第7章多采樣率數(shù)字信號(hào)處理2011-9-57.1引言7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式7.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答

第7章多采樣率數(shù)字信號(hào)處理2011-9-57.1引言7.1引言本章內(nèi)容與教材第8章內(nèi)容相對(duì)應(yīng)。在實(shí)際系統(tǒng)中，經(jīng)常會(huì)遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題，要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)。這樣的系統(tǒng)中，不同處理階段或不同單元的采樣頻率可能不同。例如，在DSP開發(fā)仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，為了抗混疊濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，降低系統(tǒng)復(fù)雜度，應(yīng)先統(tǒng)一對(duì)模擬信號(hào)以系統(tǒng)最高采樣頻率采樣，然后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)者選擇的各種采樣頻率，在數(shù)字域改變采樣頻率。7.1引由于在數(shù)字域改變采樣頻率完全用軟件實(shí)現(xiàn)，所以，采樣頻率可以任意選擇，又避免了對(duì)各種不同的采樣頻率設(shè)計(jì)各種不同的抗混疊模擬濾波器，從而使系統(tǒng)復(fù)雜度大大降低。采樣率轉(zhuǎn)換在現(xiàn)代通信、信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用實(shí)例舉不勝舉，本科大學(xué)生能理解的幾種實(shí)例在教材8.1節(jié)有介紹，這里不再重復(fù)。由于在數(shù)字域改變采樣頻率完全用軟件實(shí)現(xiàn)，所以，采7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式本章要求學(xué)生熟悉采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類，了解采樣率轉(zhuǎn)換的應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合，掌握三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)（整數(shù)因子D抽取、整數(shù)因子I插值和有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換）的基本原理、構(gòu)成原理方框圖及其各種高效實(shí)現(xiàn)方法（FIR直接實(shí)現(xiàn)、多相濾波器實(shí)現(xiàn))，每種實(shí)現(xiàn)方法的特點(diǎn)。這些專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)、設(shè)計(jì)、開發(fā)工作在多采樣率狀態(tài)的各種復(fù)雜系統(tǒng)是極其重要的。采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類，以及應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合在教材中已有較詳細(xì)的介紹，這里不再重復(fù)。7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式下面對(duì)三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)的重要知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)公式進(jìn)行歸納總結(jié)，以便讀者復(fù)習(xí)鞏固。值得注意，要理解采樣率轉(zhuǎn)換原理，必須熟悉時(shí)域采樣概念、時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)、時(shí)域采樣定理。此外，時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析和變換（Z變換、傅里葉變換）域分析理論是本章的分析工具。只有熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)，才能掌握本章的知識(shí)，否則，無法理解本章內(nèi)容。下面對(duì)三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)的重要知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)公式7.2.1整數(shù)因子D抽取1.整數(shù)因子D抽取器原理框圖按整數(shù)因子D對(duì)x(n)抽取的原理方框圖如圖7.2.1所示。圖7.2.17.2.1整數(shù)因子D抽取圖7.2.12.整數(shù)因子抽取器的功能整數(shù)因子抽取器的功能表現(xiàn)為：輸出端信號(hào)采樣頻率Fy降為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的1/D，即Fy=Fx/D。3.知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過抽取使采樣率降低，會(huì)引起新的頻譜混疊失真，所以，必須在抽取前進(jìn)行抗混疊濾波?？够殳B濾波器hD(n)有兩項(xiàng)指標(biāo)：根據(jù)采樣定理，抗混疊濾波器的阻帶截止頻率為2.整數(shù)因子抽取器的功能相應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為(7.2.1)(7.2.2)應(yīng)當(dāng)注意，由于抗混疊濾波器工作于輸入信號(hào)采樣頻率Fx，所以，式（7.2.2）中用Fx換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率，絕對(duì)不能用Fy換算。相應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為(7.2.1)(7.2.2)應(yīng)當(dāng)抗混疊濾波器的通帶截止頻率（或過渡帶寬度）取決于抽取系統(tǒng)對(duì)信號(hào)頻譜的失真度要求。設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)具體要求確定抗混疊濾波器的其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率ωp、通帶最大衰減αp、阻帶最小衰減αs）。例如，要求抽取過程中頻帶［0,fp］上幅頻失真小于1%（顯然fp<fs），由于抽取引起的頻譜混疊失真不超過0.1%。這時(shí)，抗混疊濾波器的通帶截止頻率為ωp=2πfp/Fx，通帶最大衰減為αp=－20lg(1－1%)=0.0873dB，阻帶最小衰減為αs=－20lg(0.1%)=60dB?？够殳B濾波器的通帶截止頻率（或過渡帶寬度）取決于抽取系統(tǒng)整數(shù)因子抽取器的輸入x(n)和輸出y(m)的關(guān)系式如下：(7.2.3)(7.2.4)(7.2.5)整數(shù)因子抽取器的輸入x(n)和輸出y(m)的關(guān)系式如下：在主值區(qū)［－π,π］上Y(ejωy)為－π≤|ωy|≤π7.2.2整數(shù)因子I內(nèi)插器1.整數(shù)因子I內(nèi)插器原理框圖按整數(shù)因子I對(duì)x(n)內(nèi)插的原理方框圖如圖7.2.2所示。圖7.2.2在主值區(qū)［－π,π］上Y(ejωy)為－π≤|ωy|≤π72．整數(shù)因子內(nèi)插器的功能整數(shù)因子內(nèi)插器的功能表現(xiàn)為：輸出端信號(hào)采樣頻率Fy提高為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的I倍，即Fy=IFx。3.知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過整數(shù)倍零值內(nèi)插使采樣率升高至I倍，不會(huì)引起新的頻譜混疊失真，但是會(huì)產(chǎn)生I-1個(gè)鏡像頻譜（見圖7.2.3(b)）。從時(shí)域考慮，零值內(nèi)插器輸出v(m)的兩個(gè)非零值之間有I-1個(gè)零樣值，不是我們所期望的提高采樣率后的采樣序列y(m)。所以，必須進(jìn)行低通濾波，濾除鏡像頻譜，得到y(tǒng)(m)。2．整數(shù)因子內(nèi)插器的功能鏡像頻譜濾波器hI(n)的指標(biāo)也有兩項(xiàng)：阻帶截止頻率和數(shù)字域阻帶截止頻率。根據(jù)采樣理論，采樣頻率提高到Fy時(shí)，采樣信號(hào)序列y(m)的頻譜以Fy為周期。由于輸入端信號(hào)x(n)的采樣頻率為Fx，所以x(n)的頻帶寬度不會(huì)超過Fx/2（對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為π）。因此，整數(shù)因子I內(nèi)插器輸出信號(hào)y(n)的頻譜一定是帶寬為Fx/2、重復(fù)周期為Fy的周期譜。我們將零值內(nèi)插器輸出的信號(hào)v(m)的頻譜中除了y(m)頻譜以外的其他頻譜稱為鏡像頻譜。鏡像頻譜濾波器的作用就是讓y(m)頻譜盡量無失真通過，濾除v(m)中的鏡像頻譜。當(dāng)I=3時(shí)，圖7.2.2中各點(diǎn)信號(hào)的頻譜示意圖如圖7.2.3所示。鏡像頻譜濾波器hI(n)的指標(biāo)也有兩項(xiàng)：阻帶截止頻圖7.2.3圖7.2.3綜上所述可知，鏡像頻譜濾波器的阻帶截止頻率為相應(yīng)的數(shù)字域阻帶截止頻率為(7.2.6)(7.2.7)應(yīng)當(dāng)注意，由于鏡像頻譜濾波器工作于輸出信號(hào)采樣頻率Fy，所以，式（7.2.7）中用Fy換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率，絕對(duì)不能用Fx換算。綜上所述可知，鏡像頻譜濾波器的阻帶截止頻率為相應(yīng)的數(shù)字域與抗混疊濾波器情況類似，根據(jù)具體要求確定鏡像頻譜濾波器其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率ωp、通帶最大衰減αp、阻帶最小衰減αs）。鏡像頻譜濾波器的ωp（或過渡帶寬度）和αp取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)有用信號(hào)頻譜的保真度要求，而αs取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)鏡像高頻干擾的限制指標(biāo)。理想情況下，鏡像頻譜濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為≤≤≤(7.2.8)與抗混疊濾波器情況類似，根據(jù)具體要求確定鏡像≤≤≤(通帶內(nèi)幅度常數(shù)取I是為了確保在m=0,±I,±2I,±3I,…時(shí)，輸出序列y(m)=x(m/I)。整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的時(shí)域輸入輸出關(guān)系式如下：(7.2.9)因?yàn)槌嗽贗的整數(shù)倍點(diǎn)v(kI)=x(k)以外，v(k)=0，所以(7.2.10)通帶內(nèi)幅度常數(shù)取I是為了確保在m=0,±I,±2I,±變換域輸入輸出關(guān)系式：(7.2.11)計(jì)算單位圓上的V(z)得到v(m)的頻譜為(7.2.12)(7.2.13)(7.2.14)變換域輸入輸出關(guān)系式：(7.2.11)計(jì)算單位圓上的V(z理想情況下，HI(ejω)由式（7.2.8）確定，所以，≤≤≤(7.2.15)理想情況下，HI(ejω)由式（7.2.8）確定，圖7.2.47.2.3有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)1．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)原理框圖有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的原理框圖如圖7.2.4所示。圖7.2.47.2.3有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系2．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)首先對(duì)輸入序列x(n)按整數(shù)因子I內(nèi)插，然后再對(duì)內(nèi)插器的輸出序列按整數(shù)因子D抽取，達(dá)到按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換。如果仍用Fx=1/Tx和Fy=1/Ty分別表示輸入序列x(n)和輸出序列y(m)的采樣頻率，則Fy=(I/D)Fx。應(yīng)當(dāng)注意，先內(nèi)插后抽取才能最大限度地保留輸入序列的頻譜成分(請(qǐng)讀者解釋為什么)。2．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能3．知識(shí)要點(diǎn)及重要公式圖7.2.4中濾波器h(l)同時(shí)完成鏡像濾波和抗混疊濾波功能。所以，理想情況下，濾波器h(l)是理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為≤≤≤圖7.2.4中各點(diǎn)信號(hào)的時(shí)域表示式歸納如下：(7.2.16)3．知識(shí)要點(diǎn)及重要公式≤≤≤圖7.2.4中各點(diǎn)信號(hào)的線性濾波器輸出序列為(7.2.17)線性濾波器輸出序列為(7.2.18)線性濾波器輸出序列為(7.2.17)線性濾波器輸出序列為(7整數(shù)因子D抽取器輸出序列y(m)為(7.2.19)式（7.2.19）就是有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)域關(guān)系。如果線性濾波器用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)，則式（7.2.19）為有限項(xiàng)之和，所以可以直接按式（7.2.19）編程序計(jì)算輸出序列y(m)。當(dāng)然，也可以采用教材上介紹的各種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)以硬件或軟硬結(jié)合來實(shí)現(xiàn)。整數(shù)因子D抽取器輸出序列y(m)為(7.2.19)式（7.27.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)

實(shí)際上，采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)就是指其中的FIR數(shù)字濾波器的高效實(shí)現(xiàn)。這里高效的含義有三個(gè)方面：在滿足濾波指標(biāo)要求的同時(shí)，①濾波器的總長(zhǎng)度最??；

②使濾波處理計(jì)算復(fù)雜度最低；③對(duì)濾波器的處理速度要

求最低。

教材中介紹了采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的兩種實(shí)現(xiàn)方法：直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)、多相濾波器實(shí)現(xiàn)。各種實(shí)現(xiàn)方法的原理、結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)在教材中都有較詳細(xì)的敘述，本書不再重復(fù)。7.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答1.已知信號(hào)x(n)=anu(n),|a|<1。（1）求信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)=FT［x(n)］；（2）按因子D=2對(duì)x(n)抽取得到y(tǒng)(m)，試求y(m)的頻譜函數(shù)。（3）證明：y(m)的頻譜函數(shù)就是x(2n)的頻譜函數(shù)。

解：7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答（2）根據(jù)式（7.2.5a）可知y(m)的頻譜函數(shù)為（3）（2）根據(jù)式（7.2.5a）可知y(m)的頻譜函數(shù)為（2.假設(shè)信號(hào)x(n)及其頻譜X(ejω)如題2圖所示。按因子D=2直接對(duì)x(n)抽取，得到信號(hào)y(m)=x(2m)。畫出y(m)的頻譜函數(shù)曲線，說明抽取過程中是否丟失了信息。題2圖2.假設(shè)信號(hào)x(n)及其頻譜X(ejω)如題2

解：由抽取原理知道，按因子D=2對(duì)x(n)抽取時(shí)，抗混疊濾波器的截止頻率為π/Drad，所以得到信號(hào)y(m)=x(2m)丟失原信號(hào)x(n)中|ω|≥π/D的頻率成分信息。本題中，D=2，而x(n)的帶寬為π/3，所以，抽取過程中不會(huì)丟失信息。由時(shí)域采樣理論，畫出y(m)的頻譜如題2解圖所示。題2解圖解：由抽取原理知道，按因子D=2對(duì)x(n)抽取時(shí)3.按整數(shù)因子D=4抽取器原理方框圖如題3圖（a）所示。其中，F(xiàn)x=1kHz,Fy=250Hz,輸入序列x(n)的頻譜如題3圖（b）所示。請(qǐng)畫出題3圖（a）中理想低通濾波器hD(n)的頻率響應(yīng)特性曲線和序列v(n)、y(m)的頻譜特性曲線。題3圖3.按整數(shù)因子D=4抽取器原理方框圖如題3圖（a）所

解：抽取因子D=Fx/Fy=1000/250=4。題3圖（a）中理想低通濾波器hD(n)的頻率響應(yīng)特性曲線以及序列v(n)和y(m)的頻譜特性曲線分別如題3解圖（a）以及（b）和（c）所示。題3解圖解：抽取因子D=Fx/Fy=1000/250=4。題4.按整數(shù)因子I內(nèi)插器原理方框圖如題4圖所示。圖中，F(xiàn)x=200Hz,Fy=1kHz，輸入序列x(n)的頻譜如題3圖（b）所示。確定內(nèi)插因子I，并畫出題4圖中理想低通濾波器hI(n)的幅頻響應(yīng)特性曲線和序列v(m)、y(m)的頻譜特性曲線。題4圖4.按整數(shù)因子I內(nèi)插器原理方框圖如題4圖所示。圖中

解：內(nèi)插因子I=Fy/Fx=1000/200=5。題4圖中序列v(m)、理想低通濾波器hI(n)的幅頻響應(yīng)特性曲線和y(m)的頻譜特性曲線分別如題4解圖（a）、（b）和（c）所示。5*.設(shè)計(jì)一個(gè)抽取器，要求抽取因子D=5。用remez函數(shù)設(shè)計(jì)抗混疊FIR濾波器，圖示濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)。要求通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過渡帶寬度為0.02πrad。畫出實(shí)現(xiàn)抽取器的多相結(jié)構(gòu)，并求出多相實(shí)現(xiàn)時(shí)各子濾波器的單位脈沖響應(yīng)。解：內(nèi)插因子I=Fy/Fx=1000/200=5。題4解圖題4解圖

解：由式（7.2.2）知道，抗混疊FIR濾波器的阻帶截止頻率為ωs=π/D=π/5rad，要求過渡帶寬度為0.02πrad，所以，通帶截止頻率為π/5－0.02π=0.18πrad。本題已經(jīng)給出：通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用MATLAB濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)remezord和remez設(shè)計(jì)該濾波器的程序?yàn)閑x805.m。運(yùn)行程序得到的濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)和損耗函數(shù)如題5解圖所示。請(qǐng)讀者仿照教材中圖8.6.10畫出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。（說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)N=M+1=182，取5的整數(shù)倍N=5×37，程序中階數(shù)M=M+3。）解：由式（7.2.2）知道，抗混疊FIR濾波器的本題所給濾波器過渡帶太窄，使h(n)的長(zhǎng)度為N=185，其列表篇幅太大，所以僅給出h(n)的波形圖。請(qǐng)讀者運(yùn)行程序直接在MATLAB命令窗中查看h(n)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)下式確定多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個(gè)多相濾波器系數(shù):

pk(n)=h(k+nD)k=0,1,2,3,4;n=0,1,2,…,36程序ex805.m清單如下：本題所給濾波器過渡帶太窄，使h(n)的長(zhǎng)度為N=18%程序ex805.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子D=5的抽取器的抗混疊濾波器f=［0.18，1/5］；%對(duì)π歸一化邊界頻率

m=［1，0］；

rp=0.1；rs=30；

dat1=(10∧(rp/20)－1)/(10∧(rp/20)+1)；dat2=10∧(－rs/20);

rip=［dat1，dat2］；

［M，fo，mo，w］=remezord(f，m，rip)；M=M+3；

hn=remez(M，fo，mo，w)；

%以下為繪圖部分（省略）

運(yùn)行程序，繪圖如題5*解圖所示。%程序ex805.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)題5*解圖題5*解圖6*.設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)插器，要求內(nèi)插因子I=2。用remez函數(shù)設(shè)計(jì)鏡像FIR濾波器，圖示濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)。要求通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過渡帶寬度為0.05πrad。畫出實(shí)現(xiàn)內(nèi)插器的多相結(jié)構(gòu)，并求出多相實(shí)現(xiàn)時(shí)各子濾波器的單位脈沖響應(yīng)。6*.設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)插器，要求內(nèi)插因子I=2。用

解：已知內(nèi)插因子I=2，所以鏡像FIR濾波器的阻帶截止頻率為ωs=π/I=π/2rad，要求過渡帶寬度為0.05πrad，所以，通帶截止頻率為π/2－0.05π=0.45πrad。本題已經(jīng)給出：通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)remezord和remez設(shè)計(jì)該濾波器的程序?yàn)閑x806.m。運(yùn)行程序得到的濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)和損耗函數(shù)如題6解圖所示。請(qǐng)讀者仿照教材中圖8.6.9畫出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。（說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)度N=M+1=73，取I的整數(shù)倍N=2×37=74，程序中階數(shù)用M=M+1調(diào)整。）解：已知內(nèi)插因子I=2，所以鏡像FIR濾波器的阻濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)為

h(0)=－1.250515e－004=h(73)

h(1)=－8.034005e－003=h(72)

h(2)=8.680925e－003=h(71)

h(3)=－5.520558e－004=h(70)

h(4)=－4.859884e－003=h(69)

h(5)=－8.774395e－004=h(68)

h(6)=4.896185e－003=h(67)

h(7)=1.961462e－003=h(66)

h(8)=－5.290437e－003=h(65)

h(9)=－3.140232e－003=h(64)濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)為

h(0)=－1h(10)=5.717291e－003=h(63)h(11)=4.534276e－003=h(62)h(12)=－6.057635e－003=h(61)h(13)=－6.217276e－003=h(60)h(14)=6.256470e－003=h(59)h(15)=8.190073e－003=h(58)h(16)=－6.193316e－003=h(57)h(17)=－1.053106e－002=h(56)h(18)=5.803015e－003=h(55)h(19)=1.328382e－002=h(54)h(20)=－4.965732e－003=h(53)h(10)=5.717291e－003=h(63)h(21)=－1.651721e－002=h(52)h(22)=3.536904e－003=h(51)h(23)=2.036040e－002=h(50)h(24)=－1.287036e－003=h(49)h(25)=－2.503651e－002=h(48)h(26)=－2.139705e－003=h(47)h(27)=3.097361e－002=h(46)h(28)=7.432755e－003=h(45)h(29)=－3.911230e－002=h(44)h(30)=－1.608449e－002=h(43)h(31)=5.180676e－002=h(42)h(21)=－1.651721e－002=h(52)h(32)=3.223045e－002=h(41)h(33)=－7.689092e－002=h(40)h(34)=－7.324125e－002=h(39)h(35)=1.642101e－001=h(38)h(36)=4.345863e－001=h(37)多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的兩個(gè)多相濾波器系數(shù)為

p0(n)=h(nI)=h(2n)n=0,1,2,…,36

p1(n)=h(1+nI)=h(2n+1)n=0,1,2,…,36程序ex806.m清單如下：%程序ex806.mh(32)=3.223045e－002=h(41)%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子I=2的內(nèi)插器的鏡像濾波器f=［0.45，0.5］；%對(duì)π歸一化邊界頻率m=［1，0］；rp=0.1；rs=30；dat1=(10∧(rp/20)－1)/(10∧(rp/20)+1)；dat2=10∧(－rs/20)；rip=［dat1，dat2］；［M，fo，mo，W］=remezord(f，m，rip)；M=M+1；hn=remez(M，fo，mo，W)；n=0：M；y=［n；hn；M－n］；fprintf(′h(%d)=%9e=h(%d)＼n′，y)%按照對(duì)稱性列表顯示h(n)%以下為繪圖檢驗(yàn)和h(n)數(shù)據(jù)顯示部分（省略）%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子I=2的內(nèi)插器的鏡像濾波題6*解圖運(yùn)行程序，繪圖如題6*解圖所示。題6*解圖運(yùn)行程序，繪圖如題6*解圖所示。7*.設(shè)計(jì)一個(gè)按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器，畫出系統(tǒng)原理方框圖。要求其中的FIR低通濾波器過渡帶寬為0.04πrad，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為30dB。設(shè)計(jì)FIR低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，并畫出一種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

解：按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器的原理方框圖如題7解圖(一)所示，圖中I=2，D=5。7*.設(shè)計(jì)一個(gè)按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器，題7解圖(一)根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)應(yīng)為：阻帶截止頻率ωs=min［π/I,π/D］=π/5rad；通帶截止頻率ωp=ωs－0.04π=0.16πrad；通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=30dB。題7解圖(一)根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR濾波器設(shè)計(jì)程序ex807.m如下：

%程序ex807.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子2/5的采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR濾波器

f=［0.16，0.2］；%對(duì)π歸一化邊界頻率

m=［1，0］；rp=1；rs=30；

dat1=(10∧(rp/20)-1)/(10∧(rp/20)+1);dat2=10∧(－rs/20);

rip=［dat1，dat2］；

［M，fo，mo，W］=remezord(f，m，rip)；%M=M+2；hn=remez(M，fo，mo，W)；

n=0：M；y=［n；hn；M-n］；

fprintf(′h(%d)=%9e=h(%d)＼n′，y)

%以下為繪圖檢驗(yàn)部分(省略)濾波器設(shè)計(jì)程序ex807.m如下：

%程序ex運(yùn)行程序ex807.m，得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)如下：h(0)=－1.012427e－002=h(57)h(1)=1.438004e－002=h(56)h(2)=1.281009e－002=h(55)h(3)=1.256566e－002=h(54)h(4)=1.112633e－002=h(53)h(5)=7.474111e－003=h(52)h(6)=1.833721e－003=h(51)h(7)=－4.591903e－003=h(50)h(8)=－1.004506e－002=h(49)運(yùn)行程序ex807.m，得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)h(9)=－1.272172e－002=h(48)

h(10)=－1.139736e－002=h(47)

h(11)=－5.945673e－003=h(46)

h(12)=2.482502e－003=h(45)

h(13)=1.155711e－002=h(44)

h(14)=1.836975e－002=h(43)

h(15)=2.020830e－002=h(42)

h(16)=1.549946e－002=h(41)

h(17)=4.443471e－003=h(40)

h(18)=－1.063976e－002=h(39)

h(19)=－2.570069e－002=h(38)h(9)=－1.272172e－002=h(48)h(20)=－3.570212e－002=h(37)h(21)=－3.593645e－002=h(36)h(22)=－2.321793e－002=h(35)h(23)=2.989859e－003=h(34)h(24)=4.026557e－002=h(33)h(25)=8.328551e－002=h(32)h(26)=1.250531e－001=h(31)h(27)=1.581392e－001=h(30)h(28)=1.763757e－001=h(29)h(20)=－3.570212e－002=h(37)因?yàn)镈>I，所以，只要將題7解圖（一）中的濾波器h(n)和抽取器用教材第256頁(yè)中圖8.6.2替換，就得到直接型FIR濾波器高效結(jié)構(gòu)。由于h(n)較長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)圖占用篇幅太大，所以具體結(jié)構(gòu)圖請(qǐng)讀者練習(xí)畫出。當(dāng)然也可以用多相結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，這時(shí)要求濾波器總長(zhǎng)度N是抽取因子5的整數(shù)倍。但程序ex807.m運(yùn)行結(jié)果N=M+1=58，所以，應(yīng)當(dāng)保留程序中第7行后面的階數(shù)修改語(yǔ)句“M=M+2”，運(yùn)行得到新的h(n)，其長(zhǎng)度N=60=5×12，畫出多相結(jié)構(gòu)如題7解圖(二)所示。因?yàn)镈>I，所以，只要將題7解圖（一）中的濾波器題7解圖（二）題7解圖（二）圖中5個(gè)多相濾波器系數(shù)按照如下公式確定：

pk(n)=h(k+5n)k=0,1,2,3,4;n=0,1,2,…,11請(qǐng)讀者運(yùn)行程序并確定pk(n)的具體數(shù)據(jù)。8*.假設(shè)信號(hào)x(n)是以奈奎斯特采樣頻率對(duì)模擬信號(hào)xa(t)的采樣序列，采樣頻率Fx=10kHz?，F(xiàn)在為了減少數(shù)據(jù)量，只保留0≤f≤3kHz的低頻信息，希望盡可能降低采樣頻率，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)采樣率轉(zhuǎn)換器。要求經(jīng)過采樣率轉(zhuǎn)換器后，在頻帶0≤f<2.8kHz中頻譜失真不大于1dB，頻譜混疊不超過1％。圖中5個(gè)多相濾波器系數(shù)按照如下公式確定：（1）確定滿足要求的最低采樣頻率Fy和相應(yīng)的采樣率轉(zhuǎn)換因子;（2）畫出采樣率轉(zhuǎn)換器原理方框圖;（3）確定采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，畫出濾波器的單位脈沖響應(yīng)及其損耗函數(shù)曲線，并標(biāo)出指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶最大衰減和阻帶最小衰減）；（4）求出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)，并列表顯示或打印。（1）確定滿足要求的最低采樣頻率Fy和相應(yīng)的采樣率轉(zhuǎn)換

解：（1）根據(jù)時(shí)域采樣定理，滿足要求的最低采樣頻率Fy=2×3kHz=6kHz，采樣率轉(zhuǎn)換因子為Fy/Fx=6/10=3/5。（2）采樣率轉(zhuǎn)換器原理方框圖如題8解圖(一)所示。圖中，I=3，D=5。題8解圖(一)解：（1）根據(jù)時(shí)域采樣定理，滿足要求的最低采樣（3）根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)應(yīng)為：通帶截止頻率ωp=2π×2800/(IFx)=2π×2800/30000=28π/150rad（請(qǐng)讀者注意，濾波器工作在內(nèi)插后及抽去之前，所以應(yīng)當(dāng)用采樣頻率IFx計(jì)算2800Hz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率），阻帶截止頻率ωs=min［π/I,π/D］=π/5rad；根據(jù)要求“在頻帶0≤f≤2.9kHz中頻譜失真不大于1dB”得到：通帶最大衰減αp=1dB，根據(jù)要求“頻譜混疊不超過1％”可知，阻帶最小衰減αs=－20lg(1%)=40dB。FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)程序?yàn)閑x808.m，運(yùn)行程序畫出濾波器的單位脈沖響應(yīng)及其損耗函數(shù)曲線如題8解圖(二)所示。（3）根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾題8解圖(二)題8解圖(二)說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)度N=M+1=214，為了滿足多相實(shí)現(xiàn)條件，取D的整數(shù)倍N=5×43=215，程序中階數(shù)用M=M+1調(diào)整。（4）按照下式構(gòu)造多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)：

pk(n)=h(k+5n)k=0,1,2,3,4;n=0,1,2,…,42由于本題給定的指標(biāo)太高，使濾波器階數(shù)高達(dá)214，列出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列的數(shù)據(jù)篇幅太大，所以，請(qǐng)讀者運(yùn)行程序顯示h(n)數(shù)據(jù)，并確定5個(gè)子濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列pk(n)的具體數(shù)據(jù)。說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)度N=M+1本題求解程序ex808.m清單如下：

%程序ex808.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子3/5的采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR濾波器

f=［28/150，1/5］；%對(duì)π歸一化邊界頻率

m=［1，0］；

rp=1；rs=40；

dat1=(10∧(rp/20)－1)/(10∧(rp/20)+1)；

dat2=10∧(－rs/20)；

rip=［dat1，dat2］；本題求解程序ex808.m清單如下：

%程序e［M，fo，mo，W］=remezord(f，m，rip)；M=M+1；%階數(shù)M+1，使N=M+1滿足5的整數(shù)倍要求hn=remez(M，fo，mo，W)；n=0：M；y=［n；hn；M－n］；fprintf(′h(%d)=%9e=h(%d)＼n′，y)%按照對(duì)稱性列表顯示h(n)%以下為繪圖檢驗(yàn)部分（省略）［M，fo，mo，W］=remezord(f，m第7章多采樣率數(shù)字信號(hào)處理2011-9-57.1引言7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式7.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答

第7章多采樣率數(shù)字信號(hào)處理2011-9-57.1引言7.1引言本章內(nèi)容與教材第8章內(nèi)容相對(duì)應(yīng)。在實(shí)際系統(tǒng)中，經(jīng)常會(huì)遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題，要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)。這樣的系統(tǒng)中，不同處理階段或不同單元的采樣頻率可能不同。例如，在DSP開發(fā)仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，為了抗混疊濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，降低系統(tǒng)復(fù)雜度，應(yīng)先統(tǒng)一對(duì)模擬信號(hào)以系統(tǒng)最高采樣頻率采樣，然后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)者選擇的各種采樣頻率，在數(shù)字域改變采樣頻率。7.1引由于在數(shù)字域改變采樣頻率完全用軟件實(shí)現(xiàn)，所以，采樣頻率可以任意選擇，又避免了對(duì)各種不同的采樣頻率設(shè)計(jì)各種不同的抗混疊模擬濾波器，從而使系統(tǒng)復(fù)雜度大大降低。采樣率轉(zhuǎn)換在現(xiàn)代通信、信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用實(shí)例舉不勝舉，本科大學(xué)生能理解的幾種實(shí)例在教材8.1節(jié)有介紹，這里不再重復(fù)。由于在數(shù)字域改變采樣頻率完全用軟件實(shí)現(xiàn)，所以，采7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式本章要求學(xué)生熟悉采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類，了解采樣率轉(zhuǎn)換的應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合，掌握三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)（整數(shù)因子D抽取、整數(shù)因子I插值和有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換）的基本原理、構(gòu)成原理方框圖及其各種高效實(shí)現(xiàn)方法（FIR直接實(shí)現(xiàn)、多相濾波器實(shí)現(xiàn))，每種實(shí)現(xiàn)方法的特點(diǎn)。這些專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)、設(shè)計(jì)、開發(fā)工作在多采樣率狀態(tài)的各種復(fù)雜系統(tǒng)是極其重要的。采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類，以及應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合在教材中已有較詳細(xì)的介紹，這里不再重復(fù)。7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式下面對(duì)三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)的重要知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)公式進(jìn)行歸納總結(jié)，以便讀者復(fù)習(xí)鞏固。值得注意，要理解采樣率轉(zhuǎn)換原理，必須熟悉時(shí)域采樣概念、時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)、時(shí)域采樣定理。此外，時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析和變換（Z變換、傅里葉變換）域分析理論是本章的分析工具。只有熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)，才能掌握本章的知識(shí)，否則，無法理解本章內(nèi)容。下面對(duì)三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)的重要知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)公式7.2.1整數(shù)因子D抽取1.整數(shù)因子D抽取器原理框圖按整數(shù)因子D對(duì)x(n)抽取的原理方框圖如圖7.2.1所示。圖7.2.17.2.1整數(shù)因子D抽取圖7.2.12.整數(shù)因子抽取器的功能整數(shù)因子抽取器的功能表現(xiàn)為：輸出端信號(hào)采樣頻率Fy降為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的1/D，即Fy=Fx/D。3.知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過抽取使采樣率降低，會(huì)引起新的頻譜混疊失真，所以，必須在抽取前進(jìn)行抗混疊濾波?？够殳B濾波器hD(n)有兩項(xiàng)指標(biāo)：根據(jù)采樣定理，抗混疊濾波器的阻帶截止頻率為2.整數(shù)因子抽取器的功能相應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為(7.2.1)(7.2.2)應(yīng)當(dāng)注意，由于抗混疊濾波器工作于輸入信號(hào)采樣頻率Fx，所以，式（7.2.2）中用Fx換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率，絕對(duì)不能用Fy換算。相應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為(7.2.1)(7.2.2)應(yīng)當(dāng)抗混疊濾波器的通帶截止頻率（或過渡帶寬度）取決于抽取系統(tǒng)對(duì)信號(hào)頻譜的失真度要求。設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)具體要求確定抗混疊濾波器的其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率ωp、通帶最大衰減αp、阻帶最小衰減αs）。例如，要求抽取過程中頻帶［0,fp］上幅頻失真小于1%（顯然fp<fs），由于抽取引起的頻譜混疊失真不超過0.1%。這時(shí)，抗混疊濾波器的通帶截止頻率為ωp=2πfp/Fx，通帶最大衰減為αp=－20lg(1－1%)=0.0873dB，阻帶最小衰減為αs=－20lg(0.1%)=60dB?？够殳B濾波器的通帶截止頻率（或過渡帶寬度）取決于抽取系統(tǒng)整數(shù)因子抽取器的輸入x(n)和輸出y(m)的關(guān)系式如下：(7.2.3)(7.2.4)(7.2.5)整數(shù)因子抽取器的輸入x(n)和輸出y(m)的關(guān)系式如下：在主值區(qū)［－π,π］上Y(ejωy)為－π≤|ωy|≤π7.2.2整數(shù)因子I內(nèi)插器1.整數(shù)因子I內(nèi)插器原理框圖按整數(shù)因子I對(duì)x(n)內(nèi)插的原理方框圖如圖7.2.2所示。圖7.2.2在主值區(qū)［－π,π］上Y(ejωy)為－π≤|ωy|≤π72．整數(shù)因子內(nèi)插器的功能整數(shù)因子內(nèi)插器的功能表現(xiàn)為：輸出端信號(hào)采樣頻率Fy提高為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的I倍，即Fy=IFx。3.知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過整數(shù)倍零值內(nèi)插使采樣率升高至I倍，不會(huì)引起新的頻譜混疊失真，但是會(huì)產(chǎn)生I-1個(gè)鏡像頻譜（見圖7.2.3(b)）。從時(shí)域考慮，零值內(nèi)插器輸出v(m)的兩個(gè)非零值之間有I-1個(gè)零樣值，不是我們所期望的提高采樣率后的采樣序列y(m)。所以，必須進(jìn)行低通濾波，濾除鏡像頻譜，得到y(tǒng)(m)。2．整數(shù)因子內(nèi)插器的功能鏡像頻譜濾波器hI(n)的指標(biāo)也有兩項(xiàng)：阻帶截止頻率和數(shù)字域阻帶截止頻率。根據(jù)采樣理論，采樣頻率提高到Fy時(shí)，采樣信號(hào)序列y(m)的頻譜以Fy為周期。由于輸入端信號(hào)x(n)的采樣頻率為Fx，所以x(n)的頻帶寬度不會(huì)超過Fx/2（對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為π）。因此，整數(shù)因子I內(nèi)插器輸出信號(hào)y(n)的頻譜一定是帶寬為Fx/2、重復(fù)周期為Fy的周期譜。我們將零值內(nèi)插器輸出的信號(hào)v(m)的頻譜中除了y(m)頻譜以外的其他頻譜稱為鏡像頻譜。鏡像頻譜濾波器的作用就是讓y(m)頻譜盡量無失真通過，濾除v(m)中的鏡像頻譜。當(dāng)I=3時(shí)，圖7.2.2中各點(diǎn)信號(hào)的頻譜示意圖如圖7.2.3所示。鏡像頻譜濾波器hI(n)的指標(biāo)也有兩項(xiàng)：阻帶截止頻圖7.2.3圖7.2.3綜上所述可知，鏡像頻譜濾波器的阻帶截止頻率為相應(yīng)的數(shù)字域阻帶截止頻率為(7.2.6)(7.2.7)應(yīng)當(dāng)注意，由于鏡像頻譜濾波器工作于輸出信號(hào)采樣頻率Fy，所以，式（7.2.7）中用Fy換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率，絕對(duì)不能用Fx換算。綜上所述可知，鏡像頻譜濾波器的阻帶截止頻率為相應(yīng)的數(shù)字域與抗混疊濾波器情況類似，根據(jù)具體要求確定鏡像頻譜濾波器其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率ωp、通帶最大衰減αp、阻帶最小衰減αs）。鏡像頻譜濾波器的ωp（或過渡帶寬度）和αp取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)有用信號(hào)頻譜的保真度要求，而αs取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)鏡像高頻干擾的限制指標(biāo)。理想情況下，鏡像頻譜濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為≤≤≤(7.2.8)與抗混疊濾波器情況類似，根據(jù)具體要求確定鏡像≤≤≤(通帶內(nèi)幅度常數(shù)取I是為了確保在m=0,±I,±2I,±3I,…時(shí)，輸出序列y(m)=x(m/I)。整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的時(shí)域輸入輸出關(guān)系式如下：(7.2.9)因?yàn)槌嗽贗的整數(shù)倍點(diǎn)v(kI)=x(k)以外，v(k)=0，所以(7.2.10)通帶內(nèi)幅度常數(shù)取I是為了確保在m=0,±I,±2I,±變換域輸入輸出關(guān)系式：(7.2.11)計(jì)算單位圓上的V(z)得到v(m)的頻譜為(7.2.12)(7.2.13)(7.2.14)變換域輸入輸出關(guān)系式：(7.2.11)計(jì)算單位圓上的V(z理想情況下，HI(ejω)由式（7.2.8）確定，所以，≤≤≤(7.2.15)理想情況下，HI(ejω)由式（7.2.8）確定，圖7.2.47.2.3有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)1．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)原理框圖有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的原理框圖如圖7.2.4所示。圖7.2.47.2.3有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系2．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)首先對(duì)輸入序列x(n)按整數(shù)因子I內(nèi)插，然后再對(duì)內(nèi)插器的輸出序列按整數(shù)因子D抽取，達(dá)到按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換。如果仍用Fx=1/Tx和Fy=1/Ty分別表示輸入序列x(n)和輸出序列y(m)的采樣頻率，則Fy=(I/D)Fx。應(yīng)當(dāng)注意，先內(nèi)插后抽取才能最大限度地保留輸入序列的頻譜成分(請(qǐng)讀者解釋為什么)。2．有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能3．知識(shí)要點(diǎn)及重要公式圖7.2.4中濾波器h(l)同時(shí)完成鏡像濾波和抗混疊濾波功能。所以，理想情況下，濾波器h(l)是理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為≤≤≤圖7.2.4中各點(diǎn)信號(hào)的時(shí)域表示式歸納如下：(7.2.16)3．知識(shí)要點(diǎn)及重要公式≤≤≤圖7.2.4中各點(diǎn)信號(hào)的線性濾波器輸出序列為(7.2.17)線性濾波器輸出序列為(7.2.18)線性濾波器輸出序列為(7.2.17)線性濾波器輸出序列為(7整數(shù)因子D抽取器輸出序列y(m)為(7.2.19)式（7.2.19）就是有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)域關(guān)系。如果線性濾波器用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)，則式（7.2.19）為有限項(xiàng)之和，所以可以直接按式（7.2.19）編程序計(jì)算輸出序列y(m)。當(dāng)然，也可以采用教材上介紹的各種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)以硬件或軟硬結(jié)合來實(shí)現(xiàn)。整數(shù)因子D抽取器輸出序列y(m)為(7.2.19)式（7.27.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)

實(shí)際上，采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)就是指其中的FIR數(shù)字濾波器的高效實(shí)現(xiàn)。這里高效的含義有三個(gè)方面：在滿足濾波指標(biāo)要求的同時(shí)，①濾波器的總長(zhǎng)度最??；

②使濾波處理計(jì)算復(fù)雜度最低；③對(duì)濾波器的處理速度要

求最低。

教材中介紹了采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的兩種實(shí)現(xiàn)方法：直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)、多相濾波器實(shí)現(xiàn)。各種實(shí)現(xiàn)方法的原理、結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)在教材中都有較詳細(xì)的敘述，本書不再重復(fù)。7.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答1.已知信號(hào)x(n)=anu(n),|a|<1。（1）求信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)=FT［x(n)］；（2）按因子D=2對(duì)x(n)抽取得到y(tǒng)(m)，試求y(m)的頻譜函數(shù)。（3）證明：y(m)的頻譜函數(shù)就是x(2n)的頻譜函數(shù)。

解：7.4教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答（2）根據(jù)式（7.2.5a）可知y(m)的頻譜函數(shù)為（3）（2）根據(jù)式（7.2.5a）可知y(m)的頻譜函數(shù)為（2.假設(shè)信號(hào)x(n)及其頻譜X(ejω)如題2圖所示。按因子D=2直接對(duì)x(n)抽取，得到信號(hào)y(m)=x(2m)。畫出y(m)的頻譜函數(shù)曲線，說明抽取過程中是否丟失了信息。題2圖2.假設(shè)信號(hào)x(n)及其頻譜X(ejω)如題2

解：由抽取原理知道，按因子D=2對(duì)x(n)抽取時(shí)，抗混疊濾波器的截止頻率為π/Drad，所以得到信號(hào)y(m)=x(2m)丟失原信號(hào)x(n)中|ω|≥π/D的頻率成分信息。本題中，D=2，而x(n)的帶寬為π/3，所以，抽取過程中不會(huì)丟失信息。由時(shí)域采樣理論，畫出y(m)的頻譜如題2解圖所示。題2解圖解：由抽取原理知道，按因子D=2對(duì)x(n)抽取時(shí)3.按整數(shù)因子D=4抽取器原理方框圖如題3圖（a）所示。其中，F(xiàn)x=1kHz,Fy=250Hz,輸入序列x(n)的頻譜如題3圖（b）所示。請(qǐng)畫出題3圖（a）中理想低通濾波器hD(n)的頻率響應(yīng)特性曲線和序列v(n)、y(m)的頻譜特性曲線。題3圖3.按整數(shù)因子D=4抽取器原理方框圖如題3圖（a）所

解：抽取因子D=Fx/Fy=1000/250=4。題3圖（a）中理想低通濾波器hD(n)的頻率響應(yīng)特性曲線以及序列v(n)和y(m)的頻譜特性曲線分別如題3解圖（a）以及（b）和（c）所示。題3解圖解：抽取因子D=Fx/Fy=1000/250=4。題4.按整數(shù)因子I內(nèi)插器原理方框圖如題4圖所示。圖中，F(xiàn)x=200Hz,Fy=1kHz，輸入序列x(n)的頻譜如題3圖（b）所示。確定內(nèi)插因子I，并畫出題4圖中理想低通濾波器hI(n)的幅頻響應(yīng)特性曲線和序列v(m)、y(m)的頻譜特性曲線。題4圖4.按整數(shù)因子I內(nèi)插器原理方框圖如題4圖所示。圖中

解：內(nèi)插因子I=Fy/Fx=1000/200=5。題4圖中序列v(m)、理想低通濾波器hI(n)的幅頻響應(yīng)特性曲線和y(m)的頻譜特性曲線分別如題4解圖（a）、（b）和（c）所示。5*.設(shè)計(jì)一個(gè)抽取器，要求抽取因子D=5。用remez函數(shù)設(shè)計(jì)抗混疊FIR濾波器，圖示濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)。要求通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過渡帶寬度為0.02πrad。畫出實(shí)現(xiàn)抽取器的多相結(jié)構(gòu)，并求出多相實(shí)現(xiàn)時(shí)各子濾波器的單位脈沖響應(yīng)。解：內(nèi)插因子I=Fy/Fx=1000/200=5。題4解圖題4解圖

解：由式（7.2.2）知道，抗混疊FIR濾波器的阻帶截止頻率為ωs=π/D=π/5rad，要求過渡帶寬度為0.02πrad，所以，通帶截止頻率為π/5－0.02π=0.18πrad。本題已經(jīng)給出：通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用MATLAB濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)remezord和remez設(shè)計(jì)該濾波器的程序?yàn)閑x805.m。運(yùn)行程序得到的濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)和損耗函數(shù)如題5解圖所示。請(qǐng)讀者仿照教材中圖8.6.10畫出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。（說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)N=M+1=182，取5的整數(shù)倍N=5×37，程序中階數(shù)M=M+3。）解：由式（7.2.2）知道，抗混疊FIR濾波器的本題所給濾波器過渡帶太窄，使h(n)的長(zhǎng)度為N=185，其列表篇幅太大，所以僅給出h(n)的波形圖。請(qǐng)讀者運(yùn)行程序直接在MATLAB命令窗中查看h(n)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)下式確定多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個(gè)多相濾波器系數(shù):

pk(n)=h(k+nD)k=0,1,2,3,4;n=0,1,2,…,36程序ex805.m清單如下：本題所給濾波器過渡帶太窄，使h(n)的長(zhǎng)度為N=18%程序ex805.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子D=5的抽取器的抗混疊濾波器f=［0.18，1/5］；%對(duì)π歸一化邊界頻率

m=［1，0］；

rp=0.1；rs=30；

dat1=(10∧(rp/20)－1)/(10∧(rp/20)+1)；dat2=10∧(－rs/20);

rip=［dat1，dat2］；

［M，fo，mo，w］=remezord(f，m，rip)；M=M+3；

hn=remez(M，fo，mo，w)；

%以下為繪圖部分（省略）

運(yùn)行程序，繪圖如題5*解圖所示。%程序ex805.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)題5*解圖題5*解圖6*.設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)插器，要求內(nèi)插因子I=2。用remez函數(shù)設(shè)計(jì)鏡像FIR濾波器，圖示濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)。要求通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過渡帶寬度為0.05πrad。畫出實(shí)現(xiàn)內(nèi)插器的多相結(jié)構(gòu)，并求出多相實(shí)現(xiàn)時(shí)各子濾波器的單位脈沖響應(yīng)。6*.設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)插器，要求內(nèi)插因子I=2。用

解：已知內(nèi)插因子I=2，所以鏡像FIR濾波器的阻帶截止頻率為ωs=π/I=π/2rad，要求過渡帶寬度為0.05πrad，所以，通帶截止頻率為π/2－0.05π=0.45πrad。本題已經(jīng)給出：通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)remezord和remez設(shè)計(jì)該濾波器的程序?yàn)閑x806.m。運(yùn)行程序得到的濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)和損耗函數(shù)如題6解圖所示。請(qǐng)讀者仿照教材中圖8.6.9畫出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。（說明：調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)度N=M+1=73，取I的整數(shù)倍N=2×37=74，程序中階數(shù)用M=M+1調(diào)整。）解：已知內(nèi)插因子I=2，所以鏡像FIR濾波器的阻濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)為

h(0)=－1.250515e－004=h(73)

h(1)=－8.034005e－003=h(72)

h(2)=8.680925e－003=h(71)

h(3)=－5.520558e－004=h(70)

h(4)=－4.859884e－003=h(69)

h(5)=－8.774395e－004=h(68)

h(6)=4.896185e－003=h(67)

h(7)=1.961462e－003=h(66)

h(8)=－5.290437e－003=h(65)

h(9)=－3.140232e－003=h(64)濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)為

h(0)=－1h(10)=5.717291e－003=h(63)h(11)=4.534276e－003=h(62)h(12)=－6.057635e－003=h(61)h(13)=－6.217276e－003=h(60)h(14)=6.256470e－003=h(59)h(15)=8.190073e－003=h(58)h(16)=－6.193316e－003=h(57)h(17)=－1.053106e－002=h(56)h(18)=5.803015e－003=h(55)h(19)=1.328382e－002=h(54)h(20)=－4.965732e－003=h(53)h(10)=5.717291e－003=h(63)h(21)=－1.651721e－002=h(52)h(22)=3.536904e－003=h(51)h(23)=2.036040e－002=h(50)h(24)=－1.287036e－003=h(49)h(25)=－2.503651e－002=h(48)h(26)=－2.139705e－003=h(47)h(27)=3.097361e－002=h(46)h(28)=7.432755e－003=h(45)h(29)=－3.911230e－002=h(44)h(30)=－1.608449e－002=h(43)h(31)=5.180676e－002=h(42)h(21)=－1.651721e－002=h(52)h(32)=3.223045e－002=h(41)h(33)=－7.689092e－002=h(40)h(34)=－7.324125e－002=h(39)h(35)=1.642101e－001=h(38)h(36)=4.345863e－001=h(37)多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的兩個(gè)多相濾波器系數(shù)為

p0(n)=h(nI)=h(2n)n=0,1,2,…,36

p1(n)=h(1+nI)=h(2n+1)n=0,1,2,…,36程序ex806.m清單如下：%程序ex806.mh(32)=3.223045e－002=h(41)%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子I=2的內(nèi)插器的鏡像濾波器f=［0.45，0.5］；%對(duì)π歸一化邊界頻率m=［1，0］；rp=0.1；rs=30；dat1=(10∧(rp/20)－1)/(10∧(rp/20)+1)；dat2=10∧(－rs/20)；rip=［dat1，dat2］；［M，fo，mo，W］=remezord(f，m，rip)；M=M+1；hn=remez(M，fo，mo，W)；n=0：M；y=［n；hn；M－n］；fprintf(′h(%d)=%9e=h(%d)＼n′，y)%按照對(duì)稱性列表顯示h(n)%以下為繪圖檢驗(yàn)和h(n)數(shù)據(jù)顯示部分（省略）%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子I=2的內(nèi)插器的鏡像濾波題6*解圖運(yùn)行程序，繪圖如題6*解圖所示。題6*解圖運(yùn)行程序，繪圖如題6*解圖所示。7*.設(shè)計(jì)一個(gè)按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器，畫出系統(tǒng)原理方框圖。要求其中的FIR低通濾波器過渡帶寬為0.04πrad，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為30dB。設(shè)計(jì)FIR低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，并畫出一種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

解：按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器的原理方框圖如題7解圖(一)所示，圖中I=2，D=5。7*.設(shè)計(jì)一個(gè)按因子2/5降低采樣率的采樣率轉(zhuǎn)換器，題7解圖(一)根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)應(yīng)為：阻帶截止頻率ωs=min［π/I,π/D］=π/5rad；通帶截止頻率ωp=ωs－0.04π=0.16πrad；通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=30dB。題7解圖(一)根據(jù)題目要求可知，采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR濾波器設(shè)計(jì)程序ex807.m如下：

%程序ex807.m

%調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子2/5的采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR濾波器

f=［0.16，0.2］；%對(duì)π歸一化邊界頻率

m=［1，0］；rp=1；rs=30；

dat1=(10∧(rp/20)-1)/(10∧(rp/20)+1);dat2=10∧(－rs/20);

rip=［dat1，dat2］；

［M，fo，mo，W］=remezord(f，m，rip)；%M=M+2；hn=remez(M，fo，mo，W)；

n=0：M；y=［n；hn；M-n］；

fprintf(′h(%d)=%9e=h(%d)＼n′，y)

%以下為繪圖檢驗(yàn)部分(省略)濾波器設(shè)計(jì)程序ex807.m如下：

%程序ex運(yùn)行程序ex807.m，得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)數(shù)據(jù)如下：h(0)=－1.012427e－002=h(57)h(1)=1.438004e－002=h(56)h(2)=1.281009e－002=h(55)h(3)=1.256566e－002=h(54)h(4)=1.112633e－002=h(53)h(5)=7.474111e－003=h(52)h(6)=1.833721e－003=h(51)h(7)=－4.591903e－003=h(50)h(8)=－1.004506e－002=h(49)運(yùn)行程序ex807.m，得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)h(9)=－1.272172e－002=h(48)

h(10)=－1.139736e－002=h(47)

h(11)=－5.945673e－003=h(46)

h(12)=2.482502e－003=h(45)

h(13)=1.155711e－002=h(44)

h(14)=1.836975e－002=h(43)

h(15)=2.020830e－002=h(42)

h(16)=1.549946e