1.3復數(shù)（精練）（提升版）題組一復數(shù)的基本知識1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）若復數(shù)z滿足，則（

題組一復數(shù)的基本知識A．B．是純虛數(shù)C．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限D．若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在角α的終邊上，則【答案】D【解析】，則，對于A，，故A錯誤，對于B，，不是純虛數(shù)，故B錯誤，對于C，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，故C錯誤，對于D，點在角α的終邊上，則，故D正確故選：D2．（2022·廣東·二模）(多選）已知復數(shù)z的共軛復數(shù)是，，i是虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（

）A． B．的虛部是0C． D．在復平面內(nèi)對應的點在第四象限【答案】BC【解析】由題意，，，A錯；，虛部是0；B正確；C正確，對應點為，在第一象限，D錯；故選：BC．3．（2022·山東濰坊·二模）（多選）若復數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若在復平面內(nèi)對應的向量分別為（為坐標原點），則【答案】BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，；又，，B正確；對于C，為純虛數(shù)，，解得：，C正確；對于D，由題意得：，，，，D正確.故選：BCD.4．（2022·廣東茂名·二模）（多選）已知復數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對應的點位于第三象限【答案】AC【解析】因為為實數(shù)，所以，解得，所以，，所以，故A正確，，故B錯誤，因為，所以，故C正確，因為，所以，其對應的點在第四象限，故D錯誤．故選:AC．5（2022·湖南湘潭·三模）（多選）已知復數(shù)，，則（

）A． B．C． D．在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限【答案】BC【解析】由題可知，，A不正確；，B正確；，C正確；對應的點在第四象限，D不正確.故選：BC.6．（2022·廣東佛山·二模）（多選）關于復數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）A． B．在復平面上對應的點位于第二象限C． D．【答案】ACD【解析】所以故A正確，則在復平面上對應的點為位于第三象限故B錯誤故C正確故D正確故選：ACD7．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）（多選）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則下列結論正確的是（

）A． B．復數(shù)的共軛復數(shù)是 C． D．的虛部為【答案】D【解析】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，所以，，，虛部為.故ABC錯誤，D正確.故選：D8．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限D．若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在角的終邊上，則【答案】D【解析】由題設，且對應點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復平面內(nèi)對應的點為，所以，D正確.故選：D題組二題組二復數(shù)的模長1．（2022·全國·高三專題練習）已知在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則復數(shù)z的模的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，所以，解得，，因為，所以，則，所以復數(shù)z的模的取值范圍是.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】點到點與到點的距離之和為2．點的軌跡為線段．而表示為點到點的距離．數(shù)形結合，得最小距離為1所以|z＋i＋1|min＝1.故選：A3．（2022·全國·高三專題練習）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．如果，則，互為共軛復數(shù)B．如果復數(shù)，滿足，則C．如果，則D．【答案】D【解析】對于A，設，，，但，不互為共軛復數(shù)，故錯誤；對于B，設（，），（，）．由，得，則，而不一定等于，故錯誤；對于C，當時，有，故錯誤；對于D，設，，則，正確故選：4．（2022·全國·高三專題練習）已知、，且，（是虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設復數(shù)，對應的點為，，即，，點的軌跡是以為圓心、為半徑的圓，設復數(shù)，對應的點為，，即，化簡可得，點的軌跡是一條直線，表示點與點的距離，即圓上的一點到直線的距離，圓與直線相離，圓心到直線的距離，故的最小值為，故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）若存在復數(shù)同時滿足，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可設，則有，又因為，即，所以，可設，，（為任意角），則，當時取到最大值；當時取到最小值，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C6．（2022·全國·高三專題練習（文））已知復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內(nèi)對應的點為，復數(shù)滿足，則下列結論不正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為 D．的最小值為【答案】D【解析】A：因為復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內(nèi)對應的點為，所以點的坐標為，因此本選項結論正確；B：因為，所以，因此本選項結論正確；C，D：設，在復平面內(nèi)對應的點為，設因為，所以點到點的距離為1，因此點是在以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點距離，因此，，所以選項C的結論正確，選項D的結論不正確，故選：D7（2022·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，且，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，由題意知，則復數(shù)對應點的軌跡方程為.故選：C．8．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則表示點到點的距離是到點距離的倍.則，化簡得：，即復數(shù)在復平面對應得點為以為圓心，5為半徑的圓上的點.設，因為，所以點和點距離為3，所以復數(shù)在復平面對應得點為以為圓心，2為半徑的圓即以為圓心，8為半徑的圓上構成的扇環(huán)內(nèi)（含邊界），如圖所示：表示點和原點的距離，由圖可知的最小為0，最大為.故選：A.9．（2022·全國·高三專題練習）若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因為表示以點為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部，又表示復平面內(nèi)的點到的距離，據(jù)此作出如下示意圖：所以，故選：D.10．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù)滿足：，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓；表示的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓；，表示的軌跡是直線，如圖所示：表示直線上的點到圓和圓上的點的距離，先作出點關于直線的對稱點，連接,與直線交于點.的最小值為.故選：A題組三題組三復數(shù)的幾何意義1．（2022·全國·江西師大附中）已知復數(shù)，則z在復平面內(nèi)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，所以z在復平面內(nèi)對應點為，位于第二象限，故選：B2．（2022·陜西漢中·二模（文））已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，解得．故選：A．3．（2022·貴州）復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】復數(shù)所以對應點為，即在復平面的第二象限內(nèi).故選：B4．（2022·湖南·一模）已知復數(shù)，則z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】復數(shù)，則所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于復平面內(nèi)的第一象限.故選：A題組四題組四復數(shù)與其他知識的綜合運用1．（2022·全國·高三專題練習）設n是偶數(shù)，，a?b分別表示的展開式中系數(shù)大于0與小于0的項的個數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】展開通項公式通項公式為，因此當為偶數(shù)時，項的系數(shù)為實數(shù)，其項，又，，是偶數(shù)，所以正的項有，負的項有項．即，，所以．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習）在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足，且z所對應的點在第一象限或坐標軸的非負半軸上，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由，得，因為z所對應的點在第一象限或坐標軸的非負半軸上，所以，即，設，解得，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習）若，為復數(shù)，則“是實數(shù)”是“，互為共軛復數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意，不妨設若是實數(shù)，則故，即，由于不一定相等，故，不一定互為共軛復數(shù)，故充分性不成立；若，互為共軛復數(shù)，則，故，故必要性成立.因此“是實數(shù)”是“，互為共軛復數(shù)”的必要不充分條件.故選：B4．（2022·全國·高三專題練習（文））已知（，為虛數(shù)單位)，又數(shù)列滿足：當時，；當時，為的虛部．若數(shù)列的前項和為，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】的通項公式：，，依題意得：時，，時，，．故選：．5．（2022·全國·高三專題練習）設復數(shù)(為虛數(shù)單位)，若對任意實數(shù)，，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由，得，由復數(shù)模的幾何意義知，表示復平面上的點與點間的距離，而點在單位圓上，要使恒成立，則點必在圓上或其內(nèi)部，故，解得.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，它在復變函數(shù)中占有非常重要的地位，它被譽為“數(shù)學中的天橋”，當時，eπi＋1＝0被稱為數(shù)學上的“優(yōu)美公式”，根據(jù)此公式可知，下面結論中正確的是（

）A．|eix|＝1 B．cosx＝C．cosx＝ D．e2i在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限【答案】ABD【解析】因為eix＝cosx＋isinx，所以|eix|＝，故A正確；因為eix＝cosx＋isinx，所以，則cosx＝，故B正確C錯誤；因為，，所以e2i在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，故D正確.故選：ABD7．（2022·全國·高三專題練習）設復數(shù)，則______.【答案】15【解析】，所以.故答案為：.8．（2022·全國·高三專題練習（文））已知的二項展開式中的常數(shù)項的值是，若(其中是虛數(shù)單位)，則復數(shù)的模___________.(結果用數(shù)值表示)【答案】【解析】的二項展開式的通項為：令，得，可得常數(shù)項為，則復數(shù)的模故答案為：59．（2022·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)為偶函數(shù)，則＝________.【答案】【解析】由于為偶函數(shù)，所以，即，，所以.設，則故答案為：10．（2022·全國·高三專題練習（文））已知復數(shù)，（，為虛數(shù)單位），在復平面上，設復數(shù)、對應的點分別為、，若，其中是坐標原點，則函數(shù)的最小正周期為________.【答案】【解析】，，則函數(shù)的最小正周期為故答案為題組五題組五解復數(shù)的方程1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（理））下列關于復數(shù)的命題中（其中為虛數(shù)單位），說法正確的是（

）A．若復數(shù)，的模相等，則，是共軛復數(shù)B．已知復數(shù)，，，若，則C．若關于x的方程（）有實根，則D．是關于x的方程的一個根，其中為實數(shù)，則【答案】D【解析】若，，則，故A錯誤；若，滿足，故B錯誤；若關于x的方程（）有實根，，因為，所以，所以，故C錯誤；將代入方程，得，即，所以，得，故D正確.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）已知是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為_________【答案】【解析】不妨設，，因為是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，所以也是的一個虛數(shù)根，從而

①，又因為無實根，所以

②，由①②可得，，因為，所以，由一元二次函數(shù)性質易知，當時，有最小值5；當時，；當時，，故當時，，即，故向量的取值范圍為：.故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習）實系數(shù)一元二次方程的一根為（其中為虛數(shù)單位），則______．【答案】1【解析】因為實系數(shù)一元二次方程的一根為，所以根據(jù)虛根成對定理可得，實系數(shù)一元二次方程的另一共軛虛根為，所以根據(jù)韋達定理得，，所以，，所以.故答案為：.4．（2022·上海徐匯·二模）若關于的實系數(shù)一元二次方程的一根為（為虛數(shù)單位），則____．【答案】【解析】因為為實系數(shù)一元二次方程的一根，所以也為方程的根，所以，解得，所以；故答案為：題組六題組六復數(shù)的綜合運用1．（2022·重慶南開中學模擬預測）（多選）已知復數(shù)，是的共軛復數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對于A：若，則，故，所以A正確；對于B：若，則，所以B正確；對于C：設，則，故，所以C正確；對于D：如下圖所示，若，，則，，故，所以D錯誤.故選：ABC2．（2022·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）（多選）已知復數(shù)（且），是z的共軛復數(shù)，則下列命題中的真命題是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A選項，，，所以，故正確；對于B選項，，，，故錯誤；對于C選項，，，，故正確；對于D選項，，，，所以當時，，當時，，故錯誤.故選：AC3．（2022·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復分析領域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復數(shù)指數(shù)函數(shù)相關聯(lián)，即（）.根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（

）A．對任意的，B．在復平面內(nèi)對應的點在第二象限C．的實部為D．與互為共軛復數(shù)【答案】ABD【解析】對于A選項，，A正確；對于B選項，，而，，故在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，B正確；對于C選項，，實部為，C錯誤；對于D選項，，又，故與互為共軛復數(shù)，D正確.故選：ABD.4．（2022·江蘇·南京大學附屬中學高三階段練習）（多選）下列命題中正確的有（

）A．若復數(shù)滿足，則； B．若復數(shù)滿足，則；C．若復數(shù)滿足，則； D．若復數(shù)，則．【答案】AD【解析】對于A中，設復數(shù)，可得，因為，可得，所以，所以A正確；對于B中，取，可得，所以B不正確；對于C中，例如：，則，此時，所以C不正確；對于D中，設，由，可得，即，可得，所以D正確.故選：AD5．（2022·全國·高三專題練習）（多選）在下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）A．兩個復數(shù)不能比較大?。籅．若是純虛數(shù)，則實數(shù)；C．的一個充要條件是；D．的充要條件是.【答案】CD【解析】對于A選項，兩個復數(shù)為實數(shù)時，可以比較大小，故A選項錯誤；對于B選項，若是純虛數(shù)，則且，解得，故B選項錯誤；對于C選項，若，則的虛部為，，反之，若，則的虛部為，故C選項正確；對于D選項，設，若，則，，若，則，所以，故D選項正確.故選：CD6（2022·全國·高三專題練習（文））（多選）設，，為復數(shù)，.下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】對于A：取，滿足，但是不成立，故A錯誤；對于B：當時,有，又，所以,故B正確;對于C：當時,則,所以,故C正確;對于D：當時,則,可得.因為，所以.故D錯誤故選：BC7．（2022·全國·高三專題練習）（多選）已知復數(shù)，是的共軛復數(shù)，則（

）A． B．C．復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在第一象限 D．【答案】ACD【解析】因為，所以，則，所以復數(shù)在復平