專(zhuān)練29數(shù)列的概念考查數(shù)列的概念、函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系以及數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式.[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()A．－1，－2，－3，－4，…B．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)，…C．－1，－2，－4，－8，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，…，eq\r(10)2．已知an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么數(shù)列{an}是()A．遞減數(shù)列B．遞增數(shù)列C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列3．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個(gè)數(shù)列的第()A．16項(xiàng)B．24項(xiàng)C．26項(xiàng)D．28項(xiàng)4．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋3，an為奇數(shù)，,2an＋1，an為偶數(shù)，）則a6＝()A．16B．25C．28D．335．已知數(shù)列{an}，an＝－2n2＋λn.若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]6．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則a2021＝()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)7．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝a，an＋1＝eq\f(a\o\al(2,n)－2,an＋1)(n∈N*)，若數(shù)列{an}是常數(shù)列，則a＝()A．－2B．－1C．0D．(－1)n8．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n）)，則an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn9．(多選)下面四個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．?dāng)?shù)列{eq\f(n＋1,n)}的第k項(xiàng)為1＋eq\f(1,k)B．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)式是唯一的D．?dāng)?shù)列1,3,5,7可以表示為{1,3,5,7}二、填空題10．[2021·重慶八中適應(yīng)性考試]數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，則eq\f(an,n)的最小值是________．11．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.[能力提升]12．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.專(zhuān)練29數(shù)列的概念1．BA，B，C中的數(shù)列都是無(wú)窮數(shù)列，但是A，C中的數(shù)列是遞減數(shù)列，故選B.2．B∵an＋1－an＝eq\f(n,n＋2)－eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(nn＋1－n－1n＋2,n＋1n＋2)＝eq\f(2,n＋1n＋2)，又n∈N*，∴eq\f(2,n＋1n＋2)＞0，即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}為遞增數(shù)列．3．C數(shù)列可化為eq\r(1)，eq\r(3×1＋1)，eq\r(3×2＋1)，eq\r(3×3＋1)，eq\r(3×4＋1)，…，∴an＝eq\r(3n－1＋1)＝eq\r(3n－2)，由eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，得n＝26.4．C當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝1＋3＝4；當(dāng)n＝2時(shí)，a3＝2×4＋1＝9；當(dāng)n＝3時(shí)，a4＝9＋3＝12；當(dāng)n＝4時(shí)，a5＝2×12＋1＝25；當(dāng)n＝5時(shí)，a6＝25＋3＝28.故選C.5．A由題意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.6．A∵a1＝2，∴a2＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1－3,1－－3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2）＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3）＝2＝a1，…∴{an}為周期數(shù)列，且周期T＝4，∴a2021＝a1＝2.7．A因?yàn)閿?shù)列{an}是常數(shù)列，所以a＝a2＝eq\f(a\o\al(2,1)－2,a1＋1)＝eq\f(a2－2,a＋1)，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故選A.8．A由an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n）)得an＋1－an＝lneq\f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，∴an－a1＝lnn，∴an＝lnn＋a1＝2＋lnn，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＝2＋ln1符合上式．∴an＝2＋lnn.9．BCD根據(jù)數(shù)列的表示方法可知，求數(shù)列的第k項(xiàng)就是將k代入通項(xiàng)公式，經(jīng)驗(yàn)證知A正確；數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可能是有限的，也可能是無(wú)限的，并且數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)式不是唯一的，故B，C不正確；集合中的元素具有無(wú)序性，而數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的位置都是確定的，故D不正確．故選BCD.10．8解析：∵a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝2n－1，∴a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)以上各式相加得，an－a1＝3＋5＋7＋…＋2n－1，整理得，an＝17＋eq\f(n－12n＋2,2)＝n2＋16(n≥2，n∈N*)．又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝17也適合上式，∴an＝n2＋16，∴eq\f(an,n)＝n＋eq\f(16,n)≥2eq\r(n·\f(16,n）＝8(當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取“＝”)．11.eq\f(n2＋n,2)解析：由an＋1－an＝n＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝1＋1＝2，a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，∵an－a1＝eq\f(2＋nn－1,2)，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)，