江中和胡希偉劉明海電磁波在等離子體中傳播的二維FDTD數(shù)值計算HuazhongUniversityofScienceandTechnology江中和胡希偉劉明海電磁波在等離子體中傳播的二維1主題電磁波在等離子體中的傳播時域有限差分法（FDTD）的基本思想電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法大氣壓下二維電磁波在等離子體中的傳播特性主題電磁波在等離子體中的傳播2電磁波在等離子體中的傳播一維波動方程以及耦合電子運動方程求解二維情形下波動方程求解的困難應(yīng)用FDTD進(jìn)行電磁波在等離子體中傳播的數(shù)值模擬計算電磁波在等離子體中的傳播一維波動方程以及耦合電子運動方程求解3一維波動方程以及耦合電子運動方程求解波動方程：電子流體方程：一維波動方程以及耦合電子運動方程求解波動方程：電子流體方程：4差分方程的邊界條件金屬邊界條件入射邊界條件當(dāng)入射邊界取距離入射點足夠遠(yuǎn)時，使得反射回來的電磁波在等離子體邊界面附近經(jīng)過自由空間一個或者幾個周期還沒有到達(dá)起始點，可以不考慮入射邊界對電磁波傳播的影響。差分方程的邊界條件金屬邊界條件入射邊界條件當(dāng)入射邊界取距離入5二維波動方程求解的困難差分格式要采用二維的差分格式，這決定差分得到的方程較為復(fù)雜。為了避免邊界截斷造成的非物理型反射影響，使得整個計算域的空間要取得足夠大，這對計算機(jī)軟硬件都存在很大的依賴，最明顯的是計算機(jī)內(nèi)存要足夠大。二維波動方程求解的困難差分格式要采用二維的差分格式，這決定差6FDTD算法進(jìn)行等離子體數(shù)值模擬FDTD算法，其空間節(jié)點采用Yee元胞的方法，電場和磁場節(jié)點空間與時間上都采用交錯抽樣，因而使得麥克斯韋旋度方程離散后構(gòu)成顯式差分方程，相比較與前面的波動方程求解，計算得到大大簡化。由于FDTD采用吸收邊界條件的方法，使得計算可以在有限的空間范圍內(nèi)進(jìn)行，這樣就可以降低程序?qū)τ嬎銠C(jī)硬件的要求。FDTD算法進(jìn)行等離子體數(shù)值模擬FDTD算法，其空間節(jié)點采用7時域有限差分法（FDTD）基本思想FDTD算法是K.S.Yee于1966年提出的、直接對麥克斯韋方程作差分處理、來解決電磁脈沖在電磁介質(zhì)中傳播和反射問題的算法。基本思想是：FDTD計算域空間節(jié)點采用Yee元胞的方法，同時電場和磁場節(jié)點空間與時間上都采用交錯抽樣；把整個計算域劃分成包括散射體的總場區(qū)以及只有反射波的散射場區(qū)，這兩個區(qū)域是以連接邊界相連接，最外邊是采用特殊的吸收邊界，同時在這兩個邊界之間有個輸出邊界，用于近、遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換；在連接邊界上采用連接邊界條件加入入射波，從而使得入射波限制在總場區(qū)域；在吸收邊界上采用吸收邊界條件，盡量消除反射波在吸收邊界上的非物理性反射波。時域有限差分法（FDTD）基本思想FDTD算法是K.8FDTD示意圖FDTD示意圖9二維TM波的麥克斯韋方程組二維TM波的麥克斯韋方程組10二維TM波的差分格式二維TM波的差分格式11吸收邊界條件

由于計算機(jī)容量的限制，F(xiàn)DTD只能在有限區(qū)域進(jìn)行，為了能夠模擬開域的電磁散射過程，在計算區(qū)域的外邊要求給出吸收邊界條件，我們采用被廣為應(yīng)用的二階Mur吸收邊界條件，TM波其吸收邊界條件在邊界上為：吸收邊界條件由于計算機(jī)容量的限制，F(xiàn)DTD只能在有限區(qū)12

二維TM角點的吸收條件在二維矩形FDTD計算域內(nèi)的角點，上述的吸收邊界條件無法應(yīng)用，根據(jù)一階Mur吸收條件可以得到在角點時吸收邊界條件的差分格式：式中Δt、Δδ分別為時間步長與空間步長。

二維TM角點的吸收條件在二維矩形FDTD計算域內(nèi)的角點，上13二維TM波的連接邊界條件

連接邊界條件的目的就是要使得在散射場區(qū)域內(nèi)只存在反射波，而在總場區(qū)域則入射波與反射波

同時存在，因此連接邊界條件就是對于總場區(qū)域的節(jié)點，如果其差分格式中有散射區(qū)域的節(jié)點，需要在散射場節(jié)點加上入射波，而對于散射場區(qū)域的節(jié)點在差分格式中有總場節(jié)點，則總場節(jié)點要扣除入射波值。因此對于前面提到的TM波的麥克斯韋方程的差分格式在連接邊界附近作上述修正。此即為連接邊界條件。

二維TM波的連接邊界條件

連接邊界條件的目的就是要使得在散14平面波的加入

入射波是加在連接邊界附近上，由于是平面波，故而采用一維FDTD隨時間逐步推進(jìn)地在總場區(qū)引進(jìn)入射波，這樣可以減小散射場入射波的泄漏。對于與底邊成θ角平面波，可以通過連接邊界上向一維平面波作垂線，根據(jù)平面波特性以及插值方法得到邊界上的入射波。平面波的加入入射波是加在連接邊界附近上，由于是平面波，故而15電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法雖然目前的FDTD算法可以解決給定介電系數(shù)和磁導(dǎo)率的介質(zhì)對入射電磁波的響應(yīng)（包括傳播、反射、吸收和透射），但無法正確地反映大氣環(huán)境中等離子體對入射電磁波的響應(yīng)。在這種等離子體中，電子與中性原子（分子）的彈性碰撞頻率將等于或大于入射電磁波的頻率，因此僅用復(fù)介電常數(shù)已經(jīng)不能真實地反映等離子體的介電性質(zhì)。使用將等離子體視為復(fù)介電常數(shù)介質(zhì)的傳統(tǒng)FDTD算法、以及其它時域算法已經(jīng)很難保證計算結(jié)果的可靠性與合理性。正確的作法是將等離子體的電子流體運動方程直接和麥克斯韋方程組耦合求解，由此得出電磁場在這種特殊等離子體中的傳播特性。電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法雖然目前的16麥克斯韋方程以及電子流體方程組麥克斯韋方程以及電子流體方程組17二維TM波的差分格式二維TM波的差分格式18數(shù)值實驗

應(yīng)用FDTD方法進(jìn)行數(shù)值計算，要驗證計算結(jié)果的有效性，需要進(jìn)行數(shù)值實驗，數(shù)值實驗主要有以下幾個方面：連接邊界上加入射波，不加入等離子體以及金屬板散射體，計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度。連接邊界上加入射波，有金屬板散射體，不加入等離子體計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度。數(shù)值實驗應(yīng)用FDTD方法進(jìn)行數(shù)值計算，要驗證計算結(jié)果19FDTD算例參數(shù)根據(jù)FDTD思想進(jìn)行算例計算，其中電磁波頻率在2GHz至20GHz范圍，空間步長取Δh=0.25mm，時間步長根據(jù)計算穩(wěn)定性要(Δt<Δh/c)Δt=0.5Δh/c(c為真空中光速)，吸收邊界為830×160，連接邊界為810×140，金屬板層尺寸為800×10，等離子體電子密度隨等離子體厚度為雙曲正切上升函數(shù)，等離子體厚度變化范圍為10mm至30mm。FDTD算例參數(shù)20FDTD數(shù)值實驗結(jié)果

當(dāng)不加入等離子體以及金屬板散射體，散射場區(qū)電場場強很小可看成0，總場區(qū)的電場強度隨時間變化與入射波隨時間變化一致。說明連接邊界條件起到很好的防止入射波泄漏到散射場作用。有金屬板散射體，不加入等離子體計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度，數(shù)值實驗結(jié)果表明，在垂直入射時沿x軸方向，在靠近金屬板兩端面附近的散射波振幅較小，而在Y軸附近電場的散射波振幅基本保持不變，隨著入射角變小，靠近入射端的散射波振幅變小區(qū)域變大，而出射端的散射波振幅變小區(qū)域變小，這是由于金屬板全反射引起的。FDTD數(shù)值實驗結(jié)果21FDTD示意圖FDTD示意圖22數(shù)值實驗計算結(jié)果－900入射角數(shù)值實驗計算結(jié)果－900入射角23數(shù)值實驗計算結(jié)果－600入射角數(shù)值實驗計算結(jié)果－600入射角24數(shù)值實驗結(jié)果－450

入射角數(shù)值實驗結(jié)果－450入射角25電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為30mm時，在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為30mm時，在不26電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，27電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為10mm時，在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為10mm時，在不同28

電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)入射角為90時，在不同等離子體厚度情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)入射角為90時，在不同等29當(dāng)入射角為60時，在不同等離子體厚度情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)入射角為60時，在不同等離子體厚度情況下電磁波在等離子體中30電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)入射角為45時，在不同等離子體厚度情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)入射角為45時，在不同等離子體厚31電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，電子碰撞頻率為23.6GHz在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，32電磁波在等離子體中傳播特性

在大氣條件下，電磁波在一定厚度的等離子體傳播，在頻率較低時（小于10GHz），隨著斜入射角度的變化反射的電磁波衰減相差不大，當(dāng)頻率較高時斜入射角度越小，電磁波衰減的越大，等離子體的厚度對電磁波反射的衰減存在較大的影響，在等離子體厚度為10mm時，電磁波衰減的較小，而在等離子體厚度為20mm和30mm時存在較大衰減峰值，峰值的位置隨等離子體厚度以及斜入射角變化而發(fā)生改變。這是由于當(dāng)?shù)入x子體厚度與其波長相比擬時等離子體對電磁波就有比較明顯的吸收效果，斜入射角越大，電磁波在等離子體中傳播的距離就越大。電子碰撞頻率對電磁波在等離子體中的吸收有較大的影響。電磁波在等離子體中傳播特性33HuazhongUniversityofScienceandTechnology謝謝！HuazhongUniversityof謝謝！34江中和胡希偉劉明海電磁波在等離子體中傳播的二維FDTD數(shù)值計算HuazhongUniversityofScienceandTechnology江中和胡希偉劉明海電磁波在等離子體中傳播的二維35主題電磁波在等離子體中的傳播時域有限差分法（FDTD）的基本思想電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法大氣壓下二維電磁波在等離子體中的傳播特性主題電磁波在等離子體中的傳播36電磁波在等離子體中的傳播一維波動方程以及耦合電子運動方程求解二維情形下波動方程求解的困難應(yīng)用FDTD進(jìn)行電磁波在等離子體中傳播的數(shù)值模擬計算電磁波在等離子體中的傳播一維波動方程以及耦合電子運動方程求解37一維波動方程以及耦合電子運動方程求解波動方程：電子流體方程：一維波動方程以及耦合電子運動方程求解波動方程：電子流體方程：38差分方程的邊界條件金屬邊界條件入射邊界條件當(dāng)入射邊界取距離入射點足夠遠(yuǎn)時，使得反射回來的電磁波在等離子體邊界面附近經(jīng)過自由空間一個或者幾個周期還沒有到達(dá)起始點，可以不考慮入射邊界對電磁波傳播的影響。差分方程的邊界條件金屬邊界條件入射邊界條件當(dāng)入射邊界取距離入39二維波動方程求解的困難差分格式要采用二維的差分格式，這決定差分得到的方程較為復(fù)雜。為了避免邊界截斷造成的非物理型反射影響，使得整個計算域的空間要取得足夠大，這對計算機(jī)軟硬件都存在很大的依賴，最明顯的是計算機(jī)內(nèi)存要足夠大。二維波動方程求解的困難差分格式要采用二維的差分格式，這決定差40FDTD算法進(jìn)行等離子體數(shù)值模擬FDTD算法，其空間節(jié)點采用Yee元胞的方法，電場和磁場節(jié)點空間與時間上都采用交錯抽樣，因而使得麥克斯韋旋度方程離散后構(gòu)成顯式差分方程，相比較與前面的波動方程求解，計算得到大大簡化。由于FDTD采用吸收邊界條件的方法，使得計算可以在有限的空間范圍內(nèi)進(jìn)行，這樣就可以降低程序?qū)τ嬎銠C(jī)硬件的要求。FDTD算法進(jìn)行等離子體數(shù)值模擬FDTD算法，其空間節(jié)點采用41時域有限差分法（FDTD）基本思想FDTD算法是K.S.Yee于1966年提出的、直接對麥克斯韋方程作差分處理、來解決電磁脈沖在電磁介質(zhì)中傳播和反射問題的算法。基本思想是：FDTD計算域空間節(jié)點采用Yee元胞的方法，同時電場和磁場節(jié)點空間與時間上都采用交錯抽樣；把整個計算域劃分成包括散射體的總場區(qū)以及只有反射波的散射場區(qū)，這兩個區(qū)域是以連接邊界相連接，最外邊是采用特殊的吸收邊界，同時在這兩個邊界之間有個輸出邊界，用于近、遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換；在連接邊界上采用連接邊界條件加入入射波，從而使得入射波限制在總場區(qū)域；在吸收邊界上采用吸收邊界條件，盡量消除反射波在吸收邊界上的非物理性反射波。時域有限差分法（FDTD）基本思想FDTD算法是K.42FDTD示意圖FDTD示意圖43二維TM波的麥克斯韋方程組二維TM波的麥克斯韋方程組44二維TM波的差分格式二維TM波的差分格式45吸收邊界條件

由于計算機(jī)容量的限制，F(xiàn)DTD只能在有限區(qū)域進(jìn)行，為了能夠模擬開域的電磁散射過程，在計算區(qū)域的外邊要求給出吸收邊界條件，我們采用被廣為應(yīng)用的二階Mur吸收邊界條件，TM波其吸收邊界條件在邊界上為：吸收邊界條件由于計算機(jī)容量的限制，F(xiàn)DTD只能在有限區(qū)46

二維TM角點的吸收條件在二維矩形FDTD計算域內(nèi)的角點，上述的吸收邊界條件無法應(yīng)用，根據(jù)一階Mur吸收條件可以得到在角點時吸收邊界條件的差分格式：式中Δt、Δδ分別為時間步長與空間步長。

二維TM角點的吸收條件在二維矩形FDTD計算域內(nèi)的角點，上47二維TM波的連接邊界條件

連接邊界條件的目的就是要使得在散射場區(qū)域內(nèi)只存在反射波，而在總場區(qū)域則入射波與反射波

同時存在，因此連接邊界條件就是對于總場區(qū)域的節(jié)點，如果其差分格式中有散射區(qū)域的節(jié)點，需要在散射場節(jié)點加上入射波，而對于散射場區(qū)域的節(jié)點在差分格式中有總場節(jié)點，則總場節(jié)點要扣除入射波值。因此對于前面提到的TM波的麥克斯韋方程的差分格式在連接邊界附近作上述修正。此即為連接邊界條件。

二維TM波的連接邊界條件

連接邊界條件的目的就是要使得在散48平面波的加入

入射波是加在連接邊界附近上，由于是平面波，故而采用一維FDTD隨時間逐步推進(jìn)地在總場區(qū)引進(jìn)入射波，這樣可以減小散射場入射波的泄漏。對于與底邊成θ角平面波，可以通過連接邊界上向一維平面波作垂線，根據(jù)平面波特性以及插值方法得到邊界上的入射波。平面波的加入入射波是加在連接邊界附近上，由于是平面波，故而49電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法雖然目前的FDTD算法可以解決給定介電系數(shù)和磁導(dǎo)率的介質(zhì)對入射電磁波的響應(yīng)（包括傳播、反射、吸收和透射），但無法正確地反映大氣環(huán)境中等離子體對入射電磁波的響應(yīng)。在這種等離子體中，電子與中性原子（分子）的彈性碰撞頻率將等于或大于入射電磁波的頻率，因此僅用復(fù)介電常數(shù)已經(jīng)不能真實地反映等離子體的介電性質(zhì)。使用將等離子體視為復(fù)介電常數(shù)介質(zhì)的傳統(tǒng)FDTD算法、以及其它時域算法已經(jīng)很難保證計算結(jié)果的可靠性與合理性。正確的作法是將等離子體的電子流體運動方程直接和麥克斯韋方程組耦合求解，由此得出電磁場在這種特殊等離子體中的傳播特性。電磁波在等離子體傳播的FDTD模擬計算方法雖然目前的50麥克斯韋方程以及電子流體方程組麥克斯韋方程以及電子流體方程組51二維TM波的差分格式二維TM波的差分格式52數(shù)值實驗

應(yīng)用FDTD方法進(jìn)行數(shù)值計算，要驗證計算結(jié)果的有效性，需要進(jìn)行數(shù)值實驗，數(shù)值實驗主要有以下幾個方面：連接邊界上加入射波，不加入等離子體以及金屬板散射體，計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度。連接邊界上加入射波，有金屬板散射體，不加入等離子體計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度。數(shù)值實驗應(yīng)用FDTD方法進(jìn)行數(shù)值計算，要驗證計算結(jié)果53FDTD算例參數(shù)根據(jù)FDTD思想進(jìn)行算例計算，其中電磁波頻率在2GHz至20GHz范圍，空間步長取Δh=0.25mm，時間步長根據(jù)計算穩(wěn)定性要(Δt<Δh/c)Δt=0.5Δh/c(c為真空中光速)，吸收邊界為830×160，連接邊界為810×140，金屬板層尺寸為800×10，等離子體電子密度隨等離子體厚度為雙曲正切上升函數(shù)，等離子體厚度變化范圍為10mm至30mm。FDTD算例參數(shù)54FDTD數(shù)值實驗結(jié)果

當(dāng)不加入等離子體以及金屬板散射體，散射場區(qū)電場場強很小可看成0，總場區(qū)的電場強度隨時間變化與入射波隨時間變化一致。說明連接邊界條件起到很好的防止入射波泄漏到散射場作用。有金屬板散射體，不加入等離子體計算散射場區(qū)以及總場區(qū)的電場強度，數(shù)值實驗結(jié)果表明，在垂直入射時沿x軸方向，在靠近金屬板兩端面附近的散射波振幅較小，而在Y軸附近電場的散射波振幅基本保持不變，隨著入射角變小，靠近入射端的散射波振幅變小區(qū)域變大，而出射端的散射波振幅變小區(qū)域變小，這是由于金屬板全反射引起的。FDTD數(shù)值實驗結(jié)果55FDTD示意圖FDTD示意圖56數(shù)值實驗計算結(jié)果－900入射角數(shù)值實驗計算結(jié)果－900入射角57數(shù)值實驗計算結(jié)果－600入射角數(shù)值實驗計算結(jié)果－600入射角58數(shù)值實驗結(jié)果－450

入射角數(shù)值實驗結(jié)果－450入射角59電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為30mm時，在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為30mm時，在不60電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，在不同入射角情況下散射場中電場強度隨入射波頻率衰減圖電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體厚度為20mm時，61電磁波在等離子體中傳播特性當(dāng)?shù)入x子體