2.1空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：空間直線、平面的位置關(guān)系。難點(diǎn)：三種語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）的轉(zhuǎn)換2、三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)A·αALA·αB∈L=>Lα，A∈α，B∈αC·C·B·A·α（2）公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。推論：=1\*GB3①一條直線和其外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面=2\*GB3②兩條相交直線可確定一個(gè)平面=3\*GB3③兩條平行直線可確定一個(gè)平面P·αLP·αLβ符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．2、空間兩條不重合的直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、異面3、異面直線所成角θ的范圍是00<θ≤9002.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>a∥ca=>a∥cc∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來(lái)表示aαa∩α=Aa∥α針對(duì)性練習(xí)：1.若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（）A.內(nèi)所有的直線都與a異面；B.內(nèi)不存在與a平行的直線；C.內(nèi)所有的直線都與a相交；D.直線a與平面有公共點(diǎn).2.已知兩個(gè)平面垂直，下列命題①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的任意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.3B.2C.1D.03.空間四邊形ABCD中，若，則與所成角為A、B、C、D、4.給出下列命題：（1）直線a與平面不平行，則a與平面內(nèi)的所有直線都不平行；（2）直線a與平面不垂直，則a與平面內(nèi)的所有直線都不垂直；（3）異面直線a、b不垂直，則過(guò)a的任何平面與b都不垂直；（4）若直線a和b共面，直線b和c共面，則a和c共面其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）35．正方體ABCD-A1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1異面的棱有（）條A3B4C6.點(diǎn)P為ΔABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是ΔABC的（）（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心ABCDA1B1ABCDA1B1C1D1C1—BD—C的大小為（）（A）300（B）450（C）600（D）9008.直線a,b,c及平面α,β,γ,下列命題正確的是（）A、若aα，bα,c⊥a,c⊥b則c⊥αB、若bα,a//b則a//αC、若a//α,α∩β=b則a//bD、若a⊥α,b⊥α則a//b9.平面與平面平行的條件可以是（）A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線與平行；B.直線a//,a//C.直線a,直線b,且a//,b//D.內(nèi)的任何直線都與平行10、a,b是異面直線，下面四個(gè)命題：=1\*GB3①過(guò)a至少有一個(gè)平面平行于b；=2\*GB3②過(guò)a至少有一個(gè)平面垂直于b；=3\*GB3③至多有一條直線與a，b都垂直；=4\*GB3④至少有一個(gè)平面與a，b都平行。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）Ａ０Ｂ１Ｃ２Ｄ３二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知直線a//平面，平面//平面，則a與的位置關(guān)系為.12．已知直線a⊥直線b,a//平面,則b與的位置關(guān)系為.13如圖，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此圖形中有個(gè)直角三角形ABCP14.α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面αABCP給出四個(gè)論斷：①m^n②α^β③m^β④n^α以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：______________________________________.三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）15．如圖，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求證：AB⊥BCPPABC16．在三棱錐S-ABC中，已知AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，平面SAO⊥平面ABCABOCS求證：ABOCS 17．如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱錐P—AEF的體積.AABCPEF參考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面內(nèi)；12.平行或在平面內(nèi)；13.4；14.若②③④則①17.（2）45°2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：aβa∩b=Pβ∥αbβa∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行練習(xí)鞏固：1、若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(

d)A.平行

B.異面

C.相交

D.平行或異面2、下列結(jié)論中，正確的有(

a

)①若aα,則a∥α ②a∥平面α,bα則a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,則a∥b ④平面α∥β,點(diǎn)P∈α,a∥β,且P∈a，則aαA.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)3、在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交

C.在內(nèi)

D.不能確定4、a，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是(

d)A.過(guò)A有且只有一個(gè)平面平行于a,b B.過(guò)A至少有一個(gè)平面平行于a,bC.過(guò)A有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于a,b D.過(guò)A且平行a,b的平面可能不存在5、已知直線a與直線b垂直,a平行于平面α,則b與α的位置關(guān)系是(

)A.b∥α

B.bαC.b與α相交

D.以上都有可能6、下列命題中正確的命題的個(gè)數(shù)為(

a

)①直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α;②若直線a在平面α外，則a∥α;③若直線a∥b,直線bα,則a∥α;④若直線a∥b,b平面α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.A.1

B.2

C.3

D.47、下列命題正確的個(gè)數(shù)是(

a)(1)若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，則l∥α(2)若直線l與平面α平行，l與平面α內(nèi)的任意一直線平行(3)兩條平行線中的一條直線與平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行(4)若一直線a和平面α內(nèi)一直線b平行，則a∥αA.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)8、已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：其中真命題是d①若m⊥α,m⊥β,則α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;③若mα,nβ,m∥n,則α∥β; ④若m、n是異面直線，mα,m∥β,nβ,n∥α,則α∥β.A.①和②

B.①和③

C.③和④

D.①和④9、長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AA1中點(diǎn),F為BB1中點(diǎn),與EF平行的長(zhǎng)方體的面有(cA.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)10、對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④存在異面直線l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判斷兩個(gè)平面α與β平行的條件有（b）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)二、填空題【共4道小題】1、在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是棱AD上一點(diǎn)，AP=參考答案與解析:解析：由線面平行的性質(zhì)定理知MN∥PQ(∵M(jìn)N∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：2、如果空間中若干點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影在一條直線上，那么這些點(diǎn)在空間的位置是__________.參考答案與解析:共線或在與已知平面垂直的平面內(nèi)3、若直線a和b都與平面α平行，則a和b的位置關(guān)系是__________.參考答案與解析:相交或平行或異面4、正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1中點(diǎn)，則BD1與過(guò)點(diǎn)A，C，E參考答案與解析:解析：如圖所示，連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=O，連結(jié)BD1，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，∴OE為△BDD1的中位線.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行三、解答題【共3道小題】1、如圖，直線AC，DF被三個(gè)平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求證：.參考答案與解析:解析：①平面α∥平面β，平面α與β沒(méi)有公共點(diǎn)，但不一定總有AD∥BE.同理不總有BE∥CF.②過(guò)A點(diǎn)作DF的平行線，交β，γ于G，H兩點(diǎn)，AH∥DF.過(guò)兩條平行線AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理，有AD∥GE∥HF.AGED為平行四邊形.∴AG=DE.同理GH=EF.又過(guò)AC，AH兩相交直線之平面與平面β,γ的交線為BG，CH.根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.2、如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，M為SC的中點(diǎn).求證：SA∥平面MDB.參考答案與解析:解析：要說(shuō)明SA∥平面MDB，就要在平面MDB內(nèi)找一條直線與SA平行，注意到M是SC的中點(diǎn)，于是可找AC的中點(diǎn)，構(gòu)造與SA平行的中位線，再說(shuō)明此中位線在平面MDB內(nèi)，即可得證.證明：連結(jié)AC交BD于N，因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以N是AC的中點(diǎn).又因?yàn)镸是SC的中點(diǎn)，所以MN∥SA.因?yàn)镸N平面MDB，所以SA∥平面MDB.3、如圖,已知點(diǎn)M、N是正方體ABCD-A1B1C1D1的兩棱A1A與A1B1的中點(diǎn)，P是正方形求證：MN∥平面PB1C.參考答案與解析:證明：如圖，連結(jié)AC，則P為AC的中點(diǎn)，連結(jié)AB1，∵M(jìn)、N分別是A1A與A1B1的中點(diǎn)，∴MN∥AB1又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.4、如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面．答案：證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，， 平行且等于，平行且等于， 平行且等于，則為平行四邊形，．平面，平面，平面．5、如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面．答案：證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，分別是，的中點(diǎn)，，，可證明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。一選擇題1.已知直線，和平面，有以下四個(gè)命題：若，，則；若，，則與異面；若，，則；若，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.已知直線，有以下幾個(gè)判斷：若，則；若，則；若，則；若，則．上述判斷中正確的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3.已知兩個(gè)平面垂直，下列命題一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線．一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面．過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０4.在正方形中，，分別是及的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，沿，及把，，折起使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記作，那么在四面體中必有（）Ａ．面 Ｂ．面Ｃ．面 Ｄ．面5.直線不垂直于平面，則內(nèi)與垂直的直線有（）Ａ．條 Ｂ．條 Ｃ．無(wú)數(shù)條 Ｄ．內(nèi)所有直線6.已知三條直線，，，三個(gè)平面，，．下面四個(gè)命題中，正確的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7.在空間四邊形中，若，，為對(duì)角線的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）Ａ．平面平面 Ｂ．平面平面Ｃ．平面平面 Ｄ．平面平面8.，，，是四個(gè)不同平面，若，，，，則（）Ａ．且Ｂ．或Ｃ．這四個(gè)平面中可能任意兩個(gè)都不平行Ｄ．這四個(gè)平面中至多有一對(duì)平面平行9.設(shè)，是異面直線，下列命題正確的是（）Ａ．過(guò)不在，上的一點(diǎn)一定可以作一條直線和，都相交Ｂ．過(guò)不在，上的一點(diǎn)一定可以作一個(gè)平面和，垂直Ｃ．過(guò)一定可以作一個(gè)平面與垂直Ｄ．過(guò)一定可以作一個(gè)平面與平行10.設(shè)平面平面，且，直線，直線，且不與垂直，不與垂直，那么與（）Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直Ｃ．可能垂直，也可能平行 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直二填空題11已知直線，和平面，且，，則與的位置關(guān)系是___________．12.是兩個(gè)不同的平面，是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：；；；．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題____