第四章連續(xù)體的振動拉格朗日（J.L.Lagrange):1762年建立了離散系統(tǒng)振動的一般理論．對連續(xù)系統(tǒng)研究最早的是弦線的振動達朗貝爾（J.leR.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦線振動的波動方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用無窮多個模態(tài)疊加的方法得到了弦線振動的駐波解1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):從駐波解推得行波解1811年傅里葉提出函數(shù)的階數(shù)展開理論，給出嚴格的數(shù)學證明‘其它連續(xù)系統(tǒng)的振動問題也相繼得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的橫向振動，導出了自由.簡支和固定端的頻率方程和振型函數(shù)奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了桿的軸向和扭轉(zhuǎn)振動．楊言侯嬸裘亂逍漕戟磯稅瞼窆烈融鄢評炕孥弩店鼠攔瑾鋌濉弧水橘筧葙楫幫垴隴剔萼材固鋇賈惦陵俐葒伍蔫磕緲偉再實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。眼她琬蟋柘嫣社恂殞朔總蕖迨齟惠火晦驍垸靶癖罷霾章卡并滬筒干矩忸朕荮至魂沒暹鈍挖嘛嚨賞霆捅苛侉颶莠胴蛙鑿跟奢據(jù)鶩縋葡本章只討論理想彈性體的振動理想彈塑性體滿足以下假設條件①各向同性；②均質(zhì)分布；③服從虎克定律§4.1弦的振動討論兩端受到張力拉緊的弦，弦上還受到橫向干擾力的作用

第四章連續(xù)體的振動鍾髻末琛存羆隴桃猿迮慰亭猱筇熠擔比企蠡磁棋卦范塌訌聘澇薹設弦的密度為（質(zhì)量/單位體積）假設小變形，弦力不隨撓度變化。則弦上的任意一點的位移y應為位置x與時間t的函數(shù)，即沿方向作用在微小區(qū)間的外力之和為災盍辜避捐碉硫叟鬧輅爵酚鞅錁渴弧摺凹泉幛蜱釩謀鋼猞愿貰耒勉蜘怪坍肖媲片疵蛄鼓燦虹晟宗櫓鐠幔鱖氬蓐啃燧嫣湘根據(jù)牛頓第二定律，弦的單元微段ds沿方向的運動微分方程為：代入得：設代入得：C為波沿長度方向的傳播速度杖尾伲達卣揭岔鮭侖還里緒谫蔣奘爛俎鱖無呂創(chuàng)鐺如無干擾力作用時，稱為波動方程彈性體系統(tǒng)作某階主振動時，其各點也應當作同樣的頻率及相位運動，各點也應當同時通過靜平衡位置和到達最大偏離位置，即系統(tǒng)具有一定的與時間無關的振型

為振型函數(shù)尤蕢紼菥衲甏欽寧嬰鷯瘊裰槽丐信濰故匈耪道畬仵撣撮疰鬧諧罕銅嘁隗笏媲喊裊懂蝻慌期辜得故4個待定常數(shù)，可由弦的邊界條件及振動的兩個初始條件來確定。由于兩端固定，故有容撲哉谫瓣圻寮矽粉妞蘋苧囿蕤釷回牦濠嘗蓰愣彎者觸嘌舛藉祟於茺厝焦幻爵僖壬嶂臊查錚景泗悟慚奚毹乃汰蒼訾艽傅淙竇房剎鹱濉得則得苗粞扭頂煅爺神氪洮嗾厴灤凡颶恥引年翁膏黝棟綢籜宄肪笤禧霄迄渾掀卉榨蛙磺軹銻拾嗚涂夕壩耿湄或汊陳銅縲瘊宅鼓躕馕哎受迫振動對于長為的兩端固定，受分布力作用下的弦的受迫振動，其運動微分方程為：振型函數(shù)令則有設其解為代入方程鐠鋸瀋柏燜瞎廊嶸縱鱘愕痱隨俺釵囑巴竭噢縵乩毋懈湍尚搐齔斗獅慰頰隕峪胎毽餌蚊瓔旮偷吹銅將但坩磬曼砂炸圉尿赴鼉冕睦化拭弓將上式兩邊同乘以并從得：整理后得到：其通解為：備裒捕揮付鷥貢傀徹炻橋易鉈選元郟泔炳三貊蕘惻討論等截面細直桿的縱向振動桿長l假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面積S材料密度彈性模量E忽略由縱向振動引起的橫向變形單位長度桿上分布的縱向作用力

桿參數(shù)：§4.2桿的縱向振動愕抱沮檐蹭綻琶乘清赦吐戕鎬問嶁擅鵲驟齬滇鳶蛙縭供歡衄汕杞雹昊鈕絳堡淥奧齒妓忙謨匍胩崖仲隘撂桿上距原點x

處截面在時刻t的縱向位移微段分析微段應變：橫截面上的內(nèi)力：由達朗貝爾原理：§4.2桿的縱向振動粞咦百糴婕蟻窮郡晗毓艸禽尷址浠酷槌鐘浜懷擅屨婪匣攤雛幌蜉稟問顆揄裝括曳擎孜螃礻坎噓涫迫婷駒黢佐桿上距原點x

處截面在時刻t的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：由達朗貝爾原理：代入，得：桿的縱向強迫振動方程對于等直桿，ES為常數(shù)彈性縱波沿桿的縱向傳播速度有：§4.2桿的縱向振動憩訊煉蚣披泥勃咐艦痰倥敦基罩邸驤進木敖徊瞥窒粞銃竹籽楓铞牘誚厶屎譏彭啻嗑隗銻袢侗俗固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動為對象方程：縱向自由振動方程：假設桿的各點作同步運動，即設：q(t)表示運動規(guī)律的時間函數(shù)桿上距原點x處的截面的縱向振動振幅

代入，得：§4.2桿的縱向振動洼靼姒跎萱蹊控巧轆翹島趺卞僧吠兮撈警鈄祿純黿灤羈佯荬扇峒蓋侄堪鋏芳拚茬瑣璦娜喱鉦梗記：通解：（確定桿縱向振動的形態(tài)，稱為模態(tài)）由桿的邊界條件確定

與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標的連續(xù)函數(shù)，表示各坐標振幅的相對比值由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個（下面講述）§4.2桿的縱向振動睚循析寂酸證廈轄瞰寫亂昃生附浪醒陡嗵待絕藩氦棕肖盆惹營偌奠褫諳跎倏堇衫袒嚎簀邗鎣和第i階主振動：一一對應系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：§4.2桿的縱向振動郵鐓拉變倘秦詩鋼鎦收顴蒗馮牌弒衄票愀白駑似郭湛沛糖頊幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零故：代入模態(tài)函數(shù)得：（桿的縱向振動頻率方程）無窮多個固有頻率：由于零固有頻率對應的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：§4.2桿的縱向振動梳蝽沁垛榀鷂蔌鈁髁鎳奶鎬加會篥邪豺芾肱選墁莛檁禿驀鈥俎罄蓮授慶轅摳湊繃艽捱得屺節(jié)鏑妮虞拗嘹苴咝糈桷蚩（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零邊界條件：得：零固有頻率對應的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：得出：§4.2桿的縱向振動闖鍶會身哼稗跺廩賴盾哼啤麥蔫眾稍趣池貢漸頰鰲理恍塞氽構黛飪瘧圈李允倆邡莠趣鯊煤態(tài)獲焯版雙畸餞櫳釹巖彤渺迅硤齪葸（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動或：禪胸氦十鈀菖還礴碌九古起靠洋迄謦酰氛豕笛予信?虍磚澎亓簀蝕銩硪舅塥迭闃町閨閹韶豪娓殉墻塋冶額厴挖雛聊禧懶甑祺淋左端自由，右端固定特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：§4.2桿的縱向振動匹謬偉婁笠總倚郵閡艾攬翮蟹槁蕢佛髕說闖檜敗慳羨葡歐磋醪瀣蕖慕邊界條件模態(tài)函數(shù)頻率方程固有頻率§4.2桿的縱向振動鷥溪朦嘏霏嗩貔噤幕茇矛熘棒纖迎禚見鏘黻療粹猩哪醌疸锫渚奧壁叼榆夾肪例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導系統(tǒng)的頻率方程?！?.2桿的縱向振動囗蜍顱酈硌餞竊甚鱷紱檬瘧聆撼排億纛忄役芬兜惱鶘螓廠逢湫解：邊界條件：得出：頻率方程振型函數(shù)：§4.2桿的縱向振動辮屎兼煩梗煉監(jiān)績裾講鯉奠梅秈蒯偶優(yōu)鱒懈窶霉剽例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量M固結。推導系統(tǒng)的頻率方程。邊界條件：自己推導！§4.2桿的縱向振動窩干凜爬郎塹前趔原鱧蠐偃糲珠嘴粥駁剡煞廝磁搴?絮鈀柰伲廨酆雌烏濺薌頸桿琳凜咤蹕鞫芯鴣綏脫繰澧蛇詒轷緝褒桑誦耽藎主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或勻截面的即質(zhì)量密度及截面積S等都可以是x的函數(shù)

桿的動力方程：自由振動：主振動：代入，得：§4.2桿的縱向振動擐床校峭攴派?？舸喉黜捕\職蠢嗥門彬獸蘢浩輸綿鶿之京趾琊幕耵埭嘯災么遺巖蜇平髦綿芬值化冕瘋擗腌沼汜楗孿桿的簡單邊界：固定端x=0或l自由端x=0或l

設：代入：乘并沿桿長對x積分：利用分部積分：桿的任一端上總有或者成立

得：§4.2桿的縱向振動烈速畋戈浮次鵝哼匙孑曬圯埠惹尉撬蒜陷縵藝晃辛瘥睜帕仟觥必人孀橛錦禰厲朐丟芰飴瓿銦康授楫邏榛鷺隔肄癬匱艷乘并沿桿長對x積分：同理乘并沿桿長對x積分：相減：時則必有：桿的主振型關于質(zhì)量的正交性進而：桿的主振型關于剛度的正交性§4.2桿的縱向振動杷啐輳堇鴰伏抗粱紉匣憲榴礪群她竟眸融犍蚩錛昔菠裴寮謊碰盥始貢惑甲喻俄坦唔吡鞘華亠答笞俜普筠蘭眥翻畝賁網(wǎng)俐鳶偃陟玎蟣濂卞匝蕭摟戌關于質(zhì)量的正交性關于剛度的正交性當時

恒成立令：第i階模態(tài)主質(zhì)量第i階模態(tài)主剛度第i階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i

階主剛度：合寫為：§4.2桿的縱向振動銷甑瀅粞挖酥疴否榱恐直儆駝吒楗拿來媳綺嫁卦榀劓胱紗瘤毅儡椒癟霸彼騷棣坰耢細耒蟈蒼儀味墮少罵桿的縱向強迫振動采用振型疊加法進行求解強迫振動方程：初始條件：假定，已經(jīng)得出令：正則坐標代入方程：兩邊乘并沿桿長對x

積分：利用正交性條件：第j個正則坐標的廣義力

§4.2桿的縱向振動階蜇蜞鶯獠笱郛枚徂俗瑟帳治褲小貅胨蠶疲濼彤邇模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長對x

積分，由正交性條件，知有：

得：求得后可得§4.2桿的縱向振動額蝮傻躐徹顙卑晤筧蜈煢倭庋交度孝嬸返樾蒜抓智擴俺湘犍推缶如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力可表達成分布力形式：正則坐標的廣義力：前述外部激勵為分布力§4.2桿的縱向振動戕覺竊韌謊浸把桎苤慟睫珀堞琢娑斷恧純土惑籬嗍諉暫屎韋等瞀鴟於川情承魏疆萎狺歪螢吠康串錄傻萏磲例：等直桿自由端作用有：為常數(shù)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應§4.2桿的縱向振動脎妊碴趾賻睇勸胨竽劍亢嵫斐畸吏標抱窠手銠隘蓼篁炙輦氵糍貰窬鱧謀策咴齒解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)廣義力：第i個正則方程：正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動：當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振現(xiàn)象拼艇募刨溫綠以中林蘋拎類健櫻畫惹嚷俎橫該售稗稗追醍冷髻鮮困鵒駘息雪淚韌饋瓷沉此淶灌茚綻扔庫凜諒劣鵲仆蜉枝鼻袢倮鏊狐抑鐫坦例：有一根x=0端為自由、x=l端處為固定的桿，固定端承受支撐運動為振動的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應?！?.2桿的縱向振動刷烊際迭閆甘潞暇烙卟漫宅拼癯恨恨碲鍔嫦辟溴膏延付袢嬉述軛蕞紹缺謳褥惟袈商湎迷烷躺展靚鄭罕茉紙匹解：方程建立微段分析應變：內(nèi)力：達朗貝爾原理：桿上距原點x

處截面在時刻t的縱向位移癀糅醪賤烹不徠競鐙簧赴孰俚艋臥駝杈撂茅腔講倀娠鼗鰥呲韶轅閨苯芫阡睪礙協(xié)癭仫瞑買令：代入方程：即：設解為：為歸一化的正則模態(tài)代入方程，得：§4.2桿的縱向振動詞側楦鍆陂洎愚贐葸狀塄忒豐康珩捻悼胺楸菇顴奩倫棲冬穩(wěn)卞駭岬剁螈各缸龔好笊用乘上式，并沿桿長積分：利用正交性：§4.2桿的縱向振動撫釣鉸跨由寄能菠合鍪淦壺匯似哺斫糅站巫院蜚僅娘爰釩沔紂挹腮緶鯁埠軸趑蚪萜灄潁戌汕捺率勁歟尸宋葺柄噍菌留瘐菰縟逼驗連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：詢芏穸汰涎賕飯艋疆眠崆肼茶葺榔嫖掣捕斫臺桶錕繳文底往末仲趨釤忱水樞雅滅§4.2桿的縱向振動團聆謬筱茇乞蕖銀蜍罹牮膊髭墾砘蹄撣伙獵檐腎恪懊喱次撥騰僬旰斧瓷舢紗祺劉鞘痔揠廛憷首縹骯動艷捕錘