第四章彈性力學(xué)問題的求解方法第四章彈性力學(xué)問題的求解方法1§7-1彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程方程§7-1彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程方程22.幾何方程2.幾何方程33.物理方程

各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系3.物理方程各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系44.相容方程4.相容方程5求解物理量：6個應(yīng)力分量6個應(yīng)變分量3個位移分量共15個未知量用于求解的方程：平衡微分方程3個幾何方程6個本構(gòu)方程6個共15個方程15個基本方程求解15個未知量，數(shù)學(xué)上有解。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確定。求解物理量：6個應(yīng)力分量共15個未知量用于求解的方程：平衡微65.邊界條件：位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿x，y，z方向給定位移為，則應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解5.邊界條件：位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿x，7求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。1.位移法：以位移作為基本未知量用，位移表述平衡方程——位移法控制方程2.應(yīng)力法：以應(yīng)力作為基本未知量。將相容方程用應(yīng)力表示——應(yīng)力控制方程3.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，相容方程用應(yīng)力函數(shù)表示——應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程?！?-2彈性力學(xué)求解方法求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。1.81.位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分量，再將應(yīng)力分量代入平衡方程和應(yīng)力邊界條件，即得到空間問題的位移法控制方程。不需要用相容方程。1.位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分9力邊界條件也可用位移表述。位移控制方程指標表示：3個位移表述的平衡微分方程，包含3個位移未知數(shù)。結(jié)合邊界條件，解上述方程，可求出位移分量，由幾何方程求應(yīng)變，再由本構(gòu)方程求應(yīng)力。力邊界條件也可用位移表述。位移控制方程指標表示：102.應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代入?yún)f(xié)調(diào)方程式，得應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程（應(yīng)力控制方程）。2.應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代入?yún)f(xié)調(diào)方程式，113.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平衡方程得應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，再將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入相容方程，得到一組用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，即應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。3.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平12一、解的疊加原理§7-1彈性力學(xué)解的性質(zhì)實際結(jié)構(gòu)件往往同時受到幾組載荷作用，如果直接求所有載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，可能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，一般更簡單。通過求不同單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，再用疊加方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為解的疊加原理。疊加原理：彈性體受幾組外力同時作用時的解等于每一組外力單獨作用時對應(yīng)解的和。一、解的疊加原理§7-1彈性力學(xué)解的性質(zhì)13說明：1、數(shù)學(xué)上可證明,當為線彈性小變形情況，求解的基本方程和邊界條件為線性，疊加原理成立。2、對大變形情況，幾何方程出現(xiàn)二次非線性項，平衡微分方程將受到變形的影響，疊加原理不再適用。3、對非線彈性或彈塑形材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，疊加原理不成立。4、對載荷隨變形而變的非保守力系或邊界為用非線性彈簧支承的情況，邊界條件是非線性的，疊加原理也將失效。說明：14二.解的唯一性定理：在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。證明：（略）自學(xué)：教材【彈性力學(xué)】P：25教材【彈塑性力學(xué)】P：175二.解的唯一性定理：在給定載荷作用下，處15三.圣維南原理:提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該 力系在物體中引起的應(yīng)力將隨離力系作用部分的距離 的增大而迅速衰減，在距離相當遠處，其值很小，可 忽略不計。提法三：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，則離此區(qū)域較 遠的部分所受影響可以忽略不計。三.圣維南原理:提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平16彈性力學(xué)問題的求解方法課件17利用圣維南原理可放寬邊界條件，擴大彈性力學(xué)的解題范圍。利用圣維南原理可放寬邊界條件，擴大彈性力學(xué)的解題范圍。18ENDEND19第四章彈性力學(xué)問題的求解方法第四章彈性力學(xué)問題的求解方法20§7-1彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程方程§7-1彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程方程212.幾何方程2.幾何方程223.物理方程

各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系3.物理方程各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系234.相容方程4.相容方程24求解物理量：6個應(yīng)力分量6個應(yīng)變分量3個位移分量共15個未知量用于求解的方程：平衡微分方程3個幾何方程6個本構(gòu)方程6個共15個方程15個基本方程求解15個未知量，數(shù)學(xué)上有解。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確定。求解物理量：6個應(yīng)力分量共15個未知量用于求解的方程：平衡微255.邊界條件：位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿x，y，z方向給定位移為，則應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解5.邊界條件：位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿x，26求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。1.位移法：以位移作為基本未知量用，位移表述平衡方程——位移法控制方程2.應(yīng)力法：以應(yīng)力作為基本未知量。將相容方程用應(yīng)力表示——應(yīng)力控制方程3.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，相容方程用應(yīng)力函數(shù)表示——應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。§7-2彈性力學(xué)求解方法求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。1.271.位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分量，再將應(yīng)力分量代入平衡方程和應(yīng)力邊界條件，即得到空間問題的位移法控制方程。不需要用相容方程。1.位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分28力邊界條件也可用位移表述。位移控制方程指標表示：3個位移表述的平衡微分方程，包含3個位移未知數(shù)。結(jié)合邊界條件，解上述方程，可求出位移分量，由幾何方程求應(yīng)變，再由本構(gòu)方程求應(yīng)力。力邊界條件也可用位移表述。位移控制方程指標表示：292.應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代入?yún)f(xié)調(diào)方程式，得應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程（應(yīng)力控制方程）。2.應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代入?yún)f(xié)調(diào)方程式，303.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平衡方程得應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，再將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入相容方程，得到一組用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，即應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。3.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平31一、解的疊加原理§7-1彈性力學(xué)解的性質(zhì)實際結(jié)構(gòu)件往往同時受到幾組載荷作用，如果直接求所有載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，可能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，一般更簡單。通過求不同單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，再用疊加方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為解的疊加原理。疊加原理：彈性體受幾組外力同時作用時的解等于每一組外力單獨作用時對應(yīng)解的和。一、解的疊加原理§7-1彈性力學(xué)解的性質(zhì)32說明：1、數(shù)學(xué)上可證明,當為線彈性小變形情況，求解的基本方程和邊界條件為線性，疊加原理成立。2、對大變形情況，幾何方程出現(xiàn)二次非線性項，平衡微分方程將受到變形的影響，疊加原理不再適用。3、對非線彈性或彈塑形材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，疊加原理不成立。4、對載荷隨變形而變的非保守力系或邊界為用非線性彈簧支承的情況，邊界條件是非線性的，疊加原理也將失效。說明：33二.解的唯一性定理：在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。證明：（略）自學(xué)：教材【彈性力學(xué)】P：25教材【彈塑性力學(xué)】P：175二.解的唯一性定理：在給定載荷作用下，處34三.圣維南原理:提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該 力系在物體中引起的應(yīng)力將隨離力