為學(xué)生插上創(chuàng)新的翅膀?yàn)閷W(xué)生插上創(chuàng)新的翅膀1一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，在學(xué)生自主開展中發(fā)揮不可替代的作用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成。數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)根本特征的必備思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合表達(dá)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最根本、最重要的組成局部，它既制約課程內(nèi)容主線，聚焦課程目標(biāo)要求，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量要求的集中反映。在中學(xué)階段它包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，2二、教師專業(yè)開展的三大基石理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法〞的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能到達(dá)的水平和效果。二、教師專業(yè)開展的三大基石理解數(shù)學(xué)3三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的，她的語言〔特別是數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表語言〕是高度概括、凝練的。正是這種高度的抽象性才使數(shù)學(xué)成為連接現(xiàn)實(shí)世界與人類智慧的橋梁，使數(shù)學(xué)語言成為表達(dá)客觀世界構(gòu)造的唯一精準(zhǔn)語言。因此數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)就在它的高度抽象性之中。三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包4只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的根本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的根本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題能力的根基所在。只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的根本思想，才能5從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā),應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系〞、“空間形式〞、“數(shù)形結(jié)合〞和“公理化思想〞這四條主線,讓學(xué)生有時(shí)機(jī)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)根源性問題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的根本問題,創(chuàng)立過程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想,以及從定性到準(zhǔn)確定量的根本過程等。數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來的；有哪些問題值得研究，如何構(gòu)建研究路徑，如何得到研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，開展新知識(shí)；等等。從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā),應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系〞、“空間形式〞、“6例幾個(gè)“簡單〞概念的理解空間中的“位置〞差異用什么表示？空間中的“方向〞差異用什么表示？如何刻畫直線的“直〞？如何刻畫平面的“平〞？例幾個(gè)“簡單〞概念的理解空間中的“位置〞差異用什么表示？7“位置〞是宇宙空間的最根本要素，位置用“點(diǎn)〞表示；直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用有向線段的長度表示；兩個(gè)“方向〞的差異用角度表示；直線的“直〞用點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系刻畫；平面的“平〞用點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系來刻畫。“位置〞是宇宙空間的最根本要素，位置用“點(diǎn)〞表示；8理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界知其然9四、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。思維的工具是語言；思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。四、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，它是10一個(gè)構(gòu)造數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的根本構(gòu)造：定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建立聯(lián)系——實(shí)踐應(yīng)用。先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過程。一個(gè)構(gòu)造數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的根本構(gòu)造：定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建11兩個(gè)方向〔方面〕數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面——?dú)w納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜測、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜測，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。兩個(gè)方向〔方面〕數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面——?dú)w納和12三種語言數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語言、圖形語言和普通文字語言。數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的“信息塊〞，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語言能縮短數(shù)學(xué)思維過程，使之變得簡約、精練。三種語言數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語言、圖形語言和普通文字語言。13四種形式數(shù)學(xué)思維的根本形式：邏輯推理代數(shù)運(yùn)算幾何直觀數(shù)形結(jié)合四種形式數(shù)學(xué)思維的根本形式：14邏輯推理邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)那么推出結(jié)論的思維過程。認(rèn)識(shí)問題的要點(diǎn)在于把握好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題；解決問題的任務(wù)是運(yùn)用“〞之性質(zhì)去推論“待知〞之性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡馭繁。而邏輯推理就是這種以簡馭繁的實(shí)踐與步驟。邏輯推理邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念15代數(shù)運(yùn)算“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算〞，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問題是代數(shù)學(xué)的根本思想；數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類比而發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是根本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；代數(shù)運(yùn)算的過程和方法可以容易地開展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。代數(shù)運(yùn)算“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算〞，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律16幾何直觀幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的構(gòu)造特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開邏輯推理的思維根底。幾何直觀幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖17數(shù)形結(jié)合用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系；把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果；這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)開展的有力手段，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像〔曲線〕、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系；18N種因地制宜的具體思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法：觀察、假說、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)研究中有用武之地；觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事物的特征和構(gòu)成要素、以及如何介入其中創(chuàng)造出我們想要的變化等，都能從觀察中獲得啟示；綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)歸納法……是常用的思維方法。N種因地制宜的具體思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法：觀察、19數(shù)學(xué)思維一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式演化出千變?nèi)f化、賞心悅目的思維方法。數(shù)學(xué)思維是人類智慧的最精彩綻放。好比一棵參天大樹，“一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式〞是根和主干，千變?nèi)f化的具體方法那么是其枝和葉。當(dāng)前課堂教學(xué)中的普遍問題是，把注意力集中到了“枝繁葉茂〞的追求，而忘卻了“根和主干〞的重要性。數(shù)學(xué)思維一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式20五、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)。五、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。21數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的“研究之道〞一般按“背景〔實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景〕——定義〔內(nèi)含、表示〕——分類〔以要素為標(biāo)準(zhǔn)〕——性質(zhì)〔要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系〕——特例〔性質(zhì)和判定〕——聯(lián)系〔應(yīng)用〕〞的邏輯展開。這個(gè)系統(tǒng)具有一般意義，是科學(xué)研究的“根本之道〞。教師以此為根本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過程，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考〞的關(guān)鍵之一。數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的“研究之道〞一般按“背景〔實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景〕22如何激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)根本條件：一是好的學(xué)習(xí)素材，二是有效的研究思路和方法。為學(xué)生提供典型而豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生展開獨(dú)立思考，并在思考的方向和思想方法上作適當(dāng)引導(dǎo)，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考〞的又一關(guān)鍵。如何激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)根本條件：一是好的學(xué)習(xí)23平面幾何的研究思路和方法平面圖形中，三角形是最簡單的，圓是最完美的〔主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上〕。于是，平面幾何中研究三角形、圓的根本性質(zhì)有奠基作用。三角形是最根本的。得到三角形的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到了研究幾何圖形的一個(gè)典范——研究其他幾何對(duì)象都可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到了一個(gè)“工具〞，因?yàn)槲覀兺萌切蔚男再|(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。平面幾何的研究思路和方法平面圖形中，三角形是最簡單的，圓是最24三角形性質(zhì)的研究思路和方法以三角形的要素〔三條邊、三個(gè)內(nèi)角〕、相關(guān)要素〔高、中線、角平分線、外角等〕以及幾何量〔邊長、角度、面積等〕之間的相互關(guān)系為根本問題，從“形狀、大小和位置關(guān)系〞等角度展開研究。顯然，這是一般觀念指導(dǎo)下的研究。三角形性質(zhì)的研究思路和方法以三角形的要素〔三條邊、三個(gè)內(nèi)角〕25思考一幾何圖形的性質(zhì)指什么？思考二你認(rèn)為可以怎樣構(gòu)建三角形性質(zhì)的研究框架？怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)？思考三類比三角形的研究思路和方法，你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建四邊形的研究路徑，得到平行四邊形的有關(guān)結(jié)論？思考四圓又該如何研究？思考一幾何圖形的性質(zhì)指什么？26小結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是開展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)總能想到方法。注重一般觀念的思維引領(lǐng)作用，可以提高思維的系統(tǒng)性、構(gòu)造性，有效抑制“做得到但想不到〞的為難，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具“必然性〞，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的重要途徑。小結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是開展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)27六、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的時(shí)機(jī)唯有復(fù)原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)識(shí)事物的本來面目設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能真正達(dá)成教學(xué)方式的實(shí)質(zhì)性變化。在學(xué)生熟悉的背景下，從具體事例中，通過“歸納—演繹〞而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是讓學(xué)生獲得理解概念本質(zhì)所需要的親身體驗(yàn)，這種體驗(yàn)構(gòu)筑了理解抽象概念的背景和根基，也是學(xué)生能掌控自身學(xué)習(xí)過程的必要條件。當(dāng)前應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)歸納。六、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的時(shí)機(jī)唯有復(fù)原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)28例

函數(shù)概念的歸納過程四個(gè)根本問題〔1〕函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景各是什么？刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？〔2〕決定這些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？〔3〕要素之間的相互關(guān)系如何？〔4〕可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？例函數(shù)概念的歸納過程四個(gè)根本問題29〔1〕是搞清楚這類變化過程的根本特征，明確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差異點(diǎn)，從而準(zhǔn)確區(qū)別不同變化現(xiàn)象，是明確問題的過程；〔2〕、〔3〕是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，這里的“依賴關(guān)系〞常常要借助于運(yùn)算而建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；〔4〕是以“依賴關(guān)系〞為導(dǎo)向，利用代數(shù)、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、圖形等加以明確。〔1〕是搞清楚這類變化過程的根本特征，明確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差30一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征是運(yùn)動(dòng)的速度〔即位移與時(shí)間的比值〕是一個(gè)定值。決定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的要素：速度v、時(shí)間t和位移S。這里，v是常量，t和S是變量；“速度是一個(gè)定值〞是此類運(yùn)動(dòng)區(qū)別于它類運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，它的實(shí)際意義是在一樣的時(shí)間段上物體的位移也一樣，這是一種均勻變化。一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征是運(yùn)動(dòng)的速度〔即31要素之間的相互關(guān)系

要素之間的相互關(guān)系

32數(shù)學(xué)模型：對(duì)于不同類型的問題，都有一個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的歸納過程，得到了各種各樣的一次函數(shù)。在此根底上，再對(duì)它們進(jìn)展共性的歸納，可以得到一次函數(shù)模型y=kx+b。這里，特別要注意k和b的意義：b是初始條件；函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的過程中，函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值是常數(shù)k，k的絕對(duì)值越大，改變得越快。這里特別要強(qiáng)調(diào)以實(shí)際問題為依托理解k，b的意義。數(shù)學(xué)模型：對(duì)于不同類型的問題，都有一個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的33思考：二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)建？反比例函數(shù)呢？思考：二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)建？反比例函數(shù)呢？34七、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題類比的含義類比的特點(diǎn)類比的一般模式七、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題類比的含義35代數(shù)中的類比類比“有理數(shù)〞的研究過程和方法，構(gòu)建“代數(shù)式〞的研究框架——你認(rèn)為“整式的乘法〞該如何開篇？類比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)。類比解二元一次方程組的思想方法，獲得解一元二次方程的思想方法。代數(shù)中的類比類比“有理數(shù)〞的研究過程和方法，構(gòu)建“代數(shù)式〞的36八、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出問題三角形、四邊形中的特殊化，位置關(guān)系的特殊化——平行與垂直；乘法是特殊的加法，乘方是特殊的乘法；字母代表數(shù)——一般化，一般化中的特殊問題：分式、根式的范圍限制，等與不等的問題——方程、不等式，等等；運(yùn)算中的一般化和特殊化——乘法公式與因式分解；……八、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出問題三角形、四邊形中的特殊化，37九、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)——保證高立意。好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng)。一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象〔即使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)學(xué)題目〕，往往需要經(jīng)歷從定性到定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過程。九、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)38例“平面圖形的旋轉(zhuǎn)〞的教學(xué)課標(biāo)要求〔1〕通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形的旋轉(zhuǎn)。探索它的根本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。〔2〕了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它的根本性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分。〔3〕探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性?！?〕認(rèn)識(shí)和欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形。例“平面圖形的旋轉(zhuǎn)〞的教學(xué)課標(biāo)要求39內(nèi)容構(gòu)造概念和性質(zhì)——特例〔性質(zhì)〕——數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用——實(shí)際應(yīng)用其中，“概念和性質(zhì)〞是根底，是重中之重。內(nèi)容構(gòu)造概念和性質(zhì)——特例〔性質(zhì)〕——數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用——實(shí)際40如何確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)的條件平面圖形的旋轉(zhuǎn)，就是通過對(duì)圖形實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換，把一個(gè)圖形從一個(gè)位置變到另一個(gè)位置。這里，圖形從一個(gè)位置變到另一個(gè)位置，需要做到“唯一確定〞。什么叫“唯一確定〞？——“三要素〞的根源。如何確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)的條件平面圖形的旋轉(zhuǎn)，就是通過對(duì)圖形實(shí)施旋轉(zhuǎn)41如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“三要素〞思考：如果缺少其中某個(gè)條件的話，旋轉(zhuǎn)后的圖形能唯一確定嗎？為了激發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考，可以讓他們進(jìn)展如下活動(dòng)：任意畫一個(gè)△ABC，〔1〕繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30°，得到的結(jié)果怎樣？〔2〕分別繞點(diǎn)A和點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到的結(jié)果一樣嗎？〔3〕繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的圖形有多少個(gè)？〔4〕給定哪些條件才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定？——有人認(rèn)為這樣問“牽〞的味道濃，你有好方法嗎？如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“三要素〞思考：如果缺少其中某個(gè)條件的話，旋轉(zhuǎn)42如何引導(dǎo)學(xué)生探究性質(zhì)假探究如何引導(dǎo)學(xué)生探究性質(zhì)假探究43宏觀觀念的指導(dǎo)變化中的不變性就是性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的關(guān)系，所謂“兩個(gè)圖形的關(guān)系〞，就是它們的形狀、大小關(guān)系和位置關(guān)系。研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，要充分利用確定這個(gè)對(duì)象的要素。這些是“宏觀觀念〞，是探究性質(zhì)的指路明燈。宏觀觀念的指導(dǎo)變化中的不變性就是性質(zhì)；44問題引導(dǎo)下的探究1.你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是要研究什么？意圖：使學(xué)生明確研究的目標(biāo)——旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的關(guān)系，變化中的不變性。2.具體而言就是要研究什么呢？意圖：使學(xué)生明確具體的研究思路——兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)元素之間的關(guān)系。追問：什么關(guān)系？——形狀、大小和位置關(guān)系等。問題引導(dǎo)下的探究1.你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是要研究什么？453.研究中要利用哪些知識(shí)？意圖：使學(xué)生明確從概念出發(fā)研究性質(zhì)，利用三要素得出性質(zhì)。4.觀察變化前后的兩個(gè)圖形，你能立即得出圖形旋轉(zhuǎn)前后有哪些不變性？意圖：從宏觀到微觀得出性質(zhì)——圖形的形狀、大小都不變，所以兩個(gè)圖形全等。3.研究中要利用哪些知識(shí)？465.你覺得對(duì)應(yīng)元素有哪些？它們有什么不變性？意圖：使學(xué)生養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的能力——對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)面等。追問1：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不變性怎么表達(dá)？〔如何利用三要素？〕②你能證明對(duì)應(yīng)線段的長度不變嗎？追問2：你認(rèn)為還有什么不變性？〔圖形中的位置關(guān)系保持不變，如垂直關(guān)系、平行關(guān)系等〕5.你覺得對(duì)應(yīng)元素有哪些？它們有什么不變性？47完畢語對(duì)未知事物的探索是學(xué)生的天性，需要教師倍加保護(hù)，我們常常因自己對(duì)學(xué)生心理的無知，低估學(xué)生的創(chuàng)造力而無意間扼殺了這種天性；學(xué)生的創(chuàng)新思維需要教師的激發(fā)，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考是數(shù)學(xué)教育的意義所在；要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，教師自己應(yīng)先學(xué)會(huì)思考，歸納、類比、推廣、特殊化是根本的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新之道；以一般觀念為指導(dǎo)，通過問題引導(dǎo)思考，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨(dú)立概括概念、性質(zhì)、公式、法那么的時(shí)機(jī)，這是教師的教學(xué)智慧所在。完畢語對(duì)未知事物的探索是學(xué)生的天性，需要教師倍加保護(hù)，我們常48數(shù)學(xué)育人——使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中樹立自信，堅(jiān)決正念，增強(qiáng)定力，鼓勵(lì)精進(jìn)，啟迪智慧，凈化心靈。數(shù)學(xué)育人49謝謝傾聽請(qǐng)?zhí)嵴滟F意見七年級(jí)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)課件：為學(xué)生插上創(chuàng)新的翅膀50為學(xué)生插上創(chuàng)新的翅膀?yàn)閷W(xué)生插上創(chuàng)新的翅膀51一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，在學(xué)生自主開展中發(fā)揮不可替代的作用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成。數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)根本特征的必備思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合表達(dá)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最根本、最重要的組成局部，它既制約課程內(nèi)容主線，聚焦課程目標(biāo)要求，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量要求的集中反映。在中學(xué)階段它包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，52二、教師專業(yè)開展的三大基石理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法〞的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能到達(dá)的水平和效果。二、教師專業(yè)開展的三大基石理解數(shù)學(xué)53三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的，她的語言〔特別是數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表語言〕是高度概括、凝練的。正是這種高度的抽象性才使數(shù)學(xué)成為連接現(xiàn)實(shí)世界與人類智慧的橋梁，使數(shù)學(xué)語言成為表達(dá)客觀世界構(gòu)造的唯一精準(zhǔn)語言。因此數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)就在它的高度抽象性之中。三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包54只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的根本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的根本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題能力的根基所在。只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的根本思想，才能55從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā),應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系〞、“空間形式〞、“數(shù)形結(jié)合〞和“公理化思想〞這四條主線,讓學(xué)生有時(shí)機(jī)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)根源性問題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的根本問題,創(chuàng)立過程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想,以及從定性到準(zhǔn)確定量的根本過程等。數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來的；有哪些問題值得研究，如何構(gòu)建研究路徑，如何得到研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問題，開展新知識(shí)；等等。從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā),應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系〞、“空間形式〞、“56例幾個(gè)“簡單〞概念的理解空間中的“位置〞差異用什么表示？空間中的“方向〞差異用什么表示？如何刻畫直線的“直〞？如何刻畫平面的“平〞？例幾個(gè)“簡單〞概念的理解空間中的“位置〞差異用什么表示？57“位置〞是宇宙空間的最根本要素，位置用“點(diǎn)〞表示；直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用有向線段的長度表示；兩個(gè)“方向〞的差異用角度表示；直線的“直〞用點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系刻畫；平面的“平〞用點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系來刻畫?！拔恢猫暿怯钪婵臻g的最根本要素，位置用“點(diǎn)〞表示；58理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界知其然59四、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。思維的工具是語言；思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。四、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過程，它是60一個(gè)構(gòu)造數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的根本構(gòu)造：定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建立聯(lián)系——實(shí)踐應(yīng)用。先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過程。一個(gè)構(gòu)造數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的根本構(gòu)造：定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建61兩個(gè)方向〔方面〕數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面——?dú)w納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜測、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜測，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。兩個(gè)方向〔方面〕數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面——?dú)w納和62三種語言數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語言、圖形語言和普通文字語言。數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的“信息塊〞，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語言能縮短數(shù)學(xué)思維過程，使之變得簡約、精練。三種語言數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語言、圖形語言和普通文字語言。63四種形式數(shù)學(xué)思維的根本形式：邏輯推理代數(shù)運(yùn)算幾何直觀數(shù)形結(jié)合四種形式數(shù)學(xué)思維的根本形式：64邏輯推理邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)那么推出結(jié)論的思維過程。認(rèn)識(shí)問題的要點(diǎn)在于把握好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題；解決問題的任務(wù)是運(yùn)用“〞之性質(zhì)去推論“待知〞之性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡馭繁。而邏輯推理就是這種以簡馭繁的實(shí)踐與步驟。邏輯推理邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念65代數(shù)運(yùn)算“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算〞，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問題是代數(shù)學(xué)的根本思想；數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類比而發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是根本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；代數(shù)運(yùn)算的過程和方法可以容易地開展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。代數(shù)運(yùn)算“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算〞，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律66幾何直觀幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的構(gòu)造特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開邏輯推理的思維根底。幾何直觀幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖67數(shù)形結(jié)合用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系；把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果；這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)開展的有力手段，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像〔曲線〕、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系；68N種因地制宜的具體思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法：觀察、假說、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)研究中有用武之地；觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事物的特征和構(gòu)成要素、以及如何介入其中創(chuàng)造出我們想要的變化等，都能從觀察中獲得啟示；綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)歸納法……是常用的思維方法。N種因地制宜的具體思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的思維方法：觀察、69數(shù)學(xué)思維一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式演化出千變?nèi)f化、賞心悅目的思維方法。數(shù)學(xué)思維是人類智慧的最精彩綻放。好比一棵參天大樹，“一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式〞是根和主干，千變?nèi)f化的具體方法那么是其枝和葉。當(dāng)前課堂教學(xué)中的普遍問題是，把注意力集中到了“枝繁葉茂〞的追求，而忘卻了“根和主干〞的重要性。數(shù)學(xué)思維一個(gè)構(gòu)造，兩個(gè)方向，三種語言，四種形式70五、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維之道的關(guān)鍵點(diǎn)。五、發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用數(shù)學(xué)教學(xué)的高立意。71數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的“研究之道〞一般按“背景〔實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景〕——定義〔內(nèi)含、表示〕——分類〔以要素為標(biāo)準(zhǔn)〕——性質(zhì)〔要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系〕——特例〔性質(zhì)和判定〕——聯(lián)系〔應(yīng)用〕〞的邏輯展開。這個(gè)系統(tǒng)具有一般意義，是科學(xué)研究的“根本之道〞。教師以此為根本依據(jù)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過程，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考〞的關(guān)鍵之一。數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的“研究之道〞一般按“背景〔實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景〕72如何激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)根本條件：一是好的學(xué)習(xí)素材，二是有效的研究思路和方法。為學(xué)生提供典型而豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生展開獨(dú)立思考，并在思考的方向和思想方法上作適當(dāng)引導(dǎo)，是“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考〞的又一關(guān)鍵。如何激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)根本條件：一是好的學(xué)習(xí)73平面幾何的研究思路和方法平面圖形中，三角形是最簡單的，圓是最完美的〔主要表現(xiàn)在對(duì)稱性上〕。于是，平面幾何中研究三角形、圓的根本性質(zhì)有奠基作用。三角形是最根本的。得到三角形的性質(zhì)是一方面，更重要的是得到了研究幾何圖形的一個(gè)典范——研究其他幾何對(duì)象都可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到了一個(gè)“工具〞，因?yàn)槲覀兺萌切蔚男再|(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì)。平面幾何的研究思路和方法平面圖形中，三角形是最簡單的，圓是最74三角形性質(zhì)的研究思路和方法以三角形的要素〔三條邊、三個(gè)內(nèi)角〕、相關(guān)要素〔高、中線、角平分線、外角等〕以及幾何量〔邊長、角度、面積等〕之間的相互關(guān)系為根本問題，從“形狀、大小和位置關(guān)系〞等角度展開研究。顯然，這是一般觀念指導(dǎo)下的研究。三角形性質(zhì)的研究思路和方法以三角形的要素〔三條邊、三個(gè)內(nèi)角〕75思考一幾何圖形的性質(zhì)指什么？思考二你認(rèn)為可以怎樣構(gòu)建三角形性質(zhì)的研究框架？怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)？思考三類比三角形的研究思路和方法，你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建四邊形的研究路徑，得到平行四邊形的有關(guān)結(jié)論？思考四圓又該如何研究？思考一幾何圖形的性質(zhì)指什么？76小結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是開展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)總能想到方法。注重一般觀念的思維引領(lǐng)作用，可以提高思維的系統(tǒng)性、構(gòu)造性，有效抑制“做得到但想不到〞的為難，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具“必然性〞，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的重要途徑。小結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是開展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)77六、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的時(shí)機(jī)唯有復(fù)原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)識(shí)事物的本來面目設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能真正達(dá)成教學(xué)方式的實(shí)質(zhì)性變化。在學(xué)生熟悉的背景下，從具體事例中，通過“歸納—演繹〞而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是讓學(xué)生獲得理解概念本質(zhì)所需要的親身體驗(yàn)，這種體驗(yàn)構(gòu)筑了理解抽象概念的背景和根基，也是學(xué)生能掌控自身學(xué)習(xí)過程的必要條件。當(dāng)前應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)歸納。六、為學(xué)生創(chuàng)造歸納的時(shí)機(jī)唯有復(fù)原數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，按人類認(rèn)78例

函數(shù)概念的歸納過程四個(gè)根本問題〔1〕函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景各是什么？刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？〔2〕決定這些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？〔3〕要素之間的相互關(guān)系如何？〔4〕可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？例函數(shù)概念的歸納過程四個(gè)根本問題79〔1〕是搞清楚這類變化過程的根本特征，明確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差異點(diǎn)，從而準(zhǔn)確區(qū)別不同變化現(xiàn)象，是明確問題的過程；〔2〕、〔3〕是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，這里的“依賴關(guān)系〞常常要借助于運(yùn)算而建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；〔4〕是以“依賴關(guān)系〞為導(dǎo)向，利用代數(shù)、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、圖形等加以明確?！?〕是搞清楚這類變化過程的根本特征，明確此現(xiàn)象與彼現(xiàn)象的差80一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征是運(yùn)動(dòng)的速度〔即位移與時(shí)間的比值〕是一個(gè)定值。決定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的要素：速度v、時(shí)間t和位移S。這里，v是常量，t和S是變量；“速度是一個(gè)定值〞是此類運(yùn)動(dòng)區(qū)別于它類運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，它的實(shí)際意義是在一樣的時(shí)間段上物體的位移也一樣，這是一種均勻變化。一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景：物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其特征是運(yùn)動(dòng)的速度〔即81要素之間的相互關(guān)系

要素之間的相互關(guān)系

82數(shù)學(xué)模型：對(duì)于不同類型的問題，都有一個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的歸納過程，得到了各種各樣的一次函數(shù)。在此根底上，再對(duì)它們進(jìn)展共性的歸納，可以得到一次函數(shù)模型y=kx+b。這里，特別要注意k和b的意義：b是初始條件；函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的過程中，函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值是常數(shù)k，k的絕對(duì)值越大，改變得越快。這里特別要強(qiáng)調(diào)以實(shí)際問題為依托理解k，b的意義。數(shù)學(xué)模型：對(duì)于不同類型的問題，都有一個(gè)從具體事例到一般規(guī)律的83思考：二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)建？反比例函數(shù)呢？思考：二次函數(shù)概念的歸納過程該如何構(gòu)建？反比例函數(shù)呢？84七、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題類比的含義類比的特點(diǎn)類比的一般模式七、通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題類比的含義85代數(shù)中的類比類比“有理數(shù)〞的研究過程和方法，構(gòu)建“代數(shù)式〞的研究框架——你認(rèn)為“整式的乘法〞該如何開篇？類比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)。類比解二元一次方程組的思想方法，獲得解一元二次方程的思想方法。代數(shù)中的類比類比“有理數(shù)〞的研究過程和方法，構(gòu)建“代數(shù)式〞的86八、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出問題三角形、四邊形中的特殊化，位置關(guān)系的特殊化——平行與垂直；乘法是特殊的加法，乘方是特殊的乘法；字母代表數(shù)——一般化，一般化中的特殊問題：分式、根式的范圍限制，等與不等的問題——方程、不等式，等等；運(yùn)算中的一般化和特殊化——乘法公式與因式分解；……八、通過推廣、特殊化發(fā)現(xiàn)和提出問題三角形、四邊形中的特殊化，87九、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)——保證高立意。好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng)。一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象〔即使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)學(xué)題目〕，往往需要經(jīng)歷從定性到定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過程。九、使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)88例“平面圖形的旋轉(zhuǎn)〞的教學(xué)課標(biāo)要求〔1〕通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形的旋轉(zhuǎn)。探索它的根本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。〔2〕了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它的根本性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分。〔3〕探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性?！?〕認(rèn)識(shí)和