(習(xí)題課)二面角αβl編輯ppt

從空間一直線出發(fā)的兩個半一、二面角的定義二、二面角的平面角的平面角

一個平面垂直于二面角的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA、OB,垂足為O，則∠APB叫做二面角ABOβαlαβl平面所組成的圖形叫做二面角1、定義編輯ppt例1如圖P為二面角α–l–β內(nèi)一點，PA⊥α于點A,PB⊥β于點B,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。

設(shè)l與平面PAB相交于點O

∵PA⊥α,PB⊥β

∴PA⊥l,PA⊥l∴l(xiāng)⊥平面PAB連結(jié)AO、BO,則∠AOB為二面角α–l–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7∴∠APB=60o∴∠AOB=120o

∴這二面角的度數(shù)為120o解：βαABPlO編輯ppt小結(jié)一一.求二面角大小的一般步驟①找(作)二面角的平面角②證明所作角為二面角的平面角③求二面角的平面角找證求二.依據(jù)定義求二面角的平面角PαβlABO編輯ppt例2如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=60o

∠BPM=∠BPN=45o，求此二面角的度數(shù)。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一點O，在α內(nèi)過O作OC⊥AB交PM于C，在β內(nèi)作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設(shè)PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45o又∵∠MPN=60o∴CD=PC

a∴∠COD=90o因此，二面角的度數(shù)為90o編輯ppt小結(jié)二三.雙垂線法求二面角的平面角ABαβlP編輯pptOABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE，PO

∴∴所求的二面角P-AB-C

的正切值為例3如圖，Rt△ABC所在平面外一點P在面ABC上的射影是Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP編輯pptlPαβAB小結(jié)三四.三垂線法求二面角的平面角編輯pptABCOαβ三角形ABC在面β內(nèi)的射影為BCO,三角形ABC的面積為S原，三角形BCO的面積為S射,則射影面積公式設(shè)θ為所求二面角的大小，S為二面角的一個面內(nèi)的平面圖形的面積，S'為該平面圖形在另一個面內(nèi)的射影所組成的平面圖形的面積，則如圖,已知二面角,設(shè)它的大小為l編輯pptABCDA1C1D1EB1M例4如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。G△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為△A1B1C1，故這兩個平面所成二面角的余弦值為編輯pptF小結(jié)四五.射影法求二面角的平面角設(shè)θ為所求二面角的大小，S原為二面角的一個面內(nèi)的平面圖形的面積，S射為該平面圖形在另一個面內(nèi)的射影所組成的平面圖形的面積，則編輯ppt如圖（2），設(shè)二面角的大小為利用向量法求二面角的平面角①方向向量法將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱的有向線段表示的向量）的夾角。DClBA編輯ppt則二面角的大小將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角l②法向量法如圖，向量編輯ppt例5如圖,PA⊥平面ABC，求二面角的大小PABCABCDA1C1D1B1E例6如圖，在長方體AC1中,

點E在棱AB上移動AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值時，二面角的大小為編輯ppt1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

練習(xí)2、已知P為二面角內(nèi)一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數(shù)是多少？ABCP60o編輯pptVABC3.空間四邊形VABC的各邊及對角線均相等，求二面角的大小4.如圖，空間三條直線PA、PB、PC，∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，求二面角B－PA－

C的大小.BCAP編輯ppt4.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E是線段AD上一點，且AE=ED，過E作MN∥BC，且MN交AB于M，交AC于N，以MN為棱將△AMN折成二面角A'－MN－D，

設(shè)此二面角為α（0<α<π），連結(jié)A'B、A'D、A'C，求△A'MN與△A'BC所夾二面角的大小.ABCDENMA’MNEBDC編輯ppt課堂小結(jié)一.求二面角的平面角的常用方法二.降維思想將空間角轉(zhuǎn)化為平面角編輯ppt例1在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，AB﹦BC﹦BD﹦1，∠CBA﹦∠CBD﹦120。

，求二面角A-BD-C的大小。ADCB同學(xué)們思考以下問題:1.由已知條件怎樣找垂線?2.通過垂線怎樣找二面角的平面角.觀察總結(jié):圖中的紅色部分有什么特點?EG編輯ppt分析:利用三垂線定理尋找二面角的平面角,關(guān)鍵是如何在一個半平面找一個點,向第二個半平面做垂線,往往要結(jié)合所給的幾何體,找垂直關(guān)系。由于AB⊥平面AD1,BD1在平面AD1上的射影為AD1，過點P作PF⊥AD1于F,則PF⊥平面ABD1,過F作FE⊥BD1于E，連結(jié)PE，∠PEF即為二面角A_BD1_P

的平面角。例2.如圖示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P是AD的中點.求二面角的大小.A1B1C1D1ABCDPFE觀察總結(jié):計算在哪個圖形中進(jìn)行的?編輯ppt練習(xí)1：在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,SA﹦SC﹦,M為AB的中點⑴證明AC⊥SB;⑵求二面角S-CM-A的大小.分析：１．證明線線垂直的思路如何？２．用三垂線定理（或逆）怎么作二面角的平面角？

SABCMEF編輯ppt思考:1.怎樣過二面角的其中一個平面內(nèi)一點作另外一個平面的垂線?2.在垂線的基礎(chǔ)上怎樣找二面角的平面角?練習(xí)2:三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA﹦3，AC﹦4，PB﹦PC﹦BC,求二面角A-PC-B的大小。