函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解考試要求1.3.了解用二分法求方程的近似解．知識梳理1．(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù))，我們把使x叫做函數(shù)(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法的函數(shù)分法．思考辨析函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(×)連續(xù)函數(shù))內(nèi)有零點(diǎn)，則×)函數(shù)R上的單調(diào)函數(shù)，則)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．(×)(4)二次函數(shù)＝a＋b(≠0)，若－4a<，則√)教材改編題1．(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列區(qū)間中，函數(shù)必有零點(diǎn)的區(qū)間( A．(1,2)B．(2,3)C．(5,6)D．(5,7)1答案BCD解析由所給的函數(shù)值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴f(x)在區(qū)間(2,3)，(5,6)，(5,7)內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)．fx

fx 已知函數(shù)

()＝ xx

則()的零點(diǎn)為 ．答案－2，e

－＋ln，>，≤0，解析2＋－20或

>0，－＋l，方程(1,2)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍答案(3,6)(1,2∴3<k<6.題型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定例1(1)(多選)(2022·菏澤質(zhì)函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零( )C．(0,1)答案AD(－2)＝>0，(－1)＝－1<0，解析f 1 f(－2)＝>0，(－1)＝－1<0，

B．(－1,0)D．(1,2)1e2 ef(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因?yàn)閒(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)．(2)若<則函數(shù)(＝()－＋(－)·))(的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)( )A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)2C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案A解析函數(shù)，則，因此即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．教師備選fx 1x x

yfx )(2022·湖南雅禮中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)1

()＝3

－ln

，則函數(shù)

＝()(

，1，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)e1

，1，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)e1

，11，ee1

，11，ee答案D解析f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f x 11x′()＝－x3

3x，∴f(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，又f 1 f 13ee＝＋1>0，3e

(1)＝>0，3fx 1 內(nèi)無零點(diǎn)．∴()在，1ef e fx又(e)＝－1<0，∴(3

)在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù).若有，則函數(shù)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．31(1)(2022·太原模擬)利用二分法求方程log的近似解，可以取的一個(gè)3區(qū)間( )A．(0,1) B．(1,2)3C．(2,3)答案C3

D．(3,4)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→－∞，f(1)＝－2，又∵f(2)＝log2－1<0，3f(3)＝log3－3＋3＝1>0，3故f(2)·f(3)<0，故方程log(2,3)上有解，3即利用二分法求方程log(2,3)．3(2)已知2<3<＝logx與＝＋bxyx＋1N*，a則答案2

0 0 0解析依題意x0

為方程log的解，a即為函數(shù)的零點(diǎn)，a∵2<a<3<b<4，0f(2)＝logaf(3)＝loga∴x∈(2,3)，即0題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定例2(1)(2022·紹興模擬)若函數(shù)＝(R(1)＝1,1|lg，>，()1－2e，<，

則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－6,6]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)( )答案C解析因?yàn)閒(x＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)2因?yàn)?,1＝1－2，所以作出它的圖象，則y＝f(x)的圖象如圖所示．(注意拓展它的區(qū)間)gx |lg，>，再作出函數(shù)

()＝e，<0

的圖象，容易得出交點(diǎn)為12個(gè)．4(2)函數(shù))＝36－·cox的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 答案6解析令3－≥0，解得－6≤6，∴f(x)的定義域?yàn)閇－6,6]．令()＝0得3－＝0或由3－20得＝±6，x xπk kcos＝0得＝2＋π，Z，又x∈[－6,6]，x 3π ππ3π∴為－2222.6教師備選函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)( )2A．0B．1C．2D．4答案C1 1解析令(＝0，|log，分別作出＝|log|與x21

2

2 2＝|log|與＝x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．2 2思維升華求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個(gè)解，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn)；(2)定理法：利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)個(gè)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1(R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤<2時(shí)()＝2－，則函數(shù)的圖象在區(qū)[－3,3]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)( )A．6B．7C．8D．9答案B解析令(＝2＝，所以2，5所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0.所以函數(shù)－3,3]上與x7.fx |l，>，

則關(guān)于x的函數(shù)(2)(2022·泉州模擬)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)2(－3(＋1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)( )A．3B．7C．5D．6答案B

()＝2≤0，解析根據(jù)題意，令22)－3＝，fx fx 1得()＝1

()＝.2作出f(x)的簡圖：fx fx 1由圖象可得當(dāng)

()＝1

()＝342故關(guān)于x的函數(shù)2((1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.題型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)|＋|≤0，3(2022·武漢模擬)已知函數(shù)，>，

若關(guān)于x的方程＋3)＝0有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )A．(－∞，4－23)C．[0,4－23]答案D解析畫出f(x)的函數(shù)圖象，

B．(4＋2D．(0,4－23)設(shè)y＝a(x＋3)，該直線恒過點(diǎn)(－3,0)，6結(jié)合函數(shù)圖象，若(＋3＝－2x聯(lián)立得22)＋30，(＋22－10，3(a＝4＋23舍)，若f(x)＝a(x＋3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0<a<4－23.命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)

1＋ax例4(2022·)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )0

.若存在x∈(－∞，－1)，使x 0 A.－∞， B.0，3 34 C．(－∞，0)答案B

1＋ax

D.

，＋∞3

x＝0，1可得a＝3x－x，1令g(x)＝3x－x，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x∈(－∞，－1)，使得)＝0，0 0則實(shí)數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)1)上的值域．1由于函數(shù)y＝3x，y＝－x在區(qū)間(－∞，－1)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增．當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，1 4xg(x)＝3x－<3－1＋1＝，x31又g(x)＝3x－x>0，gx

.所以函數(shù)

()在(－∞，－1)上的值域?yàn)?，a

33.3因此實(shí)數(shù)

的取值范圍是0，教師備選7x函數(shù)

－k2有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值 ．＋2答案－1x解析由f(x)＝x

－k2＝x

k， x 1函數(shù)(＝ －k2有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)＝ －kx只有一個(gè)零點(diǎn)x，且x≠0.0 01即方程 有且只有一個(gè)非零實(shí)根．x＋21顯然≠0，＝22x有且只有一個(gè)非零實(shí)根．1即二次函數(shù)2＋x的圖象與直線作出二次函數(shù)＝＋2x的圖象，如圖．1 1因?yàn)閗≠0，由圖可知，當(dāng)k>－1時(shí)，1函數(shù)＝＋2x的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．1當(dāng)k＝－1，即

k＝－1時(shí)滿足條件．1 1當(dāng)1時(shí)，函數(shù)2x的圖象與直線無交點(diǎn)，不滿足條件．若函數(shù))(2)＋m1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)(1,0和區(qū)(1,2內(nèi)，則m的取值范圍．1答案42≠2，解析依題意，結(jié)合函數(shù)f－1·f0<0，f1·f2<0，≠2，即

2m＋1<0， －＋＋2＋1·[4－2221]<，81m1解得<<.4 2思維升華已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決．(3)合求解．fx

有三個(gè)3(1)

()＝x

x＋1，x≤0.零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b可取的值可能( )11A．0B.C.D．132答案BCD解析函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝(x＋1)ex，則f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，fx f 1f所以()在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2,0]上單調(diào)遞增，且(－2)＝－，(0)＝1，e2x→－∞時(shí)，f(x)→0，從而可得f(x)的圖象如圖所示，通過圖象可知，若函數(shù))的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則b∈(0,1]．fx x 1m m )(2)已知函數(shù)

()＝log2

＋1)－x＋

在區(qū)間(1,3]上有零點(diǎn)，則

的取值范圍為(5 3A.－3 B.－∞，－∪(0，＋∞)3 C.－∞，－∪(0，＋∞)35 3D.－3答案D9y x ym1解析由于函數(shù)＝log(＋1)，＝－在區(qū)間(1,3]上單調(diào)遞增，2 x所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增，fx x 1m由于函數(shù)()＝log(＋1)－＋

在區(qū)間(1,3]上有零點(diǎn)，f1<0，

2 x<0，則 5f3≥0，

＋

≥0，35m解得－≤<0.3因此，實(shí)數(shù)m－533

，.10課時(shí)精練1函數(shù))3－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間( )A．(0,1)C．(2,3)答案B

1

B．(1,2)D．(3,4)解析

－2，f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，RR上單調(diào)遞增，所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．設(shè)函數(shù)()＝3＋－8，用二分法求方程43＋－8＝0近似解的過程中，計(jì)算得到則方程的近似解落在區(qū)( ) 3 A.1，

B.，22

225 22C.2，2

D.，3答案Ax＝2，1因?yàn)閒(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x∈(1,2)，03x＝2

2 27322＝4×8＋－8＝7>0，2所以方程近似解x

1，.0 21 3．(2022·＝－a＋1

，3上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍2是( )A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)

12C.2， D.2，3211答案D

21 2

11 解析由題意知方程a＋1

，上有實(shí)數(shù)解，即＝

，3上有解，2tx

x1 ，設(shè)＝＋x，

∈，32t

1.2，3a

1.所以實(shí)數(shù)

2，3flogf4．若函數(shù)()＝

x－1，x>1，

存在2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍( )A．[－3,0)C．[0,1)答案A

－3，≤1

B．[－1,0)D．[－3，＋∞)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，log

x－1，x>1，函數(shù)4

存在2個(gè)零點(diǎn)，－3，≤1當(dāng)且僅當(dāng)1即函數(shù)在(－∞，1]上的圖象與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，上單調(diào)遞減，且有時(shí)，直線和函數(shù)y＝－3x(x≤1)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)．5(2022·(－log0<)()()<2若實(shí)數(shù)x0A．x<a0C．x<c0答案B

是方程的一個(gè)解，那么下列不等式中不可能成立的( B．x>c0D．x>b01解析(－logx在(，＋∞)上單調(diào)遞減，由()))<，3 2得∴x<a，故x>c不成立．0 0 06．(2022·北京西城區(qū)模擬)若偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]時(shí)，f(x)則方程的根的個(gè)數(shù)( )3A．2B．3C．4D．多于412答案C解析f(x)＝log|x|的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)3 3數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，且f(x)為偶函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log|x|的圖象，如圖所示．3顯然函數(shù))的圖象與函數(shù)437．(多選)函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是( )A．1B．2C．4D．6答案ABC解析由題意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，fx 3sin，∈[0，π]，()＝ xx－sin，∈π，2π]，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由其圖象知，直線0,1,2,3,4.)(2022··x，使得)＝x0 0 0數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動點(diǎn)”函數(shù)的( )A．f(x)＝2x＋x1x2＋1

B)＝2－－3213答案BCD解析選項(xiàng)A，若，則2＝0，該方程無解，故A0 0選項(xiàng)B，若(x＝x，則－2x－＝0，解得x＝3或x＝－，故B中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)；

0 0 0 0 0 01C，若)＝xx2＋1＝x，0 0 0 0可得2－3x＋＝0，且x≥1，0 0 0x3＋5解得＝0 2

，故C中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)；D，若)＝x|logx|－1＝x，0 0 20 0即|logx|＝x＋1，20 02|logx，2 0即|logx|＝x＋1，20 0故D中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)．若函數(shù)(＝＋a＋bc是奇函數(shù)，且有三個(gè)不同的零點(diǎn)，寫出一個(gè)符合條件的數(shù).答案3解析(＝＋a＋b＋c為奇函數(shù)，故＝，)3＋b＝(＋∴b<0，∴(＝－x滿足題意．fx 2，≥0，

yfx m m函數(shù)

()＝－221，<0，

若函數(shù)

＝()－有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍答案(1,2)解析畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，14注意當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝－1＋2＋1＝2，f(0)＝1，∵函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，∴函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得m的取值范圍為11．(2022·棗莊模)已知函數(shù)若函數(shù)在區(qū)(0，e2]上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案，2答案，e2 解析∵函數(shù)0，e2]上有三個(gè)零點(diǎn)，)的圖象與直線0，e2由函數(shù)的圖象可知，＝，k＝2－0 2＝，1 e2－0e2fx xx

f x 1()＝ln

(＞1)，′(t t

)＝x，lnt－01設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(

，ln

)，則

t－0

＝t，t k1解得＝e.∴＝.2 e的斜率則直線y＝ax的斜率

a2.∈，e2 ∈，

是方程的解是方程的解則xx＝ .1答案1

2 121解析x分別是函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以1 2 xx，1，x，1兩點(diǎn)關(guān)于＝x對稱，因此xx1.1 x 2 x 121 213．已知函數(shù)(＝2＋－()＝log＋()3－1的零點(diǎn)分別為，2則的大小( )15C．c>a>b答案B解析令f(x)＝0，則2x＋x－1＝0，即，則log2即

D．a(chǎn)>c>b因?yàn)楹瘮?shù)(＝31在R上為增函數(shù)，且(0＝1<，(11>，(0,1)上存在唯一零點(diǎn)且c∈(0,1)，綜上，b>c>a.fx

2則函數(shù)y＝f(f(x))的所有零點(diǎn)之和214(2022·

(xx為 1答案2

l