第3章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型HarbinEngineeringUniversity自動控制理論陳明杰

進入例：飛機自動駕駛儀系統(tǒng)實物原理圖—方框圖控制任務(wù)：保持飛機俯仰角不變給定電位器反饋電位器系統(tǒng)如何設(shè)計合適的元件滿足穩(wěn)、快、準的基本要求？第1章回顧控制系統(tǒng)的設(shè)計方法控制系統(tǒng)性能的分析方法控制系統(tǒng)的數(shù)學建模

自動控制的基本概念與原理1234自動控制理論引言—關(guān)于數(shù)學模型第3章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1.什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學模型？2.如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型？3.控制系統(tǒng)的數(shù)學模型有哪些主要形式？引言—關(guān)于數(shù)學模型例：爐溫控制系統(tǒng)1.什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學模型？描述系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式（P57）。引言—關(guān)于數(shù)學模型要求：已知實際過程或?qū)ο蟮倪\動機理。也稱解析法或機理法。例：爐溫控制系統(tǒng)引言—關(guān)于數(shù)學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型?法1—分析法(P59):對系統(tǒng)各部分運動機理進行分析，根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量間所遵循的物理、化學定律，列寫各變量之間的數(shù)學關(guān)系式，得到輸入輸出關(guān)系方程式。

法2—實驗法(P59)：對系統(tǒng)人為施加典型測試信號(脈沖、階躍或是正弦信號)，獲得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，然后利用系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。

引言—關(guān)于數(shù)學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型?通常在對系統(tǒng)一無所知或者部分未知的情況下采用！例：爐溫控制系統(tǒng)引言—關(guān)于數(shù)學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型?分析法+實驗法引言—關(guān)于數(shù)學模型3.控制系統(tǒng)的數(shù)學模型的主要形式

—以微分方程形式列寫的運動方程式

—以拉氏變換為基礎(chǔ)的傳遞函數(shù)

—以傅氏變換為基礎(chǔ)的頻率響應(yīng)時域模型※復域模型頻域模型一般控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)包括哪些？如何應(yīng)用結(jié)構(gòu)圖與信號流圖計算傳遞函數(shù)？什么是復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)？如何建立時域數(shù)學模型——運動方程式？第3章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型目標（Objectives）第3章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型—運動方程式※3.2控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型—傳遞函數(shù)※3.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

3.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

主要內(nèi)容3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式控制系統(tǒng)的運動方程式----以微分方程的形式，根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理或化學定律（機械、電氣、熱力、液壓）寫出描述系統(tǒng)在運動過程中各變量之間的相互關(guān)系的數(shù)學模型。也稱微分方程式。3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：復習1基爾霍夫電流定律:流入和流出節(jié)點的所有電流的代數(shù)和等于零2基爾霍夫電壓定律：在任意瞬間，在電路中沿任意環(huán)路的電壓的代數(shù)和等于零基本要素——電阻、電容和電感。

遵循定律——基爾霍夫電流和電壓定律。例3.1:電阻R、電感L和電容C組成的四端網(wǎng)絡(luò)如圖所示，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式1.分析：系統(tǒng)的工作原理及其各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量及中間變量。2.列寫：根據(jù)描述系統(tǒng)運動特性的基本定律，從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程。3.消去：中間變量，得到只含有輸入和輸出變量及其導數(shù)的微分方程。4.規(guī)范：將方程寫成規(guī)范形式。即與輸出量有關(guān)各項放在方程式左邊，輸入量有關(guān)項放在右邊，各導數(shù)項降冪排列。建立系統(tǒng)微分方程的基本步驟（P60)一、線性元件的微分方程3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式例3.1:例3.1:電阻R、電感L和電容C組成的四端網(wǎng)絡(luò)如圖所示，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式某四端網(wǎng)絡(luò)如圖所示，列寫以ur

(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。1、電路系統(tǒng)：一、線性元件的微分方程3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式練習題遵循基本規(guī)律——牛頓定律（力和力矩平衡方程）常使用三種理想化要素——質(zhì)量、彈簧和阻尼器

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：f:阻尼系數(shù)

J:系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量

3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式復習例3.3：設(shè)有一個彈簧—質(zhì)量塊—阻尼器組成的機械平移系統(tǒng)如圖。f為阻尼系數(shù)。當外力作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生平移。試列寫出以系統(tǒng)外力F為輸入量，以質(zhì)量塊位移x為輸出量的系統(tǒng)運動方程式。

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式mm例3.4：設(shè)一個機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)由慣性負載和粘性摩擦阻尼器組成，原理圖如圖所示。列寫以外力矩為輸入量、負載轉(zhuǎn)動角速度(或負載轉(zhuǎn)動角度）為輸出量的系統(tǒng)運動方程式。f:粘性阻尼系數(shù)

J:系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：提示：3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式例3.1:例3.3:例3.4:3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式一、線性元件的微分方程相似系統(tǒng)對比2、對于同一個物理系統(tǒng)，當輸入與輸出確定時，描述它的線性定常微分方程是唯一的。如果輸入量、輸出量不同，那么描述它們的微分方程則不同。

※線性元件的微分方程結(jié)論(P66)

一、線性元件的微分方程1、對于不同的物理系統(tǒng)，只要其內(nèi)在規(guī)律相同，則運動方程的形式相同。即不同的物理系統(tǒng)可以得到相同形式的數(shù)學模型，這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。

例3.1：3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式描述系統(tǒng)的微分方程唯一嗎？3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式嚴格的說，實際物理系統(tǒng)中都含有不同程度的非線性元件。什么是非線性？（P15)二、非線性微分方程的線性化（P66）下列各式是描述系統(tǒng)的微分方程，其中c(t)為輸出量，r(t)是

輸入量，判斷哪些是線性定常或時變系統(tǒng)，哪些是非線性系統(tǒng)？3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式快速搶答題二、非線性微分方程的線性化（P66）1．定義：工程上，常常將非線性微分方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法稱為非線性微分方程的線性化。2．優(yōu)點：在一定的工作范圍內(nèi)能夠反映系統(tǒng)的特性，在工程實踐中具有很大的實際意義，便于分析和處理。二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式如何處理非線性？二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解設(shè)f(x)在工作點連續(xù)可微，在工作點鄰域內(nèi)泰勒級數(shù)展開

小偏差線性化法/切線法3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式演示發(fā)電機激磁曲線例：發(fā)電機激磁曲線的小偏差線性化法/切線法3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式演示二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解不能線性化的元件（微分方程）怎么辦？應(yīng)用小偏差線性化時，應(yīng)明確預(yù)定工作點的參數(shù)值。線性化只能用于連續(xù)非線性特性。欲使線性化具有足夠精度，那么變量的變化必須足夠小。即變量偏離工作點的偏差信號必須是小范圍的。小偏差線性化法的要求3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解優(yōu)點：直觀的表示輸入輸出隨時間變化曲線。對于低階系統(tǒng)或較簡單的系統(tǒng)可以迅速而準確地求得結(jié)果。微分方程初始條件輸入量拉氏變換變量s的代數(shù)方程拉氏反變換時域解三、控制系統(tǒng)的運動方程式（微分方程）的優(yōu)缺點（P69）例3.1：輸出量因式分解缺點：當系統(tǒng)階數(shù)較高時微分方程難解。特別當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或某個參數(shù)發(fā)生變化時，要重寫微分方程進行求解，不便于分析和設(shè)計。3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式微分方程初始條件輸入量拉氏變換變量s的代數(shù)方程拉氏反變換時域解三、控制系統(tǒng)的運動方程式（微分方程）的優(yōu)缺點（P69）輸出量因式分解3.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型——運動方程式演示傳遞函數(shù)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)自控理論經(jīng)（古）典控制理論現(xiàn)代控制理論時間分界20世紀60年代達到完善20世紀60年代開始發(fā)展數(shù)學工具常微分方程，傳遞函數(shù)一階微分方程組，狀態(tài)空間方程(傳遞函數(shù)陣)研究對象SISO系統(tǒng)，定常系統(tǒng)MIMO系統(tǒng)，定常和時變系統(tǒng)注重內(nèi)容系統(tǒng)的輸入輸出間的關(guān)系系統(tǒng)輸入、輸出及其內(nèi)部變量間的運動關(guān)系回顧3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)拉氏變換如果時間函數(shù)滿足f(t)滿足則函數(shù)f(t)的拉式變換為其拉式逆變換為復習（1）線性性質(zhì)（6）初值定理（2）微分定理（3）積分定理拉氏變換的重要性質(zhì)

（5）平移定理（4）延遲定理3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)

（7）終值定理復習3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)

常見函數(shù)的拉式變換復習3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)關(guān)于傳遞函數(shù)一、什么是傳遞函數(shù)？二、傳遞函數(shù)有哪些主要形式？

三、※傳遞函數(shù)性質(zhì)如何？四、※※如何計算傳遞函數(shù)？關(guān)于傳遞函數(shù)需要知道…目標一、傳遞函數(shù)的定義

(P71)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。記為：3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)例3.7

求例3.1的RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)零初始條件下

對于如下的n階線性定常微分方程零初始條件下二、傳遞函數(shù)的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的有理分式（多項式）形式（P71)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)的實常系數(shù)

演示其中，—傳遞函數(shù)的零點;

—傳遞函數(shù)的極點;－為系統(tǒng)的階次。二、傳遞函數(shù)的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)2、傳遞函數(shù)的零、極點形式（P71)----首1標準型

如果系統(tǒng)存在復數(shù)的零點（或極點），則復數(shù)的零點（或極點）的個數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)？

---雙數(shù)，共軛形式二、傳遞函數(shù)的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)3、傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式（P72）----尾1標準型

其中分別稱時間常數(shù)，對比----首1標準型

3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)對比二、傳遞函數(shù)的常用表達形式（P71)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的實常系數(shù)

零極點形式時間常數(shù)形式有理分式（多項式）形式1234傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)※傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量、輸出量、擾動量等外部因素無關(guān)，是系統(tǒng)的固有屬性不同系統(tǒng)或元件只要內(nèi)部特性相同，可能具有相同傳遞函數(shù)三、傳遞函數(shù)的性質(zhì)（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在零初始條件下進行的例傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。零初始條件下，傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)，即用傳遞函數(shù)中s置換微分方程中的。567傳遞函數(shù)是復變量s的有理分式，且所有系數(shù)均為實數(shù)。在實際物理系統(tǒng)中滿足傳遞函數(shù)可以有實數(shù)或者復數(shù)零極點。若有復零點或極點，則它們必為共軛的復數(shù)零點或極點。三、傳遞函數(shù)的性質(zhì)（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)（因為實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性及能量有限的緣故）列寫各微分方程，消去中間變量求得運動方程式；在零初始條件下，對方程式兩端作拉氏變換；根據(jù)輸出與輸入拉氏變換之比求出傳遞函數(shù)。1、定義時域消去法四、傳遞函數(shù)的求取方法（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)例3.7

求例3.1的RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)演示零初始條件下時域消中間變量2、復域消去法列寫系統(tǒng)的各個部分的微分方程；在零初始條件下，對各個方程兩邊作拉氏變換；復域消去中間變量，寫出標準的傳遞函數(shù)形式。四、傳遞函數(shù)的求取方法（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)

計算如圖所示四端網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)例3.8:零初始條件下消去中間變量演示復域例：計算如圖所示四端網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)作業(yè)題四、傳遞函數(shù)的求取方法（P73)

例:函數(shù)記錄儀3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法復雜系統(tǒng)如何求？3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)思想：對于復雜的系統(tǒng)，先求出各個典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，根據(jù)信號傳遞關(guān)系計算出總傳遞函數(shù)。比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一般系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含的的典型環(huán)節(jié)

3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)四、傳遞函數(shù)的求取方法3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)1)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）：傳遞函數(shù)：，K為放大系數(shù)。例：電阻四、傳遞函數(shù)的求取方法uRRiR3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P34)A.線位移電位器：輸入為u1，輸出為u2

B.角位移電位器：輸出為電壓u(t),輸入為電刷旋轉(zhuǎn)角度3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法C.一對電位器組成誤差檢測器：輸出為兩電刷間電位差u(t),輸入為角位置差

D.運算放大器：輸入電壓為ur，輸出電壓為ucuc-+R0R1urI1I2A3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件E：齒輪傳動系統(tǒng)。輸入輸出分別為兩齒輪的轉(zhuǎn)速比。比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)2)微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：例：電感3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)微分環(huán)節(jié)的典型元部件（P35)A.測速發(fā)電機（P79)：角位移為輸入，測速發(fā)電機輸出電壓為輸出量TG)(tw)(tuB.運算放大器

：輸入電壓為ur，輸出電壓為ucuc-+RCurI1I23.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)法（P75)2)微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：RC例：電容3)積分環(huán)節(jié)3.2※

控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)四、傳遞函數(shù)的求取方法3、應(yīng)用典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)