第12講破解離心率問題之內(nèi)切圓問題參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，△的內(nèi)切圓的圓心為，且，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：過點作的垂線，垂足為，，設(shè)圓與軸切于點，，則，，即，則，與雙曲線的右頂點重合，則，解得，，故離心率為：．故選：．2．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為1，則雙曲線的離心率是A． B． C． D．2【解答】解：，的內(nèi)切圓半徑為1，在直角三角形中，，可得，由雙曲線的定義可得，，，由圖形的對稱性知：，．，，．故選：．3．橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，△的重心為．若△的內(nèi)切圓的直徑等于，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：因為△的重心為，所以在上且，是△邊上的高，是△的內(nèi)切圓的半徑，，所以，，所以，所以，所以離心率為，故選：．4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，是雙曲線右支上兩點，且，設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，△的內(nèi)切圓圓心為，直線與線段交于點，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如右圖所示：由題意知為的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得，因為，所以，由雙曲線的定義得，因此，，因為，所以，，由雙曲線的定義得，由勾股定理逆定理可得，由在△中，，即，所以，．故選：．5．設(shè)橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若△的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：橢圓的焦點為，，，根據(jù)正弦定理可得，，．設(shè)，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選：．6．已知點是橢圓上一點，點、是橢圓的左、右焦點，若△的內(nèi)切圓半徑的最大值為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，而，所以，所以，由題意可得，即，所以，可得，即，可得離心率，故選：．7．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于、兩點在第一象限），若△與△內(nèi)切圓半徑之比為，則雙曲線離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：如圖，由題意設(shè)△與△內(nèi)切圓圓心分別為，，對應(yīng)的切點分別是，，，，，則，，，，所以，而，故，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則，，所以，，由題意，可得，化弦后整理得，結(jié)合，得，所以，則要使直線與雙曲線右支交于兩點，只需漸近線斜率滿足，所以，故即為所求．故選：．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點，若△的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．3【解答】解：設(shè)雙曲線的左、右焦點，，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程，聯(lián)立雙曲線，可得，，設(shè)，，由三角形的面積的等積法可得，，化簡可得①，由雙曲線的定義可得②，在三角形中，，為直線的傾斜角），由，，可得，可得③，由①②③化簡可得，，所以（舍，，所以離心率，故選：．9．已知雙曲線，點是該雙曲線右支上的一點．點，分別為左、右焦點，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為A． B．3 C． D．【解答】解：由雙曲線的方程知，，，設(shè)內(nèi)切圓與，分別相切于點，，，，由內(nèi)切圓的性質(zhì)知，，，由對稱性知，，，由雙曲線的定義知，，，離心率．故選：．10．設(shè)橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若△的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：橢圓的焦點為，，，根據(jù)正弦定理可得，，．設(shè)，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選：．11．過雙曲線的右焦點的直線在第一、第四象限交兩漸近線分別于，兩點，且，為坐標(biāo)原點，若內(nèi)切圓的半徑為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則在軸上，過點分別作于，于，由得，四邊形為正方形，焦點到漸近線的距離，又，，，，，離心率．故選：．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，△的內(nèi)切圓的圓心為，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)圓與軸切于點，，則，，即，則，又，且，，得，又，聯(lián)立解得，，雙曲線的離心率為．故選：．13．已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若△的內(nèi)切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意，，所以，即，在三角形中，，解得，則，又由三角形的內(nèi)切圓半徑為，由等面積法可得，則，由已知可得，所以，整理可得，解得或（舍去），所以橢圓的離心率，故選：．14．已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，點是右支上的一點．直線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為A． B．3 C． D．【解答】解：雙曲線的，設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點為，在邊上的切點為，如圖可設(shè)，，，，由雙曲線的定義可得，即有，所以．故選：．15．已知點，是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，經(jīng)過點與△的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點，且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】：△內(nèi)切圓的圓心，則是三角形的角平分線的交點，由角平分線定理可得，所以離心率，故選：．16．點是雙曲線右支上的一點，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是△的內(nèi)切圓圓心，記，，△的面積分別為，，，若恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為A．， B．， C．， D．【解答】解：設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，所以，所以，故選：．17．點是雙曲線右支上的一點，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是△的內(nèi)切圓圓心，記，，△的面積分別為，，，若恒成立，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．3【解答】解：設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，所以，所以，故選：．18．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線上的一點，若，且△外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【解答】解：設(shè)△外接圓半徑為，內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)，，則，，，又，即，即，又，得，即，△的面積，即，，，即，平方得，即，即，，即，得，得，得，即，故選：．19．已知橢圓的左、右焦點分別為，，若上存在一點，使得，且△內(nèi)切圓的半徑大于，則的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，△內(nèi)切圓的半徑為，因為，所以在三角形中，由余弦定理可得：，則，由等面積法可得，整理得，故，又，則，從而，故選：．20．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上一點，，△的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為，，若，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則．因為，所以，則，則．由等面積法可得，整理得，因為，所以，故．故選：．二．多選題（共2小題）21．過雙曲線的右焦點作直線，直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點，在軸同側(cè)）．設(shè)為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有A． B．若雙曲線的一條漸近線的斜率為，則雙曲線的離心率等于2 C．若，則雙曲線的一條漸近線的斜率為 D．若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率等于【解答】解：由題意如圖所示：設(shè)，因為，可得，，所以，所以正確；中，由雙曲線的一條漸近線的斜率為，即，所以離心率，所以不正確；中，由題意可得，所以可得，則，可得，而直線的方程為與漸近線聯(lián)立可得，，所以，可得，，整理可得：，解得或，所以不正確；中，若，在軸同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限．如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，過點分別作于，于，由得四邊形為正方形，由焦點到漸近線的距離為得，又，所以，又，所以，所以，從而可得，故正確；故選：．22．已知雙曲線的左．右焦點分別為，，過的直線與雙曲線交于，兩點，在第一象限，若為等邊三角形，則下列結(jié)論一定正確的是A．雙曲線的離心率為 B．△的面積為 C．△內(nèi)切圓半徑為 D．△的內(nèi)心在直線上【解答】解：對于，設(shè)△的內(nèi)心為，過作，，的垂線，垂足分別為，，，如圖：則，所以，則△的內(nèi)心在直線上，故正確；因為為等邊三角形，當(dāng)，都在同一支上時，則垂直于軸，可得，由題意可得，又，，所以可得，，解得：；△的面積，設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則由等面積法可得，；當(dāng)，都在雙曲線的左，右兩支上時，設(shè)，，由雙曲線的定義可知，得，在△中由余弦定理，，得，△的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故錯誤；而不論什么情況下△的面積為，故正確．故選：．三．填空題（共16小題）23．橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓于、兩點，、兩點的坐標(biāo)分別為，，，，若，且內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為．【解答】解：（1）由性質(zhì)可知△的周長為，內(nèi)切圓半徑為1，則，又，可得，即．故答案為：．24．雙曲線的離心率是，點，是該雙曲線的兩焦點，在雙曲線上，且軸，則△的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比．【解答】解：由，得，則，設(shè)，，，，因為軸，所以，所以，所以△的內(nèi)切圓半徑為，△的外接圓半徑為，所以△的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比．故答案為：．25．過雙曲線右焦點作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點．已知為坐標(biāo)原點，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為或2．【解答】解：（1）若，在軸同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限．如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，過點分別作于，于，由得四邊形為正方形，由焦點到漸近線的距離為得，又，所以，又，所以，所以，從而可得；（2）若，在軸異側(cè)，不妨設(shè)在第一象限如圖，易知，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以，又因為，所以，，所以，，則，從而可得．綜上，雙曲線的離心率為或2．故答案為：2或．26．已知點是橢圓上一點，點、是橢圓的左、右焦點，若△的內(nèi)切圓半徑的最大值為，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即的最大值為，由題意可得，所以可知，即，可得所以橢圓的離心率故答案為：．27．已知點、是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，經(jīng)過點與△的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點，且，，則該橢圓的離心率取值范圍為，．【解答】解：△內(nèi)切圓的圓心，則是三角形的角平分線的交點，由角平分線定理可得，即，因為，所以，故答案為：，．28．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，為橢圓上的一點，與橢圓交于．若△的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與切于，則橢圓的離心率為．【解答】解：為的中點，，△的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與切于，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，為橢圓上的一點，，，，，設(shè)△的內(nèi)切圓與切于，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，與橢圓交于，，，為切點，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，，△為等邊三角形，，．故答案為：．29．如圖，焦點在軸上的橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線與軸的正半軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則該橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，、與圓的切點分別為、，連結(jié)、、，由題意得，，，，則，所以，故答案為：．30．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為、與軸垂直的直線經(jīng)過，交于、兩點．記．若內(nèi)切圓的半徑為，則的離心率為．【解答】解：不妨設(shè)在第一象限，則直線方程為，把代入可得，故，．若內(nèi)切圓的半徑為，可得，，可得橢圓的離心率．故答案為：．31．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，直線過點與軸交于點，與雙曲線的右支交于點，的內(nèi)切圓與邊切于點，若，則雙曲線的離心率為．【解答】解：根據(jù)題意畫圖：設(shè)，分別為內(nèi)切圓與，的切點，故，，，根據(jù)雙曲線的定義，又，所以，又因為，所以，所以，故答案為：．32．橢圓短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形．若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為．【解答】解：由橢圓短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成的三角形面積，該三角形的周長為，由題意得，即，所以．故答案為：．33．已知點為雙曲線的左焦點，為該雙曲線漸近線在第一象限內(nèi)的點，過原點作的垂線交于點，若恰為線段的中點，且的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)，，由題意知，點在漸近線上，點在漸近線上，，，，，為線段的中點，且，，解得，，，，的內(nèi)切圓半徑為，，即，化簡得，，離心率．故答案為：．34．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線分別交于，兩點，是坐標(biāo)原點．若的內(nèi)切圓的周長為，則內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為，，雙曲線的離心率為．【解答】解：由拋物線的方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由雙曲線的方程可得雙曲線的漸近線方程為，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以圓心坐標(biāo)為，，且圓心到直線的距離為，解得，所以，則雙曲線的離心率為，故答案為：，．35．已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若△的內(nèi)切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為．【解答】解：由題意，，，即，在△中，，可得，得，又△的內(nèi)切圓的半徑，由等面積法可得：，則，由已知，可得，則，結(jié)合正弦定理可得，，整理可得，解得或（舍．故答案為：．36．如圖，已知為雙曲線的右焦點，過點的直線交兩漸近線于，兩點．若，內(nèi)切圓的半徑，則雙曲線的離心率為．【解答】解：過作垂直漸近線于，則，，，，在中，由余弦定理知，，即，解得，設(shè)的內(nèi)心為，作于，則，，，，，即，．故答案為：．37．點