參考書(shū)：量子力學(xué)概論賈瑜譯本D.J.Griffith,IntroductiontoQuantumMechanics,機(jī)械工業(yè)出版社參考書(shū)：量子力學(xué)概論賈瑜譯本

第1章波函數(shù)

§1Schr?dinger方程§2波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋§3概率§4歸一化§5動(dòng)量§6不確定原理第1章波函數(shù)§1Schr?dinger§1Schr?dinger方程

宏觀(guān)物體，經(jīng)典力學(xué)：（1）求出任意時(shí)刻物體的位置

（2）求出速度，動(dòng)量，動(dòng)能等等，方法:

牛頓方程,

初始條件

微觀(guān)粒子,量子力學(xué):

求出粒子的波函數(shù)方法:

薛定諤方程初始條件普朗克(Planck)常數(shù)經(jīng)典物理描述物體運(yùn)動(dòng)的范式和途徑：§1Schr?dinger方程宏觀(guān)物體，經(jīng)典力學(xué)：微§2波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

波函數(shù)的物理意義

波恩（Born）的統(tǒng)計(jì)詮釋:

=t時(shí)刻,x點(diǎn)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)這個(gè)粒子的概率.

（機(jī)率密度）

t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子在區(qū)間內(nèi)的概率.

微觀(guān)粒子的不確定性

波函數(shù)給出的是粒子位置的統(tǒng)計(jì)信息,不能預(yù)言某一時(shí)刻粒子在哪個(gè)位置.

實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行一次測(cè)量,所得結(jié)果是粒子在某一確定位置,比如c點(diǎn).緊接著第一次測(cè)量進(jìn)行第二次測(cè)量，發(fā)現(xiàn)粒子仍在c點(diǎn)。另一個(gè)實(shí)驗(yàn)，對(duì)同樣的體系、同樣的狀態(tài)進(jìn)行同樣的測(cè)量，所得結(jié)果可能不同，比如A點(diǎn)?！?波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋波函數(shù)的物理意義t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子在(在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子處于a和b之間的概率)(在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子處于a和b之間的概率)這種不確定性是事物的本質(zhì)，還是理論的缺陷？問(wèn)題：在測(cè)量之前的瞬間，粒子在哪里？三種學(xué)派：

1、現(xiàn)實(shí)主義學(xué)派：粒子還是在c點(diǎn)。以愛(ài)因斯坦（Einstein）為代表?！傲Ｗ拥奈恢脧膩?lái)就不是不可確定的，而僅是試驗(yàn)者不知道而已?！绷孔恿W(xué)是一個(gè)不完備的理論。

2、正統(tǒng)學(xué)派：粒子哪也不在。以波爾（Bohr）為代表?！坝^(guān)測(cè)者不僅擾動(dòng)了被觀(guān)測(cè)量，強(qiáng)迫(粒子)出現(xiàn)在特定的位置.”

測(cè)量的作用將非常獨(dú)特對(duì)其爭(zhēng)論了半個(gè)世紀(jì)但少有進(jìn)展。

3、不可知論學(xué)派：拒絕回答。回答是否正確的唯一途徑是進(jìn)行一個(gè)精確的測(cè)量，對(duì)測(cè)量前粒子的狀態(tài)進(jìn)行論斷沒(méi)有什么意義？

現(xiàn)在定論：正統(tǒng)觀(guān)點(diǎn)（實(shí)驗(yàn)證實(shí)）。一個(gè)粒子在測(cè)量前沒(méi)有一個(gè)確定的位置，是測(cè)量的過(guò)程給出了一個(gè)具體數(shù)量。這種不確定性是事物的本質(zhì)，還是理論的缺陷？波函數(shù)的坍塌:在測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子處于

C點(diǎn)后瞬時(shí)的

圖形波函數(shù)的坍塌:在測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子處于C點(diǎn)后瞬時(shí)的圖形

微觀(guān)粒子的基本屬性–光波粒二象性光:1）是電磁波,具有干涉、衍射現(xiàn)象，波動(dòng)光學(xué)。

2）是粒子，稱(chēng)為光子(Einstein的光量子論，光電效應(yīng)，

Compton散射實(shí)驗(yàn))。電子：1）是粒子，有質(zhì)量、電荷，有顆粒性。

2）是波(deBroglie假設(shè)，Davisson和Germer電子衍射實(shí)驗(yàn))。經(jīng)典粒子概念：1）有一定質(zhì)量、電荷等，和“顆粒性”的屬性;2）有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有確定的位置和速度。經(jīng)典波概念：1）實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2）干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。微觀(guān)粒子的基本屬性–光波粒二象性光:1）是電磁波,具1、電子衍射實(shí)驗(yàn)

1.

入射電子流強(qiáng)度小，電子一個(gè)一個(gè)發(fā)射，開(kāi)始顯示電子的微粒性,長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;2.入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣電子源接收屏OPPQQO微觀(guān)粒子究竟是粒子還是波呢？粒電子既有子性又有波動(dòng)性1、電子衍射實(shí)驗(yàn)1.入射電子流強(qiáng)度小，電子一個(gè)一個(gè)發(fā)2、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)PS1S2電子源感光屏實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1）在計(jì)數(shù)器上接收的電子是一個(gè)一個(gè)的，電子槍發(fā)出一個(gè)電子，接收器上從來(lái)沒(méi)有在兩個(gè)以上地方同時(shí)接收到電子的一部分。電子表現(xiàn)出“粒子性”。

2）電子表現(xiàn)出的干涉是自己與自己的干涉，不是不同電子之間的干涉，“波動(dòng)性”是單個(gè)電子的行為。問(wèn)題：一個(gè)電子怎樣通過(guò)雙縫產(chǎn)生干涉現(xiàn)象呢？結(jié)論：微觀(guān)粒子與物質(zhì)相互作用時(shí)，表現(xiàn)粒子性；運(yùn)動(dòng)過(guò)程中體現(xiàn)波動(dòng)性。2、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)PS1S2電子源感光屏實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：?jiǎn)栴}

§

3概率假設(shè)一個(gè)屋子中有14個(gè)人，他們的年齡分布為：

14歲1人，

15歲1人，

16歲3人，

22歲2人，

24歲2人，

25歲5人.

表示年齡為j的人數(shù)，則

§3概率假設(shè)一個(gè)屋子中有14個(gè)人，他們的年齡分布為：屋子中的總?cè)藬?shù)為

如果P(j)是選出年齡為j的概率,則如果不限定選出人的年齡,所有概率之和為1屋子中的總?cè)藬?shù)為如果P(j)是選出年齡為j的概率,則如果不最可幾（或最概然）年齡是那個(gè)年齡?中值年齡是多大?平均年齡是多大?在量子力學(xué)中平均值又被稱(chēng)為期待值。年齡平方的平均是多少？注意：一般情況下平方的平均是不等于平均的平方的。最可幾（或最概然）年齡是那個(gè)年齡?中值年齡是多大?平均年齡是普遍地,可以給出j的函數(shù)的平均值

顯然，兩個(gè)圖具有同樣的中值、平均值、最可幾值和同等數(shù)目的元素，如何表示出分布對(duì)平均值“彌散”程度的不同？普遍地,可以給出j的函數(shù)的平均值顯然，兩個(gè)分布方差稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。它是對(duì)平均值偏差平方的平均的平方根，簡(jiǎn)稱(chēng)方均根。僅對(duì)沒(méi)有彌散的分布分布方差稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。它是對(duì)平均值偏差平方的平均的平方根，簡(jiǎn)稱(chēng)量子力學(xué)課件1-2章-波函數(shù)-定態(tài)薛定諤方程以上結(jié)果屬于分立變量的情況，可以非常簡(jiǎn)單地推廣到連續(xù)的分布：以上結(jié)果屬于分立變量的情況，可以非常簡(jiǎn)單地推廣到連續(xù)的分布：§4歸一化概率解釋的要求:在任一時(shí)刻,粒子一定在空間某處。和量子力學(xué)本身無(wú)關(guān)；波函數(shù)歸一化如何與薛定諤方程協(xié)調(diào)?

波函數(shù)是由薛定諤方程所決定,而波函數(shù)歸一化是概率解釋強(qiáng)加的,二者是否協(xié)調(diào).

如果是薛定諤方程的解,那么也是薛定諤方程的解,這里是一個(gè)任意的(復(fù))常數(shù)。所以通過(guò)選擇這個(gè)乘子使薛定諤方程的解滿(mǎn)足歸一化條件。§4歸一化概率解釋的要求:在任一時(shí)刻,粒子一定在空間某處假定在時(shí)刻波函數(shù)歸一化,隨時(shí)間演化時(shí)它能否保持歸一化？答案：薛定諤方程自動(dòng)保持波函數(shù)的歸一化.證明:假定在時(shí)刻波函數(shù)歸一化,隨時(shí)間演化時(shí)它能否保持歸§5動(dòng)量

對(duì)處于態(tài)的一個(gè)粒子，其的期待值(平均值)是期待值:對(duì)含有相同體系的一個(gè)系綜中所有體系,同時(shí)進(jìn)行測(cè)量的平均值,而不是對(duì)同一個(gè)體系的重復(fù)測(cè)量的平均值。當(dāng)時(shí)間演化時(shí),將發(fā)生變化,如果粒子沒(méi)有一個(gè)確定的位置(在測(cè)量之前)，那么也沒(méi)有確定的速度。假如知道了粒子的波函數(shù),我們還可以做什么?

粒子的平均位置:

粒子的平均速度:分部積分得到：§5動(dòng)量對(duì)處于態(tài)的一個(gè)粒子，其的期待值(平均值

動(dòng)量的平均值:粒子位置和動(dòng)量的平均值公式可寫(xiě)成統(tǒng)一的形式:量子力學(xué)中用算符“表示”位置，用算符“表示”動(dòng)量.動(dòng)量的平均值:粒子位置和動(dòng)量的平均值公幾個(gè)常用力學(xué)量的算符表示形式坐標(biāo)算符：動(dòng)量算符：動(dòng)能算符：哈密頓算符：經(jīng)典力學(xué)的力學(xué)量對(duì)應(yīng)量子力學(xué)的算符：對(duì)應(yīng)關(guān)系??！角動(dòng)量算符：幾個(gè)常用力學(xué)量的算符表示形式坐標(biāo)算符：動(dòng)量算符：動(dòng)能算符：哈

力學(xué)量平均值的一般公式所有經(jīng)典力學(xué)量都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù).任一力學(xué)量的平均值:如動(dòng)能:力學(xué)量平均值的一般公式所有經(jīng)典力學(xué)量都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù).§6不確定原理握著一根長(zhǎng)繩的一端，有節(jié)奏地上下擺動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)波:突然抖動(dòng)一下繩子,可以得到一個(gè)沿繩子傳播的孤峰:問(wèn)題:(1)波在哪里?(2)波長(zhǎng)是多少?第一種情況:問(wèn)題(1)無(wú)法回答,波分布在一定的空間范圍內(nèi);

問(wèn)題(2)可以準(zhǔn)確回答。第二種情況:問(wèn)題(1)可以回答;

問(wèn)題(2)無(wú)法回答,它沒(méi)有明確的周期。結(jié)論：任何波動(dòng)現(xiàn)象，波的位置越精確，波長(zhǎng)就越不精確，反之亦然?！?不確定原理握著一根長(zhǎng)繩的一端，有節(jié)奏地上下擺動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)海森伯(Heisenberg)不確定原理

量子力學(xué)中，微觀(guān)粒子有波動(dòng)性，狀態(tài)用波函數(shù)描述，粒子的位置與波函數(shù)的波長(zhǎng)有同樣的“排斥性”。按照德布羅意（deBroglie）公式，粒子的動(dòng)量與波長(zhǎng)的關(guān)系為：所以，波長(zhǎng)的彌散對(duì)應(yīng)動(dòng)量的彌散。粒子的位置越精確,它的動(dòng)量就越不精確。定量上有

是的標(biāo)準(zhǔn)差,是的標(biāo)準(zhǔn)差。也稱(chēng)為粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定?；蛘哒f(shuō)不存在粒子的位置和動(dòng)量同時(shí)取確定值的狀態(tài)。

測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是一個(gè)基本規(guī)律，它是微觀(guān)粒子波粒二象性的反映。由此可知，經(jīng)典的軌道概念將不復(fù)存在，用描述狀態(tài)的方式失效。海森伯(Heisenberg)不確定原理量子力學(xué)中小結(jié)1、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)方程：薛定諤方程2、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：用波函數(shù)描述3、波函數(shù)的物理意義：波恩（Born）的統(tǒng)計(jì)詮釋4、波函數(shù)的歸一化5、力學(xué)量平均值、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算6、海森伯(Heisenberg)不確定原理、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

研究報(bào)告：量子力學(xué)的測(cè)量問(wèn)題？測(cè)量對(duì)波函數(shù)有何影響？參考書(shū)：玻姆,《量子理論原理》小結(jié)1、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)方程：薛定諤方程研究報(bào)告：量子力學(xué)的測(cè)習(xí)題：1.41.9習(xí)題：1.41.9第二章定態(tài)Schr?dinger方程§1.定態(tài)§2.一維無(wú)限深方勢(shì)阱§3.諧振子

§4.自由粒子§5.函數(shù)勢(shì)§6.有限深方勢(shì)阱第二章定態(tài)Schr?dinger方程§1.定態(tài)§1.定態(tài)

定態(tài)定態(tài)Schr?dinger方程一個(gè)質(zhì)量為m的粒子,在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為:給定初始條件,邊界條件,如何求出任意時(shí)刻的波函數(shù)?問(wèn)題:假設(shè)勢(shì)場(chǎng)不隨時(shí)間變化,用分離變量法找一類(lèi)特殊解:代入薛定諤方程,得預(yù)備問(wèn)題：勢(shì)和能§1.定態(tài)定態(tài)定態(tài)Schr?dinger方程一個(gè)兩邊同時(shí)除以得到兩個(gè)方程:定態(tài)Schr?dinger方程定態(tài)(stationarystates)

:兩邊同時(shí)除以得到兩個(gè)方程:定態(tài)Schr?dinge2任何動(dòng)力學(xué)變量的平均值不隨時(shí)間變化3它們是具有確定總能量的態(tài)定態(tài)的性質(zhì):1概率密度不隨時(shí)間變化2任何動(dòng)力學(xué)變量的平均值不隨時(shí)間變化3它們是具有確定總3它們是具有確定總能量的態(tài)粒子的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）稱(chēng)為哈密頓量（Hamiltonian）：對(duì)應(yīng)的哈密頓算符（通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的的替換規(guī)則）：定態(tài)薛定諤方程可以寫(xiě)為哈密頓算符的本征方程3它們是具有確定總能量的態(tài)粒子的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）稱(chēng)為總能量的平均值是

的標(biāo)準(zhǔn)差：總能量的每次測(cè)量結(jié)果是確定的值（分布沒(méi)有彌散）

。所以是具有確定總能量的態(tài)總能量的平均值是的標(biāo)準(zhǔn)差：總能量的每次測(cè)量結(jié)果

含時(shí)Schr?dinger方程的一般解

求解定態(tài)薛定諤方程,一般會(huì)得到一個(gè)無(wú)限解集，每個(gè)解有對(duì)應(yīng)的能量,對(duì)應(yīng)每個(gè)允許的能量有不同的定態(tài)波函數(shù)：

含時(shí)薛定諤方程的一般解可表示為:常數(shù)由初始條件決定:一般解是分離變量解的線(xiàn)性組合含時(shí)Schr?dinger方程的一般解求解例題2.1假設(shè)一個(gè)粒子的初始狀態(tài)是兩個(gè)定態(tài)的線(xiàn)性疊加：(假設(shè)常數(shù)和是實(shí)數(shù)）那么任意時(shí)刻的波函數(shù)是什么？求出概率密度并描述其運(yùn)動(dòng)形式。解:其中是相應(yīng)的能量。粒子的空間概率密度：概率密度以余弦形式振動(dòng)，角頻率是。例題2.1假設(shè)一個(gè)粒子的初始狀態(tài)是兩個(gè)定態(tài)的線(xiàn)性疊加：處理定態(tài)問(wèn)題的一般方法(1)根據(jù)體系的物理?xiàng)l件，寫(xiě)出勢(shì)能函數(shù)，進(jìn)而寫(xiě)出體系的哈密頓算符和定態(tài)薛定諤方程；(2)解定態(tài)薛定諤方程。確定能量本征值和能量算符的本征函數(shù)；(3)由可以寫(xiě)出概率密度的表達(dá)式，可分別描繪出波函數(shù)和概率密度分布等相應(yīng)圖形，由圖形討論其分布特點(diǎn)；(4)通過(guò)波函數(shù)可求出不同力學(xué)量的期待值，了解體系的性質(zhì)；(5)聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用所得結(jié)果。處理定態(tài)問(wèn)題的一般方法(1)根據(jù)體系的物理?xiàng)l件，寫(xiě)出勢(shì)能函（1）列出各區(qū)域的定態(tài)Schr?dinger方程0axV(x)IIIIII§2.一維無(wú)限深方勢(shì)阱一個(gè)質(zhì)量m為的粒子在0和a之間運(yùn)動(dòng)。

粒子可能的定態(tài)（1）列出各區(qū)域的定態(tài)Schr?dinger方程（2）解方程通解：

的邊界條件是什么？一般來(lái)說(shuō)，和都是連續(xù)的，但是，當(dāng)勢(shì)函數(shù)是無(wú)窮大，只能用第一個(gè)邊界條件。

的連續(xù)性要求：在處的邊界條件沒(méi)有確定常數(shù)A，卻確定了常數(shù)（2）解方程通解：的邊界條件是什么？一般來(lái)說(shuō)，和由此，得到的可能值是：與經(jīng)典情況完全不同，一個(gè)微觀(guān)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其能量不能是任意的，它只是這些特殊的許可值。（4）確定歸一化系數(shù)A的相位沒(méi)有任何意義，取其正實(shí)根:（5）定態(tài)Schr?dinger方程的解（6）粒子可能的定態(tài)由此，得到的可能值是：與經(jīng)典情況完全不同，一個(gè)討論：

1、解定態(tài)薛定諤方程得到一個(gè)無(wú)限的解集。前三個(gè)函數(shù)：

像在一個(gè)長(zhǎng)度為a的弦上的駐波,態(tài)粒子的能量最低，稱(chēng)為基態(tài)，其它態(tài)粒子的能量正比于，稱(chēng)為激發(fā)態(tài)。

2、函數(shù)的性質(zhì)（1）它們相對(duì)于勢(shì)阱的中心是奇偶交替的；（2）隨著能量的增加，態(tài)的節(jié)點(diǎn)（與x軸交點(diǎn)）數(shù)逐次增1；討論：像在一個(gè)長(zhǎng)度為a的弦上的駐波,態(tài)粒子(3)正交性,即證明：把正交性和歸一性寫(xiě)在一起：(3)正交性,即證明：把正交性和歸一性寫(xiě)在一起：（4）完備性，即任意一個(gè)函數(shù)，都可以用它們的線(xiàn)性迭加來(lái)表示：展開(kāi)系數(shù)可以用的正交歸一性得到：

含時(shí)薛定諤方程的解通解：用定態(tài)解線(xiàn)性迭加

迭加系數(shù)：由初始波函數(shù)確定：從而可計(jì)算任何時(shí)刻任何一個(gè)感興趣的力學(xué)量的平均值。（4）完備性，即任意一個(gè)函數(shù)，都可以用它們的線(xiàn)性迭

迭加系數(shù)的物理意義：是對(duì)能量的一次測(cè)量得到結(jié)果為的幾率。

得到所有能量可能值的幾率之和一定為1。證明：能量的期望值：按計(jì)算平均值的一般公式，有能量的平均值不依賴(lài)時(shí)間，這是能量守恒在量子力學(xué)中的體現(xiàn)。迭加系數(shù)的物理意義：是對(duì)能量的一次測(cè)量得作業(yè)習(xí)題：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小結(jié)：1、定態(tài)，定態(tài)的性質(zhì)2、定態(tài)薛定諤方程3、含時(shí)薛定諤方程的求解4、一維無(wú)限深方勢(shì)阱，定態(tài)薛定諤方程的求解作業(yè)習(xí)題：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小結(jié)§3諧振子

（一）引言 （1）諧振子 （2）為什么研究諧振子（二）代數(shù)法求解諧振子（三）冪級(jí)數(shù)法求解諧振子 （1）方程 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（四）例題§3諧振子（一）引言（一）引言（1）諧振子

量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢(shì)V=0點(diǎn)，則（一）引言（1）諧振子量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在（2）為什么研究線(xiàn)性諧振子

自然界廣泛存在簡(jiǎn)諧振動(dòng),在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都可分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)還可作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0

取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：

可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線(xiàn)性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。（2）為什么研究線(xiàn)性諧振子自然界廣泛存在簡(jiǎn)諧振動(dòng),在（二）代數(shù)法求解諧振子

諧振子的Hamilton算符：

定態(tài)薛定諤方程：

分解哈密頓算符：按照形式引入算符（二）代數(shù)法求解諧振子諧振子的Hamilton算符：

稱(chēng)為與的對(duì)易式

正則對(duì)易關(guān)系同樣可以驗(yàn)證：正則對(duì)易關(guān)系同樣可以驗(yàn)證：利用算符，定態(tài)薛定諤方程可表示為：

如果是能量為的解（即），則是能量為的解，是能量為的解。證明：利用算符，定態(tài)薛定諤方程可表示為：如果是

稱(chēng)為升降階算符諧振子的能態(tài)“梯子”

有一個(gè)最低的階梯（稱(chēng)為）使得

由此確定：歸一化，代入薛定諤方程以確定相應(yīng)的能量稱(chēng)為升降階算符諧振子的能態(tài)“梯子”有一個(gè)最低的

諧振子定態(tài)薛定諤方程的解:從諧振子的基態(tài)出發(fā)，反復(fù)應(yīng)用升階算符生成激發(fā)態(tài)。每一步增加能量。

確定歸一化常數(shù)：證明：正比于

證畢諧振子定態(tài)薛定諤方程的解:從諧振子的基態(tài)出發(fā)，反復(fù)應(yīng)用升階依此類(lèi)推，有諧振子的定態(tài)具有正交歸一化性質(zhì)：證明：依此類(lèi)推，有諧振子的定態(tài)具有正交歸一化性質(zhì)：證明：例題2.5求出諧振子第態(tài)勢(shì)能的平均值。解：利用升降階算符，勢(shì)能的期待值正好是總能量的一半。例題2.5求出諧振子第態(tài)勢(shì)能的平均值。解：利用作業(yè)習(xí)題：2.12，2.13,2.14,2.15,2.17作業(yè)習(xí)題：2.12，2.13,2.14,2.15（二）冪級(jí)數(shù)法解諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項(xiàng)式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（二）冪級(jí)數(shù)法解諧振子（1）方程的建立（1）方程的建立線(xiàn)性諧振子的Hamilton算符：定態(tài)Schr?dinger方程：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，引入無(wú)量綱變量ξ代替x，此式是一變系數(shù)二階常微分方程。（1）方程的建立線(xiàn)性諧振子的Hamilton算符：定態(tài)S（2）求通解為求解方程，先研究它的漸近行為，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2其解為：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.漸近解波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0，因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以可以令c1等于1。最后漸近波函數(shù)為：ξ2>>±1（2）求通解為求解方程，先研究它的漸近行為，其解為：ψ∞=H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證(ξ)→0。將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿(mǎn)足的方程：2.H(ξ)滿(mǎn)足的方程此方程稱(chēng)為Hermite方程。令H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即3.Hermite方程的級(jí)數(shù)解以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解，令：用k代替k’任何有理無(wú)奇異行為的函數(shù)都可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)3.Hermite方程的級(jí)數(shù)解以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解，令：用k由上式可以看出：

b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；

b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解。可分別令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).由bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式：只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHeven)exp[-ξ2/2]由上式可以看出：b0≠0,b1=0.→Heve（3）用標(biāo)準(zhǔn)條件定解(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞無(wú)窮級(jí)數(shù)H(ξ)的收斂性考察相鄰兩項(xiàng)之比：考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2]的展開(kāi)式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。單值性和連續(xù)性條件自然滿(mǎn)足，有限性條件需要進(jìn)行討論。

因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)，即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。（3）用標(biāo)準(zhǔn)條件定解(I)ξ=0(II)ξ→±∞所以，總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：

為了滿(mǎn)足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù)H(ξ)必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求H(ξ)從某一項(xiàng)（比如第n項(xiàng)）起以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即bn≠0,bn+2=0.由遞推關(guān)系結(jié)論

基于波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。所以，總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：為了滿(mǎn)足波函數(shù)有限性要（4）厄密多項(xiàng)式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n，其系數(shù)是2n。Hn(ξ)也可寫(xiě)成封閉形式：λ=2n+1

前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式：

H0=1；H2=4ξ2-2；H4=16ξ4-48ξ2+12

H1=2ξ；H3=8ξ3-12ξ；H5=32ξ5-160ξ3+120ξ

從有限性條件得到H(ξ)是多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱(chēng)為厄密多項(xiàng)式，記為Hn(ξ)，總波函數(shù)可表示為：（4）厄密多項(xiàng)式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系：

應(yīng)用實(shí)例例：已知H0=1,H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(x)的遞推關(guān)系：厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出應(yīng)（5）求歸一化常數(shù)

分步積分該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與exp[-ξ2]的乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項(xiàng)為零。繼續(xù)分步積分到底因?yàn)镠n的最高次項(xiàng)ξn的系數(shù)是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。則諧振子波函數(shù)為：（5）求歸一化常數(shù)分步積分該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與（6）討論3.對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的?；鶓B(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱(chēng)為零點(diǎn)能。1.上式表明，Hn(ξ)的最高次項(xiàng)是(2ξ)n。所以,

當(dāng)n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)；當(dāng)n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)。2.ψn具有n宇稱(chēng)

上式描寫(xiě)的諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱(chēng)由厄密多項(xiàng)式Hn(ξ)決定。（6）討論3.對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，n=0n=1n=24.波函數(shù)

量子情況與此不同,對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2

=N02exp[-ξ2](1)在ξ=0處找到粒子的幾率最大；

(2)在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零,與經(jīng)典情況完全不同。

以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn)(|αx|=1)處，其勢(shì)能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。-3-2-10123E0E1E2n=0n=1n=24.波函數(shù)量子情況與

分析波函數(shù)可知，，量子諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒(méi)有節(jié)點(diǎn)。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布

當(dāng)線(xiàn)性諧振子處在前幾個(gè)量子態(tài)時(shí),幾率分布與經(jīng)典情況差別很大。當(dāng)量子數(shù)增大時(shí)，相似性隨之增加。分析波函數(shù)可知，，量子諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)解：（1）三維諧振子Hamilton算符例1.求三維諧振子能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情況。解：例1.求三維諧振子能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情況。（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿(mǎn)足如下三個(gè)方程：因此，設(shè)能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫(xiě)成則必有：（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向（3）簡(jiǎn)并度

當(dāng)N確定后，能量本征值確定，但是對(duì)應(yīng)同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相應(yīng)于若干不同量子狀態(tài)，這稱(chēng)為簡(jiǎn)并。其簡(jiǎn)并度可決定如下：

當(dāng)n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了，不增加不同組合的數(shù)目。故對(duì)給定N，{n1,n2,n3}可能組合數(shù)即簡(jiǎn)并度為：（3）簡(jiǎn)并度當(dāng)N確定后，能量本征值確定，但是對(duì)應(yīng)解：Schr?dinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例2.荷電為q的諧振子，受到沿x向外電場(chǎng)的作用，其勢(shì)場(chǎng)為：（1）解題思路

勢(shì)V(x)是在諧振子勢(shì)上疊加上-qx項(xiàng)，該項(xiàng)是x的一次項(xiàng)，而振子勢(shì)是二次項(xiàng)。如果我們能把這樣的勢(shì)場(chǎng)重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線(xiàn)性諧振子的結(jié)果。解：求能量本征值和本征函數(shù)。例2.荷電為q的諧振子，受（2）改寫(xiě)V(x)（3）Hamilton算符進(jìn)行坐標(biāo)變換：則Hamilton量變?yōu)椋海?）改寫(xiě)V(x)（3）Hamilton算符進(jìn)行坐標(biāo)變換：（4）Schr?dinger方程該式是新坐標(biāo)下一維線(xiàn)性諧振子Schr?dinger方程，于是可以利用已有結(jié)果得：新坐標(biāo)下Schrodinger方程改寫(xiě)為：能量本征值：本征函數(shù)：（4）Schr?dinger方程該式是新坐標(biāo)下一維線(xiàn)性新坐標(biāo)§4.自由粒子定態(tài)薛定諤方程：一般解：沒(méi)有邊界條件去限制的取值（的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。加上標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間因子，，第一項(xiàng)代表一個(gè)向右轉(zhuǎn)播的波，而第二項(xiàng)代表一個(gè)向左的波(能量相同)?！?.自由粒子定態(tài)薛定諤方程：一般解：沒(méi)有邊界條件去限制可以寫(xiě)作：自由粒子的“定態(tài)”是傳播著的平面波；它們的波長(zhǎng)是。討論：1、波函數(shù)不能歸一化。

不代表一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)，不存在自由粒子的定態(tài)，或者說(shuō)，平面波描述的自由粒子的狀態(tài)，粒子在空間各個(gè)點(diǎn)的幾率是一樣的。這些波的速度：按照德布羅意公式,它們具有動(dòng)量如何解釋?zhuān)恳粋€(gè)動(dòng)能為的經(jīng)典自由粒子的速度:可以寫(xiě)作：自由粒子的“定態(tài)”是傳播著的平面波；它們的波長(zhǎng)是2、含時(shí)薛定鄂方程的一般解對(duì)適當(dāng)?shù)模@個(gè)波函數(shù)可以歸一化，稱(chēng)這樣的波為波包。

類(lèi)比動(dòng)量分布2、含時(shí)薛定鄂方程的一般解對(duì)適當(dāng)?shù)模@個(gè)波函數(shù)可以波包包含有速度的什么信息？

一個(gè)波包是正弦函數(shù)的迭加，其振幅由調(diào)制；在“包絡(luò)線(xiàn)”內(nèi)含有“波紋”。對(duì)應(yīng)粒子速度的不是個(gè)別波紋的速度（相速度），而是包絡(luò)線(xiàn)的速度（群速度）。波包包含有速度的什么信息？一個(gè)波包是正弦函數(shù)的迭加確定波包的群速度：

假定是在某個(gè)處的一個(gè)狹窄分布。做變量變換除了前面的一個(gè)相因子外，這個(gè)波包以速度運(yùn)動(dòng)：對(duì)比確定波包的群速度：假定是在某個(gè)處的波的相速度:自由粒子：群速度正好是相速度的2倍。與經(jīng)典粒子速度相匹配的是波包的群速度而不是定態(tài)的相速度。色散關(guān)系相速度群速度波的相速度:自由粒子：群速度正好是相速度的2倍。與經(jīng)典粒子例題2.6一個(gè)自由粒子初始時(shí)刻是局域在區(qū)間，然后在釋放,式中和是正的實(shí)數(shù)。求

解：(1)歸一化(2)方程的通解(3)由初始條件確定例題2.6一個(gè)自由粒子初始時(shí)刻是局域在取a=1取a=1討論:(1)a非常小的情況坐標(biāo)的彌散很小，動(dòng)量的彌散很大。（2）a非常大的情況有較確定的動(dòng)量，但是坐標(biāo)很不確定。討論:(1)a非常小的情況坐標(biāo)的彌散很小，動(dòng)量的（2）作業(yè)習(xí)題:2.21,2.22作業(yè)習(xí)題:2.21,2.22§5.函數(shù)勢(shì)

束縛態(tài)和散射態(tài)

經(jīng)典力學(xué)中，一維不含時(shí)的不同的勢(shì)，給出兩種非常不同的運(yùn)動(dòng)。（a）束縛態(tài)。（b）散射態(tài)。（c）一個(gè)經(jīng)典的束縛態(tài)，但是是量子的散射態(tài)?！?.函數(shù)勢(shì)束縛態(tài)和散射態(tài)經(jīng)典力學(xué)中，一維不含時(shí)（量子力學(xué)中，束縛態(tài)和散射態(tài)的條件：在“真實(shí)世界”大多數(shù)勢(shì)在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于零，在這種情況下條件可簡(jiǎn)化為：量子力學(xué)中，束縛態(tài)和散射態(tài)的條件：在“真實(shí)世界”大多數(shù)勢(shì)在無(wú)

函數(shù)性質(zhì)：定義：函數(shù)性質(zhì)：定義：

函數(shù)勢(shì)阱

為正常數(shù)。定態(tài)薛定鄂方程為：既存在束縛態(tài)，又存在散射態(tài)。1、束縛態(tài)在的區(qū)域，方程的一般解是當(dāng)時(shí)第一項(xiàng)趨于無(wú)限大，所以必須令函數(shù)勢(shì)阱為正常數(shù)。定態(tài)薛定鄂方程為：在區(qū)域，同樣為零，一般解的形式：當(dāng)時(shí)第二項(xiàng)趨于無(wú)限大，所以由邊界條件確定積分常數(shù)

應(yīng)滿(mǎn)足的標(biāo)準(zhǔn)邊界條件：由第一個(gè)邊界條件，得在區(qū)域，同樣為零，一般解第二個(gè)邊界條件的證明及應(yīng)用：對(duì)薛定鄂方程從到積分，然后取的極限應(yīng)用到函數(shù)勢(shì)阱，一般的，右邊的極限也是零，這就是為什么在通常情況下是連續(xù)的。但是，當(dāng)在邊界上是無(wú)窮大時(shí)，波函數(shù)的微分不再連續(xù)。第二個(gè)邊界條件的證明及應(yīng)用：對(duì)薛定鄂方程從到允許的能量值是最后,利用歸一化條件允許的能量值是最后,利用歸一化條件對(duì)函數(shù)勢(shì)阱，無(wú)論它的“強(qiáng)度”如何，僅有一個(gè)束縛態(tài)：對(duì)函數(shù)勢(shì)阱，無(wú)論它的“強(qiáng)度”如何，僅有一個(gè)束縛態(tài)導(dǎo)數(shù)為：2、散射態(tài)區(qū)域薛定鄂方程為一般解是區(qū)域

在處的連續(xù)性要求,得導(dǎo)數(shù)為：2、散射態(tài)區(qū)域薛定鄂方程為一般解是區(qū)域利用第二個(gè)邊界條件,得有5個(gè)未知數(shù),兩個(gè)方程,無(wú)法求解。分析一下解的性質(zhì)：如果把含時(shí)間的因子結(jié)合起來(lái)，解是向右傳播的平面波和向左傳播的平面波的迭加。在通常的散射實(shí)驗(yàn)中，粒子是由一個(gè)方向入射的比如說(shuō)，從左邊。在這種情況下，從右邊來(lái)的波的振幅將為零：

是入射波的振幅，是反射波的振幅，是透射波的振幅。利用第二個(gè)邊界條件,得有5個(gè)未知數(shù)由方程(1)和(2)可解得:在一個(gè)特定區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是，所以入射粒子將被反射回的相對(duì)幾率為-----反射系數(shù)透射幾率的相對(duì)幾率為-----透射系數(shù)這兩個(gè)幾率之和應(yīng)當(dāng)為1能量越高，透射幾率就越大。由方程(1)和(2)可解得:在一個(gè)特定區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是隧道效應(yīng)

考慮函數(shù)勢(shì)壘情況（1）不存在束縛態(tài)（2）散射態(tài)的求解過(guò)程與函數(shù)勢(shì)阱情況一樣，只需把前的-號(hào)變?yōu)?號(hào)。反射和透射系數(shù)僅依賴(lài)于,它們不改變。

在情況下，粒子也有越過(guò)勢(shì)壘的幾率。這種現(xiàn)象稱(chēng)為隧道效應(yīng)。即使，也存在粒子被反射的幾率。

隧道效應(yīng)是許多現(xiàn)代電子學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)隧道二極管、電子顯微鏡等。隧道效應(yīng)考慮函數(shù)勢(shì)壘情況（1）不存在束縛態(tài)反射和透作業(yè)習(xí)題：2.24，2.26,2.27作業(yè)習(xí)題：2.24，2.26,2.27§6.有限深方勢(shì)阱這個(gè)勢(shì)允許有束縛態(tài)和散射態(tài)。1、束縛態(tài)定態(tài)薛定鄂方程：區(qū)域：區(qū)域：區(qū)域：方程與區(qū)域相同?！?.有限深方勢(shì)阱這個(gè)勢(shì)允許有束縛態(tài)和散射態(tài)。1、束縛態(tài)方程的一般解：考慮波函數(shù)有限性的要求，則方程的一般解：考慮波函數(shù)有限性的要求，則加上邊界條件：和在和處連續(xù)。

注意到勢(shì)能是一個(gè)偶函數(shù)，不失一般性，可以假設(shè)解要么是奇函數(shù)要么是偶函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是僅需要考慮一側(cè)的邊界條件（比如說(shuō)在處）即可；由于，另一側(cè)自動(dòng)滿(mǎn)足邊界條件。下面僅討論偶函數(shù)解，解可以寫(xiě)為：在處，連續(xù)，得連續(xù)，得加上邊界條件：和兩式相除，得---------關(guān)于所允許能量的公式令由于所以決定能量可能值的公式可寫(xiě)為：-----關(guān)于z（或E）的超越方程，可以用計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解，或用作圖法求解。

的情況：兩式相除，得---------關(guān)于所允許能量的公式令由于所繼續(xù)求出波函數(shù)，作為習(xí)題。2、散射態(tài)留作自學(xué)內(nèi)容作業(yè)習(xí)題：2.29,2.30,2.33,2.34,2.35繼續(xù)求出波函數(shù)，作為習(xí)題。2、散射態(tài)留作自學(xué)內(nèi)容作參考書(shū)：量子力學(xué)概論賈瑜譯本D.J.Griffith,IntroductiontoQuantumMechanics,機(jī)械工業(yè)出版社參考書(shū)：量子力學(xué)概論賈瑜譯本

第1章波函數(shù)

§1Schr?dinger方程§2波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋§3概率§4歸一化§5動(dòng)量§6不確定原理第1章波函數(shù)§1Schr?dinger§1Schr?dinger方程

宏觀(guān)物體，經(jīng)典力學(xué)：（1）求出任意時(shí)刻物體的位置

（2）求出速度，動(dòng)量，動(dòng)能等等，方法:

牛頓方程,

初始條件

微觀(guān)粒子,量子力學(xué):

求出粒子的波函數(shù)方法:

薛定諤方程初始條件普朗克(Planck)常數(shù)經(jīng)典物理描述物體運(yùn)動(dòng)的范式和途徑：§1Schr?dinger方程宏觀(guān)物體，經(jīng)典力學(xué)：微§2波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

波函數(shù)的物理意義

波恩（Born）的統(tǒng)計(jì)詮釋:

=t時(shí)刻,x點(diǎn)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)這個(gè)粒子的概率.

（機(jī)率密度）

t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子在區(qū)間內(nèi)的概率.

微觀(guān)粒子的不確定性

波函數(shù)給出的是粒子位置的統(tǒng)計(jì)信息,不能預(yù)言某一時(shí)刻粒子在哪個(gè)位置.

實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行一次測(cè)量,所得結(jié)果是粒子在某一確定位置,比如c點(diǎn).緊接著第一次測(cè)量進(jìn)行第二次測(cè)量，發(fā)現(xiàn)粒子仍在c點(diǎn)。另一個(gè)實(shí)驗(yàn)，對(duì)同樣的體系、同樣的狀態(tài)進(jìn)行同樣的測(cè)量，所得結(jié)果可能不同，比如A點(diǎn)?！?波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋波函數(shù)的物理意義t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子在(在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子處于a和b之間的概率)(在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子處于a和b之間的概率)這種不確定性是事物的本質(zhì)，還是理論的缺陷？問(wèn)題：在測(cè)量之前的瞬間，粒子在哪里？三種學(xué)派：

1、現(xiàn)實(shí)主義學(xué)派：粒子還是在c點(diǎn)。以愛(ài)因斯坦（Einstein）為代表?！傲Ｗ拥奈恢脧膩?lái)就不是不可確定的，而僅是試驗(yàn)者不知道而已?！绷孔恿W(xué)是一個(gè)不完備的理論。

2、正統(tǒng)學(xué)派：粒子哪也不在。以波爾（Bohr）為代表。“觀(guān)測(cè)者不僅擾動(dòng)了被觀(guān)測(cè)量，強(qiáng)迫(粒子)出現(xiàn)在特定的位置.”

測(cè)量的作用將非常獨(dú)特對(duì)其爭(zhēng)論了半個(gè)世紀(jì)但少有進(jìn)展。

3、不可知論學(xué)派：拒絕回答?；卮鹗欠裾_的唯一途徑是進(jìn)行一個(gè)精確的測(cè)量，對(duì)測(cè)量前粒子的狀態(tài)進(jìn)行論斷沒(méi)有什么意義？

現(xiàn)在定論：正統(tǒng)觀(guān)點(diǎn)（實(shí)驗(yàn)證實(shí)）。一個(gè)粒子在測(cè)量前沒(méi)有一個(gè)確定的位置，是測(cè)量的過(guò)程給出了一個(gè)具體數(shù)量。這種不確定性是事物的本質(zhì)，還是理論的缺陷？波函數(shù)的坍塌:在測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子處于

C點(diǎn)后瞬時(shí)的

圖形波函數(shù)的坍塌:在測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子處于C點(diǎn)后瞬時(shí)的圖形

微觀(guān)粒子的基本屬性–光波粒二象性光:1）是電磁波,具有干涉、衍射現(xiàn)象，波動(dòng)光學(xué)。

2）是粒子，稱(chēng)為光子(Einstein的光量子論，光電效應(yīng)，

Compton散射實(shí)驗(yàn))。電子：1）是粒子，有質(zhì)量、電荷，有顆粒性。

2）是波(deBroglie假設(shè)，Davisson和Germer電子衍射實(shí)驗(yàn))。經(jīng)典粒子概念：1）有一定質(zhì)量、電荷等，和“顆粒性”的屬性;2）有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有確定的位置和速度。經(jīng)典波概念：1）實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2）干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。微觀(guān)粒子的基本屬性–光波粒二象性光:1）是電磁波,具1、電子衍射實(shí)驗(yàn)

1.

入射電子流強(qiáng)度小，電子一個(gè)一個(gè)發(fā)射，開(kāi)始顯示電子的微粒性,長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;2.入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣電子源接收屏OPPQQO微觀(guān)粒子究竟是粒子還是波呢？粒電子既有子性又有波動(dòng)性1、電子衍射實(shí)驗(yàn)1.入射電子流強(qiáng)度小，電子一個(gè)一個(gè)發(fā)2、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)PS1S2電子源感光屏實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1）在計(jì)數(shù)器上接收的電子是一個(gè)一個(gè)的，電子槍發(fā)出一個(gè)電子，接收器上從來(lái)沒(méi)有在兩個(gè)以上地方同時(shí)接收到電子的一部分。電子表現(xiàn)出“粒子性”。

2）電子表現(xiàn)出的干涉是自己與自己的干涉，不是不同電子之間的干涉，“波動(dòng)性”是單個(gè)電子的行為。問(wèn)題：一個(gè)電子怎樣通過(guò)雙縫產(chǎn)生干涉現(xiàn)象呢？結(jié)論：微觀(guān)粒子與物質(zhì)相互作用時(shí)，表現(xiàn)粒子性；運(yùn)動(dòng)過(guò)程中體現(xiàn)波動(dòng)性。2、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)PS1S2電子源感光屏實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：?jiǎn)栴}

§

3概率假設(shè)一個(gè)屋子中有14個(gè)人，他們的年齡分布為：

14歲1人，

15歲1人，

16歲3人，

22歲2人，

24歲2人，

25歲5人.

表示年齡為j的人數(shù)，則

§3概率假設(shè)一個(gè)屋子中有14個(gè)人，他們的年齡分布為：屋子中的總?cè)藬?shù)為

如果P(j)是選出年齡為j的概率,則如果不限定選出人的年齡,所有概率之和為1屋子中的總?cè)藬?shù)為如果P(j)是選出年齡為j的概率,則如果不最可幾（或最概然）年齡是那個(gè)年齡?中值年齡是多大?平均年齡是多大?在量子力學(xué)中平均值又被稱(chēng)為期待值。年齡平方的平均是多少？注意：一般情況下平方的平均是不等于平均的平方的。最可幾（或最概然）年齡是那個(gè)年齡?中值年齡是多大?平均年齡是普遍地,可以給出j的函數(shù)的平均值

顯然，兩個(gè)圖具有同樣的中值、平均值、最可幾值和同等數(shù)目的元素，如何表示出分布對(duì)平均值“彌散”程度的不同？普遍地,可以給出j的函數(shù)的平均值顯然，兩個(gè)分布方差稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。它是對(duì)平均值偏差平方的平均的平方根，簡(jiǎn)稱(chēng)方均根。僅對(duì)沒(méi)有彌散的分布分布方差稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。它是對(duì)平均值偏差平方的平均的平方根，簡(jiǎn)稱(chēng)量子力學(xué)課件1-2章-波函數(shù)-定態(tài)薛定諤方程以上結(jié)果屬于分立變量的情況，可以非常簡(jiǎn)單地推廣到連續(xù)的分布：以上結(jié)果屬于分立變量的情況，可以非常簡(jiǎn)單地推廣到連續(xù)的分布：§4歸一化概率解釋的要求:在任一時(shí)刻,粒子一定在空間某處。和量子力學(xué)本身無(wú)關(guān)；波函數(shù)歸一化如何與薛定諤方程協(xié)調(diào)?

波函數(shù)是由薛定諤方程所決定,而波函數(shù)歸一化是概率解釋強(qiáng)加的,二者是否協(xié)調(diào).

如果是薛定諤方程的解,那么也是薛定諤方程的解,這里是一個(gè)任意的(復(fù))常數(shù)。所以通過(guò)選擇這個(gè)乘子使薛定諤方程的解滿(mǎn)足歸一化條件?！?歸一化概率解釋的要求:在任一時(shí)刻,粒子一定在空間某處假定在時(shí)刻波函數(shù)歸一化,隨時(shí)間演化時(shí)它能否保持歸一化？答案：薛定諤方程自動(dòng)保持波函數(shù)的歸一化.證明:假定在時(shí)刻波函數(shù)歸一化,隨時(shí)間演化時(shí)它能否保持歸§5動(dòng)量

對(duì)處于態(tài)的一個(gè)粒子，其的期待值(平均值)是期待值:對(duì)含有相同體系的一個(gè)系綜中所有體系,同時(shí)進(jìn)行測(cè)量的平均值,而不是對(duì)同一個(gè)體系的重復(fù)測(cè)量的平均值。當(dāng)時(shí)間演化時(shí),將發(fā)生變化,如果粒子沒(méi)有一個(gè)確定的位置(在測(cè)量之前)，那么也沒(méi)有確定的速度。假如知道了粒子的波函數(shù),我們還可以做什么?

粒子的平均位置:

粒子的平均速度:分部積分得到：§5動(dòng)量對(duì)處于態(tài)的一個(gè)粒子，其的期待值(平均值

動(dòng)量的平均值:粒子位置和動(dòng)量的平均值公式可寫(xiě)成統(tǒng)一的形式:量子力學(xué)中用算符“表示”位置，用算符“表示”動(dòng)量.動(dòng)量的平均值:粒子位置和動(dòng)量的平均值公幾個(gè)常用力學(xué)量的算符表示形式坐標(biāo)算符：動(dòng)量算符：動(dòng)能算符：哈密頓算符：經(jīng)典力學(xué)的力學(xué)量對(duì)應(yīng)量子力學(xué)的算符：對(duì)應(yīng)關(guān)系??！角動(dòng)量算符：幾個(gè)常用力學(xué)量的算符表示形式坐標(biāo)算符：動(dòng)量算符：動(dòng)能算符：哈

力學(xué)量平均值的一般公式所有經(jīng)典力學(xué)量都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù).任一力學(xué)量的平均值:如動(dòng)能:力學(xué)量平均值的一般公式所有經(jīng)典力學(xué)量都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù).§6不確定原理握著一根長(zhǎng)繩的一端，有節(jié)奏地上下擺動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)波:突然抖動(dòng)一下繩子,可以得到一個(gè)沿繩子傳播的孤峰:問(wèn)題:(1)波在哪里?(2)波長(zhǎng)是多少?第一種情況:問(wèn)題(1)無(wú)法回答,波分布在一定的空間范圍內(nèi);

問(wèn)題(2)可以準(zhǔn)確回答。第二種情況:問(wèn)題(1)可以回答;

問(wèn)題(2)無(wú)法回答,它沒(méi)有明確的周期。結(jié)論：任何波動(dòng)現(xiàn)象，波的位置越精確，波長(zhǎng)就越不精確，反之亦然?！?不確定原理握著一根長(zhǎng)繩的一端，有節(jié)奏地上下擺動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)海森伯(Heisenberg)不確定原理

量子力學(xué)中，微觀(guān)粒子有波動(dòng)性，狀態(tài)用波函數(shù)描述，粒子的位置與波函數(shù)的波長(zhǎng)有同樣的“排斥性”。按照德布羅意（deBroglie）公式，粒子的動(dòng)量與波長(zhǎng)的關(guān)系為：所以，波長(zhǎng)的彌散對(duì)應(yīng)動(dòng)量的彌散。粒子的位置越精確,它的動(dòng)量就越不精確。定量上有

是的標(biāo)準(zhǔn)差,是的標(biāo)準(zhǔn)差。也稱(chēng)為粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定?；蛘哒f(shuō)不存在粒子的位置和動(dòng)量同時(shí)取確定值的狀態(tài)。

測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是一個(gè)基本規(guī)律，它是微觀(guān)粒子波粒二象性的反映。由此可知，經(jīng)典的軌道概念將不復(fù)存在，用描述狀態(tài)的方式失效。海森伯(Heisenberg)不確定原理量子力學(xué)中小結(jié)1、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)方程：薛定諤方程2、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：用波函數(shù)描述3、波函數(shù)的物理意義：波恩（Born）的統(tǒng)計(jì)詮釋4、波函數(shù)的歸一化5、力學(xué)量平均值、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算6、海森伯(Heisenberg)不確定原理、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

研究報(bào)告：量子力學(xué)的測(cè)量問(wèn)題？測(cè)量對(duì)波函數(shù)有何影響？參考書(shū)：玻姆,《量子理論原理》小結(jié)1、微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)方程：薛定諤方程研究報(bào)告：量子力學(xué)的測(cè)習(xí)題：1.41.9習(xí)題：1.41.9第二章定態(tài)Schr?dinger方程§1.定態(tài)§2.一維無(wú)限深方勢(shì)阱§3.諧振子

§4.自由粒子§5.函數(shù)勢(shì)§6.有限深方勢(shì)阱第二章定態(tài)Schr?dinger方程§1.定態(tài)§1.定態(tài)

定態(tài)定態(tài)Schr?dinger方程一個(gè)質(zhì)量為m的粒子,在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為:給定初始條件,邊界條件,如何求出任意時(shí)刻的波函數(shù)?問(wèn)題:假設(shè)勢(shì)場(chǎng)不隨時(shí)間變化,用分離變量法找一類(lèi)特殊解:代入薛定諤方程,得預(yù)備問(wèn)題：勢(shì)和能§1.定態(tài)定態(tài)定態(tài)Schr?dinger方程一個(gè)兩邊同時(shí)除以得到兩個(gè)方程:定態(tài)Schr?dinger方程定態(tài)(stationarystates)

:兩邊同時(shí)除以得到兩個(gè)方程:定態(tài)Schr?dinge2任何動(dòng)力學(xué)變量的平均值不隨時(shí)間變化3它們是具有確定總能量的態(tài)定態(tài)的性質(zhì):1概率密度不隨時(shí)間變化2任何動(dòng)力學(xué)變量的平均值不隨時(shí)間變化3它們是具有確定總3它們是具有確定總能量的態(tài)粒子的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）稱(chēng)為哈密頓量（Hamiltonian）：對(duì)應(yīng)的哈密頓算符（通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的的替換規(guī)則）：定態(tài)薛定諤方程可以寫(xiě)為哈密頓算符的本征方程3它們是具有確定總能量的態(tài)粒子的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）稱(chēng)為總能量的平均值是

的標(biāo)準(zhǔn)差：總能量的每次測(cè)量結(jié)果是確定的值（分布沒(méi)有彌散）

。所以是具有確定總能量的態(tài)總能量的平均值是的標(biāo)準(zhǔn)差：總能量的每次測(cè)量結(jié)果

含時(shí)Schr?dinger方程的一般解

求解定態(tài)薛定諤方程,一般會(huì)得到一個(gè)無(wú)限解集，每個(gè)解有對(duì)應(yīng)的能量,對(duì)應(yīng)每個(gè)允許的能量有不同的定態(tài)波函數(shù)：

含時(shí)薛定諤方程的一般解可表示為:常數(shù)由初始條件決定:一般解是分離變量解的線(xiàn)性組合含時(shí)Schr?dinger方程的一般解求解例題2.1假設(shè)一個(gè)粒子的初始狀態(tài)是兩個(gè)定態(tài)的線(xiàn)性疊加：(假設(shè)常數(shù)和是實(shí)數(shù)）那么任意時(shí)刻的波函數(shù)是什么？求出概率密度并描述其運(yùn)動(dòng)形式。解:其中是相應(yīng)的能量。粒子的空間概率密度：概率密度以余弦形式振動(dòng)，角頻率是。例題2.1假設(shè)一個(gè)粒子的初始狀態(tài)是兩個(gè)定態(tài)的線(xiàn)性疊加：處理定態(tài)問(wèn)題的一般方法(1)根據(jù)體系的物理?xiàng)l件，寫(xiě)出勢(shì)能函數(shù)，進(jìn)而寫(xiě)出體系的哈密頓算符和定態(tài)薛定諤方程；(2)解定態(tài)薛定諤方程。確定能量本征值和能量算符的本征函數(shù)；(3)由可以寫(xiě)出概率密度的表達(dá)式，可分別描繪出波函數(shù)和概率密度分布等相應(yīng)圖形，由圖形討論其分布特點(diǎn)；(4)通過(guò)波函數(shù)可求出不同力學(xué)量的期待值，了解體系的性質(zhì)；(5)聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用所得結(jié)果。處理定態(tài)問(wèn)題的一般方法(1)根據(jù)體系的物理?xiàng)l件，寫(xiě)出勢(shì)能函（1）列出各區(qū)域的定態(tài)Schr?dinger方程0axV(x)IIIIII§2.一維無(wú)限深方勢(shì)阱一個(gè)質(zhì)量m為的粒子在0和a之間運(yùn)動(dòng)。

粒子可能的定態(tài)（1）列出各區(qū)域的定態(tài)Schr?dinger方程（2）解方程通解：

的邊界條件是什么？一般來(lái)說(shuō)，和都是連續(xù)的，但是，當(dāng)勢(shì)函數(shù)是無(wú)窮大，只能用第一個(gè)邊界條件。

的連續(xù)性要求：在處的邊界條件沒(méi)有確定常數(shù)A，卻確定了常數(shù)（2）解方程通解：的邊界條件是什么？一般來(lái)說(shuō)，和由此，得到的可能值是：與經(jīng)典情況完全不同，一個(gè)微觀(guān)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其能量不能是任意的，它只是這些特殊的許可值。（4）確定歸一化系數(shù)A的相位沒(méi)有任何意義，取其正實(shí)根:（5）定態(tài)Schr?dinger方程的解（6）粒子可能的定態(tài)由此，得到的可能值是：與經(jīng)典情況完全不同，一個(gè)討論：

1、解定態(tài)薛定諤方程得到一個(gè)無(wú)限的解集。前三個(gè)函數(shù)：

像在一個(gè)長(zhǎng)度為a的弦上的駐波,態(tài)粒子的能量最低，稱(chēng)為基態(tài)，其它態(tài)粒子的能量正比于，稱(chēng)為激發(fā)態(tài)。

2、函數(shù)的性質(zhì)（1）它們相對(duì)于勢(shì)阱的中心是奇偶交替的；（2）隨著能量的增加，態(tài)的節(jié)點(diǎn)（與x軸交點(diǎn)）數(shù)逐次增1；討論：像在一個(gè)長(zhǎng)度為a的弦上的駐波,態(tài)粒子(3)正交性,即證明：把正交性和歸一性寫(xiě)在一起：(3)正交性,即證明：把正交性和歸一性寫(xiě)在一起：（4）完備性，即任意一個(gè)函數(shù)，都可以用它們的線(xiàn)性迭加來(lái)表示：展開(kāi)系數(shù)可以用的正交歸一性得到：

含時(shí)薛定諤方程的解通解：用定態(tài)解線(xiàn)性迭加

迭加系數(shù)：由初始波函數(shù)確定：從而可計(jì)算任何時(shí)刻任何一個(gè)感興趣的力學(xué)量的平均值。（4）完備性，即任意一個(gè)函數(shù)，都可以用它們的線(xiàn)性迭

迭加系數(shù)的物理意義：是對(duì)能量的一次測(cè)量得到結(jié)果為的幾率。

得到所有能量可能值的幾率之和一定為1。證明：能量的期望值：按計(jì)算平均值的一般公式，有能量的平均值不依賴(lài)時(shí)間，這是能量守恒在量子力學(xué)中的體現(xiàn)。迭加系數(shù)的物理意義：是對(duì)能量的一次測(cè)量得作業(yè)習(xí)題：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小結(jié)：1、定態(tài)，定態(tài)的性質(zhì)2、定態(tài)薛定諤方程3、含時(shí)薛定諤方程的求解4、一維無(wú)限深方勢(shì)阱，定態(tài)薛定諤方程的求解作業(yè)習(xí)題：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小結(jié)§3諧振子

（一）引言 （1）諧振子 （2）為什么研究諧振子（二）代數(shù)法求解諧振子（三）冪級(jí)數(shù)法求解諧振子 （1）方程 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（四）例題§3諧振子（一）引言（一）引言（1）諧振子

量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢(shì)V=0點(diǎn)，則（一）引言（1）諧振子量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在（2）為什么研究線(xiàn)性諧振子

自然界廣泛存在簡(jiǎn)諧振動(dòng),在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都可分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)還可作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0

取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：

可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線(xiàn)性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。（2）為什么研究線(xiàn)性諧振子自然界廣泛存在簡(jiǎn)諧振動(dòng),在（二）代數(shù)法求解諧振子

諧振子的Hamilton算符：

定態(tài)薛定諤方程：

分解哈密頓算符：按照形式引入算符（二）代數(shù)法求解諧振子諧振子的Hamilton算符：

稱(chēng)為與的對(duì)易式

正則對(duì)易關(guān)系同樣可以驗(yàn)證：正則對(duì)易關(guān)系同樣可以驗(yàn)證：利用算符，定態(tài)薛定諤方程可表示為：

如果是能量為的解（即），則是能量為的解，是能量為的解。證明：利用算符，定態(tài)薛定諤方程可表示為：如果是

稱(chēng)為升降階算符諧振子的能態(tài)“梯子”

有一個(gè)最低的階梯（稱(chēng)為）使得

由此確定：歸一化，代入薛定諤方程以確定相應(yīng)的能量稱(chēng)為升降階算符諧振子的能態(tài)“梯子”有一個(gè)最低的

諧振子定態(tài)薛定諤方程的解:從諧振子的基態(tài)出發(fā)，反復(fù)應(yīng)用升階算符生成激發(fā)態(tài)。每一步增加能量。

確定歸一化常數(shù)：證明：正比于

證畢諧振子定態(tài)薛定諤方程的解:從諧振子的基態(tài)出發(fā)，反復(fù)應(yīng)用升階依此類(lèi)推，有諧振子的定態(tài)具有正交歸一化性質(zhì)：證明：依此類(lèi)推，有諧振子的定態(tài)具有正交歸一化性質(zhì)：證明：例題2.5求出諧振子第態(tài)勢(shì)能的平均值。解：利用升降階算符，勢(shì)能的期待值正好是總能量的一半。例題2.5求出諧振子第態(tài)勢(shì)能的平均值。解：利用作業(yè)習(xí)題：2.12，2.13,2.14,2.15,2.17作業(yè)習(xí)題：2.12，2.13,2.14,2.15（二）冪級(jí)數(shù)法解諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項(xiàng)式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（二）冪級(jí)數(shù)法解諧振子（1）方程的建立（1）方程的建立線(xiàn)性諧振子的Hamilton算符：定態(tài)Schr?dinger方程：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，引入無(wú)量綱變量ξ代替x，此式是一變系數(shù)二階常微分方程。（1）方程的建立線(xiàn)性諧振子的Hamilton算符：定態(tài)S（2）求通解為求解方程，先研究它的漸近行為，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2其解為：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.漸近解波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0，因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以可以令c1等于1。最后漸近波函數(shù)為：ξ2>>±1（2）求通解為求解方程，先研究它的漸近行為，其解為：ψ∞=H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證(ξ)→0。將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿(mǎn)足的方程：2.H(ξ)滿(mǎn)足的方程此方程稱(chēng)為Hermite方程。令H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即3.Hermite方程的級(jí)數(shù)解以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解，令：用k代替k’任何有理無(wú)奇異行為的函數(shù)都可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)3.Hermite方程的級(jí)數(shù)解以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解，令：用k由上式可以看出：

b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；

b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解?？煞謩e令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).由bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式：只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHeven)exp[-ξ2/2]由上式可以看出：b0≠0,b1=0.→Heve