第7講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于 ()．A.eq\f(7,4) B．2 C.eq\f(9,4) D．4解析直線4kx－4y－k＝0，即y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)＝4，故x1＋x2＝eq\f(7,2)，則弦AB的中點的橫坐標(biāo)是eq\f(7,4)，弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離是eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).答案C2．設(shè)斜率為eq\f(\r(2),2)的直線l與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為()．A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,3)解析由于直線與橢圓的兩交點A，B在x軸上的射影分別為左、右焦點F1，F(xiàn)2，故|AF1|＝|BF2|＝eq\f(b2,a)，設(shè)直線與x軸交于C點，又直線傾斜角θ的正切值為eq\f(\r(2),2)，結(jié)合圖形易得tanθ＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(|AF1|,|CF1|)＝eq\f(|BF2|,|CF2|)，故|CF1|＋|CF2|＝eq\f(2\r(2)b2,a)＝|F1F2|＝2c，整理并化簡得eq\r(2)b2＝eq\r(2)(a2－c2)＝ac，即eq\r(2)(1－e2)＝e，解得e＝eq\f(\r(2),2).答案C3．拋物線y2＝2px與直線2x＋y＋a＝0交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為(1,2)，設(shè)拋物線的焦點為F，則|FA|＋|FB|的值等于 ()．A．7 B．3eq\r(5) C．6 D．5解析點A(1,2)在拋物線y2＝2px和直線2x＋y＋a＝0上，則p＝2，a＝－4，F(xiàn)(1,0)，則B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案A4．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝ ()．A．1＋2eq\r(2) B．4－2eq\r(2)C．5－2eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)解析如圖，設(shè)|AF1|＝m，則|BF1|＝eq\r(2)m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝eq\r(2)m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋eq\r(2)m－2a＝m，得m＝2eq\r(2)a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8eq\r(2))a2＝4c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5－2eq\r(2)，故應(yīng)選C.答案C5．已知直線l：y＝k(x－2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|AF|＝2|BF|，則k的值是 ()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3) C．2eq\r(2) D.eq\f(\r(2),4)解析法一據(jù)題意畫圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.設(shè)直線l的傾斜角為θ，|AF|＝2|BF|＝2r，則|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，則|BD|＝2eq\r(2)r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝eq\f(|BD|,|AD|)＝2eq\r(2).法二直線y＝k(x－2)恰好經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－2，))可得ky2－8y－16k＝0，因為|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.則yA＋yB＝－2yB＋yB＝eq\f(8,k)，所以yB＝－eq\f(8,k)，yA·yB＝－16，所以－2yeq\o\al(2,B)＝－16，即yB＝±2eq\r(2).又k>0，故k＝2eq\r(2).答案C6．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5－a2)＝1(a>0)的右焦點F作一條直線，當(dāng)直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當(dāng)直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是 ()．A．(eq\r(2)，5) B．(eq\r(5)，eq\r(10))C．(1，eq\r(2)) D．(5,5eq\r(2))解析令b＝eq\r(5－a2)，c＝eq\r(a2＋b2)，則雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)，雙曲線的漸近線的斜率為±eq\f(b,a).據(jù)題意，2<eq\f(b,a)<3，如圖所示．∵eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，∴2<eq\r(e2－1)<3，∴5<e2<10，∴eq\r(5)<e<eq\r(10).答案B二、填空題7．橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的弦被點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))平分，則這條弦所在的直線方程是________．解析設(shè)弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在橢圓上，∴eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.兩式相減得：eq\f(x1＋x2x1－x2,2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)，∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，即直線AB的斜率為－eq\f(1,2).∴直線AB的方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即該弦所在直線的方程為2x＋4y－3＝0.答案2x＋4y－3＝08．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)(eq\r(2)，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________．解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,\f(b2,a)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(2)，))∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝19．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若|AM|＝|MB|，則該橢圓的離心率為________．解析由題意知A點的坐標(biāo)為(－a,0)，l的方程為y＝x＋a，∴B點的坐標(biāo)為(0，a)，故M點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，代入橢圓方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)10．已知曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a·b≠0，且a≠b)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0(O為原點)，則eq\f(1,a)－eq\f(1,b)的值為________．解析將y＝1－x代入eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2a,a－b)，x1x2＝eq\f(a＋ab,a－b).eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以eq\f(2a＋2ab,a－b)－eq\f(2a,a－b)＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝2.答案2三、解答題11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點．(1)如果直線l過拋物線的焦點，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點．(1)解由題意：拋物線焦點為(1,0)，設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)證明設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過定點(2,0)．∴若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，則直線l必過一定點．12．給出雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1.(1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程；(2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程；(3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．解(1)設(shè)弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝2，,2x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝2，))兩式相減得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直線斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4.故求得直線方程為4x－y－7＝0.(2)設(shè)P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2x,y)， ①由于P1，P2，P，A四點共線，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y－1,x－2)， ②由①②可得eq\f(2x,y)＝eq\f(y－1,x－2)，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，檢驗當(dāng)x1＝x2時，x＝2，y＝0也滿足方程，故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y＝2x－1.考慮到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))無解，因此滿足題設(shè)條件的直線m是不存在的．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ.(3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．(1)解雙曲線C1：eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，左頂點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，漸近線方程：y＝±eq\r(2)x.不妨取過點A與漸近線y＝eq\r(2)x平行的直線方程為y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2).))所以所求三角形的面積為S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(\r(2),8).(2)證明設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b.因為直線PQ與已知圓相切，故eq\f(|b|,\r(2))＝1，即b2＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,2x2－y2＝1))得x2－2bx－b2－1＝0.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2b，,x1x2＝－1－b2.))又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)證明當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，則O到直線MN的距離為eq\f(\r(3),3).當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(顯然|k|>\f(\r(2),2)))，則直線OM的方程為y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4＋k2)，,y2＝\f(k2,4＋k2)，))所以|ON|2＝eq\f(1＋k2,4＋k2).同理|OM|2＝eq\f(1＋k2,2k2－1).設(shè)O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以eq\f(1,d2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)＝eq\f(3k2＋3,k2＋1)＝3，即d＝eq\f(\r(3),3).綜上，O到直線MN的距離是定值．14．在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且|DP|＝eq\r(2)|DM|，點P在圓上運動．(1)求點M的軌跡方程；(2)過定點C(－1,0)的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))為常數(shù)，若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，則x0＝x，y0＝eq\r(2)y.∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4.∴x2＋2y2＝4，即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.點M的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1(x≠±2)．(2)假設(shè)存在．當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,