科目：矩陣理論及其應(yīng)用教師：學(xué)號：類別：姓名：專業(yè)：機械設(shè)計及理論上課時間：2013年2月至2013年5月考生成績：閱卷評語：閱卷教師(簽名)利用矩陣論相關(guān)知識求解傳動軸固有頻率的有限元分析法摘要：在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，求解結(jié)構(gòu)自由振動的固有頻率是十分重要的內(nèi)容。本文通過對某機器傳動軸各個單元進行單元剛度矩陣、單元質(zhì)量矩陣等特性分析，再把各個單元的特性矩陣組集起來組成結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣，從而形成結(jié)構(gòu)的自由振動方程式。最后利用矩陣論相關(guān)知識求解自由振動方程式的廣義特征值，并通過廣義特征值與固有頻率的關(guān)系求得傳動軸的固有頻率。正文一、問題描述已知某機器傳動軸兩端固定，其傳動軸受扭長度為1500mm，傳動軸的橫截為50mm，內(nèi)徑d為45mmE為/N2利5用矩陣論及有限元分析法求解傳動軸的固有頻率。二、方法簡述1.建立傳動軸的有限元分析模型由于傳動軸兩端固定，采用平面梁單元分析該傳動軸?？紤]到本次計算是手算，為了簡化計算，將該傳動軸劃分為（12123三個結(jié)點。由于該結(jié)構(gòu)中一個結(jié)點有兩個自由度，故總共有1、2、3、4、5、6六個自由度。建立有限元分析模型及各個部分編號如圖1所示。圖1傳動軸有限元分析模型2.平面梁單元的單元剛度矩陣[1]中形狀函數(shù)的構(gòu)造方法可知，對于該結(jié)構(gòu)的平面梁單元，它有兩個節(jié)點，四個自由度，采用自然坐標系，通過構(gòu)造計算可得單元的形函數(shù)為N(N)()()()NNNjviivj(3)()32)(2)（1）2323233x其中,為結(jié)點編號，v為結(jié)點位移，為結(jié)點轉(zhuǎn)角，，為梁單元的長度。ijll平面梁單元的單元剛度矩陣kEIBBdx（2）Tl其中E為彈性模量，為慣性矩。d2N而B，通過對形狀函數(shù)（1）式求兩次導(dǎo)數(shù)得2BBBBB12346x4x6x2(12)(6(12)(ll6)（3）（4）ll3llll32顯然，也是x的函數(shù)對（2）式所有項積分得平面梁單元的單元剛度矩陣lllllll322k66llllll22故kkk。(1)(2)3.平面梁單元的單元質(zhì)量矩陣由（1）式我們得到了平面梁單元的形狀函數(shù)，而單元質(zhì)量矩陣公式為NNdVAlNNdm1（5）TTV0其中梁單元密度，為梁單元的橫截面積。將形狀函數(shù)（1）式代入（5）式，對所有項積分得llllll22m（6）llllll22故mmm。(1)(2)4.傳動軸總剛度矩陣按照有限元分析法中總體剛度矩陣組集的疊加方法，將兩個單元剛度矩陣疊加后即可得到總剛度矩陣。由于該結(jié)構(gòu)有1、2、3、4、5、6共六個自由度，故總剛度矩陣是六階方陣。而k由1、2、3、4號自由度組成，k由3、4、5、6號自由度組成，故疊加時應(yīng)自由度對號入座相互疊加。疊加所得總剛度矩陣為12345612llllll0000223l0lK（7）456ll0llll3222000llllll0225.傳動軸總質(zhì)量矩陣按照有限元分析法中總質(zhì)量矩陣組集的疊加方法，將兩個單元質(zhì)量矩陣疊加后得到總質(zhì)量矩陣，疊加方式與獲取總剛度矩陣疊加方式一樣，自由度對號入座相互疊加。故可得到總質(zhì)量矩陣為ll0000llll22l00lM（8）3lllll222000ll0llll226.振幅列陣因為傳動軸總共有三個結(jié)點，結(jié)點處有1、2、3、4、5、6六個自由度，分別是v,,v,,v,，故可以得到振幅列陣為1z12z23z3v1z1vq（9）2z2v3z37.傳動軸自由振動方程式在有限元分析中，結(jié)構(gòu)自由振動的方程式推導(dǎo)為2（10）由于支撐條件給出了vv0，故在總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣、振幅列1z13z3陣中應(yīng)刪掉v,,v,所對應(yīng)的行和列，也就是自由度1、2、5、6所對應(yīng)的行和1z13z3列。這樣，我們就得到了簡化的自由振動方程式240vAl3120vEI（）2220l4200ll322z2z2那么00vK，M，。q20l0ll322z28.利用矩陣論相關(guān)知識求解固有頻率令2，則自由振動方程式變?yōu)椋?2）這就是矩陣論中求解某矩陣相對于另一矩陣的廣義特征值問題。我們利用矩陣論中廣義特征值的求法求?？紤]到0M08l2是對陣正定矩陣，則其逆矩陣M一定存在，將（12）式做如下變換：11M1(M)q(MM)qqM那么我們就得到M1q（13）令PMK1則（13）式又變形為q（14）對于（14）式來說，在矩陣論中相對于求P矩陣的特征值問題。31201240EIAlPM1K4200l0l2l3210014下面計算P矩陣的特征值：0134204()0PE134404求解得420131442024由特征值與頻率之間的關(guān)系，便可以求得固有頻率：13lA11422lA242L由于l，將其代入，得21222.73A12A22以上便是利用矩陣論求解固有頻率的方法。三、實驗數(shù)據(jù)和結(jié)果該實驗已知數(shù)據(jù)如下表所示：傳動軸的材料5傳動軸材料密度g/3計算傳動軸橫截面積：A1414(D2d)2(0.05)m23.732mA242計算傳動軸的慣性矩：I11(D4d)4(0.05)44mI74則傳動軸的頻率為：22.7322.73(2.110)(1.05510)117878.8(7.8510)(3.7310)A1.521L23481.976EI81.976(2.110)(1.05510)7HZ3169.21HZA1.52(7.8510)(3.7310)3422四、結(jié)果分析與說明由以上有限元分析法與矩陣論相關(guān)知識求得的傳動軸頻率為878.98，1。而在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，利用一般公式求得的頻率精確值為2865.13'1L2AA。'2L2那么前者相對誤差為'111'1'22'22由誤差分析知，當將傳動軸劃分為兩個單元來求解頻率時，其一階頻率與精確值已經(jīng)比較接近，但二階頻率誤差較大，但是若繼續(xù)增加單元數(shù)量，利用