一、選擇題zInyjx~-y的定義域是A.｛（X,|x2>V）;B.｛（X,|X2>y｝：C.｛（X,v）|x2<y｝：D.｛（X,V）|x2<V）.z=/(x,y)在點(x0,v0)y的偏導數(shù)是Alim/(心+山，幾+勺)—/(X。，％)r丘皿g+心,％+△『)—/(x°,幾)CUm/(Xo+Ax,X))—/(兀,幾).AXTO AX '

Dlim/(Xo，%+4v)—/(Xo’o)RTO AX如果/(x,y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則空華衛(wèi)=oxoy

(D)A.o；B.^21；c.^21；^2).a%2 dy2 dydx函數(shù)z=/(x,y)在點(無)，％))處連續(xù)是函數(shù)在該點處可微分A.充分但不必要條件； B.必要但不充分條件；C.必要且充分條件； D.既不充分也不必要條件.I設z= 1=,則下列結論中正確的是I1

(B)(C)、一2?2在xoy平面上連續(xù)； B.在xoy平面上，只有(0,1)、(1,0)為間斷點;D.Sx2+v2<1內(nèi)連續(xù).xoy平面上，只有((x21上間斷；x'y~1內(nèi)連續(xù)二、計算題1.已知/(x,y)=xy+2xy,試求/(2,-1)和/("+2v,z/v).解:因為/(x,v)=X'v+2xy2v,=（M+2v）MV+2（M2.vy->0⑵lim（l—2號）廠解：lim（l-2xy）xyx—>0y->0

lim［（1+（—2巧））］五:MJ心+1-2氓兀+丁解：lim =-l皿廠+“證明lim 不存在.鍛兀V+（—V）p（x,y）y0趨近于點（0,0）時，有l(wèi)im 心_:------------li— ------------=0y->0:+(—y)~:二：x-+(xx~當點p(x,y沿直線yy->0=x趨近于點(0,0)時，有l(wèi)im 2222 ° 雹/亍+⑺“尸_1；二廣丁+(*-丁)-lim—y

XV22

不存在丁丄°yTOA

2,/y

x21 1 14.設f(x,y,)=xy2+y2+x2,求人(0,0,1),九(0,-1,0)和心2,0,1).解：/(x,y,z)=xy2+yz2+zx2f=y2+2zx,f=2xy+z2,f=2yz+x2由f=2z得x y z xx幾(0,0,l)=2xl=2yz由f =2z得幾(0,-1,0)=2x0=0yz由/,v=2x得尢(2,0,l)=2x2=4a3 a3z zz=xe^,dyoxdy解：—=x-exy?x=x2exydxx=x3exy喬|廠32.y=

(3+*“3Xyk“3ucos(xyz)的全微分5 ,du,du,du,角牛:du——-dx+—-dy+~~dzdxdydz=-sin(xyz)?yzdx-sin(xyz)?xzdy-sin(xyz)?xydz=-sin(xyz)?{yzdx+xzdy+xydz)Jl.023+1.973近似值（結果保留兩位小數(shù)）:解：設/(“)=JF+J?,貝ij/(1.02,1.97)=71.023+1.973取兀=1,y=2,Ax=0.02,Ay=—0.03,于是X=1尸2后+于

=l22

Vl3+23=V9=33j_+丁371.023+1.973 =/(1,2)+人(1,2)1,2)?=3+|x0.02+2x(-0.03)=2.95三、求下列偏導數(shù)z=+

x工dzedzfu=xy,v=—,求亍和p.ydxoyf解：力

—dudz3v

_(vdxdudxdvdx

—=-------1 —ve-y+\ue+e=e^.y-^.y+^丄+嚴丄dz_dzdudz3vdxdudy3vdy (ev-ve~u\x+(uev+e~u\

(\\y)?！獂y.

X_y兀x-----eyx+xyey?—x Fz3=2QZ—1Z/(x,v)的偏導數(shù)生和$.oxdy解：令F(兀,y,z)

+y3+z3-2xyz+1=0,2 Fy=3y2一2xz,—2xy3b-2xz3x2-2yz-=血

3z2-2xy3z2-2xyzf{x2-y\exyy且/z設u=x2-y2,v=exyz=/(s)dz

dz-dz型 dz 心dz+? =r?2x+ -y=2x+ye^,dvdxdu*dz3vdu dv du 3vdz dudy3vy.(一2力+%"“一2普+ 辛du dv du dv設z=%arctan(wv),,u=x2,v=xey,zx,y的偏導數(shù).dz3vH 解：2二禺丁)=字.字-duox

dvdxarctan(wv)H---UV1+uv

2-2x+ l+u2v2=2xarctan(x3e2)+dzdu dz

x3e2l+x6e2y

X4H?ey y\+xbe2ydudydvdyfarctan(wv)+—I \+uvU2=-------r?xey6.設弘=/(x,xy,xyz),X=cost,dzdtdzdtdzdx(Xdx—dtdz dydy dt=X+—<(~sint)+xeXy丿XIy2

y1+w2v2x5ey~l+x6e2yT,求全導數(shù)務2訂=-xey其中/a=x

sintsint2x yq=xyz

導數(shù)，求字、當和字.

axoydz包=/+藝.％+妙.也=^+y0+yZ藝dxdxdpdxBqdxdxdpBqdu_dfdp+。/勿_兀廿+兀z甘dydpdydqdyBpdqdu_dfdq_dfdzdqdzdq四、求z=x3-y3-3xy的極值和極值點.(、(、(Zx(x,y)=3x2-3y0 、解：聯(lián)立2K(^)=-V-3x=0-求得駐點3)'⑴J'(7)又4=Z口(x,y)=6x,B=Z?(x,y)=-3,C=Zyy(x,y)=-6y,B2-AC=(-3)