試驗設計與數(shù)據(jù)處理

（第二版）ExperimentDesignandDataProcessing試驗設計與數(shù)據(jù)處理

（第二版）ExperimentDesi引言引言0.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生物統(tǒng)計學家及數(shù)學家費歇（R．A．Fisher）提出了方差分析

20世紀50年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化數(shù)學家華羅庚教授也在國內(nèi)積極倡導和普及的“優(yōu)選法”我國數(shù)學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計

0.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生0.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗設計的目的:合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數(shù)獲得較好結果

例：某試驗研究了3個影響因素：

A：A1，A2，A3B：B1，B2，B3C：C1，C2，C3

全面試驗：27次正交試驗：9次0.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗設計的目的:0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性；確定影響試驗結果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗效率；確定試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數(shù)關系，并能對試驗結果進行預測和優(yōu)化；試驗因素對試驗結果的影響規(guī)律，為控制試驗提供思路；確定最優(yōu)試驗方案或配方。0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性第1章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析第1章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析誤差分析（erroranalysis）：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進行客觀的評定誤差（error）：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實值在數(shù)值上的不一致試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中客觀真實值——真值誤差分析（erroranalysis）：對原始數(shù)據(jù)的可靠1.1真值與平均值1.1.1真值（truevalue）真值：在某一時刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或實際值

真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內(nèi)角之和恒為180°國家標準樣品的標稱值國際上公認的計量值

高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值1.1真值與平均值1.1.1真值（trueval1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arithmeticmean）

等精度試驗值適合：

試驗值服從正態(tài)分布1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arit（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值的精度或可靠性不一致時wi——權重加權和（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值（3）對數(shù)平均值（logarithmicmean）說明：若數(shù)據(jù)的分布具有對數(shù)特性，則宜使用對數(shù)平均值對數(shù)平均值≤算術平均值如果1/2≤x1/x2≤2時，可用算術平均值代替設兩個數(shù)：x1＞0，x2

＞0，則（3）對數(shù)平均值（logarithmicmean）說明：（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值取對數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對稱時，宜采用幾何平均值。幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值（5）調(diào)和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與一些量的倒數(shù)有關的場合調(diào)和平均值≤幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則：（5）調(diào)和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absoluteerror）（1）定義

絕對誤差＝試驗值－真值或（2）說明真值未知，絕對誤差也未知

可以估計出絕對誤差的范圍：絕對誤差限或絕對誤差上界或1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absolu絕對誤差估算方法：最小刻度的一半為絕對誤差；最小刻度為最大絕對誤差；根據(jù)儀表精度等級計算：絕對誤差=量程×精度等級%絕對誤差估算方法：1.2.2相對誤差（relativeerror）（1）定義：或

或（2）說明：真值未知，常將Δx與試驗值或平均值之比作為相對誤差：或1.2.2相對誤差（relativeerror）（1可以估計出相對誤差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界相對誤差常常表示為百分數(shù)（%）或千分數(shù)（‰）∴可以估計出相對誤差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界1.2.3算術平均誤差(averagediscrepancy)定義式：可以反映一組試驗數(shù)據(jù)的誤差大小試驗值與算術平均值之間的偏差——1.2.3算術平均誤差(averagediscrep1.2.4標準誤差(standarderror)當試驗次數(shù)n無窮大時，總體標準差：

試驗次數(shù)為有限次時，樣本標準差：表示試驗值的精密度，標準差↓，試驗數(shù)據(jù)精密度↑1.2.4標準誤差(standarderror)當試

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時?。?）產(chǎn)生的原因：偶然因素（3）特點：具有統(tǒng)計規(guī)律小誤差比大誤差出現(xiàn)機會多正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等當試驗次數(shù)足夠多時，誤差的平均值趨向于零可以通過增加試驗次數(shù)減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的

1.3.1隨機誤差（randomerror）1.3試驗數(shù)據(jù)誤差的來源及分類

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負1.3.2系統(tǒng)誤差（systematicerror）

（1）定義：一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差（2）產(chǎn)生的原因：多方面（3）特點：系統(tǒng)誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的它不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小只要對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。

1.3.2系統(tǒng)誤差（systematicerror）1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：

一種顯然與事實不符的誤差（2）產(chǎn)生的原因：

實驗人員粗心大意造成

（3）特點：可以完全避免沒有一定的規(guī)律

1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：1.4.1精密度（precision）（1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度

例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44

乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加試驗次數(shù)而達到提高數(shù)據(jù)精密度的目的試驗數(shù)據(jù)的精密度是建立在數(shù)據(jù)用途基礎之上的試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求1.4試驗數(shù)據(jù)的精準度

1.4.1精密度（precision）（1）含義：1.（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standarderror）R↓，精密度↑標準差↓，精密度↑（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standa③方差（variance）

標準差的平方：樣本方差（s2

）總體方差（σ2

）方差↓，精密度↑③方差（variance）標準差的平方：1.4.2正確度（correctness）

（1）含義：反映系統(tǒng)誤差的大小（2）正確度與精密度的關系：

精密度不好，但當試驗次數(shù)相當多時，有時也會得到好的正確度

精密度高并不意味著正確度也高

（a）（b）（c）1.4.2正確度（correctness）（1）含義：1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＞B＞C正確度：A＝B＝C準確度：A＞B＞C1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：精密度有系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇準確度：A＇＞B＇＞C＇，A＇＞B，C有系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇1.5.1隨機誤差的檢驗

1.5試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假設檢驗

1.5.1.1檢驗（

-test）

（1）目的：對試驗數(shù)據(jù)的隨機誤差或精密度進行檢驗。在試驗數(shù)據(jù)的總體方差已知的情況下，（2）檢驗步驟：若試驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則①計算統(tǒng)計量1.5.1隨機誤差的檢驗1.5試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假②查臨界值

服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01或0.05，表示有顯著差異的概率雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異②查臨界值服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小右側（尾）檢驗則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大若若（3）Excel在檢驗中的應用

單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)1.5.1.2F檢驗(F-test)

（1）目的：

對兩組具有正態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間的精密度進行比較

（2）檢驗步驟①計算統(tǒng)計量設有兩組試驗數(shù)據(jù)：都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為和和，則第一自由度為第二自由度為服從F分布，1.5.1.2F檢驗(F-test)（1）目的：設有②查臨界值給定的顯著水平α查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異②查臨界值查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-side單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該判斷方差1比方差2無顯著減小，否則有顯著減小

右側（尾）檢驗則判斷該方差1比方差2無顯著增大，否則有顯著增大

若若（3）Excel在F檢驗中的應用

單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)1.5.2系統(tǒng)誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法（1）平均值與給定值比較①目的：檢驗服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值是否與給定值有顯著差異②檢驗步驟：計算統(tǒng)計量：服從自由度的t分布(t-distribution)——給定值（可以是真值、期望值或標準值）1.5.2系統(tǒng)誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法服從自雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯（2）兩個平均值的比較目的：判斷兩組服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值有無顯著差異①計算統(tǒng)計量：兩組數(shù)據(jù)的方差無顯著差異時服從自由度的t分布s——合并標準差：（2）兩個平均值的比較服從自由度的t分布s——合并標準差：兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：②t檢驗兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異（3）成對數(shù)據(jù)的比較目的：試驗數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統(tǒng)誤差①計算統(tǒng)計量：

——成對測定值之差的算術平均值：——零或其他指定值——n對試驗值之差值的樣本標準差：服從自由度為的t分布（3）成對數(shù)據(jù)的比較——成對測定值之差的算術平均值：——零②t檢驗若否則兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著的系統(tǒng)誤差，則成對數(shù)據(jù)之間不存在顯著的系統(tǒng)誤差，（4）Excel在t檢驗中的應用

②t檢驗否則兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著的系統(tǒng)誤差，則成對數(shù)據(jù)之1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（1）目的：兩組數(shù)據(jù)或兩種試驗方法之間是否存在系統(tǒng)誤差、兩種方法是否等效等，不要求數(shù)據(jù)具有正態(tài)分布（2）內(nèi)容：設有兩組試驗數(shù)據(jù)，相互獨立，n1，n2分別是兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)，總假定n1≤n2；將這個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為R1

R1——第1組數(shù)據(jù)的秩和（ranksum）如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（查秩和臨界值表：根據(jù)顯著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1

檢驗：如果R1＞T2

或R1

＜T1，則認為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，另一組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差如果T1＜R1＜T2，則兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，另一組數(shù)據(jù)也無系統(tǒng)誤差

查秩和臨界值表：（3）例：

設甲、乙兩組測定值為：

甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1

乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8

已知甲組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統(tǒng)誤差。（＝0.05）解:（1）排序：秩1234567891011.511.5131415甲8.68.89.19.19.910.0乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2（3）例：設甲、乙兩組測定值為：

（2）求秩和R1

R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68（3）查秩和臨界值表對于＝0.05，n1=6，n2=9得T1=33，T2＝63，∴R1＞T2

故：兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組測定值有系統(tǒng)誤差

（2）求秩和R11.5.3異常值的檢驗

可疑數(shù)據(jù)、離群值、異常值

一般處理原則為：在試驗過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后，在分析試驗結果時，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進行取舍在分析試驗結果時，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理；若數(shù)據(jù)較少，則可重做一組數(shù)據(jù)對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計方法1.5.3異常值的檢驗可疑數(shù)據(jù)、離群值、1.5.3.1拉依達（）檢驗法①內(nèi)容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若則應將該試驗值剔除。②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內(nèi)3s相當于顯著水平＝0.01，2s相當于顯著水平＝0.051.5.3.1拉依達（）檢驗法①可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)

首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新計算平均值及標準偏差方法簡單，無須查表該檢驗法適用于試驗次數(shù)較多或要求不高時3s為界時，要求n＞102s為界時，要求n＞5可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)

有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否應被舍去?（＝0.01）解：（1）計算③例：（2）計算偏差（3）比較3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027故按拉依達準則，當＝0.01時，0.167這一可疑值不應舍去有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.1（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法

①內(nèi)容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若

則應將該值剔除。——Grubbs檢驗臨界值（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法①內(nèi)容：則應將該值剔格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內(nèi)可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新計算平均值及標準偏差能適用于試驗數(shù)據(jù)較少時格拉布斯準則也可以用于檢驗兩個數(shù)據(jù)偏小，或兩個數(shù)據(jù)偏大的情況③例：例1-13②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內(nèi)（3）狄克遜（Dixon）檢驗法

①單側情形將n個試驗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：

x1≤x2≤…≤xn-1≤xn

如果有異常值存在，必然出現(xiàn)在兩端，即x1

或xn計算出統(tǒng)計量D或D′查單側臨界值檢驗xn時，當

時，可剔除xn檢驗檢驗x1時，當

時，可剔除x1（3）狄克遜（Dixon）檢驗法①單側情形檢驗xn時，②雙側情形計算D和D′查雙側臨界值檢驗當，判斷為異常值當，判斷為異常值②雙側情形檢驗當，判斷為異常值當，判斷為異常值③說明適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗，計算量較小單側檢驗時，可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新排序④例：例1-14

③說明適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗，計算量較小1.6.1有效數(shù)字（significancefigure）

能夠代表一定物理量的數(shù)字有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗或試驗儀表的精度數(shù)據(jù)中小數(shù)點的位置不影響有效數(shù)字的位數(shù)例如：50㎜，0.050m，5.0×104μm第一個非0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個非0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字例如：29㎜和29.00㎜第一位數(shù)字等于或大于8，則可以多計一位例如：9.99

1.6有效數(shù)字和試驗結果的表示1.6.1有效數(shù)字（significancefigur1.6.2有效數(shù)字的運算（1）加、減運算：與其中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同（2）乘、除運算以各乘、除數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準（3）乘方、開方運算：與其底數(shù)的相同：例如：2.42=5.8（4）對數(shù)運算：與其真數(shù)的相同

例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－41.6.2有效數(shù)字的運算（1）加、減運算：（5）在4個以上數(shù)的平均值計算中，平均值的有效數(shù)字可增加一位（6）所有取自手冊上的數(shù)據(jù)，其有效數(shù)字位數(shù)按實際需要取，但原始數(shù)據(jù)如有限制，則應服從原始數(shù)據(jù)。（7）一些常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)可以認為是無限制的

例如，圓周率π、重力加速度g、、1/3等（8）一般在工程計算中，取2～3位有效數(shù)字（5）在4個以上數(shù)的平均值計算中，平均值的有效數(shù)字可增加一位1.6.3有效數(shù)字的修約規(guī)則≤4：舍去≥5，且其后跟有非零數(shù)字

，進1位例如：3.14159→3.142＝5，其右無數(shù)字或皆為0時，“尾留雙”：若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)則進1若所保留的末位數(shù)字為偶數(shù)則舍棄例如：3.1415→3.1421.3665→1.3661.6.3有效數(shù)字的修約規(guī)則≤4：舍去1.7誤差的傳遞誤差的傳遞：根據(jù)直接測量值的誤差來計算間接測量值的誤差1.7.1誤差傳遞基本公式間接測量值y與直接測量值xi之間函數(shù)關系：全微分1.7誤差的傳遞誤差的傳遞：根據(jù)直接測量值的誤差來計算間函數(shù)或間接測量值的絕對誤差為：相對誤差為：——誤差傳遞系數(shù)——直接測量值的絕對誤差；——間接測量值的絕對誤差或稱函數(shù)的絕對誤差。函數(shù)或間接測量值的絕對誤差為：相對誤差為：——誤差傳遞系數(shù)函數(shù)標準誤差傳遞公式：1.7.2常用函數(shù)的誤差傳遞公式表1-4函數(shù)標準誤差傳遞公式：1.7.2常用函數(shù)的誤差傳遞公式1.7.3誤差傳遞公式的應用（1）根據(jù)各分誤差的大小，來判斷間接測量或函數(shù)誤差的主要來源：

例1-16（2）選擇合適的測量儀器或方法：

例1-171.7.3誤差傳遞公式的應用（1）根據(jù)各分誤差的大小，來秩和臨界值表秩和臨界值表n檢驗高端異常值檢驗低端異常值3～78～1011～1314～30統(tǒng)計量D計算公式n檢驗高端異常值檢驗低端異常值3～78～1011～1314～試驗設計與數(shù)據(jù)處理

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（第二版）ExperimentDesi引言引言0.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生物統(tǒng)計學家及數(shù)學家費歇（R．A．Fisher）提出了方差分析

20世紀50年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化數(shù)學家華羅庚教授也在國內(nèi)積極倡導和普及的“優(yōu)選法”我國數(shù)學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計

0.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生0.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗設計的目的:合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數(shù)獲得較好結果

例：某試驗研究了3個影響因素：

A：A1，A2，A3B：B1，B2，B3C：C1，C2，C3

全面試驗：27次正交試驗：9次0.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗設計的目的:0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性；確定影響試驗結果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗效率；確定試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數(shù)關系，并能對試驗結果進行預測和優(yōu)化；試驗因素對試驗結果的影響規(guī)律，為控制試驗提供思路；確定最優(yōu)試驗方案或配方。0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性第1章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析第1章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析誤差分析（erroranalysis）：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進行客觀的評定誤差（error）：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實值在數(shù)值上的不一致試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中客觀真實值——真值誤差分析（erroranalysis）：對原始數(shù)據(jù)的可靠1.1真值與平均值1.1.1真值（truevalue）真值：在某一時刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或實際值

真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內(nèi)角之和恒為180°國家標準樣品的標稱值國際上公認的計量值

高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值1.1真值與平均值1.1.1真值（trueval1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arithmeticmean）

等精度試驗值適合：

試驗值服從正態(tài)分布1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arit（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值的精度或可靠性不一致時wi——權重加權和（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值（3）對數(shù)平均值（logarithmicmean）說明：若數(shù)據(jù)的分布具有對數(shù)特性，則宜使用對數(shù)平均值對數(shù)平均值≤算術平均值如果1/2≤x1/x2≤2時，可用算術平均值代替設兩個數(shù)：x1＞0，x2

＞0，則（3）對數(shù)平均值（logarithmicmean）說明：（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值取對數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對稱時，宜采用幾何平均值。幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值（5）調(diào)和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與一些量的倒數(shù)有關的場合調(diào)和平均值≤幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則：（5）調(diào)和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absoluteerror）（1）定義

絕對誤差＝試驗值－真值或（2）說明真值未知，絕對誤差也未知

可以估計出絕對誤差的范圍：絕對誤差限或絕對誤差上界或1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absolu絕對誤差估算方法：最小刻度的一半為絕對誤差；最小刻度為最大絕對誤差；根據(jù)儀表精度等級計算：絕對誤差=量程×精度等級%絕對誤差估算方法：1.2.2相對誤差（relativeerror）（1）定義：或

或（2）說明：真值未知，常將Δx與試驗值或平均值之比作為相對誤差：或1.2.2相對誤差（relativeerror）（1可以估計出相對誤差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界相對誤差常常表示為百分數(shù)（%）或千分數(shù)（‰）∴可以估計出相對誤差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界1.2.3算術平均誤差(averagediscrepancy)定義式：可以反映一組試驗數(shù)據(jù)的誤差大小試驗值與算術平均值之間的偏差——1.2.3算術平均誤差(averagediscrep1.2.4標準誤差(standarderror)當試驗次數(shù)n無窮大時，總體標準差：

試驗次數(shù)為有限次時，樣本標準差：表示試驗值的精密度，標準差↓，試驗數(shù)據(jù)精密度↑1.2.4標準誤差(standarderror)當試

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時?。?）產(chǎn)生的原因：偶然因素（3）特點：具有統(tǒng)計規(guī)律小誤差比大誤差出現(xiàn)機會多正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等當試驗次數(shù)足夠多時，誤差的平均值趨向于零可以通過增加試驗次數(shù)減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的

1.3.1隨機誤差（randomerror）1.3試驗數(shù)據(jù)誤差的來源及分類

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負1.3.2系統(tǒng)誤差（systematicerror）

（1）定義：一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差（2）產(chǎn)生的原因：多方面（3）特點：系統(tǒng)誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的它不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小只要對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。

1.3.2系統(tǒng)誤差（systematicerror）1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：

一種顯然與事實不符的誤差（2）產(chǎn)生的原因：

實驗人員粗心大意造成

（3）特點：可以完全避免沒有一定的規(guī)律

1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：1.4.1精密度（precision）（1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度

例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44

乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加試驗次數(shù)而達到提高數(shù)據(jù)精密度的目的試驗數(shù)據(jù)的精密度是建立在數(shù)據(jù)用途基礎之上的試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求1.4試驗數(shù)據(jù)的精準度

1.4.1精密度（precision）（1）含義：1.（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standarderror）R↓，精密度↑標準差↓，精密度↑（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standa③方差（variance）

標準差的平方：樣本方差（s2

）總體方差（σ2

）方差↓，精密度↑③方差（variance）標準差的平方：1.4.2正確度（correctness）

（1）含義：反映系統(tǒng)誤差的大?。?）正確度與精密度的關系：

精密度不好，但當試驗次數(shù)相當多時，有時也會得到好的正確度

精密度高并不意味著正確度也高

（a）（b）（c）1.4.2正確度（correctness）（1）含義：1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＞B＞C正確度：A＝B＝C準確度：A＞B＞C1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：精密度有系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇準確度：A＇＞B＇＞C＇，A＇＞B，C有系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇1.5.1隨機誤差的檢驗

1.5試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假設檢驗

1.5.1.1檢驗（

-test）

（1）目的：對試驗數(shù)據(jù)的隨機誤差或精密度進行檢驗。在試驗數(shù)據(jù)的總體方差已知的情況下，（2）檢驗步驟：若試驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則①計算統(tǒng)計量1.5.1隨機誤差的檢驗1.5試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假②查臨界值

服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01或0.05，表示有顯著差異的概率雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異②查臨界值服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小右側（尾）檢驗則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大若若（3）Excel在檢驗中的應用

單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)1.5.1.2F檢驗(F-test)

（1）目的：

對兩組具有正態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間的精密度進行比較

（2）檢驗步驟①計算統(tǒng)計量設有兩組試驗數(shù)據(jù)：都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為和和，則第一自由度為第二自由度為服從F分布，1.5.1.2F檢驗(F-test)（1）目的：設有②查臨界值給定的顯著水平α查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異②查臨界值查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-side單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該判斷方差1比方差2無顯著減小，否則有顯著減小

右側（尾）檢驗則判斷該方差1比方差2無顯著增大，否則有顯著增大

若若（3）Excel在F檢驗中的應用

單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)1.5.2系統(tǒng)誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法（1）平均值與給定值比較①目的：檢驗服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值是否與給定值有顯著差異②檢驗步驟：計算統(tǒng)計量：服從自由度的t分布(t-distribution)——給定值（可以是真值、期望值或標準值）1.5.2系統(tǒng)誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法服從自雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯（2）兩個平均值的比較目的：判斷兩組服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值有無顯著差異①計算統(tǒng)計量：兩組數(shù)據(jù)的方差無顯著差異時服從自由度的t分布s——合并標準差：（2）兩個平均值的比較服從自由度的t分布s——合并標準差：兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：②t檢驗兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異（3）成對數(shù)據(jù)的比較目的：試驗數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統(tǒng)誤差①計算統(tǒng)計量：

——成對測定值之差的算術平均值：——零或其他指定值——n對試驗值之差值的樣本標準差：服從自由度為的t分布（3）成對數(shù)據(jù)的比較——成對測定值之差的算術平均值：——零②t檢驗若否則兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著的系統(tǒng)誤差，則成對數(shù)據(jù)之間不存在顯著的系統(tǒng)誤差，（4）Excel在t檢驗中的應用

②t檢驗否則兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著的系統(tǒng)誤差，則成對數(shù)據(jù)之1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（1）目的：兩組數(shù)據(jù)或兩種試驗方法之間是否存在系統(tǒng)誤差、兩種方法是否等效等，不要求數(shù)據(jù)具有正態(tài)分布（2）內(nèi)容：設有兩組試驗數(shù)據(jù)，相互獨立，n1，n2分別是兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)，總假定n1≤n2；將這個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為R1

R1——第1組數(shù)據(jù)的秩和（ranksum）如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（查秩和臨界值表：根據(jù)顯著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1

檢驗：如果R1＞T2

或R1

＜T1，則認為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，另一組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差如果T1＜R1＜T2，則兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，另一組數(shù)據(jù)也無系統(tǒng)誤差

查秩和臨界值表：（3）例：

設甲、乙兩組測定值為：

甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1

乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8

已知甲組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統(tǒng)誤差。（＝0.05）解:（1）排序：秩1234567891011.511.5131415甲8.68.89.19.19.910.0乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2（3）例：設甲、乙兩組測定值為：

（2）求秩和R1

R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68（3）查秩和臨界值表對于＝0.05，n1=6，n2=9得T1=33，T2＝63，∴R1＞T2

故：兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組測定值有系統(tǒng)誤差

（2）求秩和R11.5.3異常值的檢驗

可疑數(shù)據(jù)、離群值、異常值

一般處理原則為：在試驗過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后，在分析試驗結果時，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進行取舍在分析試驗結果時，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理；若數(shù)據(jù)較少，則可重做一組數(shù)據(jù)對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計方法1.5.3異常值的檢驗可疑數(shù)據(jù)、離群值、1.5.3.1拉依達（）檢驗法①內(nèi)容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若則應將該試驗值剔除。②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內(nèi)3s相當于顯著水平＝0.01，2s相當于顯著水平＝0.051.5.3.1拉依達（）檢驗法①可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)

首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新計算平均值及標準偏差方法簡單，無須查表該檢驗法適用于試驗次數(shù)較多或要求不高時3s為界時，要求n＞102s為界時，要求n＞5可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)

有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否應被舍去?（＝0.01）解：（1）計算③例：（2）計算偏差（3）比較3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027故按拉依達準則，當＝0.01時，0.167這一可疑值不應舍去有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.1（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法

①內(nèi)容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若

則應將該值剔除。——Grubbs檢驗臨界值（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法①內(nèi)容：則應將該值剔格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內(nèi)可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)