（挑戰(zhàn)壓軸）專題1.5勾股定理與分類(lèi)討論【類(lèi)型一等腰三角形的腰和底不明確時(shí)需分類(lèi)討論】【例1】（2021春?南昌期末）如圖，在AABC中，已知：NACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以\cmls的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，連接以，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，r的值為.P—?C【變式1】（2020秋?張店區(qū)期末）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，當(dāng)△4BP為等腰三角形時(shí)，/的取值為.P C【變式2】（2021秋?永春縣期末）如圖△A8C中，NAC8=90°,AC=12,BC=5.（1）求AB的長(zhǎng)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C-A-B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，當(dāng)，為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？C 7【類(lèi)型二直角三角形的直角邊和斜邊不明確時(shí)需分類(lèi)討論】【例2】（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4,則這個(gè)直角三角形斜邊上的高為.【變式1](2021秋?槐蔭區(qū)期中)若Rt^ABC的兩邊a,b滿足七三+(b-4)2=0,則它的第三邊。為( )A.5 B.a/7 C.>/5 D.5或V7【變式2】(2020春?南昌期末)如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,以AB為邊向外作等腰直角三角形ABO,則CD的長(zhǎng)可以是.R 4【變式3】(2021秋?蘭考縣期末)已知：如圖，在RtZ\ABC中,ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)求8c邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求,的值.備用圖【例3】(2021秋?寬城區(qū)期末)定義：如圖，點(diǎn)用、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).(1)已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若4M=2,MN=4,BN=2j§,則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且4M為直角邊，若AB=12,AM=5,求BN的長(zhǎng).MNB【變式1】(2021秋?鄭州期中)定義：如圖，點(diǎn)M,N把線段48分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).(1)已知M,N把線段AB分割成AA7,MN,NB,若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,則點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知點(diǎn)M,N是線段A8的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=14,4M=4,求

8N的長(zhǎng).而?［播蜀越(2021秋?象山縣期中)在 中，NA=90°,BC=5,AB=3.如果點(diǎn)P在AC邊上，且點(diǎn)P到RtZ\ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，那么4P的長(zhǎng)為.(2021秋?平頂山期中)如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,48=20,8c=15,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.(I)當(dāng)r=2秒時(shí)，求A。的長(zhǎng)；(2)在O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△C8。能否為直角三角形？若不能，說(shuō)明理由，若能，請(qǐng)求出f的值.(2021秋?東?？h期中)如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=\0cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).求，的值;設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).求，的值;(1)當(dāng)△ABP為直角三角時(shí),(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求r的值.4.(2021春?饒平縣校級(jí)期中)定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).(1)已知A/、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=24,AM=6,求BN的長(zhǎng).M N B5.（2020秋?梁園區(qū)期末）如圖，在等邊AABC中，AB-AC=BC=（ycm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、8同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為Ic/n/s,點(diǎn)N的速度為2a〃/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次回到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6.（1）當(dāng)f為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AC、BA邊上運(yùn)動(dòng)，△AMN的形狀會(huì)不斷發(fā)生變化.①當(dāng)，為何值時(shí)，是等邊三角形；②當(dāng)?為何值時(shí)，是直角三角形；（挑戰(zhàn)壓軸）專題L5勾股定理與分類(lèi)討論【哀M奪嘴】【類(lèi)型一等腰三角形的腰和底不明確時(shí)需分類(lèi)討論】【例1】（2021春?南昌期末）如圖，在△4BC中，已知：N4CB=90°,AB=l0cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線8c以Ic/n/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，連接外，當(dāng)AAB尸為等腰三角形時(shí)，，的值為.【解答】解：在△ABC中，ZACB=90°,由勾股定理得：flC=7AB2-AC2=7102-62=8c7M,VAABP為等腰三角形，當(dāng)A8=A尸時(shí)，則8P=2BC=16cm,即f=16；

當(dāng)84=當(dāng)84=BP=10cm時(shí)，則f=10；p(5mc2=a/，(8-x)2+62=x2.解得x=空，4?=254綜上所述：，的值為16或10或空.故答案為：16或10或2s.4 4【變式1】(2020秋?張店區(qū)期末)如圖，在RtAABC中，NACB=90°,AB^5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)^A8P為等腰三角形時(shí)，f的取值為."<7=4(A8P為等腰三角形時(shí)，f的取值為."<7=4(cm)；4C2=52-32=16,①當(dāng)時(shí)，如圖1,r=5；②當(dāng)AB=A尸時(shí)，如圖2,BP=2BC=Scm,f=8；③當(dāng)8尸=A尸時(shí)，如圖3,AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,在RtZxACP中，AF^^AC?+CP1,所以？=32+(4-r)2,

解得：r=空,8綜上所述：當(dāng)△A8尸為等腰三角形時(shí)，/=5或r=8或r=空.8故答案為：5或，=8或r=2?.8【變式2](2021秋?永春縣期末)如圖△ABC中，NACB=90°,AC=12,BC=5.(1)求AB的長(zhǎng);(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C-A-B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r時(shí)間為r秒，當(dāng)f為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形?【答案】(1)13 (2)f=5s或20s或2鞏或％時(shí)，/XBCP為等腰三角形13 2【解答】解：(1)-；ZACB=9Qa,...△ABC是宜角三角形,仆.RtZ\A8c中，由勾股定理得：AB={AC2+BC2=,122+52=1，的長(zhǎng)為13；(2)當(dāng)點(diǎn)「在AC上時(shí)，CP=CB=5,t=5(s)；當(dāng)點(diǎn)P在A8上時(shí)，分三種情況： A①當(dāng)8尸=BC=5,如圖1所示：則AP=13-5=8,/=12+8=20(s)；②當(dāng)CP=CB=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM_LA8于例，如圖2所示：則bm=pm=Lbp,2'：LaC'BC=^AB'CM,2 2?rM_AC-BC_12X5_60AB13 13BM=BM=在RtZ\8CM中，由勾股定理得:：.BP=2BM=^-.13TOC\o"1-5"\h\z：.AP=13-至=_11^-,13 13.z=12+U9=275(J); 飛③當(dāng)PC=P8時(shí)，如圖3所示： \則NB=N8CP, \pVZB+ZA=90",NBCP+NACP=90°,：. ZA=ZACP,：.AP^PC, / \:.ap^pb^1ab=A1, c 、B2 2 圖3Ar=12+11=21(s)：2 2綜上所述，當(dāng)f=5s或20s或22或%時(shí)，△BCP為等腰三角形13 2【類(lèi)型二直角三角形的直角邊和斜邊不明確時(shí)需分類(lèi)討論】【例2】（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4,則這個(gè)直角三角形斜邊上的高為.［答案］烏戈a/75-4~【解答】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為〃，當(dāng)4是宜角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)J32+42=5,則JlX3X4=_1x5X/i,2 2解得：〃=至，5當(dāng)4是斜邊時(shí)，另一條直角邊長(zhǎng)=值7=b,解得：TOC\o"1-5"\h\z_綜上所述：直角三角形斜邊上的高為或3近，4故答案為：或盟2.5 4

它的第三邊故選DE1BC,延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡,22=2Vlb點(diǎn)D作DE1CA,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)它的第三邊故選DE1BC,延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡,22=2Vlb點(diǎn)D作DE1CA,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,以AB為邊向外作等腰宜角三角形則CO的長(zhǎng)可以是當(dāng)人為斜邊時(shí)，山勾股定理知如圖1所示，當(dāng)乙48。=90°ZCAB=ZDBE,b=4.當(dāng)b為直角邊時(shí)，由勾股定理知綜上所述，c為5或【變式1】（2021秋?槐蔭區(qū)期中）若RtZ\4BC的兩邊a,b滿足右耳所示，當(dāng)/BAC=90°,AB^AD在△8EO和△ACS中，'NE=NACB=90°<ZDBE=ZCAB，BD=AB:.△BEDSACB(AAS)YNCAB+NA8c=90°,NBAC+NOAE=90°,:.ZABC=ZDAE,在△￡>￡>1和△ACB中，'NE=NACB=90°ZDAE=ZABC，(A45),AD=AB，OE=AC=4,AE=BC=2,?-CD=7?7?=2Vi3;(3)如圖3所示，連接CD當(dāng)4。=8。時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作DEL4c于￡,DFA.CB,與CB的延長(zhǎng)線交于F,,:NC=NDFC=NDEC=9Q°,TOC\o"1-5"\h\z:.NE￡)F=90。， 先'、:NADE+NBDE=90°,NBDF+NBDE=90°, \：.ZADE=ZBDF,在△/?)￡：和△BCF中， FL\.\：/rZAED=ZBFDZADE=ZBDF- 圖3DAD=BD/XADE^/^BDF(A4S),：.AE=BF,DE=DF,VDEXAC,DF1.CF,：.ZDCE=Z￡>CF=45",...△OEC是等腰直角三角形，：.AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE.：.CE=3,：.CD=3y[2-綜上所述，CO的長(zhǎng)是25/元或3料或2J運(yùn)；故答案為：2萬(wàn)或3行或26.【變式3](2021秋?蘭考縣期末)已知：如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以\cmls的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)求BC邊的長(zhǎng):2)當(dāng)△他p為直角三角形時(shí)值. 備用圖【答案】(1)4cm(2)4s或4【解答】解：(1)在RtZXABC中，由勾股定理得：BC=(/_/=寸$2-32=4(cm)；(2)由題意得：BP=tcm,分兩種情況：①當(dāng)NAPB=90°時(shí)，如圖1所示：點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,BP=BC=4cm,/.r=4；②當(dāng)/8AP=90°時(shí)，如圖2所示：貝|JCP=(r-4)cm,NACP=90°,在RtZ\ACP中，由勾股定理得：Af^^AC2+CP2,在RtZXABP中，由勾股定理得：AP2=BP2-AB1,：.AC2+CP1=BP2-AB2,即32+(/-4)2=?-52,解得：，=至；4綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，f的值為4s或空4秋?寬城區(qū)期末)定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn).(1)已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若AM=2,MN=4,BN=2j§,則點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）已知點(diǎn)M、N是線段48的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=12,AM=5,求BN的長(zhǎng).1 B【答案】（1）仞、N是線段A8的勾股分割點(diǎn)（2）￡7或好.7【解答】解：（1）是.理由：'：AM2+BN2^22+（2-73）2=16,加解=42=16,:.am2+nb2^mn2,'.AM,MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形.故點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn).（2）設(shè)BN=x,則MN=12-AM-8V=7-x,①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2=AM2+NB2,即（7-x）2=7+25,解得x=￡；7②當(dāng)8N為最大線段時(shí)，依題意bMmAM'mM.即/=25+（7-x）2,解得x=3L7綜上所述BN的長(zhǎng)為衛(wèi)或SL7 7【變式1】（2021秋?鄭州期中）定義：如圖，點(diǎn)M,N把線段A8分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,N8為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).（1）已知M,N把線段AB分割成AM,MN,NB,若4M=2.5,MN=6.5,BN=6,則點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=14,AM=4,求BN的長(zhǎng).AM N B［答案］（1）是（2）①4.2；. ②BN=42或5.8【解答】解：（1）點(diǎn)、M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).理由如下：AM2+BN2=2.52+62=42.25,A7;V2=6.52=42.25,：.AM2+NB2=MN2,：.AM.MN、N8為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，...點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn)：(2)設(shè)BN=x,則MN=14-AM-8N=10-x,①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2=AM2+NB2,即(10-x)2=x2+16,解得x=4.2；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2^AM2+MN2.即*=16+(10-x)2,解得x=5.8.綜上所述，BN=4.2或5.8.[??<?]1.(2021秋?象山縣期中)在RtZ\ABC中，NA=90°,BC=5,AB=3.如果點(diǎn)P在AC邊上，且點(diǎn)尸到Rt^ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，那么4P的長(zhǎng)為.【答案】2或工一8【解答】解：在Rl^ABC中，VZA=90°,BC=5,48=3,-,.AC=^bc2_Ab2=4.若PB=PC,連接PB,設(shè)以=x,則PB=PC=4-x,在RtAMfl中，'：PB2=AP1+AB2,(4-x)2=x2+32,'.x=—,即R\=—；8 8若以=PC,則以=2；若B4=PB,由圖知，在RtZXBAB中，不可能.綜上所述，出的長(zhǎng)為：2或工.8故答案是：2或工.8R2.（2021秋?平頂山期中）如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=20,BC=15,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.（1）當(dāng)r=2秒時(shí)，求A。的長(zhǎng)：（2）在。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CBO能否為直角三角形？若不能，說(shuō)明理由，若能，請(qǐng)求出f的值.【解答】解：（1）由勾股定理得：AC=QB/2+AB2=dIS2+202=25,當(dāng)r=2秒時(shí)，CD=2X2=4,所以AD=AC-C￡>=25-4=21；（2）△C8O能為直角三角形，理由是：分為兩種情況：①NBOC=90°時(shí)，由勾股定理得：CD=JBC2-BD2=QIS2-].22=%所以[=9=4.5,2②當(dāng)NC8O=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)。和A重合，

BB.1的值是4.5或12.53.（2021秋?東?？h期中）如圖，在RtZ\4BC中，/ACB=90°,AB^\0cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以\cmls的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.求f的值;（1）求f的值;（1）當(dāng)△A8P為直角三角時(shí),（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求/的值.【答案】（1）/=8或空（2）16或10或空2 4【解答】解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角時(shí)，BC=7aB2-AC2=V102-62=8（cm）①當(dāng)NAPB=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,BP=BC=i,②當(dāng)NBAP=90°,BP=t,CP=t-S,AC=6,在RtZ\ACP中，4^=62+C/-8)2,在RtZ\BA尸中，AB2+AP1=BP2,.'.IO2+傳2+(/-8)2]=?,解得：2綜上所述，f=8或空；2(2)在△ABC中，NACB=90°,llj勾股定理得：BC=2=yjq2_g2=8(cm),VAABP為等腰三角形,當(dāng)A8=AP時(shí)，則8P=2BC=16cm,即r=16；當(dāng)BA=BP=10cm時(shí)，則t=10；當(dāng)B4=PB時(shí)，如圖：設(shè)8P=B4=x,則PC=8-x,BP-VC在RtZ\ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2=AP1,(8-x)2+62=x2.解得工=至，4?25??I~~ ■4綜上所述：,的值為16或10或Z&.4(2021春?饒平縣校級(jí)期中)定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成4M、MN、NB,若以AM、MN、N8為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).(1)已知A/、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知點(diǎn)M、N是線段4B的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=24,AM=6,求BN的長(zhǎng).? ? ? ?4 M N B【答案】(1)是(2)BN=8或10【解答】解：(1)是.理由：；八層+8儲(chǔ)=1.52+22=6.25,MM=2.52=6.25,:.am2+nb2=mn2,：.AM.MN、N8為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，:.點(diǎn)M、N是線段4B的勾股分割點(diǎn).(2)設(shè)BN=x,WJMN=24-AM-BN=\S-x,①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2=AM2+NB2,即(18-x)2=x2+36,解得x=8；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2=AM2+MN2.即7=36+(18-x)2,解得x=10,? ? ? ?綜上所述，BN=8或10./ M N B5.(2020秋?梁園區(qū)期末)如圖，在等邊△ABC中