數(shù)值分析主講數(shù)值分析課題組Chenning1主講數(shù)值分析課題組1數(shù)值分析課程簡介

數(shù)值分析主要包括計算方法和數(shù)值方法兩部分。它是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個重要的數(shù)學(xué)分支，它主要涉及到代數(shù)、微積分、微分方程的數(shù)值解等問題。

數(shù)值分析及計算的主要任務(wù)，就是研究適合于在計算機上使用的的數(shù)值計算方法及與此相關(guān)的理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析等。此外，還要根據(jù)計算機的特點，研究計算時間最短、需要計算機內(nèi)存最優(yōu)等計算方法問題。數(shù)值分析2數(shù)值分析課程簡介數(shù)值分析主要包括計算方法和數(shù)第一章數(shù)值計算中的誤差分析

第二章線性方程組的直接解法第六章曲線擬合

第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章常微分方程的數(shù)值解法目錄第八章非線性方程的數(shù)值解法第五章函數(shù)插值第三章線性方程組的迭代解法第四章矩陣特征值特征向量的計算數(shù)值分析3第一章數(shù)值計算中的誤差分析第二章線性方程第一章

數(shù)值計算中的誤差分析

（一）

誤差的來源；（二）絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)值;（三）數(shù)值計算中誤差的傳播；（四）數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題。數(shù)值分析4第一章數(shù)值計算中的誤差分析（一）誤差的來源；數(shù)值分第一節(jié)誤差與數(shù)值計算的誤差估計第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)遵循的原則數(shù)值分析5第一節(jié)誤差與數(shù)值計算第二節(jié)選用和設(shè)計算法數(shù)值分析5誤差與數(shù)值計算誤差估計一誤差的來源與分類二誤差與有效數(shù)字數(shù)值分析6誤差與數(shù)值計算誤差估計一誤差的來源與分類二誤差與一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差四種.

1.模型誤差

用數(shù)值計算方法解決問題時,首先必須建立數(shù)學(xué)模型.由于實際問題的復(fù)雜性,在對實際問題進行抽象與簡化時,往往為了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,這樣就會使得建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述,它與實際問題之間總會有一些誤差.我們把這種數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差.數(shù)值分析7一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模

2觀測誤差

在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測或?qū)嶒灥脕淼奈锢砹?由于測量工具和測量手段的限制,它們與實際量大小之間必然存在誤差,這種誤差稱為觀測誤差.

3截斷誤差

由實際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型,在很多情況下要得到準確解是困難內(nèi)的,通常要用數(shù)值方法求出它的近似解.這種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的誤差稱為截斷誤差,由于截斷誤差是數(shù)值計算方法固有的,故又稱為方法誤差.82觀測誤差3截斷誤差8

4舍入誤差

用計算機進行數(shù)值計算時,由于計算機的數(shù)位有限,計算時只能對超過位數(shù)的數(shù)字進行四舍五入,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.二.誤差與有效數(shù)字

1絕對誤差與絕對誤差限e=x-x*.

稱為近似值x*的絕對誤差限。

簡稱誤差限或精度.設(shè)x*為準確值x的一個近似值，稱為近似值x*的絕對誤差94舍入誤差二.誤差與有效數(shù)有了誤差限和近似值，可得到準確值范圍

易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其誤差限一定不超過被保留數(shù)的最后數(shù)位上的半個單位10有了誤差限和近似值，可得到準確值范圍易知，由四舍例：問3.142,3.141,22/7分別作為的近似值各具有幾位有效數(shù)字？3.142具有4位有效數(shù)字；3.141具有3位有效數(shù)字；22/7具有3位有效數(shù)字。11例：問3.142,3.141,22/7分別作為2絕對誤差、相對誤差和其誤差限

設(shè)x*為準確值x的一個近似值，稱絕對誤差限與準確值之比為近似值x*的相對誤差。記:稱為x*的相對誤差限。若存在正數(shù),使得122絕對誤差、相對誤差和其誤差限設(shè)x*為準確值x的3有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個非零數(shù)誤差不超過該數(shù)的半個單位。133有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個非零數(shù)誤差不超過1414有三位有效數(shù)字。

表示近似數(shù)0.003400準確到小數(shù)點后第五位,例1-1：是具有7位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限是例1-2：15有三位有效數(shù)字。表示近似數(shù)0.003400準確到小數(shù)點后絕對誤差（限）相對誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系16絕對誤差（限）相對誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對

4有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系：174有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系：17解EX:P13.518解EX:P13.518小結(jié)模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差絕對誤差絕對誤差限

相對誤差相對誤差限有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系19小結(jié)模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差絕對誤差第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)遵循的原則一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播

二、盡量簡化計算步驟以減少計算次數(shù)

三、盡量避免兩個相鄰的數(shù)相減四、小結(jié)20第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式基本運算：指四則運算和常用函數(shù)的計算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)的解為計算中求解與參量有關(guān),記：1、基本運算的誤差估計設(shè)在點可微,當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時，解的絕對誤差為

21基本運算：指四則運算和常用函數(shù)的計算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)解的相對誤差為

[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為：22解的相對誤差為[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為可得：

即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、商的相對誤差限不超過各數(shù)的相對誤差限的和。則的相對誤差為x相對誤差的n倍。特別有相對誤差為x相對誤差的0.5倍。

例1、設(shè),求y的相對誤差與x的相對誤差之間的關(guān)系。解：由公式知，23可得：即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，(1’)(2’)算法1：x=0.182322forn=1:20nx=-5*x+1/nend算法2：x=0.00873016forn=20:-1:1n-1x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx=0.1823n=1x=0.0884n=2x=0.0581n=3x=0.0431n=4x=0.0346n=5x=0.0271n=6x=0.0313n=7x=-0.0134n=8x=0.1920n=9x=-0.8487n=1x=4.3436n=11x=-21.6268n=12x=108.2176n=13x=-541.0110n=14x=2.7051e+003n=15x=-1.3526e+004n=16x=6.7628e+004n=17x=-3.3814e+005n=18x=1.6907e+006n=19x=-8.4535e+006n=20x=4.2267e+007x=0.0087ans=19x=0.0083ans=18x=0.0089ans=17x=0.0093ans=16x=0.0099ans=15x=0.0105EX24(1’)(2’)算法1：x=0.182322算法2：x=0.

一個算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會嚴重背離數(shù)學(xué)模型的真實結(jié)果。在選擇數(shù)值計算公式來進行計算時，應(yīng)用在數(shù)值計算過程中不會導(dǎo)致誤差迅速增長的計算公式。一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播例1

計算定積分(1.2.1)25一個算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不解算法一

利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26解算法一利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26則由以上的的不等式可以看出

27則由以上的的不等式可以看出27算法二28算法二2829293030s0=1-exp(-1);s1=1-s0;forn=2:20s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)01234560.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268789101112130.11240.10090.09160.08390.07740.07180.0669141516171819200.06270.05900.05550.0572-0.02951.5596-30.1924s(30)=1/31;forn=30:-1:2s(n-1)=(1-s(n))/n;ends(1:20)201918171615140.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268131211109870.11240.10090.09160.08390.07740.07180.066965432100.06270.05900.05570.05280.05010.04770.045531s0=1-exp(-1);01234560.63210.36二、盡量簡化計算步驟以減少計算次數(shù)

同樣一個問題,如果能減少運算次數(shù),不但可以節(jié)省計算機的計算時間,而且還能減少舍入誤差,這是數(shù)值計算必須遵守的原則.例2解32二、盡量簡化計算步驟以減少計算次數(shù)同樣一個三、盡量避免兩個相鄰的數(shù)相減

在數(shù)值計算中，兩個相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的嚴重損失。這種情況，應(yīng)當(dāng)多保留兩個數(shù)的有效數(shù)字，盡量避免減法運算，改變計算方法如可通過因式分解、分子分母有理化、三角函數(shù)恒等式、其他恒等式、Taylor展式等計算公式，防止減法運算的出現(xiàn)。例3解33三、盡量避免兩個相鄰的數(shù)相減在數(shù)值計算中，兩3434

除了以上的三條運則外，在實際計算中還要注意以下兩原則：絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)、合理安排運算順序,防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)。例5求解二次方程解：利用因式分解易得若用求根公式得：用8位小數(shù)的機器處理時，有易得顯然是錯誤的；處理方法是改寫差式，才得有效結(jié)果。35除了以上的三條運則外，在實際計算中還要注意以六、小結(jié)36六、小結(jié)36數(shù)值分析主講數(shù)值分析課題組Chenning37主講數(shù)值分析課題組1數(shù)值分析課程簡介

數(shù)值分析主要包括計算方法和數(shù)值方法兩部分。它是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個重要的數(shù)學(xué)分支，它主要涉及到代數(shù)、微積分、微分方程的數(shù)值解等問題。

數(shù)值分析及計算的主要任務(wù)，就是研究適合于在計算機上使用的的數(shù)值計算方法及與此相關(guān)的理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析等。此外，還要根據(jù)計算機的特點，研究計算時間最短、需要計算機內(nèi)存最優(yōu)等計算方法問題。數(shù)值分析38數(shù)值分析課程簡介數(shù)值分析主要包括計算方法和數(shù)第一章數(shù)值計算中的誤差分析

第二章線性方程組的直接解法第六章曲線擬合

第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章常微分方程的數(shù)值解法目錄第八章非線性方程的數(shù)值解法第五章函數(shù)插值第三章線性方程組的迭代解法第四章矩陣特征值特征向量的計算數(shù)值分析39第一章數(shù)值計算中的誤差分析第二章線性方程第一章

數(shù)值計算中的誤差分析

（一）

誤差的來源；（二）絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)值;（三）數(shù)值計算中誤差的傳播；（四）數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題。數(shù)值分析40第一章數(shù)值計算中的誤差分析（一）誤差的來源；數(shù)值分第一節(jié)誤差與數(shù)值計算的誤差估計第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)遵循的原則數(shù)值分析41第一節(jié)誤差與數(shù)值計算第二節(jié)選用和設(shè)計算法數(shù)值分析5誤差與數(shù)值計算誤差估計一誤差的來源與分類二誤差與有效數(shù)字數(shù)值分析42誤差與數(shù)值計算誤差估計一誤差的來源與分類二誤差與一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差四種.

1.模型誤差

用數(shù)值計算方法解決問題時,首先必須建立數(shù)學(xué)模型.由于實際問題的復(fù)雜性,在對實際問題進行抽象與簡化時,往往為了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,這樣就會使得建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述,它與實際問題之間總會有一些誤差.我們把這種數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差.數(shù)值分析43一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模

2觀測誤差

在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測或?qū)嶒灥脕淼奈锢砹?由于測量工具和測量手段的限制,它們與實際量大小之間必然存在誤差,這種誤差稱為觀測誤差.

3截斷誤差

由實際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型,在很多情況下要得到準確解是困難內(nèi)的,通常要用數(shù)值方法求出它的近似解.這種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的誤差稱為截斷誤差,由于截斷誤差是數(shù)值計算方法固有的,故又稱為方法誤差.442觀測誤差3截斷誤差8

4舍入誤差

用計算機進行數(shù)值計算時,由于計算機的數(shù)位有限,計算時只能對超過位數(shù)的數(shù)字進行四舍五入,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.二.誤差與有效數(shù)字

1絕對誤差與絕對誤差限e=x-x*.

稱為近似值x*的絕對誤差限。

簡稱誤差限或精度.設(shè)x*為準確值x的一個近似值，稱為近似值x*的絕對誤差454舍入誤差二.誤差與有效數(shù)有了誤差限和近似值，可得到準確值范圍

易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其誤差限一定不超過被保留數(shù)的最后數(shù)位上的半個單位46有了誤差限和近似值，可得到準確值范圍易知，由四舍例：問3.142,3.141,22/7分別作為的近似值各具有幾位有效數(shù)字？3.142具有4位有效數(shù)字；3.141具有3位有效數(shù)字；22/7具有3位有效數(shù)字。47例：問3.142,3.141,22/7分別作為2絕對誤差、相對誤差和其誤差限

設(shè)x*為準確值x的一個近似值，稱絕對誤差限與準確值之比為近似值x*的相對誤差。記:稱為x*的相對誤差限。若存在正數(shù),使得482絕對誤差、相對誤差和其誤差限設(shè)x*為準確值x的3有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個非零數(shù)誤差不超過該數(shù)的半個單位。493有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個非零數(shù)誤差不超過5014有三位有效數(shù)字。

表示近似數(shù)0.003400準確到小數(shù)點后第五位,例1-1：是具有7位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限是例1-2：51有三位有效數(shù)字。表示近似數(shù)0.003400準確到小數(shù)點后絕對誤差（限）相對誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系52絕對誤差（限）相對誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對

4有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系：534有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系：17解EX:P13.554解EX:P13.518小結(jié)模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差絕對誤差絕對誤差限

相對誤差相對誤差限有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對誤差、相對誤差的關(guān)系55小結(jié)模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差絕對誤差第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)遵循的原則一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播

二、盡量簡化計算步驟以減少計算次數(shù)

三、盡量避免兩個相鄰的數(shù)相減四、小結(jié)56第二節(jié)選用和設(shè)計算法適應(yīng)一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式基本運算：指四則運算和常用函數(shù)的計算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)的解為計算中求解與參量有關(guān),記：1、基本運算的誤差估計設(shè)在點可微,當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時，解的絕對誤差為

57基本運算：指四則運算和常用函數(shù)的計算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)解的相對誤差為

[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為：58解的相對誤差為[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為可得：

即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、商的相對誤差限不超過各數(shù)的相對誤差限的和。則的相對誤差為x相對誤差的n倍。特別有相對誤差為x相對誤差的0.5倍。

例1、設(shè),求y的相對誤差與x的相對誤差之間的關(guān)系。解：由公式知，59可得：即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，(1’)(2’)算法1：x=0.182322forn=1:20nx=-5*x+1/nend算法2：x=0.00873016forn=20:-1:1n-1x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx=0.1823n=1x=0.0884n=2x=0.0581n=3x=0.0431n=4x=0.0346n=5x=0.0271n=6x=0.0313n=7x=-0.0134n=8x=0.1920n=9x=-0.8487n=1x=4.3436n=11x=-21.6268n=12x=108.2176n=13x=-541.0110n=14x=2.7051e+003n=15x=-1.3526e+004n=16x=6.7628e+004n=17x=-3.3814e+005n=18x=1.6907e+006n=19x=-8.4535e+006n=20x=4.2267e+007x=0.0087ans=19x=0.0083ans=18x=0.0089ans=17x=0.0093ans=16x=0.0099ans=15x=0.0105EX60(1’)(2’)算法1：x=0.182322算法2：x=0.

一個算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會嚴重背離數(shù)學(xué)模型的真實結(jié)果。在選擇數(shù)值計算公式來進行計算時，應(yīng)用在數(shù)值計算過程中不會導(dǎo)致誤差迅速增長的計算公式。一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播例1

計算定積分(1.2.1)61一個算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不解算法一

利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:62解算法一利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26則由以上的的不等式可以看出

63則由以上的的不等式可以看出27算法二64算法二2865296630s0=1-exp(-1);s1=1-s0;forn=2:20s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)01234