第三節(jié)合情推理與演繹推理第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納推理考點一類比推理考點三演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的①部分

對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的②全部

對象都具有這種性質(zhì)的推理由③

部分

到④

整體

、由⑤個別

到⑥一般

類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(或一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由⑦特殊

到⑧特殊

1.合情推理教材研讀類型定義特點歸納根據(jù)一類事物的①部分

對象具有某種2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理稱為

演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷.

2.演繹推理1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的面積是

ah,如果把扇形的弧長l,半徑r分別看成三角形的底邊長和高,可得到扇形的

面積為

lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n2.(1)(2)兩個推理過程分別屬于

()A.類比推理、歸納推理

B.類比推理、演繹推理C.歸納推理、類比推理

D.歸納推理、演繹推理答案

A(1)三角形的性質(zhì)與扇形的性質(zhì)有相似之處,此種推理為類比

推理;(2)由特殊到一般,此種推理為歸納推理.故選A.A1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的2.(2017北京海淀二模)一位手機用戶前四次輸入四位數(shù)字手機密碼均

不正確,第五次輸入密碼正確,手機解鎖.事后發(fā)現(xiàn)前四次輸入的密碼中,

每次都有兩個數(shù)字正確,但它們各自的位置均不正確.已知前四次輸入

的密碼分別為3406,1630,7364,6173,則正確的密碼中一定含有數(shù)字

()A.4,6

B.3,6

C.3,7

D.1,7答案

D由前四次輸入的密碼可知3和6均出現(xiàn)四次,且每個位置出現(xiàn)

一次,故正確密碼中沒有3和6,又前四次輸入的密碼中,每次有兩個數(shù)字

正確,故正確密碼中數(shù)字為0,4,1,7,故正確密碼為0741或4017.故選D.D2.(2017北京海淀二模)一位手機用戶前四次輸入四位數(shù)字手3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書寫在每一個骰子的六個表

面上,做成6枚一樣的骰子.分別取三枚同樣的這種骰子疊放成如圖A和B

所示的兩個柱體,則柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別是

()

A.47,48

B.47,49

C.49,50

D.50,49A3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書答案

A由圖A知,5不與6、4相對,由圖B知,5不與1、3相對,故5與2相對.同理,6與1相對,3與4相對.故柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別為47,48.答案

A由圖A知,5不與6、4相對,4.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,

類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為

.答案1∶8解析∵兩個正三角形是相似三角形,∴它們的面積比是相似比的平

方.類似地,兩個正四面體是兩個“相似”幾何體,體積比為相似比的立

方,∴所求體積比為1∶8.1∶84.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道選擇題,每題

1分,每道題在A,B,C三個選項中只有一個是正確的.下表是甲、乙、丙

三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分:

12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2則甲同學(xué)答錯的題目的題號是

;此題正確的選項是

.5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道答案5;A解析∵甲與乙在1,2,4三道題選項相同,又甲選對4道,乙選對3道,∴1,2,

4題正確選項分別為C,C,B;甲選錯的是題3或題5,由丙的成績知其只做

對了題2和題4,∴題3不選C,題5不選B,由乙的答題和得分情況知,題5不

選C,即題5正確的選項為A.答案5;A解析∵甲與乙在1,2,4三道題選項相同,又甲選考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下列類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為

復(fù)數(shù)集):①由“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d

∈Q,則a+b

=c+d

?a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”;④由“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是

()A.1

B.2

C.3

D.4考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下列類比推理命題((2)如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,

4),此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離為hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,則1×h1+2×h2+3×h3+4×h4=

.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為

Hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,則H1+2H2+3H3+4H4的值為

()

A.

B.

C.

D.

(2)如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為a答案(1)B(2)B解析(1)類比結(jié)論正確的只有①②.(2)在平面凸四邊形中,連接P點與各個頂點,將其分成四個小三角形,

根據(jù)三角形面積公式,可得S=

(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)=

(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=

(h1+2h2+3h3+4h4).所以h1+2h2+3h3+4h4=

.答案(1)B(2)B解析(1)類比結(jié)論正確的只有①②.類似地,連接Q點與三棱錐的四個頂點,將其分成四個小三棱錐,則有V=

(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)=

(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)=

(H1+2H2+3H3+4H4),所以H1+2H2+3H3+4H4=

.類似地,連接Q點與三棱錐的四個頂點,將其分成四個小三棱錐,則方法技巧在進行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要

注意以下兩點:(1)找兩類對象的對應(yīng)元素,如:三角形對應(yīng)三棱錐,圓對應(yīng)

球,面積對應(yīng)體積;(2)找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對應(yīng)

線面垂直或面面垂直,邊相等對應(yīng)面積相等.方法技巧1-1在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接

圓面積為S2,則

=

.推廣到空間可以得到類似結(jié)論,已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則

=

()A.

B.

C.

D.

答案

C正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故

=

.C1-1在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為典例2(1)觀察下列等式:1-

=

;1-

+

-

=

+

;1-

+

-

+

-

=

+

+

;……據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為

.(2)觀察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;考點二歸納推理命題角度一與數(shù)字有關(guān)的等式的推理典例2(1)觀察下列等式:考點二歸納推理

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此規(guī)律,

+

+

+…+

=

.?+?+?+…+?=?×3×4;答案(1)1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

(2)

解析(1)規(guī)律為等式左邊共有2n項,且等式左邊分母分別為1,2,…,2n,

分子為1,奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負,即為1-

+

-

+…+

-

;等式右邊共有n項,且分母分別為n+1,n+2,…,2n,分子為1,即為

+

+…+

.所以第n個等式可為1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.(2)觀察前4個等式,由歸納推理可知

+

+…+

=

×n×(n+1)=

.答案(1)1-?+?-?+…+?-?=?+?+…+?(2典例3(1)設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+

+

+…+

,計算得f(2)=

,f(4)>2,f(8)>

,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測一般的結(jié)論為

.(2)已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+

≥2,x+

=

+

+

≥3,x+

=

+

+

+

≥4,……,歸納得x+

≥n+1(n∈N*),則a=

.命題角度二與不等式有關(guān)的推理典例3(1)設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+?+?+…+?,答案(1)f(2n)≥

(n∈N*)(2)nn

解析(1)∵f(21)=

,f(22)>2=

,f(23)>

,f(24)>

,∴歸納得f(2n)≥

(n∈N*).(2)第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時

a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.答案(1)f(2n)≥?(n∈N*)(2)nn解析(命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理典例4以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解

九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.

該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩

上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為

()A.2017×22015

B.2017×22014C.2016×22015

D.2016×22014

B命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理B答案

B解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,……,

第2015行數(shù)的公差為22014,第1行的第一個數(shù)為2×2-1,第2行的第一個數(shù)為3×20,第3行的第一個數(shù)為4×21,……第n行的第一個數(shù)為(n+1)×

,第2016行只有一個數(shù)M,則M=(1+2016)×22014=2017×22014.故選B.答案

B解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,第1行命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理典例5下面圖形由小正方形組成,請觀察圖1至圖4的規(guī)律,依此規(guī)律,第

n個圖形中小正方形的個數(shù)是

(n∈N*).

命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理答案

解析由題圖可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)為1+2+3+…+n=

.答案

?解析由題圖可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)為規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟①通過對某些個體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)

律;②由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個明確表達的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超越了

前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進一步證明,但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)

的發(fā)現(xiàn)很有用.規(guī)律總結(jié)2-1如圖所示,將若干個點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個端點)有n

(n>1,n∈N)個點,相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an,則

+

+

+…+

=

()

A.

B.

C.

D.

C2-1如圖所示,將若干個點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個答案

C每條邊有n個點,所以3條邊有3n個點,三角形的3個頂點重復(fù)

計算了一次,所以減3個頂點,即an=3n-3,那么

=

=

=

-

,即

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

=

,故選C.答案

C每條邊有n個點,所以3條邊有3n個點,三角形典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3是三個

邊長為2的等邊三角形,且有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有5個不同的

點P1,P2,P3,P4,P5,設(shè)mi=

·

(i=1,2,…,5),則m1+m2+…+m5=

.

考點三演繹推理典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,△AB1C1,△(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動,共a,b,c三個問題,其

中題a滿分是20分,題b,c滿分都是25分.每道題或者得滿分,或者得0分.活動結(jié)果顯示,全班同學(xué)每人至少答對一道題,有1名同學(xué)答對全部三道題,

有15名同學(xué)答對其中兩道題.答對題a與題b的人數(shù)之和為29,答對題a與

題c的人數(shù)之和為25,答對題b與題c的人數(shù)之和為20,則該班同學(xué)中只答

對一道題的人數(shù)是

;該班的平均成績是

.(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動,共a答案(1)90(2)4;42分解析(1)因為△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3均是邊長為2的等邊三角形,所以△AB1C2為等腰三角形,∠AB1C2=120°,∠AB3C3=60°,所以∠C2AB3=30°,AC2=2

,延長AC2,B3C3,交于點D,

答案(1)90(2)4;42分解析(1)因為△AB1C則∠D=90°,所以

⊥

,所以

·

=0.所以mi=

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=|

|·|

|·cos30°+0=2

×6×

=18,所以m1+m2+…+m5=18×5=90.(2)設(shè)答對題a,題b,題c的人數(shù)分別為Sa,Sb,Sc,由題意得

?

則∠D=90°,設(shè)只答對題a的人數(shù)為a,只答對題b的人數(shù)為b,只答對題c的人數(shù)為c,答

對a與b,b與c,a與c的人數(shù)分別為x,y,z.由題可知x+y+z=15.Sa=x+z+a+1=17,①Sb=x+y+b+1=12,②Sc=y+z+c+1=8,③①+②+③得,2(x+y+z)+(a+b+c)+3=37.故a+b+c=4,即只答對一道題的有4人,故全班總?cè)藬?shù)為1+15+4=20.總分為20Sa+25Sb+25Sc=840,平均分為

=42(分).設(shè)只答對題a的人數(shù)為a,只答對題b的人數(shù)為b,只答對題c的人規(guī)律總結(jié)(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論

解決問題時,應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然

的,則可以省略.(2)在推理論證過程中,一些復(fù)雜的證明題常常要利用幾個三段論才能

完成.規(guī)律總結(jié)3-1

(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿

足以下三個條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為

;②該小組人數(shù)的最小值為

.答案①6②123-1

(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知得

且x,y,z均為正整數(shù).①當z=4時,8>x>y>4,∴x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.②x>y>z>

,當x=3時,條件不成立,當x=4時,條件不成立,當x=5時,5>y>z>

,此時z=3,y=4.∴該小組人數(shù)的最小值為12.解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知編后語做筆記不是要將所有東西都寫下，我們需要的只是“詳略得當“的筆記。做筆記究竟應(yīng)該完整到什么程度，才能算詳略得當呢？對此很難作出簡單回答。課堂筆記，最祥可逐字逐句，有言必錄；最略則廖廖數(shù)筆，提綱挈領(lǐng)。做筆記的詳略要依下面這些條件而定。講課內(nèi)容——對實際材料的講解課可能需要做大量的筆記。最講授的主題是否熟悉——越不熟悉的學(xué)科，筆記就越需要完整。所講授的知識材料在教科書或別的書刊上是否能夠很容易看到——如果很難從別的來源得到這些知識，那么就必須做完整的筆記。有的同學(xué)一味追求課堂筆記做得“漂亮”，把主要精力放在做筆記上，常常為看不清黑板上一個字或一句話，不斷向四周同學(xué)詢問。特意把筆記做得很全的人，主要是擔(dān)心漏掉重要內(nèi)容,影響以后的復(fù)習(xí)與思考.，這樣不僅失去了做筆記的意義，也將課堂“聽”與“記”的關(guān)系本末倒置了﹙太忙于記錄，便無暇緊跟老師的思路﹚。如果只是零星記下一些突出的短語或使你感興趣的內(nèi)容，那你的筆記就可能顯得有些凌亂。做提綱式筆記因不是自始至終全都埋頭做筆記，故可在聽課時把時間更多地用于理解所聽到的內(nèi)容.事實上，理解正是做好提綱式筆記的關(guān)鍵。課堂筆記要注意這五種方法：一是簡明扼要，綱目清楚，首先要記下所講章節(jié)的標題、副標題，按要點進行分段；二是要選擇筆記語句，利用短語、數(shù)字、圖表、縮寫或符號進行速記；三是英語、語文課的重點詞匯、句型可直接記在書頁邊，這樣便于復(fù)習(xí)時查找﹙當然也可以記在筆記本上，前提是你能聽懂﹚；四是數(shù)理化生等，主要記老師解題的新思路、補充的定義、定理、公式及例題；五是政治、歷史等，著重記下老師對問題的綜合闡述。2022/12/26最新中小學(xué)教學(xué)課件38編后語做筆記不是要將所有東西都寫下，我們需要的只是“詳略得當2022/12/26最新中小學(xué)教學(xué)課件39謝謝欣賞！2022/12/25最新中小學(xué)教學(xué)課件39謝謝欣賞！第三節(jié)合情推理與演繹推理第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納推理考點一類比推理考點三演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的①部分

對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的②全部

對象都具有這種性質(zhì)的推理由③

部分

到④

整體

、由⑤個別

到⑥一般

類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(或一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由⑦特殊

到⑧特殊

1.合情推理教材研讀類型定義特點歸納根據(jù)一類事物的①部分

對象具有某種2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理稱為

演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷.

2.演繹推理1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的面積是

ah,如果把扇形的弧長l,半徑r分別看成三角形的底邊長和高,可得到扇形的

面積為

lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n2.(1)(2)兩個推理過程分別屬于

()A.類比推理、歸納推理

B.類比推理、演繹推理C.歸納推理、類比推理

D.歸納推理、演繹推理答案

A(1)三角形的性質(zhì)與扇形的性質(zhì)有相似之處,此種推理為類比

推理;(2)由特殊到一般,此種推理為歸納推理.故選A.A1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的2.(2017北京海淀二模)一位手機用戶前四次輸入四位數(shù)字手機密碼均

不正確,第五次輸入密碼正確,手機解鎖.事后發(fā)現(xiàn)前四次輸入的密碼中,

每次都有兩個數(shù)字正確,但它們各自的位置均不正確.已知前四次輸入

的密碼分別為3406,1630,7364,6173,則正確的密碼中一定含有數(shù)字

()A.4,6

B.3,6

C.3,7

D.1,7答案

D由前四次輸入的密碼可知3和6均出現(xiàn)四次,且每個位置出現(xiàn)

一次,故正確密碼中沒有3和6,又前四次輸入的密碼中,每次有兩個數(shù)字

正確,故正確密碼中數(shù)字為0,4,1,7,故正確密碼為0741或4017.故選D.D2.(2017北京海淀二模)一位手機用戶前四次輸入四位數(shù)字手3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書寫在每一個骰子的六個表

面上,做成6枚一樣的骰子.分別取三枚同樣的這種骰子疊放成如圖A和B

所示的兩個柱體,則柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別是

()

A.47,48

B.47,49

C.49,50

D.50,49A3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書答案

A由圖A知,5不與6、4相對,由圖B知,5不與1、3相對,故5與2相對.同理,6與1相對,3與4相對.故柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別為47,48.答案

A由圖A知,5不與6、4相對,4.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,

類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為

.答案1∶8解析∵兩個正三角形是相似三角形,∴它們的面積比是相似比的平

方.類似地,兩個正四面體是兩個“相似”幾何體,體積比為相似比的立

方,∴所求體積比為1∶8.1∶84.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道選擇題,每題

1分,每道題在A,B,C三個選項中只有一個是正確的.下表是甲、乙、丙

三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分:

12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2則甲同學(xué)答錯的題目的題號是

;此題正確的選項是

.5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道答案5;A解析∵甲與乙在1,2,4三道題選項相同,又甲選對4道,乙選對3道,∴1,2,

4題正確選項分別為C,C,B;甲選錯的是題3或題5,由丙的成績知其只做

對了題2和題4,∴題3不選C,題5不選B,由乙的答題和得分情況知,題5不

選C,即題5正確的選項為A.答案5;A解析∵甲與乙在1,2,4三道題選項相同,又甲選考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下列類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為

復(fù)數(shù)集):①由“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d

∈Q,則a+b

=c+d

?a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”;④由“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是

()A.1

B.2

C.3

D.4考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下列類比推理命題((2)如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,

4),此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離為hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,則1×h1+2×h2+3×h3+4×h4=

.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為

Hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,則H1+2H2+3H3+4H4的值為

()

A.

B.

C.

D.

(2)如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為a答案(1)B(2)B解析(1)類比結(jié)論正確的只有①②.(2)在平面凸四邊形中,連接P點與各個頂點,將其分成四個小三角形,

根據(jù)三角形面積公式,可得S=

(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)=

(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=

(h1+2h2+3h3+4h4).所以h1+2h2+3h3+4h4=

.答案(1)B(2)B解析(1)類比結(jié)論正確的只有①②.類似地,連接Q點與三棱錐的四個頂點,將其分成四個小三棱錐,則有V=

(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)=

(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)=

(H1+2H2+3H3+4H4),所以H1+2H2+3H3+4H4=

.類似地,連接Q點與三棱錐的四個頂點,將其分成四個小三棱錐,則方法技巧在進行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要

注意以下兩點:(1)找兩類對象的對應(yīng)元素,如:三角形對應(yīng)三棱錐,圓對應(yīng)

球,面積對應(yīng)體積;(2)找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對應(yīng)

線面垂直或面面垂直,邊相等對應(yīng)面積相等.方法技巧1-1在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接

圓面積為S2,則

=

.推廣到空間可以得到類似結(jié)論,已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則

=

()A.

B.

C.

D.

答案

C正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故

=

.C1-1在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為典例2(1)觀察下列等式:1-

=

;1-

+

-

=

+

;1-

+

-

+

-

=

+

+

;……據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為

.(2)觀察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;考點二歸納推理命題角度一與數(shù)字有關(guān)的等式的推理典例2(1)觀察下列等式:考點二歸納推理

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此規(guī)律,

+

+

+…+

=

.?+?+?+…+?=?×3×4;答案(1)1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

(2)

解析(1)規(guī)律為等式左邊共有2n項,且等式左邊分母分別為1,2,…,2n,

分子為1,奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負,即為1-

+

-

+…+

-

;等式右邊共有n項,且分母分別為n+1,n+2,…,2n,分子為1,即為

+

+…+

.所以第n個等式可為1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.(2)觀察前4個等式,由歸納推理可知

+

+…+

=

×n×(n+1)=

.答案(1)1-?+?-?+…+?-?=?+?+…+?(2典例3(1)設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+

+

+…+

,計算得f(2)=

,f(4)>2,f(8)>

,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測一般的結(jié)論為

.(2)已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+

≥2,x+

=

+

+

≥3,x+

=

+

+

+

≥4,……,歸納得x+

≥n+1(n∈N*),則a=

.命題角度二與不等式有關(guān)的推理典例3(1)設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+?+?+…+?,答案(1)f(2n)≥

(n∈N*)(2)nn

解析(1)∵f(21)=

,f(22)>2=

,f(23)>

,f(24)>

,∴歸納得f(2n)≥

(n∈N*).(2)第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時

a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.答案(1)f(2n)≥?(n∈N*)(2)nn解析(命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理典例4以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解

九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.

該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩

上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為

()A.2017×22015

B.2017×22014C.2016×22015

D.2016×22014

B命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理B答案

B解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,……,

第2015行數(shù)的公差為22014,第1行的第一個數(shù)為2×2-1,第2行的第一個數(shù)為3×20,第3行的第一個數(shù)為4×21,……第n行的第一個數(shù)為(n+1)×

,第2016行只有一個數(shù)M,則M=(1+2016)×22014=2017×22014.故選B.答案

B解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,第1行命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理典例5下面圖形由小正方形組成,請觀察圖1至圖4的規(guī)律,依此規(guī)律,第

n個圖形中小正方形的個數(shù)是

(n∈N*).

命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理答案

解析由題圖可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)為1+2+3+…+n=

.答案

?解析由題圖可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)為規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟①通過對某些個體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)

律;②由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個明確表達的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超越了

前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進一步證明,但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)

的發(fā)現(xiàn)很有用.規(guī)律總結(jié)2-1如圖所示,將若干個點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個端點)有n

(n>1,n∈N)個點,相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an,則

+

+

+…+

=

()

A.

B.

C.

D.

C2-1如圖所示,將若干個點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個答案

C每條邊有n個點,所以3條邊有3n個點,三角形的3個頂點重復(fù)

計算了一次,所以減3個頂點,即an=3n-3,那么

=

=

=

-

,即

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

=

,故選C.答案

C每條邊有n個點,所以3條邊有3n個點,三角形典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3是三個

邊長為2的等邊三角形,且有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有5個不同的

點P1,P2,P3,P4,P5,設(shè)mi=

·

(i=1,2,…,5),則m1+m2+…+m5=

.

考點三演繹推理典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,△AB1C1,△(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動,共a,b,c三個問題,其

中題a滿分是20分,題b,c滿分都是25分.每道題或者得滿分,或者得0分.活動結(jié)果顯示,全班同學(xué)每人至少答對一道題,有1名同學(xué)答對全部三道題,

有15名同學(xué)答對其中兩道題.答對題a與題b的人數(shù)之和為29,答對題a與

題c的人數(shù)之和為25,答對題b與題c的人數(shù)之和為20,則該班同學(xué)中只答

對一道題的人數(shù)是

;該班的平均成績是

.(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動,共a答案(1)90(2)4;42分解析(1)因為△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3均是邊長為2的等邊三角形,所以△AB1C2為等腰三角形,∠AB1C2=120°,∠AB3C3=60°,所以∠C2AB3=30°,AC2=2

,延長AC2,B3C3,交于點D,

答案(1)90(2)4;42分解析(1)因為△AB1C則∠D=90°,所以

⊥

,所以

·

=0.所以mi=

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=|

|·|

|·cos30°+0=2

×6×

=18,所以m1+m2+