復(fù)介電常數(shù)介質(zhì)損耗弛豫現(xiàn)象德拜方程弛豫機(jī)制介質(zhì)損耗與溫度的關(guān)系考慮漏電導(dǎo)時(shí)的介質(zhì)損耗第四章交變電場(chǎng)中電介質(zhì)的損耗1.電介質(zhì)的弛豫機(jī)制與松弛時(shí)間熱轉(zhuǎn)向極化與熱離子極化是常見(jiàn)的兩種松弛極化。它們有著不同的弛豫機(jī)制。介紹弛豫機(jī)制；不同模型假設(shè)下所引出的松弛時(shí)間；為下節(jié)探討εr’、εr’’與溫度關(guān)系打下基礎(chǔ)。1)極性固體的德拜理論固體介質(zhì)存在偶極轉(zhuǎn)向極化，說(shuō)明極性固體介質(zhì)存在著某種弛豫機(jī)制?？梢哉J(rèn)為，固體中極性分子雖受到很強(qiáng)的束縛，但照舊有若干旋轉(zhuǎn)自由度。一般偶極分子有幾個(gè)平衡位置，它們之間被位壘隔開(kāi)。作為簡(jiǎn)潔情形，只計(jì)及偶極矩指向相反的兩個(gè)平衡位置，其中一個(gè)為指向與x軸正向(+x)一樣的平衡位置“1”，另一個(gè)為與x軸反向(-x)一樣的平衡位置“2”，如圖4-12（a）所示。圖4-12（a）設(shè)電場(chǎng)沿x軸正向，且平衡位置“1”和“2”上的偶極子數(shù)分別為nl與n2，按反向轉(zhuǎn)動(dòng)的幾率為ω12，而按正向轉(zhuǎn)動(dòng)的幾率為ω21，下式將成立：

4-95a式中，n為偶極子總數(shù)，明顯，n＝n1+n24-944-95無(wú)外場(chǎng)時(shí)：偶極子以v＝ω0/2π頻率作熱振動(dòng)，兩個(gè)平衡位置間勢(shì)壘為U，由波耳茲曼統(tǒng)計(jì)律，可將從“+x”到“-x”或從“-x”到“+x”的轉(zhuǎn)動(dòng)幾率p0

表示為：

4-96加上內(nèi)電場(chǎng)Ei：勢(shì)能分布將發(fā)生如圖4-12(b)所示的變更。此時(shí)，轉(zhuǎn)移幾率p21與p12將不再相等，它們分別為：4-974-98將式(4-97)和(4-98)代入式(4-95a)，且設(shè)μ0Ei/kT《1，就有

其中，

4-994-100假如Ei為正弦交變電場(chǎng)，且表示為Ei＝Eioeiωt設(shè)n1-n2＝Aeiωt，用式(4-99)計(jì)算電場(chǎng)方向(+x)的平均感應(yīng)偶極矩：4-101計(jì)及瞬時(shí)極化重量并假定有效場(chǎng)為洛侖茲場(chǎng)，用克-莫方程，于是有：4-102由式(4-72)可知，對(duì)εr*可寫(xiě)成：

式中：

所得結(jié)果與極性液體德拜彌散方程一樣。但極性固體松弛時(shí)間分布要寬一些，且εr’’最大值亦比理論值小得多。上述理論稱(chēng)之為固體德拜理論。

4-1034-104（留意：確定=0和=∞對(duì)應(yīng)的εrs和εr∞）由離子鍵結(jié)合的固體電介質(zhì)具有慢的離子弛豫。對(duì)晶體介質(zhì)，其中存在缺陷離子；對(duì)無(wú)定形介質(zhì)，其中存在聯(lián)系弱的離子。他們都是造成離子弛豫的微觀條件。無(wú)電場(chǎng)作用下，離子都處在各自平衡位置旁邊作熱振動(dòng)，由于熱漲落，離子在確定溫度下的熱運(yùn)動(dòng)能量可能超過(guò)束縛能量而越過(guò)勢(shì)壘發(fā)生躍遷。由于熱運(yùn)動(dòng)無(wú)序化，使沿各個(gè)方向躍遷的幾率都是相等的。2）離子型固體介質(zhì)的弛豫機(jī)制與松弛時(shí)間仍接受第一章中探討熱離子極化時(shí)所用的圖2-24所示位能模型，即僅考慮兩個(gè)相鄰平衡位置，“1”和“2”，于是，離子由“1”向“2”或由“2”向“l(fā)”躍遷的幾率(不加電場(chǎng))：不加電場(chǎng)4-105圖2-24局部位壘

因此，平均來(lái)說(shuō)，處在“1”位置與處在“2”位置的離子數(shù)保持相等。假如單位體積中的離子數(shù)設(shè)為n，那么，在一維狀況下，“1”位置上及“2”位置上的離子數(shù)將分別為n/2。不存在定向過(guò)剩躍遷，宏觀電矩為零。當(dāng)加上電場(chǎng)后：位能分布發(fā)生有利于離子沿電場(chǎng)方向的躍遷，此時(shí)ω12將大于ω21，即：加電場(chǎng)圖2-25加有電場(chǎng)能階的變更即處在平衡位置l的幾率減小了；處在平衡位置2的幾率增大了，并且各平衡位置上的離子數(shù)隨時(shí)間變更：式中，n1+n2=n，兩個(gè)平衡位置離子濃度的變更為：下面探討幾種狀況：4-1064-107設(shè)電場(chǎng)較弱，△U《kT，于是，ω12、ω21可近似表示為：式中，ω0為無(wú)電場(chǎng)時(shí)，離子從1到2或由2到1躍遷的幾率。4-1094-108電場(chǎng)引起的位能變更△U加電場(chǎng)因此，式(4-107)可改寫(xiě)為：式中，由電場(chǎng)引起的位能變更△U＝qδE/2初始條件：t=0時(shí)，n1=n2=n/2，t

＝0時(shí)加外電場(chǎng)，于是方程(4-110)的解為：4-1104-111加電場(chǎng)式(4-111)說(shuō)明，加上電場(chǎng)后，存在過(guò)剩躍遷離子，位置2與1相比離子比較集中，這破壞了原先電荷勻整分布狀態(tài)，出現(xiàn)了偶極矩。其極化強(qiáng)度為：式中(n2-n1)除2說(shuō)明過(guò)剩躍遷離子數(shù)為(n2-n1)的一半，其含義是：當(dāng)從“1”遷移到“2”的離子數(shù)比從“2”遷移到“1”的離子數(shù)凈多一個(gè)時(shí)(即過(guò)剩遷移離子為一個(gè))，“2”處雖多了一個(gè)，而“l(fā)”處卻少了一個(gè)，其差(n2-n1)便為2，因此，計(jì)算極化強(qiáng)度時(shí)，應(yīng)取其一半計(jì)算。4-112將式(4-111)代入式(4-112)，即得到隨時(shí)間變更的熱離子極化強(qiáng)度：式中松弛時(shí)間：此式表明：1）溫度T確定時(shí)，固體介質(zhì)中弱離子活化能U越大，松弛時(shí)間τ亦越大，即極化建立時(shí)間越長(zhǎng)。2）對(duì)確定結(jié)構(gòu)的介質(zhì)，U不變時(shí)，則松弛時(shí)間τ隨溫度T上升而呈指數(shù)關(guān)系減小，反之亦然。4-1134-114舉例粗略估計(jì)一下τ的數(shù)值：設(shè)離子本征振動(dòng)頻率v=1013Hz，而弱離子振動(dòng)頻率較低，約為1012Hz；由試驗(yàn)得知，其活化能U約為10-5焦耳，則在室溫(T=300K)時(shí)，松弛時(shí)間為：可見(jiàn)：松弛時(shí)間量值比較長(zhǎng)；處于音頻交變電場(chǎng)周期范圍內(nèi)。考察前巳得出的德拜方程：

這兩個(gè)方程中均含有ωτ因子，假如將ωτ消去，即可得到下列二次方程式：這個(gè)方程所表示的就是笛卡爾坐標(biāo)系中的一個(gè)(半)圓。3）柯?tīng)?柯?tīng)枅A弧律與松弛時(shí)間分布4-115若以ε’’r作為縱軸，ε’r作為橫軸，那么，由式(4-115)可知：假設(shè)取εrs=10，εr∞＝2，見(jiàn)圖4-13所示。當(dāng)以(εrs-εr∞)/2為半徑，以[(εrs+εr∞)/2，0]為圓心時(shí)，在ε’r和ε’’r

直角坐標(biāo)系中，可畫(huà)出的是一半圓。圖4-13單個(gè)松弛時(shí)間的Cole-Cole圖物理意義：圓弧上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于德拜方程計(jì)算的某一頻率下的ε’r

和ε’’r

值。應(yīng)當(dāng)指出：在導(dǎo)出以上諸結(jié)果時(shí)，有一個(gè)重要假設(shè)作為前提條件，即認(rèn)為電介質(zhì)只具有一個(gè)松弛時(shí)間值。則公式(4-115)稱(chēng)為柯?tīng)?柯?tīng)枅A弧律，它是由兩位學(xué)者提出的，即K.S.Co1e和R.H.Co1e。稱(chēng)為，Co1e-Cole定律4-115通過(guò)試驗(yàn)測(cè)出每一頻率下的ε’r和ε’’r值連成圓弧，來(lái)校核德拜方程。假照試驗(yàn)得出半圓，就與德拜方程相吻合，松弛時(shí)間就只有—個(gè)。事實(shí)上，試驗(yàn)結(jié)果常常不是半圓而是一個(gè)圓弧，這說(shuō)明德拜方程與實(shí)際有偏離，提示人們須要進(jìn)一步探討多個(gè)松弛時(shí)間的情形，具體考察松弛時(shí)間或弛豫時(shí)間的分布。冰在-5℃時(shí)，幾乎有志向的德拜特性，但其它材料明顯偏離在假設(shè)具有單一松弛時(shí)間條件下導(dǎo)出的德拜方程，表現(xiàn)為：圓心遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在ε’r軸之下，在ε’r軸以上顯示一條圓弧。圖4-14幾種材料的Cole-Cole圖依據(jù)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，Co1e-Cole給出了實(shí)際材料的Co1e-Cole圖，見(jiàn)圖4-14。為了表示這種和德拜特性偏離的程度，Cole-Co1e引出一個(gè)角度：該角是ε’r軸與圓弧和ε’r軸的交點(diǎn)到圓心的連線間的夾角，如圖4-15所示。這個(gè)角張得越大，則表示與德拜特性偏離越遠(yuǎn)。圖4-15

Cole-Cole圓弧用式πα/2來(lái)定義符號(hào)α。這一特性，使Cole-Cole得出了具有弛豫機(jī)制的介質(zhì)特性修正式：在式(4-116)中，α是個(gè)常數(shù)，其值在0＜α＜1。當(dāng)α＝0時(shí)，則式(4-116)即轉(zhuǎn)化為德拜方程式(4-72)。當(dāng)α

＞0時(shí)，即相當(dāng)于非單一松弛時(shí)間的弛豫分布。圖4-15

Cole-Cole圓弧4-116α

值越大，松弛時(shí)間分布越寬。在數(shù)學(xué)上，式(4-116)可進(jìn)一步改寫(xiě)為：

并分別求出復(fù)介電常數(shù)ε’’r

的實(shí)部和虛部：4-1174-1184-119由式(4-119)，取求出ε’’r最大值時(shí)的頻率為:ω=1/τ

。在該頻率下的ε’’r的最大值為：＝0，由式(4-117)～(4-119)可知；隨著α增大，頻譜收縮，圓弧圓心則越來(lái)越在ε’r軸以下，并且ε’’r越來(lái)越少依靠于頻率，可以從ε’r與ε’’r的頻率關(guān)系看出(見(jiàn)圖4-16)。4-120圖4-16：畫(huà)出了α=0、0.5、0.95三種狀況下εr’、εr”以及tgδ的頻譜特性曲線。實(shí)際介質(zhì)中：嚴(yán)格聽(tīng)從德拜方程的材料為數(shù)極少，比較多的是圖4-16中以虛線所示特性的材料(α=0.5)。無(wú)定形材料：代表另外一個(gè)極端，在圖4-16中以點(diǎn)劃線表示，對(duì)應(yīng)的α為0.95。圖中虛線和點(diǎn)劃線是分別是：α為0.5及0.95由Co1e-Co1e修正式(4-116)計(jì)算的結(jié)果。圖4-16松弛時(shí)間分布這些結(jié)果說(shuō)明：與德拜方程中單一松弛時(shí)間狀況不同，多數(shù)介質(zhì)弛豫過(guò)程的松弛時(shí)間彼此分散性很大，這樣，ε’r-logω彌散曲線變得比較平坦，彌散頻率范圍展寬，而ε’’r-logω吸取曲線變寬，且其