水力學主講教師：張法星、李克鋒、張陵蕾2015年9～12月水力學主講教師：張法星、李克鋒、張陵蕾《水力學》的目的、任務和研究對象是什么？為什么要首先討論液體的物理性質(zhì)？什么是慣性？慣性力如何描述？慣性力為什么是假想力？水的密度與哪些因素有關(guān)？最大值是多少？重力如何計算？汽油和水的重力加速度哪個大？上海、拉薩和成都何處的重力加速度最大？海平面的重力加速度可取多少？什么是液體的粘滯性？如何描述？牛頓內(nèi)摩擦定律的內(nèi)涵是什么？如何據(jù)此計算粘滯力？水的運動粘滯系數(shù)與哪些因素有關(guān)？一般可取值多少？何為牛頓流體？其切應力與流速梯度是何關(guān)系？0章內(nèi)容回顧《水力學》的目的、任務和研究對象是什么？0章內(nèi)容回顧何為液體的壓縮性？如何描述？水的體積壓縮率或體積模量與哪些因素有關(guān)？水的體積模量一般可取值多少？哪些情況下不能忽略水的彈性？什么是表面張力？如何描述？何時需考慮？什么是連續(xù)介質(zhì)？為什么要引入本假定？是否準確？什么是理想液體？為什么要引入本假定？是否準確？理想液體的切應力與流速梯度是何關(guān)系？什么是表面力、質(zhì)量力、單位質(zhì)量力？靜止液體在橫向、縱向和垂向的單位質(zhì)量力分別是多少？0章內(nèi)容回顧何為液體的壓縮性？如何描述？0章內(nèi)容回顧1水靜力學1水靜力學理解靜水壓強的特性；掌握靜水壓強基本方程、等壓面以及液體中壓強的計算、測量與表示方法；掌握靜水總壓力的計算方法。本章學習基本要求理解靜水壓強的特性；掌握靜水壓強基本方程、等壓面以及液體中壓水靜力學的任務：研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。液體的平衡狀態(tài)有兩種：靜止狀態(tài)：即液體相對于地球沒有運動；相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖在運動，但液體對于容器或液體質(zhì)點之間沒有相對運動。如沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體和實際液體所遵循的規(guī)律相同。水靜力學的目標：確定液體對邊界的作用力。學習任務與目標水靜力學的任務：研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。學習任務與目1.1靜水壓強及其特性1.2液體的平衡微分方程式及其積分1.3等壓面1.4重力作用下靜水壓強的基本公式1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡1.6絕對壓強與相對壓強目錄1.1靜水壓強及其特性1.2液體的平衡微分方程式及其積分1.1.7壓強的測量1.8壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能1.9作用于平面上的靜水總壓力1.10作用于曲面上的靜水總壓力1.11作用于物體上的靜水總壓力,潛體與浮體的平衡及其穩(wěn)定性目錄1.7壓強的測量1.8壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能1.91.1靜水壓強及其特性1.1.1靜水壓力與靜水壓強水力自控翻板閘門1.1靜水壓強及其特性1.1.1靜水壓力與靜水壓強水力1.1靜水壓強及其特性靜水壓力靜止（或處于相對平衡狀態(tài)）液體作用在與之接觸的表面上的水壓力稱為靜水壓力，常以字母FP

表示。平均靜水壓強取微小面積△A，令作用于△A上的靜水壓力為△FP，則

△A面上單位面積所受的平均靜水壓力為靜水壓強靜水壓力FP

的單位：牛頓（N）靜水壓強p的單位：牛頓／米2（N／m2），或帕斯卡（Pa）。在許多情況下，決定事物性質(zhì)的不是壓力而是壓強。1.1靜水壓強及其特性靜水壓力1.1靜水壓強及其特性靜水壓強的兩個重要特性：靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓面。1.1.2靜水壓強的特性1.1靜水壓強及其特性靜水壓強的兩個重要特性：1.1.21.1靜水壓強及其特性任一點靜水壓強的大小和受壓面方向無關(guān)，或者說作用于同一點上各方向的靜水壓強大小相等。pointpressure1.1靜水壓強及其特性任一點靜水壓強的大小和受壓面方向無以平衡液體中邊長為△x、△y、△z的微分四面體為對象，研究其受力情況。△FPx為作用在O′DB面上的靜壓力；△FPy為作用在O′DC面上的靜壓力；△FPz為作用在O′BC面上的靜壓力；△FPn為作用在BDC面上的靜壓力。O以平衡液體中邊長為△x、△y、△z的微分四面體為對象，四面體體積：總質(zhì)量力在三個坐標方向的投影為：按照平衡條件，所有作用于微小四面體上的外力在各坐標軸上投影的代數(shù)和應分別為零，即O四面體體積：總質(zhì)量力在三個坐標按照平衡條件，所有O而四面體四個表面面積間滿足：作為連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點的靜水壓強僅是空間坐標的函數(shù)而與受壓面無關(guān)。O而四面體四個表面面積間滿足：作為連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點運動液體的壓強同一點上各法向應力不再相等，流體動壓強一般定義三個互相垂直壓應力的平均值，即：理想液體的壓強呈現(xiàn)靜水壓強特性，即只存在壓應力，且：推論16運動液體的壓強推論161.2液體的平衡微分方程式及其積分液體平衡微分方程式:是表征液體處于平衡狀態(tài)時，作用于液體上各種力之間關(guān)系的數(shù)學表達式。取邊長為dx、dy、dz的平行微分六面體進行研究。對連續(xù)函數(shù)，可采用泰勒級數(shù)展開為：1.2液體的平衡微分方程式及其積分液體平衡微分方程式:以ρdxdydz

除上式各項并化簡，可得：表面力靜水壓力質(zhì)量力x方向受力分析：液體處于平衡狀態(tài)，故有以ρdxdydz除上式各項并化簡，可得：表面力靜水壓力同理，對于y、z方向可推出類似結(jié)果，從而得到如下微分方程組，又稱歐拉平衡微分方程組。該式的物理意義為：平衡液體中，靜水壓強沿某一方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。同理，對于y、z方向可推出類似結(jié)果，從而得到如下微分方程組，將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx,dy,dz

然后相加得：上式是不可壓縮均質(zhì)液體平衡微分方程式的另一種表達形式。因為p=p(x,y,z)，故有將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx,dy,dz然后綜合整理，可得作用在平衡液體上的質(zhì)量力應滿足：必然存在力勢函數(shù)U(x,y,z)，且滿足：滿足上述關(guān)系式的力稱為有勢力。如慣性力、重力等。將歐拉方程前兩式分別對y和x取偏導數(shù)作用在平衡液體上的質(zhì)量力的性質(zhì)：對不可壓均質(zhì)液體綜合整理，可得作用在平衡液體上的質(zhì)量力應滿足：必然存在力勢函力勢函數(shù)的全微分dU，等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離所作的功。上式表明：作用在液體上的質(zhì)量力必須是有勢力，液體才能保持平衡。故有由于上式為可壓縮均質(zhì)液體的平衡微分方程。力勢函數(shù)的全微分dU，等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離帕斯卡定律：平衡液體中，邊界上的壓強p0

將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；即當

p0

增大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應地增大或減小同樣數(shù)值。如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強為p0

、力勢函數(shù)為U0，則積分常數(shù)對不可壓縮均質(zhì)液體的平衡微分方程進行積分，可得：可得由于力勢函數(shù)U只是空間坐標的函數(shù)，因此(U-U0)也僅是空間坐標的函數(shù)，與p0無關(guān)。帕斯卡定律：平衡液體中，邊界上的壓強p0將等值地傳遞到液等壓面定義：靜水壓強值相等的點連接成的面（可能是平面也可能是曲面）。等壓面性質(zhì)：在平衡液體中等壓面即是等勢面在等壓面上，p=常數(shù)，故dp=0，亦即ρdU=0。對不可壓縮均質(zhì)液體，ρ為常數(shù)，由此得出dU=0，即

U=常數(shù)。1.3等壓面24等壓面定義：1.3等壓面241.3等壓面等壓面與質(zhì)量力正交在平衡液體中任取一等壓面，質(zhì)點M質(zhì)量為dm，在質(zhì)量力F作用下沿等壓面移動微分距離ds。令i,j,k表示坐標軸上的單位矢量，則F

和ds

可分別表示為：F=(fxi+fyj

+fzk)dmds=(dx

i+

dy

j

+dz

k)1.3等壓面等壓面與質(zhì)量力正交在平衡液體中任取一等壓面，力F

沿ds

移動所作的功可寫作矢量F與

ds

的數(shù)性積：因等壓面上dU=0，所以W=F·ds=0，也即質(zhì)量力必須與等壓面正交。注意：靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，局部而言等壓面必定是水平面；大范圍而言，等壓面應是處處和地心引力成正交的曲面。平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面。不同流體的交界面也是等壓面。力F沿ds移動所作的功可寫作矢量F與ds的數(shù)1.4重力作用下靜水壓強的基本公式實際工程中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力常常只有重力，即所謂靜止液體。采用右圖所示的直角坐標系。27o1.4重力作用下靜水壓強的基本公式實際工程中，作用于平衡僅有重力作用時，fx

＝0，fy

＝0，fz

＝-g

，代入平衡微分方程式，可得對均質(zhì)液體，積分上式可得在自由面上滿足z=z0，p=p0，則有僅有重力作用時，fx＝0，fy＝0，fz＝-g，得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：式中h=z0–z表示該點在自由面以下的淹沒深度；p0表示自由面上的氣體壓強。或者可見，靜止液體內(nèi)任意點的靜水壓強由兩部分組成：一部分是自由面上的氣體壓強p0，它遵從帕斯卡定律；另一部分是ρgh，相當于單位面積上高度為h

的水柱的重量。得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：式中h=z0–淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)量力只有重力的同一種連續(xù)介質(zhì)。對不連續(xù)液體或一個水平面穿過了兩種不同介質(zhì)，位于同一水平面上的各點壓強并不相等。(a)連通容器(b)連通器被隔斷

(c)盛有不同種類溶液的連通器淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)量力只有重力的同一1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡液體相對于地球運動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對平衡。以繞中心軸做等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進行分析。circumrotatebody1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡液體相對于地球運動，但達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性力，則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應保持平衡。

對旋轉(zhuǎn)容器中的液體，所受質(zhì)量力應包括重力與離心慣性力。達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上上式表明：繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平衡液體，其等壓面為拋物面。作用于圓筒內(nèi)任一質(zhì)點m(x,y,z)單位質(zhì)量上的離心慣性力為等壓面上dp=0，得：積分可得F=ω2r。F的方向為通過m

點的半徑方向。單位質(zhì)量力為：上式表明：繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平衡液體，其等壓面為拋物面自由面最低點x=0,y=0,z=zs=z0，則積分常數(shù)C=-gz0。可得自由面方程為：因為代入自由面上邊界條件，得常數(shù)C1

值：故靜水壓強分布規(guī)律：積分上式可得：自由面最低點x=0,y=0,z=zs=代入自由面方程并整理，可得為：若令h=zs-z，h為液體內(nèi)部任意質(zhì)點m(x,y,z)在自由液面下的淹沒深度，則上式表明：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍是等壓面。質(zhì)量力只有重力作用的靜止液體中，對任意點有代入自由面方程并整理，可得為：若令h=zs-z，h為在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關(guān)系一般不存在。由即在繞中心軸作等角速旋轉(zhuǎn)的液體中，只有r值相同的那些點，即位于同心圓柱面上的各點，才保持不變。可得到在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關(guān)系一般不存在。由1.6.1絕對壓強設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，稱為絕對壓強。絕對壓強總是正的，以p′

表示。1.6.2相對壓強把當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強，稱為相對壓強。相對壓強的值可正可負，以p

表示。1.6絕對壓強與相對壓強37由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強，稱為大氣壓強。海拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位中，把101.325kPa稱為一個標準大氣壓。1.6.1絕對壓強設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計以p′

表示絕對壓強，p

表示相對壓強，pa

表示當?shù)氐拇髿鈮簭?。則有水利工程中，自由面上的氣體壓強等于當?shù)卮髿鈮簭?，故靜止液體內(nèi)任意點的相對壓強為1.6絕對壓強與相對壓強以p′表示絕對壓強，p表示相對壓強，pa表示當?shù)氐?.6.3真空及真空度絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。相對壓強為負值時，則稱該點存在真空。真空的大小用真空度

pk

表示。真空度是指該點絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷臄?shù)值。真空又稱為負壓。1.6絕對壓強與相對壓強1.6.3真空及真空度1.6絕對壓強與相對壓強例1.2

一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為85kPa，

當?shù)卮髿鈮簽?8kPa，淹沒深度h為1m處點C的絕對靜水

壓強、相對靜水壓強和真空度。解：C點絕對靜水壓強為C點的相對靜水壓強為相對壓強為負值，說明C點存在真空。真空度為例1.2一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為85kPa例1.3

情況同上例，試問當C點相對壓

強p為9.8kPa時，C點在自由

面下的淹沒深度h為多少？解：相對靜水壓強：代入已知值后可算得例1.3情況同上例，試問當C點相對壓解：相對靜水壓強：代例1.5

如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角為30°，被油淹沒部分壁長L為6m，自由面上的壓強油的密度為816.3kg/m3，問槽底板上壓強為多少？解：槽底板為水平面，故為等壓面，底板上各處壓強相等。底板在液面下的淹沒深度h=Lsin30°=6×1/2=3m。底板絕對壓強：底板相對壓強：因為底板外側(cè)也同樣受到大氣壓強的作用，故底板上的實際荷載只有相對壓強部份。例1.5如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角為解：解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通的同種液體，故和水箱自由表面同高程的測壓管內(nèi)N點，應與自由表面位于同一等壓面上，其壓強應等于自由表面上的大氣壓強，即。例1.6

如圖，一開口水箱，自由表面上的當?shù)卮髿鈮簭姙樵谒溆蚁聜?cè)連接一根封閉的測壓管，今用抽氣機將管中氣體抽凈（即為絕對真空），求測壓管水面比水箱水面高出的h值為多少？從測壓管來考慮因故pa

解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通的同例1.6如圖，一開口水1.7壓強的測量1.7.1

測壓管若欲測容器中A點的液體壓強，可在容器上設(shè)置一開口細管。則A、B點位于同一等壓面，兩點壓強相等。式中

h稱為測壓管高度。利用水靜力學原理設(shè)計的液體測壓計有測壓管、測壓計、差壓計等。1.7壓強的測量1.7.1測壓管若欲測容器中A點的當

A點壓強較小時：●可在測壓管中放入輕質(zhì)液體（如油），以增大測壓管標尺讀數(shù)?！褚部蓪y壓管傾斜放置，h=Lsinα。 當被測點壓強很大時：所需測壓管很長，這時可以改用U形水銀測壓計。A點的相對壓強為：當A點壓強較小時：●可在測壓管中放入輕質(zhì)液體（如油），式中，ρ與ρHg

分別為水和水銀的密度。1.7.2

U形水銀測壓計在U形管內(nèi)，水銀面N-N為等壓面，因而1點和2點壓強相等。對測壓計右支對測壓計左支A點的絕對壓強A點的相對壓強式中，ρ與ρHg分別為水和水銀的密度。1.7.2U形水銀差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。若左、右兩容器內(nèi)各盛一種介質(zhì)，其密度分別為ρA

和ρB

。因C-C面是等壓面，于是1.7.3差壓計由于差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。若左、右兩容器內(nèi)各盛一種介

若若被測點A，B間壓差很小，為了提高測量精度，可將U形測壓計倒裝，并在U形管中注入不與容器中介質(zhì)相混合的輕質(zhì)液體?？山，B兩點間壓差計算公式為

若糾錯(P34)若若被測點A，B間壓差很小，為了提高測量精度，可將1.8.1壓強的液柱表示法壓強大小的表示：以單位面積上的壓力數(shù)值即千帕(kPa)來表示。用工程大氣壓(at)表示。用液柱高表示。98kPa=1at＝10mH2O

＝736mm

Hg1.8壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能491.8.1壓強的液柱表示法1.8壓強的液柱表示法，水頭與z

位置水頭，靜止液體內(nèi)任意點在參考坐標平面以上的幾何高度。壓強水頭，是該點的測壓管內(nèi)液柱高度。測壓管水頭。在靜水壓強的基本方程式中1.8.2

水頭和單位勢能靜止液體中的能量守恒定律：分別表示單位重量液體所具有的位能和壓能。靜止液體內(nèi)各點，單位重量液體所具有的勢能相等。上式表明靜止液體內(nèi)各點測壓管水頭是常數(shù)。z位置水頭，靜止液體內(nèi)任意點在參考坐標平面以上的幾何高解：絕對壓強或為水柱

或為水銀柱相對壓強

或為水柱，

或為水銀柱真空度

或為1.84mm水柱，或為135mm水銀柱例1.8

若已知抽水機吸水管中某點絕對壓強為80試將該點絕對壓強、相對壓強和真空度用水柱及水銀柱表示出來（已知當?shù)卮髿鈮簭姙椋?。解：絕對壓強或為1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7本次習題521.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7本次習THANKYOUTHANKYOU水力學主講教師：張法星、李克鋒、張陵蕾2015年9～12月水力學主講教師：張法星、李克鋒、張陵蕾《水力學》的目的、任務和研究對象是什么？為什么要首先討論液體的物理性質(zhì)？什么是慣性？慣性力如何描述？慣性力為什么是假想力？水的密度與哪些因素有關(guān)？最大值是多少？重力如何計算？汽油和水的重力加速度哪個大？上海、拉薩和成都何處的重力加速度最大？海平面的重力加速度可取多少？什么是液體的粘滯性？如何描述？牛頓內(nèi)摩擦定律的內(nèi)涵是什么？如何據(jù)此計算粘滯力？水的運動粘滯系數(shù)與哪些因素有關(guān)？一般可取值多少？何為牛頓流體？其切應力與流速梯度是何關(guān)系？0章內(nèi)容回顧《水力學》的目的、任務和研究對象是什么？0章內(nèi)容回顧何為液體的壓縮性？如何描述？水的體積壓縮率或體積模量與哪些因素有關(guān)？水的體積模量一般可取值多少？哪些情況下不能忽略水的彈性？什么是表面張力？如何描述？何時需考慮？什么是連續(xù)介質(zhì)？為什么要引入本假定？是否準確？什么是理想液體？為什么要引入本假定？是否準確？理想液體的切應力與流速梯度是何關(guān)系？什么是表面力、質(zhì)量力、單位質(zhì)量力？靜止液體在橫向、縱向和垂向的單位質(zhì)量力分別是多少？0章內(nèi)容回顧何為液體的壓縮性？如何描述？0章內(nèi)容回顧1水靜力學1水靜力學理解靜水壓強的特性；掌握靜水壓強基本方程、等壓面以及液體中壓強的計算、測量與表示方法；掌握靜水總壓力的計算方法。本章學習基本要求理解靜水壓強的特性；掌握靜水壓強基本方程、等壓面以及液體中壓水靜力學的任務：研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。液體的平衡狀態(tài)有兩種：靜止狀態(tài)：即液體相對于地球沒有運動；相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖在運動，但液體對于容器或液體質(zhì)點之間沒有相對運動。如沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體和實際液體所遵循的規(guī)律相同。水靜力學的目標：確定液體對邊界的作用力。學習任務與目標水靜力學的任務：研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。學習任務與目1.1靜水壓強及其特性1.2液體的平衡微分方程式及其積分1.3等壓面1.4重力作用下靜水壓強的基本公式1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡1.6絕對壓強與相對壓強目錄1.1靜水壓強及其特性1.2液體的平衡微分方程式及其積分1.1.7壓強的測量1.8壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能1.9作用于平面上的靜水總壓力1.10作用于曲面上的靜水總壓力1.11作用于物體上的靜水總壓力,潛體與浮體的平衡及其穩(wěn)定性目錄1.7壓強的測量1.8壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能1.91.1靜水壓強及其特性1.1.1靜水壓力與靜水壓強水力自控翻板閘門1.1靜水壓強及其特性1.1.1靜水壓力與靜水壓強水力1.1靜水壓強及其特性靜水壓力靜止（或處于相對平衡狀態(tài)）液體作用在與之接觸的表面上的水壓力稱為靜水壓力，常以字母FP

表示。平均靜水壓強取微小面積△A，令作用于△A上的靜水壓力為△FP，則

△A面上單位面積所受的平均靜水壓力為靜水壓強靜水壓力FP

的單位：牛頓（N）靜水壓強p的單位：牛頓／米2（N／m2），或帕斯卡（Pa）。在許多情況下，決定事物性質(zhì)的不是壓力而是壓強。1.1靜水壓強及其特性靜水壓力1.1靜水壓強及其特性靜水壓強的兩個重要特性：靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓面。1.1.2靜水壓強的特性1.1靜水壓強及其特性靜水壓強的兩個重要特性：1.1.21.1靜水壓強及其特性任一點靜水壓強的大小和受壓面方向無關(guān)，或者說作用于同一點上各方向的靜水壓強大小相等。pointpressure1.1靜水壓強及其特性任一點靜水壓強的大小和受壓面方向無以平衡液體中邊長為△x、△y、△z的微分四面體為對象，研究其受力情況。△FPx為作用在O′DB面上的靜壓力；△FPy為作用在O′DC面上的靜壓力；△FPz為作用在O′BC面上的靜壓力；△FPn為作用在BDC面上的靜壓力。O以平衡液體中邊長為△x、△y、△z的微分四面體為對象，四面體體積：總質(zhì)量力在三個坐標方向的投影為：按照平衡條件，所有作用于微小四面體上的外力在各坐標軸上投影的代數(shù)和應分別為零，即O四面體體積：總質(zhì)量力在三個坐標按照平衡條件，所有O而四面體四個表面面積間滿足：作為連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點的靜水壓強僅是空間坐標的函數(shù)而與受壓面無關(guān)。O而四面體四個表面面積間滿足：作為連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點運動液體的壓強同一點上各法向應力不再相等，流體動壓強一般定義三個互相垂直壓應力的平均值，即：理想液體的壓強呈現(xiàn)靜水壓強特性，即只存在壓應力，且：推論69運動液體的壓強推論161.2液體的平衡微分方程式及其積分液體平衡微分方程式:是表征液體處于平衡狀態(tài)時，作用于液體上各種力之間關(guān)系的數(shù)學表達式。取邊長為dx、dy、dz的平行微分六面體進行研究。對連續(xù)函數(shù)，可采用泰勒級數(shù)展開為：1.2液體的平衡微分方程式及其積分液體平衡微分方程式:以ρdxdydz

除上式各項并化簡，可得：表面力靜水壓力質(zhì)量力x方向受力分析：液體處于平衡狀態(tài)，故有以ρdxdydz除上式各項并化簡，可得：表面力靜水壓力同理，對于y、z方向可推出類似結(jié)果，從而得到如下微分方程組，又稱歐拉平衡微分方程組。該式的物理意義為：平衡液體中，靜水壓強沿某一方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。同理，對于y、z方向可推出類似結(jié)果，從而得到如下微分方程組，將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx,dy,dz

然后相加得：上式是不可壓縮均質(zhì)液體平衡微分方程式的另一種表達形式。因為p=p(x,y,z)，故有將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx,dy,dz然后綜合整理，可得作用在平衡液體上的質(zhì)量力應滿足：必然存在力勢函數(shù)U(x,y,z)，且滿足：滿足上述關(guān)系式的力稱為有勢力。如慣性力、重力等。將歐拉方程前兩式分別對y和x取偏導數(shù)作用在平衡液體上的質(zhì)量力的性質(zhì)：對不可壓均質(zhì)液體綜合整理，可得作用在平衡液體上的質(zhì)量力應滿足：必然存在力勢函力勢函數(shù)的全微分dU，等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離所作的功。上式表明：作用在液體上的質(zhì)量力必須是有勢力，液體才能保持平衡。故有由于上式為可壓縮均質(zhì)液體的平衡微分方程。力勢函數(shù)的全微分dU，等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離帕斯卡定律：平衡液體中，邊界上的壓強p0

將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；即當

p0

增大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應地增大或減小同樣數(shù)值。如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強為p0

、力勢函數(shù)為U0，則積分常數(shù)對不可壓縮均質(zhì)液體的平衡微分方程進行積分，可得：可得由于力勢函數(shù)U只是空間坐標的函數(shù)，因此(U-U0)也僅是空間坐標的函數(shù)，與p0無關(guān)。帕斯卡定律：平衡液體中，邊界上的壓強p0將等值地傳遞到液等壓面定義：靜水壓強值相等的點連接成的面（可能是平面也可能是曲面）。等壓面性質(zhì)：在平衡液體中等壓面即是等勢面在等壓面上，p=常數(shù)，故dp=0，亦即ρdU=0。對不可壓縮均質(zhì)液體，ρ為常數(shù)，由此得出dU=0，即

U=常數(shù)。1.3等壓面77等壓面定義：1.3等壓面241.3等壓面等壓面與質(zhì)量力正交在平衡液體中任取一等壓面，質(zhì)點M質(zhì)量為dm，在質(zhì)量力F作用下沿等壓面移動微分距離ds。令i,j,k表示坐標軸上的單位矢量，則F

和ds

可分別表示為：F=(fxi+fyj

+fzk)dmds=(dx

i+

dy

j

+dz

k)1.3等壓面等壓面與質(zhì)量力正交在平衡液體中任取一等壓面，力F

沿ds

移動所作的功可寫作矢量F與

ds

的數(shù)性積：因等壓面上dU=0，所以W=F·ds=0，也即質(zhì)量力必須與等壓面正交。注意：靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，局部而言等壓面必定是水平面；大范圍而言，等壓面應是處處和地心引力成正交的曲面。平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面。不同流體的交界面也是等壓面。力F沿ds移動所作的功可寫作矢量F與ds的數(shù)1.4重力作用下靜水壓強的基本公式實際工程中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力常常只有重力，即所謂靜止液體。采用右圖所示的直角坐標系。80o1.4重力作用下靜水壓強的基本公式實際工程中，作用于平衡僅有重力作用時，fx

＝0，fy

＝0，fz

＝-g

，代入平衡微分方程式，可得對均質(zhì)液體，積分上式可得在自由面上滿足z=z0，p=p0，則有僅有重力作用時，fx＝0，fy＝0，fz＝-g，得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：式中h=z0–z表示該點在自由面以下的淹沒深度；p0表示自由面上的氣體壓強?；蛘呖梢姡o止液體內(nèi)任意點的靜水壓強由兩部分組成：一部分是自由面上的氣體壓強p0，它遵從帕斯卡定律；另一部分是ρgh，相當于單位面積上高度為h

的水柱的重量。得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：式中h=z0–淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)量力只有重力的同一種連續(xù)介質(zhì)。對不連續(xù)液體或一個水平面穿過了兩種不同介質(zhì)，位于同一水平面上的各點壓強并不相等。(a)連通容器(b)連通器被隔斷

(c)盛有不同種類溶液的連通器淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)量力只有重力的同一1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡液體相對于地球運動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對平衡。以繞中心軸做等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進行分析。circumrotatebody1.5幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡液體相對于地球運動，但達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性力，則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應保持平衡。

對旋轉(zhuǎn)容器中的液體，所受質(zhì)量力應包括重力與離心慣性力。達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上上式表明：繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平衡液體，其等壓面為拋物面。作用于圓筒內(nèi)任一質(zhì)點m(x,y,z)單位質(zhì)量上的離心慣性力為等壓面上dp=0，得：積分可得F=ω2r。F的方向為通過m

點的半徑方向。單位質(zhì)量力為：上式表明：繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平衡液體，其等壓面為拋物面自由面最低點x=0,y=0,z=zs=z0，則積分常數(shù)C=-gz0。可得自由面方程為：因為代入自由面上邊界條件，得常數(shù)C1

值：故靜水壓強分布規(guī)律：積分上式可得：自由面最低點x=0,y=0,z=zs=代入自由面方程并整理，可得為：若令h=zs-z，h為液體內(nèi)部任意質(zhì)點m(x,y,z)在自由液面下的淹沒深度，則上式表明：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍是等壓面。質(zhì)量力只有重力作用的靜止液體中，對任意點有代入自由面方程并整理，可得為：若令h=zs-z，h為在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關(guān)系一般不存在。由即在繞中心軸作等角速旋轉(zhuǎn)的液體中，只有r值相同的那些點，即位于同心圓柱面上的各點，才保持不變。可得到在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關(guān)系一般不存在。由1.6.1絕對壓強設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，稱為絕對壓強。絕對壓強總是正的，以p′

表示。1.6.2相對壓強把當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強，稱為相對壓強。相對壓強的值可正可負，以p

表示。1.6絕對壓強與相對壓強90由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強，稱為大氣壓強。海拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位中，把101.325kPa稱為一個標準大氣壓。1.6.1絕對壓強設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計以p′

表示絕對壓強，p

表示相對壓強，pa

表示當?shù)氐拇髿鈮簭?。則有水利工程中，自由面上的氣體壓強等于當?shù)卮髿鈮簭姡熟o止液體內(nèi)任意點的相對壓強為1.6絕對壓強與相對壓強以p′表示絕對壓強，p表示相對壓強，pa表示當?shù)氐?.6.3真空及真空度絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。相對壓強為負值時，則稱該點存在真空。真空的大小用真空度

pk

表示。真空度是指該點絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷臄?shù)值。真空又稱為負壓。1.6絕對壓強與相對壓強1.6.3真空及真空度1.6絕對壓強與相對壓強例1.2

一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為85kPa，

當?shù)卮髿鈮簽?8kPa，淹沒深度h為1m處點C的絕對靜水

壓強、相對靜水壓強和真空度。解：C點絕對靜水壓強為C點的相對靜水壓強為相對壓強為負值，說明C點存在真空。真空度為例1.2一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為85kPa例1.3

情況同上例，試問當C點相對壓

強p為9.8kPa時，C點在自由

面下的淹沒深度h為多少？解：相對靜水壓強：代入已知值后可算得例1.3情況同上例，試問當C點相對壓解：相對靜水壓強：代例1.5

如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角為30°，被油淹沒部分壁長L為6m，自由面上的壓強油的密度為816.3kg/m3，問槽底板上壓強為多少？解：槽底板為水平面，故為等壓面，底板上各處壓強相等。底板在液面下的淹沒深度h=Lsin30°=6×1/2=3m。底板絕對壓強：底板相對壓強：因為底板外側(cè)也同樣受到大氣壓強的作用，故底板上的實際荷載只有相對壓強部份。例1.5如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角為解：解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通的同種液體，故和水箱自由表面同高程的測壓管內(nèi)N點，應與自由表面位于同一等壓面上，其壓強應等于自由表面上的大氣壓強，即。例1.6

如圖，一開口水箱，自由表面上的當?shù)卮髿鈮簭姙樵谒溆蚁聜?cè)連接一根封閉的測壓管，今用抽氣機將管中氣體抽凈