(5)(5)則噪聲圖像可表示為:則噪聲圖像可表示為:ig(x,y)=+n(x,y)全變分去噪算法摘要圖像去噪作為圖像的預(yù)處理階段，有著十分重要的意義。其目的就是去除圖像的干擾信息，保護圖像的局部特征，改善圖像的質(zhì)量，為圖像的后續(xù)處理(如邊緣檢測，圖像分割，特征提取等)提供可罪的保證，在圖像處理領(lǐng)域占有非常重要的位置。而基于偏微分方程的圖像去噪方法將數(shù)學(xué)與工程緊密結(jié)合，具有較強的自適應(yīng)能力和靈活性，并且以此建立的模型容易修改，近年來在去除圖像噪聲和保護圖像的邊緣細(xì)節(jié)等信息等方面得到了快速發(fā)展。這種基于PDE的圖像去噪方法主要源于約束最優(yōu)化、能量最小化和變分法，其基本思想是以圖像去噪的貝葉斯理論模型為基礎(chǔ)，將所硏究的問題轉(zhuǎn)化為一個可以運用偏微分方程求解的方法求解圖像中相應(yīng)的能量泛函極小值的過程，該極小值形式為一個偏微分方程，對該方程求解，所得到的解就是所要求的去噪復(fù)原圖像。PDE圖像去噪模型應(yīng)用較為廣泛，該模型將圖像的梯度模作為邊緣檢測算子，通過檢測圖像的平坦區(qū)和邊緣區(qū)的梯度大小而自適應(yīng)地選取全變分模型和線，性擴散模型，將圖像邊緣檢測和圖像去噪兩個原本獨立地兩個過程有機地結(jié)合起來。本文將著重介紹基于PDE地圖像去噪方法和TV算法。非線性偏微分方程去噪算法假設(shè)原圖像為：u(x,y)可加性噪聲為:n(x,y)(En(x)=0,En2(x)=a2)我們希望通過噪聲圖像得到一個原圖像地估計,最小化問題為minimizeminimize約束條件為：噪聲En(x)=0,En2(x)=，導(dǎo)致的約束：(it(it-Uq)2=a2此處|0|為圖像區(qū)域Q的面積⑴式和(2)式就定義了約束最優(yōu)化問題。(由于TV范數(shù)的平移不變性：TV[u+c]=TV[u],c%任意常數(shù)，那么第一個約束實際上是已經(jīng)滿足的。因此，我們只需要考慮第二個擬合約束。通過引入拉格朗日乘子入，可以定義一個新的能量泛函)新的能量泛函:J[u(x,y)]=”|Vu(%,y)|dxdy+專("(%』)-n0(^y))2dxdy其中，參數(shù)入對平衡去噪與平滑起重要作用。因此,它依賴于噪聲水平。這樣就建立了圖像去噪的TV模型。這是一個泛函求極值問題，即變分問題。偏微分方程(PDE)的推導(dǎo)TV復(fù)原模型的歐拉■拉格朗日方程為:入(u—w)-V-推到過程如下：根據(jù)（1）式可得泛函中的：F=|Viz（%,y）|+扌0仗』）一心仗』））2=/$（%』）+遍（Xy）+扌包（乞y）一w（Xy））勺⑹此類泛函求極值的必要條件，即歐拉?拉格朗日方程為FH~Fpx~Fqy=0其中Fh=2(u-uQ\Fq=久髙再=Fp=久蓋代入（5）式得入(u—iz入(u—iz0)—V?=0(7)對于光滑函數(shù)u,方程（7）中得微分項表示水平線u=u（%o）得曲率，這就揭示了該模型得幾何特性。引用虛擬時間變量t,則有UUt=入（11一乙0）-V-由于|0訓(xùn)為分母,為了避免它為零，我們引入一個大于零得小參數(shù)‘保證它大于零：\Vu\=yje2+\Vu\2只要￡保持足夠小，就不會影響數(shù)字TV復(fù)原得性能。數(shù)值迭代方法如下：(10)(10)我們讓%t=ih,yt=jh,ij=012N,并且Nil=1t我們讓%t=ih,yt=jh,ij=012N,并且Nil=1tn=nAt,n=0,1/州=吩”）皿），Uy=UQ（ih,jh）+sp（ih,jh）.迭代的初始條件是選定的，（P的均值為零并且二范數(shù)為1.迭代公式為：+莊△網(wǎng)1（△阿）2+（m（△河，△糾；?）于—△加（州—5（譏護））(10)其中i,j=123N邊界條件為：u0j=ulj^uNj=謁一切詭=U?N=在這里：切=+（4和/一呵）禺2切類似sana+sanb圖像質(zhì)量得比較參數(shù)：SNRm?b)=(』2)min則a|,|b|)圖像質(zhì)量得比較參數(shù)：SNR（△洌）（△斶）（鴿對）（鴿妨）J（△網(wǎng)丫+殆鏟SNR即信噪比，在這里我們定義信噪比得計算方法如下:SNR=_20訓(xùn)帶）其中u表示噪聲圖像，g表示復(fù)原圖像,這里采用上式對SNR進行一個估計。編程實現(xiàn)TV算法,并對復(fù)原圖像進行性能分析在matlab上編程實現(xiàn)TV復(fù)原算法，得到以下結(jié)果（丫二20）:復(fù)原圖像.SN22O.0875噪聲圖像信噪比：SNR=19.9344復(fù)原圖像信噪比：SNR二20.0875對比發(fā)現(xiàn)，復(fù)原噪聲信噪比增大，表明圖像復(fù)原有一定效果（減少了圖像中得噪聲分量改變噪聲得比例后（Y二5）:

噪聲圖像，SNR=320513改變W直為5時發(fā)現(xiàn)，復(fù)原圖像從視逍上比噪聲圖像要好,但信噪比相對卻減小了。這時因為在對圖像進行光滑處理操作時，糾正圖像所帶來的附加誤差反而比原本噪聲要大，導(dǎo)致信噪比變大，但圖像整體更光滑了。繼續(xù)調(diào)整噪聲比例（Y二30）:

噪聲圖像，SNR=164388夏原圖像.SNR：=噪聲圖像，SNR=164388夏原圖像.SNR：=：239994添加噪聲輸入比例,發(fā)現(xiàn)復(fù)原圖像得調(diào)整效果變好,相比之前，信噪比增大的更多,這表明TV算法對高比例噪聲有較好的去除效果，但是當(dāng)噪聲輸入較小時，TV算法效果并不是很好。結(jié)束語本文對偏微分方程去噪算法進行了推導(dǎo)和matlab仿真實現(xiàn)介紹了TV算法去噪方法，比較了TV算法應(yīng)用于不同程度高斯白噪聲污染圖像時的效果。參考文獻：.L?Rudin,S?Osher，andE?Fatemi,^Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgoiithms,”PhysicaD:NonlinearPhenomena,vol?60,no.1,pp.259-268,1992..J.Portilla,V.Strela,M.J.Wainwriglit,andE.P.Simoncelli,rrIinagedenoisingusingscalemixturesofgaussiansinthewaveletdomain/1ImageProcessing,IEEETlansactionson,vol.12,pp.1338-1351,2003..Buades,BColl,andJ.-M?Morel,"Areviewofimagedenoisingalgorithms,withanewone,"MultiscaleModeling&Simulation,vol.4,pp.490-530,2005..JiaRQ,ZhaoHQ,ZhaoW.Convei'genceanalysisoftheBregmanmethodforthevariationmodelofimagedenoising[J],AppliedandCoinputationalHannonicAna