第二章行列式典型例題大綱要求習(xí)題課1.理解行列式的概念.2.掌握行列式的性質(zhì).一、大綱要求3.了解克拉默法則的理論.4.理解矩陣秩的概念和秩的性質(zhì).會用矩陣的行初等變換的方法求矩陣的秩.并會利用行列式的性質(zhì)計算行列式.

行列式與矩陣的區(qū)別與聯(lián)系：二、補(bǔ)充例題解例例

計算解例

計算解例

證明證數(shù)學(xué)歸納法：

推廣的數(shù)學(xué)歸納法：

計算解例

例

解解例

設(shè)求及令

解例

設(shè)求解

例

的二階子式中和至少有一個不為0分析例

解例

證證明A可逆.設(shè)階非0實(shí)矩陣的伴隨矩陣為，例

練一練作業(yè)思考復(fù)習(xí)題二則可逆矛盾則A可逆設(shè)階非0實(shí)矩陣的伴隨矩陣為，證明：例

證一、主要內(nèi)容定義

定義n階矩陣A的行列式1、n階行列式的定義性質(zhì)1

行列式按任一行展開，其值相等，即2、n階行列式的性質(zhì)

性質(zhì)2

n階行列式某兩行對應(yīng)元全相等，則行列式為零.即當(dāng)aik=ajk

，i≠j,k=1,…,n時，detA=0.

推論

若行列式的某一行全為零，則行列式等于零.性質(zhì)3

性質(zhì)4（行列式的初等變換）若把行初等變換施

(1)將A的某一行乘以數(shù)k得到A1，則

detA1=k(detA)；

(2)將A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2,則

detA2=detA；(3)交換A的兩行得到A3,

則

detA3=-detA.于n階矩陣A上：

推論若行列式某兩行對應(yīng)元成比例，則行列式的值為零.性質(zhì)5

設(shè)A為n階矩陣，則方陣乘積的行列式定理1

方陣A可逆的充要條件為detA≠0.定理2設(shè)A,B為n階方陣，則

推論1設(shè)Ai(i=1,…,t)為n階矩陣，則

推論2設(shè)A,B為n階矩陣，且AB=I(或BA=I),則B=A-1.

行列式性質(zhì)小結(jié)：

二、三類初等變換：1.換行反號,2.倍乘,

3.倍加.

三、三種為零：1.有一行全為零,

3.有兩行成比例.

2.有兩行相同,四、一種分解.五、一、按行展開：3、克萊姆法則克萊姆法則的理論價值定理定理定理定理一、逆矩陣的一個簡明表達(dá)式引理1

設(shè)A=(aij)n,n，則引理2

設(shè)A為n階矩陣，則定理1方陣A可逆的充要條件為|A|≠0。當(dāng)A可逆時,則4、矩陣的秩矩陣A中非零子式的最高階數(shù)r，稱為A的秩定義秩，記為R(A)=r.

矩陣的秩的另一種理解：基本結(jié)論與性質(zhì)1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一個r階子式不為零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1階子式全為零。

(滿秩矩陣——可逆矩陣

降秩矩陣——不可逆矩陣)定理1

初等變換不改變矩陣的秩。推論

對任意矩陣A,

R(PA)=R(AQ)=R