一、問題的提出1一、問題的提出122微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實質(zhì):

聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義3微分方程:例實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).一階微分方程高階(n)微分方程4微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最一階微分方程高階微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.微分方程的解的分類：三、主要問題-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.5微分方程的解:微分方程的解的分類：三、主要問題-----求方(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象:

微分方程的積分曲線.通解的圖象:

積分曲線族.初始條件:

用來確定任意常數(shù)的條件.6(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象:77初值問題:

求微分方程滿足初始條件的解的問題.8初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.8第二節(jié)可分離變量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成為稱為可分離變量的微分方程9第二節(jié)可分離變量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成為(2)是(1)的通解10(2)是(1)的通解101111例3:一曲線通過點(2,3).他在兩坐標(biāo)軸間的任意切線段均被切點平分，求這曲線。12例3:一曲線通過點(2,3).他在兩坐標(biāo)軸間121313141415151616171718181919二.可化為齊次的方程20二.可化為齊次的方程2021212222232324242525

262627272828

叫做對應(yīng)于(1)的一階齊次線性微分方程第四節(jié)一階線性微分方程一.線性方程叫做一階線性微分方程29叫做對應(yīng)于(1)的一階齊次線性微分方程第四節(jié)一階線性微分離變量后30分離變量后30將C換為X的函數(shù)v(x)利用常數(shù)變易法來求非齊次線性方程(1)的通解31將C換為X的函數(shù)v(x)利用常數(shù)變易法來求非齊次線性方程(13232二.伯努利方程33二.伯努利方程33343435353636373738383939404041414242434344444545第七節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程46第七節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程464747484849495050我們來試一下,51我們來試一下,51525253535454555556565757585859596060第八節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程61第八節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程6162626363646465656666676768686969707071717272737374747575767677777878

7979

80808181828283838484858586868787888889899090919192929393949495959696979798989999100100101101102102103103104104105105106106107107108108109109110110111111112112一、問題的提出113一、問題的提出11142微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實質(zhì):

聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義115微分方程:例實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).一階微分方程高階(n)微分方程116微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最一階微分方程高階微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.微分方程的解的分類：三、主要問題-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.117微分方程的解:微分方程的解的分類：三、主要問題-----求方(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象:

微分方程的積分曲線.通解的圖象:

積分曲線族.初始條件:

用來確定任意常數(shù)的條件.118(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象:1197初值問題:

求微分方程滿足初始條件的解的問題.120初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.8第二節(jié)可分離變量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成為稱為可分離變量的微分方程121第二節(jié)可分離變量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成為(2)是(1)的通解122(2)是(1)的通解1012311例3:一曲線通過點(2,3).他在兩坐標(biāo)軸間的任意切線段均被切點平分，求這曲線。124例3:一曲線通過點(2,3).他在兩坐標(biāo)軸間1212513126141271512816129171301813119二.可化為齊次的方程132二.可化為齊次的方程201332113422135231362413725

138261392714028

叫做對應(yīng)于(1)的一階齊次線性微分方程第四節(jié)一階線性微分方程一.線性方程叫做一階線性微分方程141叫做對應(yīng)于(1)的一階齊次線性微分方程第四節(jié)一階線性微分離變量后142分離變量后30將C換為X的函數(shù)v(x)利用常數(shù)變易法來求非齊次線性方程(1)的通解143將C換為X的函數(shù)v(x)利用常數(shù)變易法來求非齊次線性方程(114432二.伯努利方程145二.伯努利方程33146341473514836149371503815139152401534115442155431564415745第七節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程158第七節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程4615947160481614916250我們來試一下,163我們來試一下,51164521655316654167551685616957170581715917260第八節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程173第八節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程611746217563176641776517866179671806818169182701837118472185731867418775188761897719078

19179

192801938119482195831968419785198861998720088201