一.平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：AAEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是一；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180%其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF,繼而證明出△ABE雯AADF,得到AE=AF,從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出11MNIIAE,MN=^AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=^AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)屋關(guān)系得到ZDMN=ZDGE=90°.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：(1)V四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90°,T△CEF是等腰直角三角形,ZC=90°,CE=CF,/.BC-CE=CD-CF,即BE=DF,???△ABE仝△ADF,???AE二AF,???△AEF是等腰三角形；(2)DM.MN的數(shù)量關(guān)系是相等,DM.MN的位置關(guān)系是垂直；???在RtAADF中DM是斜邊AF的中線,/.AF=2DM,?/MN是AAEF的中位線…??AE=2MN,-/AE=AF,/.DM=MN；?/ZDMF=ZDAF+ZADM,AM二MD,JZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=ZBAE,???ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90%DM丄MN；(3)(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,???點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，1/.MNIIAE,MN=^AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又???BC+CE二CD+CF,即BE=DF,??△ABE雯△ADF,AAE=AF,在RtAADF中，T點(diǎn)M為AF的1中點(diǎn)，?\DM=^AF.?\DM=MN,T△ABE雯△ADF,/.Z1=Z2,?/ABIIDF,/.Z1=Z3,同理可證：Z2=Z4,/.Z3=Z4,???DM二AM,/.ZMAD=Z5,/.ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90°,?/MNIIAE,/.ZDMN=ZDGE=90°,/.DM丄MN?所以（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立.質(zhì).2.如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接DO點(diǎn)C關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)為U,連接AU并延長交直線DE于點(diǎn)P,F是AU的中點(diǎn)，連接DF.（1）求ZFDP的度數(shù)；（2）連接BP,請(qǐng)用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接AC,若正方形的邊長為JI，請(qǐng)直接寫出"CC的面積最人值.【答案】（1）45。；（2）BPWP=72AP.證明詳見解析；（3）-1.【解析】【分析】（1）證明ZCDE=ZCDE和ZADF=ZCDF,可得ZFDP'=-ZADC=45。；2（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明山跑△DAP'（SAS）,得BP=DP,從而得△網(wǎng)”是等腰直角三角形，可得結(jié)論；先作高線UG,確定"CC的面積中底邊AC為定值2,根據(jù)高的人小確定面積的人小，當(dāng)C*在BD上時(shí)，CG最大，其AACC的面積最大，并求此時(shí)的面積.【詳解】由對(duì)稱得：CD=CD,ZCDE=ZCDE,在正方形ABCD中，AD=CDfZ/ADC=90°,???AD=CD9???F是AC的中點(diǎn)，???DF丄AC\ZADF=ZCDF,1???ZFDP=ZFDC+ZEDC'=一ZADC=45°；2結(jié)論：BP+DP=^AP,理由是：如圖，作APl±AP交PD的延長線于.??zPAP9=90°9在正方形ABCD中，DA=BA.ZBAD=90Q.???ZDAP=乙BAP,由(1)可知:ZFDP=45°???ZDFP=90°.??ZAPD=45°,???ZP,=45°,???AP=AP\在△弘卩和厶DAP中，BA=DA<ZBAP=ZDAPr,AP=APr???△BAP^△DAP(SAS),???BP=DP,???DP+BP=PP'=J^AP；(3)如圖,過C作CG丄AC于G,則S^acc=-AC^CG92RtAABC中，AB=BC=邁,???AC=yl（yf2）2+（y/2）2=2，即AC為定值，當(dāng)CG最人值，△ACC的面積最人，連接BD,交AC于0,當(dāng)C'在BD上時(shí)，UG最大，此時(shí)G與0重合，???CD=CD=忑,0D=*C=l,???C'G=y[2-1,...s°acc="C?C，G=*x2（＞/2-1）=V2-1.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.3.如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120%AAEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC,CD±?（1）證明：BE=CF?（2）當(dāng)點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±移動(dòng)時(shí)（AAEF保持為正三角形），請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面枳是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值：如果變化，求出其最人值.（3）在（2）的情況下，請(qǐng)?zhí)骄緼CEF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最人值.（果變化，求出其最人值.（3）見解析試題分析：（1）先求證AB=AC＞進(jìn)而求證AABC、AACD為等邊三角形，得Z4=60。,AC=AB進(jìn)而求證厶ABE雯△ACF,即可求得BE=CF：（2）根據(jù)△ABE雯△ACF可得abe=S^acf，故根據(jù)S咖形AECF=S°AEC+S°ACF=S°AEC+S^ABE=S°ABC即nJ解題：（3）當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.△AEF的面枳會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)S4cef=S四邊形aecf￡aef,則△CEF的面積就會(huì)最大.試題解析：（1）證明：連接AC,?/Z1+Z2=60°,Z3+Z2=60°,???Z1=Z3,???ZBAD=120°,???ZABC=ZADC=60°???四邊形ABCD是菱形，???AB=BC=CD=AD,???△ABC、△ACD為等邊三角形Z4=60%AC=AB,???在△ABE和厶ACF中，（Z1=Z3IAB二AC,[ZABSZ4.??△ABE竺△ACF.（ASA）???BE=CF.（2）解：由（1）得厶ABE雯△ACF,則SaABE=SaACF.占攵S卩q邊形AECF=S°AEC+S°ACF=S^AEC+S°ABE二ABC*是定值.作AH丄BC于H點(diǎn)，則BH=2,S網(wǎng)邊形AECF=S^ABC=-yBC-AH令BOJU—BH'=45/3：（3）解:由"垂線段最短”可知,當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.故厶AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面枳會(huì)最小，乂Sacef=S網(wǎng)邊形aecf-Saaef，貝仏CEF的面積就會(huì)最大.由（2）得，SaCEF=S網(wǎng)邊形AECF-SaAEF=4后-寺X2^3xd（2亦）2-

點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證AABE竺“ACF是解題的關(guān)鍵.4.己知003=90。，點(diǎn)C是ZAOB的角平分線OP上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)直角ZMCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，兩直角邊CM,CN分別與直線04,03相交于點(diǎn)D,點(diǎn)（1）如圖1，若CD丄Q4,猜想線段OD,OE,OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2,若點(diǎn)D在射線Q4上，且CD與Q4不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請(qǐng)說明理由；如不成立，請(qǐng)寫出線段OD,OE,OC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3,若點(diǎn)D在射線Q4的反向延長線上，且OD=2,OE=,請(qǐng)直接寫出線段CE的長度.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）V34【解析】【分析】先證四邊形ODCE為矩形，再證矩形ODCE為正方形，由正方形性質(zhì)可得；(2)過點(diǎn)C作CG丄04于點(diǎn)G,CH丄OB于點(diǎn)H,證四邊形OGCH為正方形，再證NCGD=\CHE(ASA),可得；(3)根據(jù)△CGD=ACHE(ASA),可得OE-OD=OH+OG=>/2OC-【詳解】解：(1)TZ4OB=90。，ZMCN=90°,CD丄OA,???四邊形ODCE為矩形.???OP是ZAOB的角平分線，???ZDOC=ZEOC=45°,:.OD=CD,???矩形ODCE為正方形，??OC=yf^OD，OC=y[lOE-???od+oe=￡oc?如圖，過點(diǎn)C作CG丄04于點(diǎn)G,CH1OB于點(diǎn)、H,vOP平分ZAOB,ZAOB=90°,???四邊形OGCH為正方形，由(1〉得：OG+OH=^OC，在ACGD和&CHE中，ZCGD=ACHE=90e<CG=CH,ZDCG=ZECHACGD=ACHE(ASA),???GD=HE,???OD+OE=^OC?⑶OG+OH=dc‘ACGD=ACHE(ASA),???GD=HE.??OD=GD—OG,OE=OH+EH,???OE-OD=OH+OG=^OC，???OC=3近,???CE=?,CE的長度為加.

A【點(diǎn)睛】A【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形，正方形的判定和性質(zhì)?熟練運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.5.正方形ABCD,點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在對(duì)角線AC±,連AE.⑴如圖1,連EF,若EF丄AC,4AF=3AC,AB=4,求△AEF的周長；（2）如圖2,若AF=AB,過點(diǎn)F作FG丄AC交CD于G,點(diǎn)H在線段FG上（不與端點(diǎn)重合）,連AH.若ZEAH=45°,求證：EC=HG+J^FC.【答案】（【答案】（1）2簡+4JI;（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD=4,ZB=Z0=90°,ZACB=ZACD=ZBAC=ZACD=45。，得出AC=7^AB=4Q求出”=3逅，CF=AC-AF=近,求出△CEF是等腰直角三角形，得出EF=CF=QCE=￡cF=2,在RtAAEF中，由勾股定理求出AE,即可得出△AEF的周長：（2）延長GF交BC于A4,連接AG,則△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM=CG,CG=&CF,證出BM=DG,證明RtAAFG^RtAADG得出FG=DG,BM=FG,再證明AAB民AAFH,得出BE=FH,即可得出結(jié)論.【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，/.AB=BC=CD=AD=4.ZB=Z0=90%ZACB=AACD=ABAC=AACD=45°.AC=^2AB=49???4AF=3AC=127I，AF=3yf29???CF=AC?AF=,???ef±ac9???△CEF是等腰直角三角形，???EF=CF=邁,CE=近CF=2,在RtAAEF中，由勾股定理得：AE=JaF?+EF?=2逅，???△AEF的周長=AE+EF+AF=2巧+JI+32石+4JI;(2)證明：延長GF交BC于M,連接AG,如圖2所示：則厶CGM和厶CFG是等腰直角三角形,???CM=CG,CG=^CF,.??BM=DG9???AF=AB9???AF=AD.在RtAAFG和RtAADG中，AG=AGAF=AD???RtAAFG里RtAADG(HL),???FG=DG…??BM=FG,???ZBAC=ZEAH=45°,???ZBAE=ZFAH,???FG丄AC,???ZAFH=90。，在△ABE和厶AFH中，ZB=ZAFH=90°<AB=AF,ZBAE=ZFAH?.??△ABE雯△AFH(ASA),???BE=FH,???BM=BE+EM,FG=FH+HG,???EM=HG,???EC=EM+CM,CM=CG=y/2CF9???EC=HG+y/^FC?【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)：熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,在RtAPFE中，ZEPF=90°,點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上.（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)0重合：①求證：AF=DE：②若正方形的邊長為2羽,當(dāng)ZD0E=15°時(shí)，求線段EF的長；（2）如圖2,若RtAPFE的頂點(diǎn)P在線段0B上移動(dòng)（不與點(diǎn)0、B重合），當(dāng)BD=3BP【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：AAOF竺△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作0G丄AB于G,根據(jù)余弦的概念求出0F的長，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP丄BD交AB于點(diǎn)H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.【詳解】（1）①證明：???四邊形ABCD是正方形，OA=OD,Z0AF=ZODE=45°,ZAOD=90°,ZAOE+ZDOE=90°,???ZEPF=90°,/.ZAOF+ZAOE=90°,/.ZDOE=ZAOF,在厶AOF和厶DOE中，ZOAF=ZODE<OA=OD,ZAOF=ZDOE???△AOF雯△DOE,???AF=DE；②解：過點(diǎn)0作0G丄AB于G,

EDEDffl1???正方形的邊長為2衛(wèi),OG=-BC=73>2、???ZD0E=15%△AOF雯△DOE,???ZAOF=15°,???ZFOG=45°-15°=30%OG???0F==2cosZDOG???EF珂0尸+0丘丄=2邁:過點(diǎn)P作HP±BD過點(diǎn)P作HP±BD交AB于點(diǎn)H,則ZkHPB為等腰直角三角形,ZHPD=90°,???HP=BP,???BD=3BP,???PD=2BP,???PD=2HP,又???ZHPF+ZHPE=90°,ZDPE+ZHPE=90°,???ZHPF=ZDPE,又???ZBHP=ZEDP=45°,???△PHF?△PDE,PFPH1…_2,???PE=2PF.【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理?注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

7.如圖1,在正方形ABCD中，AD=6,點(diǎn)P是對(duì)角線BD±任意一點(diǎn)，連接PA,PC過點(diǎn)P作PE丄PC交直線AB于E.（1）求證：PC=PE;（2）延長AP交直線CD于點(diǎn)F.如圖2,若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求AAPE的面枳；若AAPE的面積是一■,則DF的長為23（3）如圖3,點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接PQ，MQ,過點(diǎn)P作PNIICD交EC于點(diǎn)N,連接QN,若PQ=5,MN=Z^,則厶MNQ的3面積是【答案】⑴略；（2）①8,②4或9：（3）-6【解析】【分析】（1）利用正方形每個(gè)角都是90。，對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證；（2）作出△ADP和厶DFP的高，由面積法容易求出這個(gè)高的值.從而得到△PAE的底和高，并求出面積.第2小問思路一樣，通過面積法列出方程求解即可；（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】（1）證明：???點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，???△ADP竺△CDP,???AP=CP,ZDAP=ZDCP,???PE丄PC,/.ZEPC=ZEPB+ZBPC=90°/???ZPEA=ZEBP+ZEPB=45°+90°-ZBPC=135°-ZBPC,???ZPAE=90°-ZDAP=90°-ZDCP,ZDCP=ZBPC-ZPDC=ZBPC?45：???ZPAE=90°-（ZBPC-45°）=135°-ZBPC,???ZPEA=ZPAE,???PC=PE;（2）①如圖2,過點(diǎn)P分別作PH丄AD,PG丄CD,垂足分別為H、G?延長GP交AB于點(diǎn)???四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線上，???四邊形HPGD是正方形，???PH=PG,PM丄AB,設(shè)PH=PG=a,???F是CD中點(diǎn)，AD=6,則FD=3/S^adf=9,??S"=S.心+S?=^ADxPH+^DFxPGt???丄ax6+丄dx3=9”解得a=2,22???AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4/又???PA=PE,???AM=EM,AE=4,TS.xE冷E4xMP=*x4x4=8,②設(shè)HP=b,Fh①可得AE=2b,MP=6-b,???S^ape=|x2/?x(6-^)=^/解得b=2.4或3.6,??Szf=S.心+S?=^ADxPH+^DFxPGt丄x6xb+LDFxb=?DFx6,222.?.當(dāng)b=2.4時(shí),DF=4；當(dāng)b=3.6時(shí)，DF=9,即DF的長為4或9;(3)如圖，

?????E、Q關(guān)于BP對(duì)稱，PNIICD,???Z1=Z2,Z2+Z3=ZBDC=45。，???z1+Z4=45：???Z3=Z4,易證△PEM雯△PQM,APNQ^△PNC,???Z5=Z6,Z7=Z8,EM=QMZNQ=NC/???Z6+Z7=90°,△MNQ是直角三角形，設(shè)EM=a,NC=b列方程組°+“5血-也3可得—^=—,26?s丄…Smnq-G【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵?要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想?&點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合),分別過點(diǎn)A,C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,點(diǎn)0為AC的中點(diǎn).(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系;（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點(diǎn)P在射線0A上運(yùn)動(dòng),恰好使得ZOEF=30°時(shí)，猜想此時(shí)線段CF,AE,0E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】（1）OE=OF.理由見解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE=OF仍然成立；（3）CF=OE+AE或CF=OE?AE.【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定^AOE=ACOF（AAS）t得出oE=OF-（2）先延長EO交CF于點(diǎn)G,通過判定MOE=\COG（ASA）,得出OG=OE,再根據(jù)RtzXEFG中，of=Leg,即可得到OE=OF-2（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】（1）OE=OF.理由如下：如圖1.???四邊形ABCD是矩形，OA=OC.VAE丄BP，CF丄BP,ZAEO=Z.CFO=90°.ZAEO=ZCFO??在MOE和'COF中,<ZAOE=ZCOF,/.MOE=\COF{AAS）,/.OE=OF；OA=OC（2）補(bǔ)全圖形如圖2,OE=OF仍然成立.證明如下：延長EO交CF于點(diǎn)G.??AE丄3P,CF丄BP,???AE//CF,:.ZEAO=AGCO.又???點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AO=CO.ZEAO=AGCO在MOE和ACOG中，<40=CO,\AOE=^COG（ASA）,OG=OE,ZAOE=COG/.RtAEFG中，OF=—EG?OE=OF：2（3）CF=OE+AE或CF=0Q4E?證明如下：①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí).???ZOEF=30°,ZEFG=90°,:.ZOGF=60°,由（2）可得：OF=OG,△OGF是等邊三角形，二FG=OF=OE,由（2）可得：從OE三NCOG、：?CG=AE.又???CF=GF+CG,???CF=OE+AE；②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí).

vZOEF=30°,ZEFG=90°,/.ZOGF=60°,同理可得：AOGF是等邊三角形,???FG=OF=OE,同理可得：/\AOE=ACOG,/.CG=AE.又???CF二GF?CG.???CF=OE?AE?【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決.9.猜想與證明：如圖1,擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF,若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展與延伸：若將"猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為.如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論「仍然成立.證明見解析；(2)證明見解析；(2)成立，證明見解析.試題分析：延長EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF,得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)RtAHDE得到HM=DE,則可以得到答案：(1)、延長EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF,得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)RtAHDE得到HM=DE,則可以得到答案;(2)、連接AE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出zFCE=45°,ZFCA=45°,根據(jù)RTAADF中AM=MF得出DM二AM二MF,根據(jù)RTAAEF中AM=MF得出AM二MF二ME,從而說明DM=ME.試題解析：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H,???四邊形ABCD和CEFG是矩/.ADIIEF,???ZEFM=ZHAM,又???ZFME=ZAMH,FM=AM,(ZEFN二在厶FME和厶AMH中，\Izfme