數(shù)學(xué)方法的變革

與經(jīng)濟學(xué)的革命江漢大學(xué)文理學(xué)院院長、教授甘德安1目錄數(shù)量化使經(jīng)濟學(xué)成為一門科學(xué)微積分與邊際革命

最優(yōu)化（拓撲方法）與邊際革命的深化不確定性（概率統(tǒng)計）與凱恩斯革命概率統(tǒng)計與計量經(jīng)濟學(xué)矩陣方法與克萊茵革命和投入產(chǎn)出經(jīng)濟學(xué)博弈論與經(jīng)濟學(xué)的新革命非線性與混沌經(jīng)濟學(xué)2物理學(xué)家與經(jīng)濟學(xué)家的聚會：笛卡兒說：我苦思冥想，終于悟出了萬物都是可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)的道理。我堅信，數(shù)學(xué)是至今為止人類智慧賦予我們的最有力的認(rèn)識工具，它是萬物之源。首屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎上，主席發(fā)言說：經(jīng)濟科學(xué)已日益朝著數(shù)學(xué)精確性以及對經(jīng)濟內(nèi)容的定量分析方向發(fā)展。這種數(shù)學(xué)分析的技術(shù)如此成功，足以使那種模糊的、用文字表達的經(jīng)濟學(xué)相形見絀。20世紀(jì)80年代以前是物理學(xué)推動數(shù)學(xué)的進步，而21世紀(jì)是經(jīng)濟學(xué)推動數(shù)學(xué)的進步。網(wǎng)上有一個笑話：物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家聚會一堂，在交談中，物理學(xué)家被經(jīng)濟學(xué)家的數(shù)學(xué)修養(yǎng)之高驚呆了，而經(jīng)濟學(xué)家被物理學(xué)家對近代數(shù)學(xué)的無知也驚呆了。3數(shù)學(xué)的本質(zhì)、危機與邊界恩格斯認(rèn)為：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”。羅素認(rèn)為：即不知道研究的對不對，也不知道是什么的學(xué)問稱為數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)“是研究抽象結(jié)構(gòu)的科學(xué)”?！皵?shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)及其模型的科學(xué)”。馬克思認(rèn)為：一門學(xué)科只有充分應(yīng)用數(shù)學(xué)是才是一門真正的科學(xué)。Samuelson:數(shù)學(xué)是語言，更精確，自洽，簡要。甘德安認(rèn)為：數(shù)學(xué)不僅是一種語言、思維和公式，更是一種精神和文化。4數(shù)學(xué)的危機與數(shù)學(xué)的革命第第一次危機：從有理數(shù)到無理數(shù)；第二次危機：從-語言的發(fā)明導(dǎo)致集合論和測度理論的產(chǎn)生；抽象代數(shù)、測度理論、泛函分析、實分析等學(xué)科產(chǎn)生。-語言導(dǎo)致實數(shù)問題導(dǎo)致集合理論幾何問題歸結(jié)為解析幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題歸結(jié)為實數(shù)問題歸結(jié)為自然數(shù)問題歸結(jié)為集合問題，導(dǎo)致數(shù)學(xué)與邏輯的革命。第三次危機：從第五公設(shè)到非歐幾何學(xué)到拓撲學(xué)（點集拓撲、代數(shù)拓撲、微分拓撲）的產(chǎn)生。5從確定到或然矩陣分析從有限到無限從一元到多元從靜止到運動從有序到無序數(shù)學(xué)[Mathematics]是一個復(fù)數(shù)概率與數(shù)理統(tǒng)計克萊因革命混沌經(jīng)濟學(xué)數(shù)學(xué)分析集合論線性代數(shù)邊際革命凱恩斯革命計量經(jīng)濟學(xué)線性規(guī)劃投入產(chǎn)出經(jīng)濟學(xué)從單邊到多邊經(jīng)濟學(xué)新革命博弈論數(shù)學(xué)分析微分和差分動態(tài)經(jīng)濟學(xué)6數(shù)與形數(shù)論代數(shù)非歐幾何歐氏幾何數(shù)形解析幾何抽象代數(shù)拓撲分析羅氏幾何黎曼幾何線性代數(shù)集合理論新古典經(jīng)濟學(xué)（高級微觀）數(shù)學(xué)分析邊際革命邊際革命的深化從確定性看數(shù)學(xué)對經(jīng)濟學(xué)的影響7一、數(shù)量化、公理化使經(jīng)濟學(xué)成為一門科學(xué)數(shù)學(xué)的基本作用理論(theoretical)研究中數(shù)學(xué)方法的作用前提假定邏輯推理應(yīng)用已有定理實證(empirical)研究中數(shù)學(xué)和統(tǒng)計方法的作用計量模型證據(jù)數(shù)量化統(tǒng)計方法8數(shù)學(xué)能否引入經(jīng)濟學(xué)計量經(jīng)濟學(xué)的創(chuàng)立：引入統(tǒng)計和模型發(fā)展數(shù)理經(jīng)濟學(xué)：PaulSamuelson

決定論模型（加速-乘子模型） 股市隨機運動模型（martingale）和期權(quán)模型、混沌模型

HerbertSimon:數(shù)學(xué)用得太多了 陳平：數(shù)學(xué)用得太窄了（限于歐氏幾何，優(yōu)化算法，不了解非歐幾何，混沌，小波，生滅過程）。9二、微積分與經(jīng)濟學(xué)的邊際革命

西方經(jīng)濟學(xué)家把邊際遞減原理稱為“邊際革命”。實際上，邊際革命的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)方法的變革，是從常量數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟學(xué)的應(yīng)用變更為變量數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟學(xué)的應(yīng)用，更具體地說就是微積分的應(yīng)用。杰文斯說：很顯然，經(jīng)濟學(xué)如果是一種科學(xué)，它必須是一種數(shù)學(xué)。…所以我毫不猶豫地采用數(shù)學(xué)中適當(dāng)?shù)墓ぞ呷パ芯繜o限小量。那就是用微分法來說明財富、效用、價值、供給、資本、利息、勞動等概念。10二、微積分與經(jīng)經(jīng)濟學(xué)的邊邊際革命杰文斯還說說：我力圖圖把經(jīng)濟學(xué)學(xué)作為包含含快樂和痛痛苦的一個個微積分來來看待…這這樣看待的的經(jīng)濟理論論表現(xiàn)得與與靜態(tài)力學(xué)學(xué)及其相似似，并且可可以發(fā)現(xiàn)，，交換規(guī)律律類似于杠杠桿的平衡衡規(guī)律。1865年年克勞修斯斯關(guān)于熵的的定義，申申農(nóng)關(guān)于信信息的定義義都是決定定學(xué)科的奠奠基性工作作。效用是一個個比信息更更抽象的量量，借助微微積分的方方法就導(dǎo)致致經(jīng)濟學(xué)的的邊際革命命。11M.Gessen法則戈森說：““我相信，，我在解釋釋人類關(guān)系系方面所做做的，正如如哥白尼在在解釋天體體關(guān)系方面面所做的事事情。我相相信，我已已成功地發(fā)發(fā)現(xiàn)了使人人類得以生生存并支配配人類進步步的力量，，以及這種種力量發(fā)生生作用的法法則的一般般形式。哥哥白尼的發(fā)發(fā)現(xiàn)使人類類得以預(yù)測測天體未來來運行的軌軌跡。我的的發(fā)現(xiàn)使我我得以指出出，人們?yōu)闉榱藢崿F(xiàn)人人生目的所所必定遵循循的確定不不移的路線線?！?2經(jīng)濟學(xué)普遍遍運用現(xiàn)代代微積分技技術(shù)卻是在在希克斯的的《價值與資本本》一書中才得得以實現(xiàn)的的。他以嚴(yán)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)對序數(shù)效效用論、無無差異曲線線等概念的的闡述和完完善，推動動了英語國國家的經(jīng)濟濟學(xué)數(shù)學(xué)化化。其后是薩謬謬爾森的《經(jīng)濟分析的的基礎(chǔ)》（1947）及其他論論文。他把把經(jīng)濟學(xué)在在30年代以前用用的自然語語言和圖式式的分析改改寫成為定定性的數(shù)學(xué)學(xué)模型和推推理方法，，以有約束束的最大化化作為一般般原則，對對生產(chǎn)者行行為、消費費者行為、、國際貿(mào)易易、公共財財政、收入入分配等各各個經(jīng)濟理理論的領(lǐng)域域，用數(shù)學(xué)學(xué)上求極大大、極小小值的方式式加以推導(dǎo)導(dǎo)，并認(rèn)定定極大、極極小值的實實現(xiàn)就是均均衡狀態(tài)的的確立。三、最優(yōu)化化（拓撲方方法）邊際際革命的深深化13進入50年代以后，，數(shù)理經(jīng)濟濟學(xué)的基礎(chǔ)礎(chǔ)由微分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榧虾险摰刃碌牡臄?shù)學(xué)工具具。在這種種轉(zhuǎn)變中，，影響最大大的首推阿阿羅的《社會選擇與與個人價值值》（1951）。該書的的主題是社社會選擇理理論的公理理化，但在在其研究過過程中，運運用集合論論技巧，為為一般均衡衡的研究提提供了一個個框架。此此外，德布布魯?shù)摹秲r值論》（1959），對這一一時期集合合論在經(jīng)濟濟均衡理論論中許多方方面的應(yīng)用用作了高度度總結(jié)，堪堪稱“經(jīng)典典”。14集合論的基基本概念和和基本結(jié)論論定義域：凸凸集連續(xù)函數(shù)f關(guān)系二元關(guān)系完備性傳遞性D是開集，f-1(B)是開集偏好關(guān)系拓撲空間度量空間歐氏空間值域：逆象象f-1(S)開集閉集緊集緊集的象是是緊集BrouwerfixedpointTheoremsS是緊切且凸凸，f連續(xù)，則f(x*)=x*A是一個凸集集擬凹函數(shù)f是凹函數(shù)15微積分與最最優(yōu)化單變量函數(shù)數(shù)凹性與一、、二階導(dǎo)數(shù)數(shù)等價命題：：f是凹的f′(x)0f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)若f是嚴(yán)格凹的的嚴(yán)格不等式式成立多變量函數(shù)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)數(shù)梯度f(x)=(f1(x),……,fn(x))f11(x),……,f1n(x)f21(x),……,f2n(x)……………….fn1(x),……,fnn(x)H(x)=海賽矩陣對對稱性Young′Theorem2f(x)/[xixj]=2f(x)/[xjxi]海賽矩陣齊次函數(shù)凸集、斜率率與凹性的的等價命題題D是凸的H(x)是半負定的的f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)歐拉定理Kf(x)=f(x)*xi/xi16X*=f(x*1,x*2,…x*n)是一個穩(wěn)定定點[一階條件件]X*是一個相對對極大值X*是一個絕對對極大值d2x在x*為負定[二階充分分條件]d2x在x*為負定[二階必要要條件]X*是唯一的絕絕對極大值值f是凹的f是嚴(yán)格凹的的d2x在x*為半負定d2x處處為負定定17最優(yōu)化無約束最優(yōu)優(yōu)化有約束最優(yōu)優(yōu)化單變量X*處最大值f′(x)=0(FONC)f′′(x)0(SONC)多變量一階條件X*處最大值f(x*)=0(FONC)二階條件必要條件：：X*處局部最大大值H(x)是半負定的的。充分條件：：f(X)是二次可微微，1、若fi(X*)=0,且（-1））nD(X*)>0,那么，f(x)在X*處局部部極大。若f(X)是嚴(yán)格凹的的，則fi(X*)>f(x),對于任意Xx*.18有約束最優(yōu)優(yōu)化等式約束Maxf(x1,x2)S.tg(x1,x2)=0Maxf(x1,g(x1))x2=g(x1)轉(zhuǎn)化成非約約束問題Lagrange方法不等式約束束Maxf(x)，，x≥0必要條件：：F連續(xù)可微，，若x≥0，x最大化f，那么，x*滿足1）f(x*)/xi02）xi*[f′(x*)]=03）xi*≥0。庫恩-塔克克條件19四、概率統(tǒng)計與與凱恩斯革革命從確定性方方法到或然然性方法的的突破1936年年，凱恩斯斯發(fā)表了他他的代表作作：《就業(yè)業(yè)、利息和和貨幣的通通論》。凱凱恩斯在剛剛撰寫通論論的時候就就開始造輿輿論，并頗頗為自負地地說，此書書也許會對對世界上關(guān)關(guān)于經(jīng)濟問問題的思考考方法發(fā)生生革命。果然，該書書一出，經(jīng)經(jīng)濟學(xué)家們們公認(rèn)經(jīng)濟濟學(xué)發(fā)生了了如同“哥哥白尼在天天文學(xué)上、、達爾文在在生物學(xué)上上、愛因斯斯坦在物理理學(xué)上”一一樣的一次次革命。凱恩斯革命命首先是方方法的革命命。凱恩斯斯的方法是是他理論的的出發(fā)點和和基礎(chǔ)。他他的方法表表面是從個個量分析法法到總量分分析法的變變革，從個個量變換到到總量實際際上是從確確定性變換換到或然性性的方法。。20凱恩斯首先先是概率論論的奠基者者邊際革命時時期的經(jīng)濟濟學(xué)家的經(jīng)經(jīng)濟理論具具有高度的的抽象性，，他們雖然然運用數(shù)學(xué)學(xué)工具研究究各種經(jīng)濟濟變量之間間的函數(shù)關(guān)關(guān)系，但一一般是對這這種函數(shù)關(guān)關(guān)系進行質(zhì)質(zhì)的分析，，而沒有進進行量的分分析。因此此總的來說說，邊際革革命時期的的西方經(jīng)濟濟學(xué)家雖然然相當(dāng)廣泛泛地在經(jīng)濟濟研究中采采用數(shù)學(xué)方方法，但其其學(xué)說還是是一個理論論框架，而而沒有以具具體的統(tǒng)計計數(shù)據(jù)來充充實。布瓦索在《信息空間》的巨著中，，根據(jù)普利利高津的理理論，算出出了經(jīng)濟學(xué)學(xué)與物理學(xué)學(xué)換算的年年齡。認(rèn)為為現(xiàn)在的經(jīng)經(jīng)濟學(xué)發(fā)展展的水平，，只相當(dāng)于于1860年的物理學(xué)學(xué)。這種牛牛頓經(jīng)濟學(xué)學(xué)，對信息息時代來說說，最根本本的不方便便之處，是是難以處理理“信息的的不確定性性”。21信息本質(zhì)上上是不確定定性的。這這種不確定定性對應(yīng)的的物理學(xué)理理念，是熵熵的概念。。這就扯到到普利高津津物理學(xué)的的核心概念念上來了。。布瓦索和和普利高津津一樣，都都認(rèn)為熵反反映的是信信息的本質(zhì)質(zhì)，應(yīng)當(dāng)用用熵來度量量信息。布布瓦索干脆脆就把熵稱稱為“平均均信息量””。信息論論權(quán)威申農(nóng)農(nóng)也把信息息量定義為為熵(“申農(nóng)信息熵熵”)，信息經(jīng)濟濟學(xué)家、諾諾貝爾獎獲獲得者阿羅羅的信息定定義也是從從這里來的的。22布瓦索正好好就是這種種看法。他他認(rèn)為：““正統(tǒng)經(jīng)濟濟學(xué)未能在在其范式核核心內(nèi)，容容納可信的的信息理論論的原因，，是由于它它早期在自自然科學(xué)范范圍內(nèi)選擇擇理性作用用模式的緣緣故”。這這里有著名名經(jīng)濟學(xué)家家杰文斯《經(jīng)濟學(xué)原理理》做旁證，其其中明確寫寫道：“價價值概念對對我們的科科學(xué)而言就就像是(物理學(xué)中)的能量對力力學(xué)”。但問題是，，物理學(xué)在在1860年以后繼續(xù)續(xù)發(fā)展了，，從牛頓力力學(xué)主導(dǎo)的的確定性科科學(xué)，發(fā)展展到普利高高津耗散結(jié)結(jié)構(gòu)主導(dǎo)的的不確定性性科學(xué)。但但是，經(jīng)濟濟學(xué)卻永遠遠地停在了了牛頓時代代的物理學(xué)學(xué)水平上。。用布瓦索索的話說，，叫“經(jīng)濟濟學(xué)，特別別是新古典典經(jīng)濟學(xué)，，跟不上物物理學(xué)的步步伐”，““它不能吸吸收現(xiàn)代物物理學(xué)的概概念，繼續(xù)續(xù)和1860年的稻草人人結(jié)合在一一起，威脅脅著學(xué)科范范式的核心心”。23五、概率統(tǒng)統(tǒng)計與計量量經(jīng)濟學(xué)24方法應(yīng)用單方程方法法普通最小二二乘法廣義最小二二乘法聯(lián)立方程方方法識別方法估計方法國民經(jīng)濟模模型部門模型計量經(jīng)濟學(xué)估計檢驗異方差自相關(guān)多重共線性性虛擬變量滯后變量兩、三階段段最小二乘乘法有限信息方方法及其他他預(yù)測25六、從分析的方方法到代數(shù)數(shù)方法的突突破微積分方法法應(yīng)用與經(jīng)經(jīng)濟學(xué)，既既是確定性性方法應(yīng)用用與經(jīng)濟學(xué)學(xué)，也是連連續(xù)性方法法應(yīng)用于經(jīng)經(jīng)濟學(xué)。人人們不能很很好地處理理非線性關(guān)關(guān)系，必然然要求從連連續(xù)的方法法走向離散散的方法到到代數(shù)的方方法。在經(jīng)經(jīng)濟學(xué)中的的應(yīng)用，里里昂惕夫創(chuàng)創(chuàng)立投入——產(chǎn)出經(jīng)濟學(xué)學(xué)和庫普曼曼、康托羅羅維奇創(chuàng)立立的經(jīng)濟規(guī)規(guī)劃正是從從分析方法法到代數(shù)方方法的突破破成果。投入——產(chǎn)出經(jīng)濟學(xué)學(xué)注重的是是元素之間間的線性關(guān)關(guān)系，線性性規(guī)劃注重重線性關(guān)系系的目標(biāo)函函數(shù)的最大大——最小值的問問題。1958年，多夫曼曼、薩繆爾爾遜和索羅羅的《線性規(guī)劃與與經(jīng)濟分析析》，蓋爾的《線性經(jīng)濟模模型的應(yīng)用用》對一般均衡衡理論和經(jīng)經(jīng)濟增長理理論貢獻極極大。26七、經(jīng)濟學(xué)的博博弈革命？？1994年年三位經(jīng)濟濟學(xué)家同時時獲得諾貝貝爾經(jīng)濟學(xué)學(xué)獎、1996年又又是在博弈弈論應(yīng)用方方面（稅收收激勵機制制、信息經(jīng)經(jīng)濟學(xué)）獲獲得諾貝爾爾經(jīng)濟學(xué)獎獎。在整個個經(jīng)濟學(xué)還還沒有一門門學(xué)科即有有5人獲得得諾貝爾經(jīng)經(jīng)濟學(xué)獎。。實際上博博弈論正在在重構(gòu)經(jīng)濟濟學(xué)基礎(chǔ)。。博弈論已已經(jīng)成為經(jīng)經(jīng)濟學(xué)的主主流。一個雞蛋的的家當(dāng)：囚徒困境：：一個臺灣老老總的感慨慨。27博弈論引入入經(jīng)濟學(xué)之之中在經(jīng)濟學(xué)家家中，最早早清楚而全全面地認(rèn)識識到必須考考慮到經(jīng)濟濟行為者之之決策的““互動”性性質(zhì)的是奧奧斯卡·摩摩根斯坦。。在《經(jīng)濟濟論著》（（1928）一書中中，他開始始考慮少數(shù)數(shù)權(quán)勢人物物的行為能能夠影響均均衡結(jié)果的的情形。不不過，對經(jīng)經(jīng)濟學(xué)開始始產(chǎn)生深遠遠影響的，，卻是他與與馮·諾伊伊曼合著的的《博弈論論與經(jīng)濟行行為》（1944））。他們的的目標(biāo)是想想為理性的的決策者之之間的策略略互動過程程提供一種種數(shù)學(xué)化的的一般理論論。在馮·諾伊伊曼和摩根根斯坦的貢貢獻的基礎(chǔ)礎(chǔ)之上，約約翰·納計計（1951）引入入了合作博博弈和非合合作博弈的的區(qū)分，并并為非合作作博弈提出出了被后人人命名為““納什均衡衡”的一般般性解概念念，從而為為博弈論奠奠定了基礎(chǔ)礎(chǔ)。海薩尼尼（1967－1968）把把分析方法法拓展到不不完全信息息博弈，從從而為理性性行為的分分析和信息息經(jīng)濟學(xué)奠奠定了堅實實的基礎(chǔ)。。28日本與阿根根廷的關(guān)系系如同計量量經(jīng)濟學(xué)與與博弈論的的關(guān)系的比比較前期流流行，后期期不對。博弈論的運運用包括不不完全競爭爭、市場均均衡、談判判、產(chǎn)品質(zhì)質(zhì)量、保險險、委托───代理關(guān)關(guān)系、歧視視、公共物物品等微觀觀領(lǐng)域，并并且已擴展展到宏觀經(jīng)經(jīng)濟學(xué)、產(chǎn)產(chǎn)業(yè)組織理理論等等。。有些經(jīng)濟濟學(xué)家還利利用博弈論論方法，來來分析合作作、利他主主義、信任任、懲罰、、報復(fù)之類類的現(xiàn)象，，力圖探討討社會規(guī)范范、制度如如何產(chǎn)生的的棘手問題題。更有甚甚者，試圖圖以博弈論論語言重建建整個微觀觀經(jīng)濟學(xué)。29張伯倫革命命始于張、羅羅二人的““張伯倫革革命”的主主要貢獻在在于：他們們擯棄了長長期以來以以馬歇爾為為代表的新新古典經(jīng)濟濟學(xué)關(guān)于把把“完全競競爭”作為為普遍的而而把壟斷看看作個別例例外情況的的傳統(tǒng)假定定，認(rèn)為完完全競爭與與完全壟斷斷是兩種極極端情況，，提出了一一套在經(jīng)濟濟學(xué)教科書書中沿用至至今的用以以說明處在在兩種極端端之間的““壟斷競爭爭”的市場場模式，并并在其成因因比較、均均衡條件、、福利效應(yīng)應(yīng)等方面運運用邊際分分析的方法法完成了微微觀經(jīng)濟的的深化革命命，同時為為博弈論對對經(jīng)濟學(xué)的的革命開創(chuàng)創(chuàng)先河。30博弈革命的的意義：1、研究對對象發(fā)生變變化：關(guān)注注個體2、決策理論的的突破：注注重關(guān)系3、經(jīng)濟學(xué)與信信息的融合合：注重信信息31博弈分類表表

行動順序信息靜態(tài)動態(tài)完全信息完完全信息靜態(tài)博弈納納什均衡納（1950、1951）完完全信息動態(tài)博弈子博弈精練納什均衡澤澤爾騰（1965）不完全信息不完全信息靜態(tài)博弈貝葉斯納什均衡海海薩尼（1967）不完全信息動態(tài)博弈精練貝葉斯納什均衡澤澤爾騰（1975）32一個“僵局局”+最佳佳反應(yīng)=納什均均衡。納什均衡的的思想很簡簡單，博弈弈的理性結(jié)結(jié)局是這樣樣一種策略略組合，其其中每一個個局中人均均不能因為為單方面改改變自己的的策略而獲獲利。換一一種說法是是，其中每每個局中人人選擇的策策略是對其其他局中人人所選策略略的最佳反反應(yīng)。為了稱述的的方便，我我們引進幾幾個概念與與符號：我們常用G表示一個博博弈，如果果G有n個局中人（（博弈方）），每個局局中人的全全部可選策策略的集合合我們稱為為策略空間間，分別用用S1，……,Sn表示；sij∈Si表示局中人人I的第j個策略，其其中j可以取有限限個值（有有限策略博博弈），也也可以取無無限個值（（無窮策略略博弈）；；局中人i的支付則用用ui記，ui是各局中人人策略的多多元函數(shù)。。N個局中人的的博弈常寫寫成G={S1，……,Sn；u1,…..un}.33從數(shù)學(xué)角度度看求納什什，

就是是求多元函函數(shù)的最大大值。在博弈G={S1，……,Sn；u1,…..un}中，如果策策略組合（（s*1,……,s*n）中任一局中中人i的的策略s*i都是對其余余局中人的的策略組合合（s1,…，si-1,si+1,…，sn）的最佳對策策，也即：：ui（s*1,…，s*i-1,s*i,s*i+1,…，s*n）≧u（s*1,…，s*i-1,sij,s*i+1,…，s*n）對任意sij∈Si都成立，則則稱（s*1,……,s*n）為G的一個“納納什均衡””。34七、非線性性、非周期期與混沌經(jīng)經(jīng)濟學(xué)1978年年9月，一一位中國留留學(xué)生李天天巖的《周周期3意味味著混沌》》導(dǎo)致混沌沌研究的興興起。克萊克說：：經(jīng)濟學(xué)家家像生物學(xué)學(xué)家一樣，，