù)，使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，這里i=1,…,n-1。2.2均勻設計表的構(gòu)造方法用好格子點法(Good812.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)1）用上述方法生成的表記作Un(nm),例如n=11時，可以形成象前面介紹的U11(116)表。向量h稱為該表的生成向量，可以將Un(nm)記成Un(h)。給定n,相應的h可以用上面的方法求得，從而m也就確定了，所以m是n的一個函數(shù)，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n)。這個函數(shù)告訴我們均勻設計表最多可能有多少列。根據(jù)數(shù)論結(jié)果可知：(1)當n為素數(shù)時,E(n-1)=n-1;(2)當n為素數(shù)冪時,即n可表示成n=pl,這里p為素數(shù),l為正整數(shù)，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表為n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不屬于上述兩種情況，2.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)1）用上述方法生成的822.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)2）這時n一定可以表示為不同數(shù)的方冪積，即：n=p1l1p2l2…psls,這里p1,…,ps為不同的素數(shù)，l1,…,ls為正整數(shù)，這時E(n)=n(1-1/p1)…(1-1/ps),例如n=12可表為n=22×3,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三種情形中以n為素數(shù)時最好，最多可以有n-1列，非素數(shù)時表的結(jié)構(gòu)中永遠不可能有n-1列，比如E(6)=2，則最多只能安排兩個試驗因素，為此,王元和方開泰建議，用

Un+1

表劃去最后一行構(gòu)造形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。2.2均勻設計表的構(gòu)造方法（續(xù)2）這時n一定可以表示為不832.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法每個均勻設計表都規(guī)定了它的使用表，用于進行試驗各因素水平組合的具體安排。這樣做的原因是：從均勻設計表Un(nm)中選出

s列,

則可能的選擇有(ms)種，

但不同列組合起來所代表的點集的均勻性是不同的，所設計試驗的效果也是不同的，因而如何選用均勻設計表中的列必須引入一個判別表的均勻性好壞的準則。度量均勻性的準則很多,其中偏差(discrepancy)是使用歷史最久、最為廣泛接受的方法，均勻設計也同樣采用偏差來衡量其設計表的均勻性，偏差越小，則設計表的均勻性越好。2.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法每個均勻設計表都842.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法（續(xù)1）由于這個報告的目的是向大家介紹這種試驗方法，而且關(guān)于偏差計算的內(nèi)容也很多，因而關(guān)于均勻性偏差的計算方法和具體產(chǎn)生使用表的方法在此不做介紹（有特別需要者可以參見參考文獻[1]）使用者只需要按每個均勻設計表所附的使用表進行試驗安排即可。比如，欲進行一個３因素、每因素13水平的試驗，可以選用均勻設計表U13*(134)，使用表中推薦的列為1,3,4,則所有13次試驗時各因素的水平組合為：2.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法（續(xù)1）由于這個852.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法(續(xù)2)

均勻設計表U13*(134)和它的使用表及3因素時各次試驗的因素水平組合方式12341234567891011121315911210483113546825113136212107777812249311110861211131912410613953S列號D2130.096231340.1442412340.2076試驗次數(shù)序號因素1選用水平因素2選用水平因素3選用水平11911224833135448255131366121077778824991111010612111113912121061313532.3均勻設計表的使用表的產(chǎn)生方法(續(xù)2)

均勻設計表U1862.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法上面介紹的是各試驗因素水平數(shù)相等情況下的均勻設計表，若各因素的水平數(shù)不等，則需要采用混合水平的設計表進行試驗設計。將均水平的設計表轉(zhuǎn)換為混合水平的表的方法可采用常用的擬水平法。一個試驗次數(shù)為n的設計表，試驗因素中某個或幾個因素的水平數(shù)不足n,為m(n必須為m的整數(shù)倍),則將設計表中代表該因素的水平合并，具體的合并方法是：設i為該試驗因素的第i水平(i=1,2,…,n)，將i從小到大分成m組，每組有n/m個i,用i所在的組的數(shù)值m代替設計表中的i,這樣就形成了混合水平設計表混合水平的設計表的例子如下：2.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法上面介紹的是各試872.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)

用U10*(108)產(chǎn)生3因素的U10(10×52)的過程

用U11構(gòu)造U10→計算出U10中的3列→形成擬水平均勻設計表U10(10×52)1234567891012345678910111234567891024681013579369147102584815926103751049382716617283941057310629518485210741963975311086421098765432111111111111111111111359123456789103596107945193431781010282765148621231234567891033565492315242174510142435128312.4混合水平均勻設計表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)

用U10*(883均勻設計的應用方法試驗設計的共性問題均勻設計的應用方法具體問題的解決方法3均勻設計的應用方法試驗設計的共性問題893.1試驗設計的共性問題試驗設計（如正交試驗設計、回歸正交試驗設計、旋轉(zhuǎn)設計、D-最優(yōu)設計等）過程必然離不開試驗基礎(chǔ)內(nèi)容的構(gòu)思（試驗的評價指標；試驗的因素、水平的選擇和試驗次數(shù)的擬定）、試驗結(jié)果數(shù)據(jù)的分析等共性方面的問題。試驗的因素和水平的選擇關(guān)系到一個試驗能否成功的關(guān)鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設計（當然也包括均勻設計）的人員應該是有益的：3.1試驗設計的共性問題試驗設計（如正交試驗設計、回歸903.1試驗設計的共性問題（續(xù)1）（1）因素的含義：在一個試驗過程中，影響試驗指標的因素通常是很多的，通常固定的試驗因素在試驗方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素；（2）關(guān)于因素數(shù)量：在一項試驗中，因素不宜選得太多(如超過10個)，那樣可能會造成主次不分；相反地，因素也不宜選得太少（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗的結(jié)果達不到預期的目的；3.1試驗設計的共性問題（續(xù)1）（1）因素的含義：在一個913.1試驗設計的共性問題（續(xù)2）（3）關(guān)于各因素的水平范圍：試驗水平范圍應當盡可能大一點。如果試驗在實驗室進行，試驗范圍大比較容易實現(xiàn)；如果試驗直接在生產(chǎn)中進行，則試驗范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。試驗范圍太小的缺點是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果；（4）關(guān)于因素的水平數(shù)：若試驗水平范圍允許大一些，則每一因素的水平個數(shù)最好適當多一些；3.1試驗設計的共性問題（續(xù)2）（3）關(guān)于各因素的水平范923.1試驗設計的共性問題（續(xù)3）（5）關(guān)于因素的水平間隔：水平間隔的大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。如不切實際地降低試驗的水平間隔，在試驗范圍確定了的情況下必然會引起試驗次數(shù)的增加；而因素水平間隔太大，其試驗結(jié)果的中不確定性成分也必然增加；（6）因素和水平的含意可以是廣義的：例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應，這時“棉花品種”可設定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水平。3.1試驗設計的共性問題（續(xù)3）（5）關(guān)于因素的水平間隔933.2均勻設計的應用方法均勻設計的具體應用過程一般分以下六個步驟：(1)確定試驗指標、因素、因素水平范圍和因素水平數(shù)（這是關(guān)系到試驗成功與否的關(guān)鍵）；(2)選擇合適的均勻設計表建立分次試驗的具體因素水平組合；(3)執(zhí)行分次試驗并取得每次試驗的指標值；3.2均勻設計的應用方法均勻設計的具體應用過程一般943.2均勻設計的應用方法（續(xù)1）(4)用分次試驗的指標值和取得該指標值的各因素水平值建立試驗指標—各因素水平關(guān)系的回歸模型（這也是均勻設計中的最重要的環(huán)節(jié)之一)；(5)成功地建立了回歸模型后在各試驗因素的試驗范圍內(nèi)尋找最佳的各因素水平組合并進行該組合的驗證試驗（也可和步驟６一起進行)；(6)驗證試驗成功則進一步縮小各因素的試驗范圍，重新選擇均勻設計表（即從步驟２開始）進行各因素范圍縮小和水平劃分更為細致的新的一輪的試驗，進一步尋找最優(yōu)試驗條件組合。一般情況下，此次最優(yōu)條件即為整個試驗的最優(yōu)條件，試驗結(jié)束。3.2均勻設計的應用方法（續(xù)1）(4)用分次試驗的指標值953.3具體問題的解決方法試驗次數(shù)問題設計表的選擇回歸模型建立回歸模型優(yōu)化試驗參數(shù)優(yōu)化使用均勻設計時需要注意的其它問題3.3具體問題的解決方法試驗次數(shù)問題963.3.1試驗次數(shù)問題均勻設計的最大特點是試驗次數(shù)等于因素的最大水平數(shù)，而不是平方的關(guān)系，試驗次數(shù)與被考察的因素的個數(shù)有關(guān)，建議試驗次數(shù)選為因素數(shù)的３倍左右為宜，這樣選擇的均勻設計表的均勻性好，也有利于以后的建模和優(yōu)化。3.3.1試驗次數(shù)問題均勻設計的最大特點是試驗次數(shù)等于973.3.2設計表的選擇選擇均勻設計表需要注意以下幾點：(1)要滿足試驗次數(shù)的要求：即確定Un表n的問題，關(guān)于這一點，見前面的建議；(2)表的列數(shù)要滿足試驗因素數(shù)的要求：如U6(62)表和U6*(66)表，雖然n值相同，可前者有２列，只能安排２因素試驗，而后者最多卻可以安排４因素試驗。(3)Un*表比Un表有更好的均勻性，在確定了試驗次數(shù)n的情況下,若Un*表也能滿足因素數(shù)的要求，應優(yōu)先采用Un*表：Un*表是由Un+1表劃去最后一行3.3.2設計表的選擇選擇均勻設計表需要注意以下幾983.3.2設計表的選擇（續(xù)）得到的，若n為偶數(shù)，Un*表比Un表有更多的列，若n為奇數(shù),則Un*表的列通常少于Un表。(4)Un*表比Un表更容易安排試驗：

Un表的最后一行全部由ｎ組成，而Un*表則不然。例如在化工反應中，若所有因素的水平都按一個方向排列，則在表的最后一行的所有因素的水平值不是最高就是最低，所有高水平組合很容易出現(xiàn)反應過分劇烈甚至爆炸，所有低水平組合則可能出現(xiàn)反應異常甚至不能進行的現(xiàn)象。3.3.2設計表的選擇（續(xù)）得到的，若n為偶數(shù)，Un*表比993.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關(guān)的程度常用相關(guān)系數(shù)來衡量，在某一顯著性水平α下，當相關(guān)系數(shù)的絕對值大于相關(guān)系數(shù)臨界值時才可以認為x和y有線性相關(guān)關(guān)系。注意：回歸模型不等于回歸方程，回歸方程只是回歸模型中的表達方式的部分，一個完整的模型的表述，包括它的數(shù)學表達部分—回歸方程，還有因素的組成、因素范圍和置信水平、隨機誤差等內(nèi)容，本文論述中為了直觀的原因，可能將“回歸方程”表述為“回歸模型”。3.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和100線性回歸模型（續(xù)）(2)多元線性回歸模型當影響因變量ｙ的自變量不止一個時，比如有ｍ個x1,…,xm這時ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,其回歸顯著性檢驗一般用Ｆ檢驗，方程中各項在回歸中的重要性用該項的偏回歸平方和進行判定。由于其回歸系數(shù)的求解需要解用來確定回歸系數(shù)的的方程組--正規(guī)方程，通常情況下僅此一項工作就導致分析過程中需要進行大量的計算，